必修二空间几何证明经典题型

必修二空间几何证明经典题型

一.解答题(共25小题)

1・如图,在四棱锥P - ABCD中,AB〃CD, AB丄AD, CD=2AB,平面PAD丄底面ABCD, PA±AD・E 和F分别是CD 和PC的中点，求证：

(0) BE〃平面PAD； (0) PA丄BC； (0)平面BEF丄平面PCD.

C

【解答】解：(E) VPA丄AD,平面PAD丄平面ABCD,平面PADQ平面ABCD二AD, 山平面和平面垂直的性质定理可得PA丄平面ABCD.

(回)VAB/7CD, AB丄AD, CD=2AB, E和F分别是CD和PC的中点，

故四边形ABED为平行四边形，故有BE〃AD.

乂ADu平面PAD, BE不在平面PAD内，故有BE〃平面PAD.

(0)平行四边形ABED中，由AB丄AD可得，ABED为矩形，故有BE丄CD.

山PA丄平面ABCD,可得PA丄AB,再由AB丄AD可得AB丄平面PAD,

•'•CD丄平面PAD,故有CD丄PD.

再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF〃PD,

/.CD丄EF・

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD丄平面BEF.

由于CDc平面PCD, •••平面BEF丄平面PCD.

2.如图，在三棱锥V・ABC中，平面VAB丄平面ABC, AVAB为等边三角形，AC1BC且AC=BC=V^, O, M分别为AB, VA的中点.

(0)求证：VB〃平面M 0C： (0)求证：平面M0C丄平面VAB；

(0)求三棱锥A・M0C的体积•

TVBQ 平面 MOC, OMu 平面 MOC, •'•VB 〃平面 MOC ；

（0）证明：VAC=BC, O 为AB 的中点，・・・OC 丄AB,

乂・••平面VAB 丄平面ABC,平面ABCA 平面VAB 二AB,且OCu 平面ABC,

/•OC 丄平面VAB,

TOCu 平面MOC, •••平面MOC 丄平面VAB ：

（囹）解:在等腰直角三角形ACB 中,AC=BC=V2» .*.AB=2, OC=1,

・•・等边三角形VAB 的边长为2, S A V AB =V3»

TO, M 分别为AB, VA 的中点・・・・Sgo*呦B 年.

乂TOC 丄平面VAB,・••三棱锥也。汽加赵碍X

3.如图，在三棱锥P ・ABC 中，PA 丄PC, AB=PB, E, F 分别是PA, AC 的中点.求证:

（1） EF 〃平面PBC ； （2）平面BEF 丄平面PAB.

【解答】证明：（1）在AAPC 中，因为E 、F 分别是PA 、AC 的中点，

所以 EF/7PC, ... （3 分）

乂 PCu 平面 PAC, EFG 平面 PAC,所以 EF 〃平面 PBC. ... （6 分）

（2）因为AB=PB,且点E 是PA 的中点，所以PA 丄BE, ... （9分）

又 PA 丄PC, EF 〃PC,所以 PA 丄EF, ... （12 分）

因为 BEu 平面 BEF, EFu 平面 BEF, BEOEF=E,

所以PA 丄平面BEF, 乂 PAu 平面PAB,所以平面PAB 丄平面BEF. ... （14分）

4.如图，在三棱锥A - BCD 中，AB±AD, BC 丄BD,平面ABD 丄平面BCD,点E 、F （E 与A 、D

不重

M 分别为AB, VA 的中点，•••OM 〃

VB,

合)分别在棱AD, BD 上，且EF 丄AD.

求证：(1) EF 〃平面ABC ；

(2) AD1AC ・

【解答】证明：(1)因为AB 丄AD, EF 丄AD,且A 、B 、E 、F 四点共面，

所以AB 〃EF,

乂因为EFu 平面ABC, ABu 平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF 〃平面ABC ；

(2)在线段CD±取点G,连结FG 、EG 使得FG 〃BC ，则EG 〃AC,

因为BC 丄BD, FG/7BC,所以FG 丄BD,

乂因为平面ABD 丄平面BCD,所以FG 丄平面ABD,所以FG 丄AD,

乂因为AD 丄EF,且EFQFG=F,所以AD 丄平面EFG,所以AD 丄EG,

故AD 丄AC ・

5.已知四棱锥 A ・ BCDE,其中 AB=BC=AC=BE=1, CD=2, CD 丄面 ABC, BE 〃CD, F 为 AD 的中点. (S)求证：EF 〃面ABC ； (E)求证：平面ADE 丄平面ACD ； (0)求四棱锥A ・BCDE 的体积.

【解答】证明：（S ）取AC 中点G,连接FG 、BG,

VF, G 分别是 AD, AC 的中点 AFG/7CD,且 FG=—DC=1.

2 V BE//CD A FG 与 BE 平行且相等 AEF/7BG.

EFQ 面 ABC, BGu 面 ABC 〃面 ABC...（4 分）

（0） V AABC 为等边三角形・・・BG 丄AC

X V DC 丄面 ABC, BGu 面 ABC A DC 丄

BG

B

•••BG垂直于面ADC的两条相交直线AC, DC,

•••BG丄面ADC. ・・・（6分）

VEF//BG •••£/丄面ADC

TEFu 面ADE, •••面ADE丄面ADC・・..（8 分）

解：（0）

方法一:连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E・ABC和E・ADC.

V A-BCDE=V E-ABC+V E-ACD 今 *半X 1住X 1 x爭斗|呼爭• ...（12 分）

方法二：取BC的中点为0,连接A0,则A0丄BC, 乂CD丄平面ABC,

/•CD丄AO, BCDCD=C, •••A0丄平面BCDE,

.AO y. v的户；V3 门（1+2） XI 3 •“—晅晅..AO ；JV A BCDE HJ冋，AOp，気册二—2 ------------------- * * V A-BCDE=7 X

B

6.如图，四棱柱ABCD - AiBiCiDi中，平面AiABBi丄平面ABCD,且ZABC』-・

2

（1）求证：BC〃平ffiABiCi；（2）求证：平面AiABBi丄平面ABiCi・

【解答】证明:(1) VBC/7B1C1，且BiCiU平面ABiCi，BCG平面ABiS

/.BC〃平面ABiCi・

(2) •••平面AiABBi丄平面ABCD,平面ABCD〃平面AiBiCiDi,