第一章—导热理论基础

第一章 导热理论基础

本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律与导热问题的基本分析方法。

物质部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。

物质部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中所起的作用是不同的。

导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。

第一节基本概念与傅里叶定律

1-1 导热基本概念

一、温度场(temperature field)

（一）定义：在某一时刻，物体各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。它是空间坐标和时间坐标的函数。在直角坐标系下，温度场可表示为：

),,,(τz y x f t = （1-1）

（二）分类：

1．从时间坐标分：

①稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，0=∂∂τ

t ，此时，),,(z y x f t =。（如设备正常运行工况）

稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。

②非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分布

与时间有关，),,,(τz y x f t =。（设备启动和停车过程）

非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。

2．从空间坐标分： ①三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，⎩

⎨⎧==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ②二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态)

,(),,(y x f t y x f t τ

g ra d t

③一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态，)

()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线

1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体温度相同的点连成的面即为等温面。 2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。

为了直观地表示出物体部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。 3．等温面（线）的特点：

①不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁的等温面（线）的示意图。

②在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止在物体的边界，不可能在物体中中断。。

③等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间隔相等时，即t ∆相等，则等温线越疏，说明该区域热流密度越小；反之，越大。

④ 沿等温面（等温线）无热量传递

三、温度梯度(temperature gradient)

从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。为了表示沿等温面法线方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。

梯度（最大的方向导数）：指向变化最剧烈的方向。（向量）

温度变化率是标量，温度梯度是矢量。

温度梯度：定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限）为温度梯度，以gradt 表示。

n n

t n n t grad n t ∂∂=∆∆=→∆→0lim (1-2) 式中，n ——等温面法线方向的单位矢量；

n t ∂∂——温度在等温面法线方向的导数。 温度梯度的方向（正向）：是沿等温面法线由低温指向高温。 温度梯度的数值大小：等于温度梯度方向上的导数。

在直角坐标系：

k z t j y t i x t gradt ∂∂+∂∂+∂∂= （1-3） 式中，i ，j ，k 分别表示x 轴、y 轴与z 轴方向上的单位矢量。

温度降度：温度梯度的负值，gradt -，沿温度降低的方向。

四、热流密度矢量

热流密度：它指单位时间单位面积上所传递的热量。在不同方向上，热流密度的大小是不同的。

1．热流线(heat flux lines)：在温度场中，作与各等温线一一正交的一组曲线，这组曲线称为热流线。

热流线是表示热流方向的线。在热流线上各点做切线，则热流方向就在该切线上，而某点热流线的切线方向与该点等温线的法线方向是一致的。所以热流方向是在等温线的法线方向上。由于热流是从高温处流向低温处，所以热流方向与温度梯度的方向相反。可见，热流既有大小，也有方向。为此引入热流密度矢量来对热流进行描述。

2．热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上，等于沿该方向的热流密度的矢量，称为热流密度矢量，简称热流矢量。其他方向的热流密度都是热流矢量在该方向的分量。

在直角坐标系中，热流矢量可表示为：

k q j q i q q z y x ++= （1-4）

式中z y x q q q ,,为沿三个坐标轴方向的分热流。

1-2．傅立叶定律(Fourier’s law of heat conduction )

傅里叶于1822 年在对固体导热实验进行总结的基础上，提出了著名的傅里叶定律，它是导热的基本定律。

1．傅立叶定律的表达式

n n

t t grad q ∂∂-=-=λλ 式中的比例系数λ即为材料的导热系数（或称热导率），单位)(C m W ︒⋅。负号“-”表示热流密度矢量与温度梯度的方向刚好相反（是热力学第二定律的表达）。

在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为：

)(k z

t j y t i x t k q j q i q q z y x ∂∂+∂∂+∂∂-=++=λ （1-7） 对应可写出各个方向上的分热流密度为：

x t q x ∂∂-=λ，y t q y ∂∂-=λ，z

t q z ∂∂-=λ 工程上，一般考虑简单几何形状物体的导热。这时，热流密度常垂直于物体表面，分析问题时，常将坐标轴垂直于表面，这样，热流密度的方向就与坐标轴重合，热流密度可以不写成矢量形式,而只按坐标轴方向考虑热流密度的正负。即热流密度与坐标轴同向时为正，反向时为负。

傅立叶定律指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。

2．傅里叶定律的适用围：

适用于各向同性连续介质的稳态和非稳态导热过程。（适用q 不很高，而作用时间长。不适用于时间极短，热流密度极大或者温度极低时的导热）

问：傅里叶定律并不显含时间，为什么能用于计算非稳态导热的热量？

答：q 是瞬时热流密度，不同瞬时，q 可能是不同的，q 与时间有关。

由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道材料的导热系数, 还必须知道温度场。所以求解温度场是导热分析的主要任务。（温度场——温度梯度——热流矢量）

第二节 导热系数

一、导热系数的定义：

gradt

q -=λ （1-8） 物理意义：单位温度梯度下物体产生的热流密度。它表征物质导热能力的大小，导热能力是物质的固有的物理性质，所以导热系数是物性参数。

单位：W/（m ·K ）或W/（m ·℃）

各种材料的导热系数一般是通过实验来测定的。

二、影响材料导热系数的因素

材料的导热系数与物质种类与物质的温度，密度、湿度、压力等有关。

不同物质导热系数的数值是不同的。一般情况是，纯金属的导热系数很高，气体的导热系数很小，液体的数值介于金属和气体之间。