专题9：构造辅助圆2-定弦定角

24.24专题9：构造辅助圆2-定弦定角
一．【知识要点】
1.利用定弦定角构造辅助圆：已知定弦定角，可以构造辅助圆解决几何最值。

结论1：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a为定值，则点p在弦AB所对的圆弧上运动。

结论2：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=90°，则点p在以AB为直径的圆上运动。

结论3：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a°，0°<a<90°,则点p在以AB为弦，圆心和点P在AB同侧，2a°为圆心角的圆上运动。

结论4：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a°，90°<a<180°,则点p在以AB为弦，，圆心和点P在两侧，360°-2a为圆心角的圆上运动。

特殊情况：
1.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=30°（或∠APB=150°），则点p在以AB为边构造的等边△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

2.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=45°（或∠
AB为腰构造的等腰直角△ABC的顶点C为APB=135°），则点p在以AB为底，以
2
圆心的圆上运动。

3.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=60°（或∠
APB=120°），则点p在以AB为腰构造的等腰直角△ABC的顶点C为
圆心的圆上运动。

二．【经典例题】
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）
A．B．2﹣2C．2﹣2D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（）
A．3B．5C．8D．10
3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝10，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）
A．7B．8C．D．
4．（5❤）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O 为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为（）
A．1B．2C．2﹣6D．﹣3
【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，再由∠BMC＝60°可证明∠ACM ＝90°，从而算出AM＝2，再由当A、D、M三点共线时，AD最小，求出此时AD 的长即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝30°，
∴∠CDP＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠BMC＝60°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等边三角形，
∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝2，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动．
5．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE 于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．
三．【题库】
【A】
1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）
A．B．2C．D．
【B】
1.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是边AD,CD上的动点，且AE=DF,AF和BE相交于点H，若正方形的边长为4，那么HD的最小值是_____________________.
【C】
1．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（）
A．8B．C．D．
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是（）
A．3B．3C．D．2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为．
4.在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°，则△ABC的面积的最大值为__________.
5.如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）
A．B．C．D．
【D】
1．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）
A．1B．2C．D．4﹣3
2.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2
2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上。

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由。

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长。

（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出ΔGHE与ΔBHD面积之和的最大值，并简要说明理由.。