中考数学专题讲练 旋转(解析版)

旋转

一．半角模型

“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及．

二．等腰三角形旋转模型

等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”．

1．一般等腰三角形的旋转

2．等边三角形的旋转

3．等腰直角三角形的旋转

三．对角互补模型

四边形对角互补模型

多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体．

四．旋转相似模型

共顶点相似的一般三角形模型：

如图，图中ABD ACE

∆∆

∽，得到AB AD BD

AC AE CE

==，ABD ACE

∠=∠，ADB AEC

∠=∠，

BAD CAE

∠=∠，则有ABC ADE

∆∆

∽．一．考点：

1．旋转全等模型；

2．旋转相似模型；

3．旋转中的轨迹与最值问题；

二．重难点：

1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明．

2．观察图形发现旋转得到的相似；

3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形．

三．易错点：

1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题；

2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件．

3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系．

题模一：旋转与全等

例1.1.1已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【答案】图2成立，证明见解析，图3不成立，图3中AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF

【解析】∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AE=1

2

BE，CF=

1

2

BF；

∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；

∴AE+CF=1

2

BE+

1

2

BF=BE=EF；

图2成立，图3不成立．

证明图2．

延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，

在△BAE和△BCK中，

则△BAE≌△BCK，

∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，

∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，

∴∠FBC+∠ABE=60°，

∴∠FBC+∠KBC=60°，

∴∠KBF=∠FBE=60°，

在△KBF和△EBF中，

∴△KBF≌△EBF，

∴KF=EF，

∴KC+CF=EF，

即AE+CF=EF．

图3不成立，

AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．

例1.1.2（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，

且∠EAF=1

2

∠BAD．

求证：EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠

EAF=1

2

∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，

且∠EAF=1

2

∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的

数量关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析（2）成立（3）EF=BE﹣FD 【解析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1

2

∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．

（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF．

∵AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=1

2

∠BAD．