高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全

摘要：

一、前言

二、高中竞赛不等式公式简介

1.基本不等式

2.柯西不等式

3.排序不等式

4.切比雪夫不等式

5.赫尔德不等式

6.闵可夫斯基不等式

7.伯努利不等式

8.拉格朗日不等式

9.詹森不等式

10.其他不等式

三、高中竞赛不等式公式应用举例

1.基本不等式应用

2.柯西不等式应用

3.排序不等式应用

4.切比雪夫不等式应用

5.赫尔德不等式应用

6.闵可夫斯基不等式应用

7.伯努利不等式应用

8.拉格朗日不等式应用

9.詹森不等式应用

10.其他不等式应用

四、结论

正文：

一、前言

在高中数学竞赛中，不等式问题常常出现在各个章节中，解决不等式问题需要掌握一定的技巧和方法。为了更好地应对这类问题，我们整理了高中竞赛中常见的不等式公式大全，希望能为同学们提供帮助。

二、高中竞赛不等式公式简介

1.基本不等式

基本不等式（Fundamental Inequality）是最常见的不等式之一，形式为：(a^2 + b^2) / 2 >= ab。当且仅当a = b 时，等号成立。

2.柯西不等式

柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种特殊的平方和不等式，形式为：(a_1^2 + a_2^2 + ...+ a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ...+ b_n^2) >=

(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^2。当且仅当存在一个标量k 使得a_i = kb_i 时，等号成立。

3.排序不等式

排序不等式（Sorting Inequality）是一种关于排序的数学不等式，形式为：对于任意的实数a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1 + a_n) * n / 2 >= (a_2 +

a_(n-1)) * n / 2 >= ...>= (a_n + a_1) * n / 2。

4.切比雪夫不等式

切比雪夫不等式（Chebyshev"s Inequality）是一种概率论中的不等式，形式为：对于任意的实数k > 0，有P(|X - μ| >= k) <= 1 / k^2。其中X 是随机变量，μ是X 的期望。

5.赫尔德不等式

赫尔德不等式（Hlder"s Inequality）是一种特殊的柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，形式为：对于任意的实数p, q > 0，有

(a_1^p + a_2^p + ...+ a_n^p) * (b_1^q + b_2^q + ...+ b_n^q) >=

(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^(p+q)。当且仅当p = q 时，等号成立。

6.闵可夫斯基不等式

闵可夫斯基不等式（Minkowski"s Inequality）是一种平方和与算术平均数之间的不等式，形式为：对于任意的实数p > 0，有(a_1^p + a_2^p

+ ...+ a_n^p) >= (a_1 + a_2 + ...+ a_n)^p。当且仅当a_1 = a_2 = ...= a_n 时，等号成立。

7.伯努利不等式

伯努利不等式（Bernoulli"s Inequality）是一种关于幂级数的收敛性的不等式，形式为：对于任意的实数x > 0，有(1 + x)^(1/x) >= 2。当且仅当x = 1 时，等号成立。