人教A版2019学年高中数学选修2-1优化练习：第二章 2.4 2.4.1 抛物线及其标准方程_含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]

1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝y

D ．无法确定

解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或 x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝1

2，所以所求抛物线标准方程为 y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 答案：C

2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5

4x 0， 则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4

D ．8

解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝5

4x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝5

4x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A

3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8x

D ．y 2＝16x

解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，

∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D

4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2

＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )

A ．x 2＝83

3y B ．x 2＝163

3y C ．x 2＝8y

D ．x 2＝16y

解析：抛物线的焦点⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝

b a x ， 即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为

|a ×p

2|a 2

＋b

2＝2，即

ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，

所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p

4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方 程为x 2＝16y .故选D. 答案：D

5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1

D.|BF |2＋1|AF |2＋1

解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC |

|AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，

得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.

答案：A

6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．

解析：依题意得，直线x ＝－p

2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p 2的距离等于半径4，于是有3＋p

2＝4，即p ＝2.

答案：2

7．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 2，0，

线段F A 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 4，1，

代入抛物线方程得1＝2p ×p

4，

解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

24，1，

故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝32

4. 答案：324

8．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________．

解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，

则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立．

化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.

当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]

9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．

解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直

线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1， ∴|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. ∴|AP |＝|PQ |.

故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．

∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p

2＝2.∴p ＝4.

∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .

10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，

水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，

若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)

解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－

2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝1

2， 故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，

则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，

因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.

[B 组 能力提升]

1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|

解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2， ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋| FP 3|. 答案：C