高中数学 错误解题分析 1-3-1,1-3-2,1-3-3 且(and)或(or)非(not)

1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且（and）
1.3.2 或（or）
1.3.3 非（not）
双基达标限时20分钟
1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是( )．
A．使用了逻辑联结词“且”
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“非”
D．没有使用逻辑联结词
解析“x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故选B.
答案 B
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )．
A．“p或q”为假，“非q”为假
B．“p或q”为真，“非q”为假
C．“p且q”为假，“非p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为假
解析显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.
答案 B
3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，“綈p”中，真命题有 ( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q 是
假命题．p∨q真命题，綈p是假命题，故选A.
答案 A
4．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
解析方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案方向相同或相反的两个向量共线
5．若命题“綈p∨綈q”为假命题，则命题“p∧q”是______命题(用“真”、“假”填空)．解析命题“綈p∨綈q”为假，其否定为“p∧q”，是真命题．
答案真
6．分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题：
(1)p：π是无理数，q：e是有理数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻
的任一个内角．
解(1)“p∧q”：π是无理数且e是有理数．
“p∨q”：π是无理数或e是有理数．
“綈p”：π不是无理数．
(2)“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任一个
内角．
“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任一个内角．“綈p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
综合提高（限时25分钟）
7．若命题p：x∈A∪B，则綈p是 ( )．A．x∉A或x∉B B．x∉A且x∉B
C．x∈A∩B D．x∉A或x∈B
解析因x∈A∪B⇔x∈A或x∈B，所以綈p为x∉A且x∉B，故选B.
答案 B
8．已知命题s：“函数y＝sin x是周期函数且是奇函数”，则
①命题s是“p∧q”命题；
②命题s是真命题；
③命题綈s：函数y＝sin x不是周期函数且不是奇函数；
④命题綈s是假命题．
其中，正确叙述的个数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3
解析命题s是“p∧q”命题，①正确；命题s是真命题，②正确，④正确；命题綈s：函数y＝sin x不是周期函数或不是奇函数，③不正确．
答案 D
9．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________．
解析 命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若 a <b ，则2a ≥2b ”．
答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b
10．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x ＋2)
是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是______．
解析 对于①，f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数，故p 为假命题．对于②，f (x ＋2)＝x 2是偶函
数，则p 为真命题：f (x )＝(x －2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则 q 为真命题，故p ∧q 为真命题．对于③，f (x )＝cos(x －2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，
故q 为假命题．故填②.
答案 ②
11．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2
<a }．
(1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解 若p 为真，则1∈{x |x 2<a }，所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4.
(1)若“p 或q ”为真，则a >1或a >4，即a >1.故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p 且q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．
12．(创新拓展)已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1
－x 2|对任意实数m ∈[－1，1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．若p ∧q 是假
命题，綈p 也是假命题．求实数a 的取值范围．
解 ∵p ∧q 是假命题，綈p 是假命题，∴命题p 是真命题，命题q 是假命题．
∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2. ∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝m 2＋8，
∴当m ∈[－1，1]时，|x 1－x 2|max ＝3.
由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1，1]恒成立，可得a 2
－5a －3≥3.
∴a ≥6或a ≤－1，
∴当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.
命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，
①当a >0时，显然有解；
②当a ＝0时，2x －1>0有解；
③当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0，∴Δ＝4＋4a >0， ∴－1<a <0.
从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解时，a >－1. 又命题q 是假命题，∴a ≤－1.
综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥6或a ≤－1，
a ≤－1⇒a ≤－1.
所以所求a 的取值范围为(－∞，－1]．。