中考数学专题讲练 旋转(解析版)

旋转
一．半角模型
“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及．
二．等腰三角形旋转模型
等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”．
1．一般等腰三角形的旋转
2．等边三角形的旋转
3．等腰直角三角形的旋转
三．对角互补模型
四边形对角互补模型
多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体．
四．旋转相似模型
共顶点相似的一般三角形模型：
如图，图中ABD ACE
∆∆
∽，得到AB AD BD
AC AE CE
==，ABD ACE
∠=∠，ADB AEC
∠=∠，
BAD CAE
∠=∠，则有ABC ADE
∆∆
∽．一．考点：
1．旋转全等模型；
2．旋转相似模型；
3．旋转中的轨迹与最值问题；
二．重难点：
1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明．
2．观察图形发现旋转得到的相似；
3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形．
三．易错点：
1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题；
2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件．
3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系．
题模一：旋转与全等
例1.1.1已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】图2成立，证明见解析，图3不成立，图3中AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF
【解析】∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=1
2
BE，CF=
1
2
BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF=1
2
BE+
1
2
BF=BE=EF；
图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，
在△BAE和△BCK中，
则△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
图3不成立，
AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．
例1.1.2（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF=1
2
∠BAD．
求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠
EAF=1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，
且∠EAF=1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的
数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析（2）成立（3）EF=BE﹣FD 【解析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1
2
∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=1
2
∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD．
例 1.1.3如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）△ACN仍为等腰直角三角形
【解析】（1）证明：如图1，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，
∴△ADM≌△NEM．
∴AM=MN．
∴M为AN的中点．
（2）证明：如图2，
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
（3）△ACN仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，延长AB交NE于点F，∵AD∥NE，M为中点，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
∵AD∥NE，
∴AF⊥NE，
在四边形BCEF中，
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中，
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
例1.1.4如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG=4，GF=6，2，求AG、MN的长．
【答案】（1）见解析
（2）MN2=ND2+DH2；理由见解析
（3）AG=12；2
【解析】（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∵AB=AD ，
∴四边形ABCD 是正方形；
（2）MN 2=ND 2+DH 2，
理由：连接NH ，
∵△ADH 由△ABM 旋转而成，
∴△ABM ≌△ADH ，
∴AM=AH ，BM=DH ，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD ，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∴△AMN ≌△AHN ，
∴MN=NH ，
∴MN 2=ND 2+DH 2；
（3）设AG=BC=x ，则EC=x ﹣4，CF=x ﹣6，
在Rt △ECF 中，
∵CE 2+CF 2=EF 2，即（x ﹣4）2+（x ﹣6）2=100，x 1=12，x 2=﹣2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴22AB AD +221212+2，
∵2，
∴MD=BD ﹣2﹣22，
设NH=y，
在Rt△NHD中，
∵NH2=ND2+DH2，即y2=（2y）2+（22，解得2，即2．
题模二：旋转与相似
例1.2.1如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N．
（1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是___________．
（2）猜想论证
如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF 的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则
PM
PN
=__________．
（3）拓展探究
如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别
交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究PM
PN
的值，并说明理由．
【答案】（1）①1
3
a②
()
2
2
1
a
n+
（2）
a
b
（3）见解析
【解析】（1）①如图2，∵PM⊥BC，AB⊥BC ∴△PMC∽△ABC
又∵AP=2PC
∴PM
AB
=
1
3
，即
PM
a
=
1
3
∴PM=1
3
a，即正方形PMCN的边长是
1
3
a
②当AP=nPC时（n是正实数），PM
AB
=
1
1
n+
∴PM=
1
1
n+
a
∴四边形PMCN的面积=（
1
1
n+
a）2=
()
2
2
1
a
n+
（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
由PG∥AB，PH∥AD可得，PG CP PH AB CA AD
==
∵AB=a，BC=b
∴PG PH
a b
=，即
PG
PH
=
a
b
（3）如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG=∠DAB ∵∠EPF=∠BAD
∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM
∴∠HPN=∠GPM
∵∠B+∠D=180°
∴∠PGC+∠PHC=180°
又∵∠PHN+∠PHC=180°
∴∠PGC=∠PHN
∴△PGM∽△PHN
由PG∥AB，PH∥AD可得，PG CP PH AB CA AD
==
即PG AB PH AD
=②
∴由①②可得，PM
PN
=
AB
AD
例1.2.2数学活动课上，小颖同学用两块完全一样的透明等腰直角三角板ABC、DEF进行探究活动．
操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点C（如图1），然后将其绕点D顺时针旋转，直至点E落在AC的延长线上时结束操作，在此过程中，线段DE与AC或其延长线交于点K，线段BC与DF相交于点G（如图2，3）．
探究1：在图2中，求证：△ADK∽△BGD．
探究2：在图2中，求证：KD平分∠AKG．
探究3：①在图3中，KD仍平分∠AKG吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由．
②在以上操作过程中，若设AC=BC=8，KG=x，△DKG的面积为y，请求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
【答案】探究1：见解析；探究2：见解析；探究3：①KD仍平分∠AKG②y=2x，其中≤≤
4838
x
【解析】探究1，
∵∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，
∴∠KDA+∠BDG=135°．
∵∠BDG+∠BGD=135°，
∴∠KDA=∠BGD，
∴△ADK∽△BGD；
探究2，∵△ADK∽△BGD，
∵点D是线段AB的中点，
∴BD=AD，
∵∠KAD=∠KDG=45°，
∴△ADK∽△DCK，
∴∠AKD=∠DKC，
∴KD平分∠AKG．
探究3，①KD仍平分∠AKG．
理由如下：
∵同探究1可得△ADK∽△BGD，
同探究2可得，△ADK∽△DGK，
∴∠AKD=∠DKG，
∴KD仍平分∠AKG；
②如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥KG于点N，由①知线段KD平分∠AKG，
∴DM=DN．
∵AC=BC=8，点D是线段AB的中点，∠KAD=45°，
∴DM=DN=4．
∵KG=x，
∴S△DKG=y=1
2
×4x=2x，
对于图3的情况同理可得y=2x，
综上所示，y=2x，其中38．
题模三：旋转中的轨迹与最值问题
例1.3.1如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为．
【答案】18﹣2
【解析】如图，作AP1⊥BD垂足为P1，
∵∠DBA=45°，AB=10，
∴∠P1AB=∠DBA=45°，AP1=P12，
∵AM=MD=1
2
AD=4，
当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值24，
当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值=AM+AF=14，
∴MQ的最大值与最小值的差=14﹣（2﹣4）=18﹣2
故答案为18﹣2
例 1.3.2如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为______；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果都保留π）
【答案】3231
+
nπ
【解析】∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
223
AD DO
-
第一次旋转的弧长6033ππ
⨯
=
∵第一、二次旋转的弧长和60360323
ππ
⨯⨯
=，
第三次旋转的弧长为：601 1803ππ
⨯
=
∵3n÷3=n，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n 23
π+
3
π
）
231
+
nπ．
例1.3.3如图1，点O为正方形ABCD的中心．
（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90︒，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；
（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；
（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，90
EGF
∠=︒，22
AB=2
GE=，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．
【答案】（1）见解析（2）AE⊥BF（3）2
5+
【解析】
（1）正确画出图形；………………1分
（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分
∵O 为正方形ABCD 的中心，
∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分
∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF
∴∠AOB ＝∠EOF ＝90
∴∠EOA ＝∠FOB ……4分
在△EOA 和△FOB 中，
∴BF AE =.……5分
∴∠OFB +∠FHG =90
∴AE ⊥BF ……6分
（3）BH 的最大值为25+……8分
随练1.1 在ABC ∆中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，BD 为斜边AC 上的中线，将ABD ∆绕点D 顺时针旋转α(0180α︒<<︒)得到EFD ∆，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，BE 与FC 相交于点H .
（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________;
（2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =__________;
（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系：____________________________.
【答案】 （1）BE FC =；（2）22
FC ；（3）222BF CE AC +=. 【解析】 （1）BE FC =；
（2）证明：如图，
∵AB BC =，90ABC ∠=︒，BD 为斜边中线，∴12
BD AD CD AC ===，BD AC ⊥ ∵EFD ∆是由ABD ∆旋转得到的，∴DE DF DB DC ===，90EDF ADB BDC ∠=∠=∠=︒
∴EDF BDF BDC BDF ∠+∠=∠+∠，即BDE FDC ∠=∠，∴BDE FDC ∆∆≌，∴BE FC =且12∠=∠
又∵34∠=∠，∴90FHE FDE ∠=∠=︒ ,即BE CF ⊥
连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG .∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点
又∵EB FC =，BE FC ⊥∴MG NG =，90MGN ∠=︒，∴MGN ∆为等腰直角三角形，∴2MN =. （3）222BF CE AC +=.
随练1.2 在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，4AB =，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A 重合，两边分别落在AB 、AC 上．将三角板绕点A 按逆时针旋转，设旋转角为α．
（1）如图①，当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段(菱形的边和对角线除外)．
（2）如图②，当60120α︒<<︒时，三角板的两边分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，你在(1)中得到的结论还成立吗?若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由．
（3）当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．
【答案】 见解析
【解析】 （1）BE CF =，AE AF =，CE DF =．写出两组即可．
（2）（1）中的结论仍然成立．如图，BE CF =的结论仍然成立．
证明如下：∵在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，
又由题意可知，60EAF ∠=︒，∴BAE CAF ∠=∠．
在△BAE 和△CAF 中，
∴△BAE ≌△CAF ．∴BE CF =．
（3）当060α︒<<︒时，三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF 的面积．
由题意可证△BAE ≌△CAF ．
∴四边形AECF 的面积就是△ABC 的面积．
∵4AB =，∴所求图形的面积为43
随练1.3如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
【答案】（1）DM=FM，DM⊥FM
（2）DM⊥FM，DM=FM
【解析】（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM，
证明：连接DF，NF，
∵四边形ABCD和CGEF是正方形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中点，
∴AM=EM，
在△MAD与△MEN中，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，
在△DCF与△NEF中，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM
（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，
证明如下：如图3，连接DF，NF，
连接DF，NF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵点E、B、C在同一条直线上，
∴AD∥CN，
∴∠ADN=∠MNE，
在△MAD与△MEN中，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，
∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，∴∠DCF=∠NEF，
在△DCF与△NEF中，
∴△MAD≌△MEN，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠CFD+∠EFD=90°，
∴∠NFE+∠EFD=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM ⊥FM ，DM=FM ．
随练 1.4 已知：在ABC △中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 在AB 上，连结DF 并延长到点E ,使BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，且ABE DBM ∠=∠．
（1）如图，当45ABC ∠=°时， 求证：2AE MD =；
（2）如图，当60ABC ∠=°时，则线段AE MD 、之间的数量关系为____________；
（3）在（2）的条件下，延长BM 到P ，使MP BM =，连接CP ，若727AB AE ==，，求tan EAB ∠的值．
【答案】 （1）见解析（2）2AE MD =（33 【解析】 该题考查的是四边形综合．
（1）如图，连结AD
又∵45ABC ∠=°
∴cos BD AB ABC =∠即2AB BD =
∴△ABE ∽△DBM
（2）与（1）类似可知△DBM ∽△ABE ，
又60ABC ∠=︒，
（3）如图2
连结AD 、EP ，
∵△ABE ∽△DBM
又∵BM MP =
∴△BEP 等边三角形
∴EM BP ⊥即90BMD ∠=︒
在Rt △AEB 中，27AE =7AB =， tan EAB ∠的值为3
随练 1.5 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且
60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，
分别在直线AB AC ，上移动时，BM NC MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式
_________；此时Q L
=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，
上，且DM DN ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________（用x L ，表示）
【答案】 见解析
【解析】 (Ⅰ)BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM NC MN +=．此时23
Q L =． (Ⅱ)猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC 至E ，使CE BM =，连结DE ．
∵BD CD =，且120BDC ∠=︒．
又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=︒．
在△MBD 与△ECD 中，BM CE MBD ECD BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△MBD ≌△ECD (SAS)．∴DM DE =，BDM CDE ∠=∠．
在△MDN 与△EDN 中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△MDN ≌△EDN (SAS)．
△AMN 的周长Q AM AN MN =++
而等边△ABC 的周长3L AB =
(Ⅲ)如图③，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN x =，
则
2
2
3
Q x L
=+（用x、L表示）．
随练1.6（1）正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图1，请直接猜想并写出AO与CD 之间的数量关系：；
（2）如图2，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，连接AO1，DC1，请猜想线段AO1与DC1的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则AE
DF=______．
【答案】（1）AO=2
CD．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，
∴AO=CO=2 CD，
故答案为AO=2 CD；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，
∴∠O1BC1=∠OBC=45°，OB=O1B，BC1=BC，
∴BC121，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC1∽△BAO1，
（3）在R t△EBF中，cos∠EBF=EB FB
在R t△ABD中，cos∠ABD=AD BD，
∵∠EBF=∠ABD=30°，
∵∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，
即∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△FBD，
故答案为
3
【解析】（1）根据正方形的性质得AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，由勾股定理得到AO与CD之间的数量关系；
（2）如图2根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，得到△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，求出AC=2AB BC=2BO，得到BD=2AB，因为△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，所以∠O1BC1=∠OBC=45°，OB=O1B，BC1=BC，BC1=2BO1，由∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，得到∠1=∠2，于是得到△BDC1∽△BAO1，求出结论；
（3）如图3在R t△ABD中，cos∠ABD=AB
BD，在R
t
△EBF中，cos∠EBF=
EB
FB因为∠EBF=∠
ABD=30°得到BE AD
BF BD
=
3
，再由∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，得到
∠EBA=∠FBD，△AEB∽△FBD，由相似的性质得到解．
解：（1）AO=2
CD．理由如下：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，
∴AO=CO=2 CD，
故答案为AO=2 CD；
（2）如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△BO1C1，
∴∠O1BC1=∠OBC=45°，OB=O1B，BC1=BC，
∴BC121，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC1∽△BAO1，
（3）如图3 在R t△EBF中，cos∠EBF=EB FB
在R t△ABD中，cos∠ABD=AD BD，
∵∠EBF=∠ABD=30°，
∵∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，即∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△FBD，
故答案为3
．
随练1.7如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF 相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是______．
【答案】2
【解析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧EF，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=1
2
∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，∴∠H=∠APF=45°，∴∠EGF=2∠H=90°，∵EF=4，GE=GF，
∴2，
∴EF的长9022
π•
2．
随练1.8已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；
（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．
【答案】（1）见解析；
（2）①∠CMD=135°②
2
π
【解析】（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°，
∴∠A=∠BGF=45°，
∴GF∥AC．
（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，
∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，
∵∠ACD=∠ECF，
∴∠ACE=∠CDF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C四点共圆，
∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．
②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．
∵AD=DB，CA=CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C四点共圆，
∴当α从90°变化到180°时，
点M 在以AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧CD ，
∵OA=OC ，CD=DA ，
∴DO ⊥AC ，
∴∠DOC=90°，
∴CD ∧的长=901180π=2
π． ∴当α从90°变化到180°时，点M 运动的路径长为2
π． 随练1.9 如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD ，OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．
（1）求证：DE ⊥AG ；
（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE ′F ′G ′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF ′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
【答案】 （1）如图1，延长ED 交AG 于点H ，
∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，
∴OA=OD ，OA ⊥OD ，
∵OG=OE ，
在△AOG 和△DOE 中，
∴△AOG ≌△DOE ，
∴∠AGO=∠DEO ，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE ⊥AG ；
（2）①α=30°；②α=315°．
【解析】 （1）如图1，延长ED 交AG 于点H ，
∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，
∴OA=OD ，OA ⊥OD ，
∵OG=OE ，
在△AOG 和△DOE 中，
∴△AOG ≌△DOE ，
∴∠AGO=∠DEO ，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE ⊥AG ；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=12OG=12
OG′， ∴在Rt △OAG′中，sin ∠AG′O=
'OA OG =12， ∴∠AG′O=30°，
∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG′，
∴OD ∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，
∴2
，
∵OG=2OD，∴2∴OF′=2，
∴2
+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
作业1如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD=DN．
（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AD=DN；（3）AD=DN，AD⊥DN
【解析】（1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，
∴△ADB≌△KDM，
∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，
∴AB∥KM，
∴∠KMC=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°，∵MN⊥BC，
∴∠MNC=90°，∠NMC=45°=∠KMC=∠C，
∴MN=NC，
在△ANC和△KNM中，
∴△ANC≌△KNM，
∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，
∴∠KNA=∠MNC=90°
∵AD=DK，
∴DN=AD=DK，
即AD=DN．
解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD=1
2
BM，DN=
1
2
BM，由此即可证明．
（2）如图2中，结论：AD=DN．
理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．
在△ADB和△KDM中，
∴△ADB≌△KDM，
∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，
∴AB∥KM，
∴∠KMN=∠B=45°，
∵∠NMC=∠NCM=∠ACB=45°
∴MN=NC，∠KMN=∠ACN=90°
在△ANC和△KNM中，
∴△ANC≌△KNM，
∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，
∴∠KNA=∠MNC=90°
∵AD=DK，
∴DN=AD=DK，
即AD=DN．
（3）如图3中，结论：AD=DN，AD⊥DN．
理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G．在△ADB和△KDM中，
∴△ADB≌△KDM，
∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，
∴AB∥KM，
∴∠KGC=∠BAC=90°，
∴∠ACN+∠NMG=180°，
∵∠KMN+∠NMG=180°，
∴∠ACN=∠NMK，
在△ANC和△KNM中，
∴△ANC≌△KNM，
∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，
∴∠KNA=∠MNC=90°
∵AD=DK，
∴DN=AD=DK，DN⊥AK，
即AD=DN．AD⊥DN．
作业2已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
【答案】（1）见解析（2）成立（3）见解析
【解析】本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF=90°，
在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG=1
2 FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG=1
2 FD，
∴CG=EG．
（1）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG；
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG．
证法二：延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
∵MF=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=1
2 MC，
∴EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG．
作业3在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．
（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？
答：____（填“成立”或“不成立”）
【答案】（1）见解析；（2）不成立；（3）成立
【解析】（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∵O为AB中点，
∴OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，
即MC2=AM2+BC2；
（2）还成立，
理由是：如图2，
过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∵OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，
即MC2=AM2+BC2；
（3）成立．
作业4在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．请直接写出AC1与BD1的数量关系和位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC1与BD1的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD1，设AC1=kBD1，请直接写出k 的值和AC12+（kDD1）2的值．
【答案】（1）AC1⊥BD1
（2）AC1=3
4
BD1，AC1⊥BD1，理由见解析
（3）AC12+（kDD1）2=36
【解析】（1）AC1=BD1，AC1⊥BD1；
理由：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，
在△AOC 1和△BOD 1中1111
AO OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，
∴△AOC 1≌△BOD 1（SAS ）；
∴AC 1=BD 1，
∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD 1=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC 1=90°，∴∠APB=90°，则AC 1⊥BD 1；
故AC 1 与BD 1的数量关系是：AC 1=BD 1；AC 1 与BD 1的位置关系是：AC 1⊥BD 1；
（2）AC 1=34
BD 1，AC 1⊥BD 1． 理由：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OC=OA=12AC ，OD=OB=12
BD ，AC ⊥BD ． ∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到，
∴O C 1=OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1．
∴O C 1=OA ，O D 1=OB ，∠AO C 1=∠BO D 1，
∴△AO C 1∽△BOD 1．
∴∠O AC 1=∠OB D 1．
又∵∠AOB=90°，
∴∠O AB+∠ABP+∠OB D 1=90°．
∴∠O AB+∠ABP+∠O AC 1=90°．
∴∠APB=90°．
∴AC 1⊥BD 1．
∵△AO C 1∽△BOD 1，
即AC 1=34
BD 1，AC 1⊥BD 1．
（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，
∴k=1
2
；
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OD1=OD，
而OD=OB，
∴OD1=OB=OD，
∴△BDD1为直角三角形，
在Rt△BDD1中，
BD12+DD12=BD2=144，
∴（2AC1）2+DD12=144，
∴AC12+（kDD1）2=36．
作业5在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD 上，∠EAF=30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________．
（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
【答案】解：（一）（1）：30 ，BE+DF=EF
（2）BE﹣DF=EF
（二）
3
【解析】解：（一）（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
∴∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，故答案为：30，BE+DF=EF；
（2）如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，
∵∠DAF+∠DAE=30°，
∴∠BAG+∠DAE=30°，
∵∠BAD=60°，
∴∠GAE=60°﹣30°=30°，
∴∠GAE=∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=FE，
又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，
∴BE﹣DF=EF，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF=EF；
（二）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°得到△A ′B ′E ′，则
AE=AE ′，∠EAE ′=60°，
∴△AEE ′是等边三角形，
又∵∠EAF=30°，
∴AN 平分∠EAF ，
∴AN ⊥EE ′，
∴直角三角形ANE 中，AN 3AE = ∵在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，
∴∠BAM=30°， ∴AM 3AB =，且∠BAE+∠EAM=30°， 又∵∠MAN+∠EAM=30°，
∴∠BAE=∠MAN ，
∴△BAE ∽△MAN ， ∴MN AM =BE AB ，即MN 31= ∴3． 作业6 探索绕公用顶点的相似多边形的旋转：
（1）如图1，已知：等边ABC ∆和ADE ∆，根据__________（指出三角形的全等或相似），可得到CE 与BD 的大小关系为：__________．
（2）如图2，正方形ABCD 和正方形AEFG ，求：FC
EB 的值；
（3）如图3，矩形ABCD 和矩形AEFG ，AB kBC =，AE kEF =，求：FC
EB 的值．
【答案】 （1）全等，相等；（223）21
k +．
【解析】 解：（1）如图1，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，
在AEC ∆和ADB ∆中，AE AD
CAE BAD
AC AB =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩，AEC ADB ∴∆≅∆，CE BD ∴=；
（2）如图2，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，
（3）连接FA 、CA ，如图3，
四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，AB kBC =，AE kEF =，
作业7 如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是（ ）
A ． 6
B ． 3
C ． 2
D ． 1.5
【答案】D
【解析】 取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．
∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，
∴CD=CG=12
AB=3，∠ACD=60°， ∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG ．
在△FCD 和△ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FCD ≌△ECG （SAS ），
∴DF=GE ．
当EG ∥BC 时，EG 最小，
∵点G 为AC 的中点，
∴此时EG=DF=12CD=32
． 作业8 已知等边△ABC 边长为2，放置在如图的水平桌面上，将△ABC 水平向右作无滑动翻滚，使△ABC 首次落回开始的位置，则等边△ABC 的中心O 经过的路径长为_________．
【答案】43
3
π．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，
∵CD=
3
2
BC=3，
∴OC=2
3
CD=
23
3
，
根据等边三角形的性质，∠BCD=1
2
∠ACB=
1
2
×60°=30°，
∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°﹣2×30°=120°，等边三角形翻滚3次翻滚一周，
∴点O旋转的角度为：120°×3=360°，
∴中心O经过的路径长是：2π•OC=2π×23
3
=
43
3
π，
故答案为：43
3
π．
作业9已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
①∠DAO的度数是；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．
【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；证明见解析
（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；图形见解析
【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，。