高中竞赛不等式公式大全

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高三复习-高中4个基本不等式的公式

高中4个基本不等式的公式
高中4个基本不等式：√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

基本不等式两大技巧“1”的妙用。

题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。

如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（2）√(ab)≤(a+b)/2。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（3）a²+b²≥2ab。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（4）ab≤(a+b)²/4。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

（当且仅当a=b时，等号成立）。

高中重要不等式公式

高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。

绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。

下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。

1. |x| > a ，其中a为正实数。

解集为：x < -a 或 x > a。

这个不等式表示x与原点的距离大于a。

2. |x| < a ，其中a为正实数。

解集为：-a < x < a。

这个不等式表示x与原点的距离小于a。

3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。

解集为：-a ≤ x ≤ a。

这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。

4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。

解集为：x < a - b 或 x > a + b。

这个不等式表示x与点a的距离大于b。

5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b < x < a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于b。

6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。

（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。

熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。

二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。

下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。

1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。

这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。

2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。

高中数学不等式常用公式

高中数学不等式常用公式高中数学中的不等式可是个让人又爱又恨的家伙。

不等式在解决各种数学问题时那是相当重要，常用的公式更是我们解题的利器。

先来说说基本不等式，这可是不等式家族中的“明星成员”。

对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当 a = b 时，等号成立。

这就好比我们分糖果，要想让每个人得到的糖果差不多，就得按照这个规则来。

想象一下，这就像是两个人走路，他们之间的距离变化是有范围的。

我记得之前有一次给学生们讲题，有一道关于不等式的题目难倒了一大片。

题目是这样的：已知$x^2 + y^2 = 1$，求$3x + 4y$的最大值。

这道题就用到了我们的不等式知识。

我引导着学生们思考，我们可以设$x = \sin\alpha$，$y = \cos\alpha$，然后$3x + 4y = 3\sin\alpha + 4\cos\alpha$。

这时候，我们就可以利用三角函数的辅助角公式，将其变形为$5\sin(\alpha + \varphi)$，其中$\varphi$是一个特定的角度。

而正弦函数的值域是$[-1, 1]$，所以$3x + 4y$的最大值就是 5 啦。

当时看着学生们恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。

再来说说柯西不等式，$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$。

这个不等式就像是一个魔法公式，在很多复杂的问题中都能发挥大作用。

在解决不等式问题时，我们要灵活运用这些公式，就像手里拿着不同的工具，根据不同的情况选择最合适的那一个。

比如，有时候需要通过变形、配凑来使用公式，有时候要结合函数的性质来分析。

高中数学竞赛辅导讲义第九讲不等式

第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b Ûa-b>0；（2）a>b, b>c Þa>c ；（3）a>b Þa+c>b+c ；（4）a>b, c>0Þac>bc ；（5）a>b, c<0Þac<bc; （6）a>b>0, c>d>0Þac>bd; （7）a>b>0, n ∈N +Þa n >b n ; （8）a>b>0, n ∈N +Þn n b a >; （9）a>0, |x|<a Û-a<x<a, |x|>a Ûx>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0Ûa 2+b 2≥2ab; （12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ³ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a £，由性质（7）得n n n n b a )()(£，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。

高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)

（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证：作变换令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。

山东省实验中学高中数学竞赛辅导——不等式部分

重要不等式应用汇总1．排序不等式：设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 2．均值不等式：当+∈R a i （n i ,2,1=）时，有：na a a na a a a a a a a a nn nnn n22221212121111+++≤+++≤≤+++3．柯西不等式：设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni in i i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ. 从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni iib a b a（2）设i i b a ,同号，且,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni ii b a a b a4．琴生（Jensen ）不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．幂均值不等式：设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=6. 切比雪夫不等式：设两个实数组n a a a ≤≤≤...21，n b b b ≤≤≤...21则)....(1)...(12211111121n n ni in i i n n n b a b a b a nnbna b a b a b a n+++≤⋅≤+++∑∑==- （该不等式的证明只用排序不等式及∑∑==⋅n i ini ib a 11的表达式就可得证）7．一个基础不等式：y x y x )1(1αααα-+≤- 其中]1,0[,0,∈≥αy x ,若y x ,中有一个为零，则结论成立8．赫尔德（Holder ）不等式：设 ).,...2,1(0,n k b a k k =≥ 1,≥q p 且111=+qp ，则 qnk q kpnk p kknk k b a ba 11111)()(∑∑∑===⋅≤（等号成立当且仅当q k p k tb a =）*9.与对数函数有关的一个不等式：x x xx<+<+)1ln(1， .0>x （该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）*10．三角函数有关的不等式：x x x tan sin << )2,0(π∈x*11．绝对值不等式: 设C a a a b a n ∈ ,,,,21，则有：│|a |-|b |│≤│a +b │≤│a │+│b │；│n a a a +++ 21│≤n a a a +++ 21*12．舒尔（Schur ）不等式：设+∈R z y x ,,，则0))(())(())((≥--+--+--y z x z z z y x y y z x y x x *13. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式：如果n x x x ,......,,21与n y y y ,......,,21都是非负实数1≥p ，那么pni p ipni pippi ni i y x y x 111111)()())((∑∑∑===+≤+14. 贝努利不等式（1）设2,,2,1,1≥=->n n i x i 且同号，则∑∏==+>+ni in i ixx 111)1(（2）设1->x ，则（ⅰ）当10<<α 时，有x x αα+≤+1)1(；（ⅱ）当1>α或0<α 时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全
高中数学竞赛中涉及到不等式的公式大全包括但不限于以下内容：
1. 平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数a1,
a2, ..., an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。

这个
公式在解决求最值问题时非常常用。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对于实数a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +
a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。

这个不等
式在向量和内积的相关问题中经常被应用。

3. 阿贝尔不等式，对于实数序列a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，若a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an且b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn，则有a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。

这个不等式在求和问题中有着重要的应用。

4. 杨辉不等式，对于非负实数a, b, c，有(a+b)^n ≥ a^n + b^n，其中n为自然数。

这个不等式在代数不等式证明中经常被使用。

5. 三角不等式，对于任意实数a, b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

这个不等式在解析几何和向量的运算中常常被用到。

以上是高中数学竞赛中常见的不等式公式，当然还有其他一些不等式公式和定理，但这些是比较基础和常见的。

希望这些内容能够对你有所帮助。

高中不等式公式大全及范围

高中不等式公式大全及范围
高中不等式的公式和范围较多，以下是一些常见的不等式公式和范围：1. 一元二次不等式的解：一般地，用不等式的基本性质将一个一元二
次不等式化成形如ax^2+bx+c>0(a>0)或ax^2+bx+c<0(a<0)的形式，即
求出二次函数图像的交点，然后根据二次函数的开口方向确定不等式
的解集。

2. 均值不等式：对于任意实数a、b，都有(a+b)/2≥√ab(当且仅当
a=b时取“=”)，即当且仅当a=b时，等号成立。

3. 基本不等式：一元二次不等式的解集可以转化为相应的一元二次方
程的根的分布问题。

4. 一元二次不等式有唯一解时，其对应的二次函数的图像与x轴的交
点就是解集中的唯一解。

5. 含绝对值的不等式有四种解法：去绝对值号转化为不含绝对值的不
等式求解；零点分区间法；数轴标根法；三角换元法。

6. 大于号小与号的证明即反证法在数学中的广泛应用，比如柯西不等式、排序不等式、切线不等式等都是反证法的成功应用。

至于不等式的范围，一般而言，一元一次不等式的解集为数轴上的点
表示的范围；一元二次不等式的解集为对应的一元二次方程的实数根
的分布范围；对于多元不等式，应结合数轴标根法、数轴穿头法、数
轴穿心法等灵活求解不等式的范围。

以上内容仅供参考，建议到相关网站查询或请教他人。

高中数学《不等式》常用公式

高中数学《不等式》常用公式1.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或3.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.4.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.5.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.6.指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩。

4个不等式的公式高中连一起的

4个不等式的公式高中连一起的题目：4个不等式的公式高中连一起的一、介绍在高中数学学习中，不等式是一个重要的概念，它在很多数学问题中都有着重要的应用。

而在这个主题中，我们将探讨四个不等式的公式如何在高中数学中进行连续探讨和应用。

二、四个不等式的公式1. 第一个不等式的公式：a > b2. 第二个不等式的公式：a < b3. 第三个不等式的公式：a ≥ b4. 第四个不等式的公式：a ≤ b这四个不等式的公式是我们在学习数学中经常会接触到的，并且它们有着各自独特的性质和应用。

接下来我们将分别对这四个不等式的公式进行深入探讨。

三、不等式的性质和应用1. 第一个不等式的公式：a > b当a大于b时，我们称a大于b。

在实际应用中，这种不等式经常用于描述大小关系，比如两个数的比较大小、物体的大小等。

在代数中，这种不等式也广泛运用于方程组求解和不等关系的求解中。

2. 第二个不等式的公式：a < b当a小于b时，我们称a小于b。

同样，这种不等式也在实际问题中有着广泛的应用，比如在数轴上表示不等关系、方程组求解中的代入关系等。

3. 第三个不等式的公式：a ≥ b当a大于或等于b时，我们称a大于或等于b。

这种不等式用于描述不严格的大小关系，例如在实际测量或者数量估算中经常会使用到。

4. 第四个不等式的公式：a ≤ b当a小于或等于b时，我们称a小于或等于b。

同样，这种不等式也在实际问题中有着重要的应用，比如在统计学中对数据的大小关系判断等。

四、总结与展望在本文中，我们针对四个不等式的公式，分别进行了相关性质和应用的深入探讨。

通过学习和应用不等式的公式，我们可以更好地理解和解决实际生活和数学问题。

这也为我们今后更深入地学习数学知识和应用提供了重要的基础。

在未来，我们可以进一步探讨不等式的推广和应用，并结合更多实际问题进行综合性探讨，以期更好地发挥数学知识在现实生活中的作用。

个人观点：不等式在数学中具有重要的地位，它不仅在代数、几何等数学学科中有广泛的应用，同时也在现实生活和工程技术中有着重要的地位。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全【最新版】目录1.竞赛不等式的概念与意义2.高中竞赛不等式的分类3.常用的高中竞赛不等式公式4.竞赛不等式公式的应用案例5.如何灵活运用竞赛不等式公式正文一、竞赛不等式的概念与意义在高中数学竞赛中，不等式问题是一个重要的组成部分，它涉及到解决实际问题和理论研究的方方面面。

竞赛不等式是指在高中数学竞赛中出现的具有一定难度的不等式问题，通常需要运用一些特殊的方法和技巧来解决。

掌握高中竞赛不等式对于提高学生解决实际问题的能力，培养数学思维和技巧具有重要意义。

二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式可以分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式。

2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 2 的不等式。

3.多元不等式：涉及多个未知数的不等式。

4.含有绝对值的不等式：包含绝对值符号的不等式。

5.其他特殊类型的不等式：如对数不等式、指数不等式等。

三、常用的高中竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，有一些常用的公式和方法可以帮助我们快速求解。

以下是一些常用的高中竞赛不等式公式：1.一元一次不等式的解法：同号得正，异号得负，移项，分式讨论等。

2.一元二次不等式的解法：判别式法，韦达定理，二次函数图像法等。

3.含有绝对值的不等式的解法：分段讨论，绝对值不等式的性质等。

4.多元不等式的解法：消元法，代入法，行列式法等。

四、竞赛不等式公式的应用案例以下是一些高中竞赛不等式公式在实际问题中的应用案例：1.利用一元一次不等式的解法求解实际问题中的不等式。

2.通过一元二次不等式的解法求解复杂的不等式问题。

3.运用含有绝对值的不等式的解法解决实际问题中的不等式。

4.多元不等式在解决组合优化问题中的应用。

五、如何灵活运用竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，要注意以下几点：1.仔细审题，分析问题的实际背景和需求。

2.根据问题的特点，选择合适的不等式公式和方法。

高中竞赛之重要不等式

高中竞赛之重要不等式1 •柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1对任意实数组a i,b（i 1,2丄，n）恒有不等式“积和方不大于方和积”2 0等式当且仅当时成立。

本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法证明1:右=牙翘十£融；十卑i-l 1 卄na：b2 2 a i b i a j b ji 1 ■- - Vj --当且仅当时，等式成立。

柯西不等式的两个推论：i •设同号，则当且仅当=I - I时取等号。

ii.若，且出总疋。

二12…同，则€ +三+…+吐王⑷+忑+…+心)：71 % 人卄+必亠…+儿(分母作和)由柯西不等式可以证下面的不等式。

3次可以推广为4、5等n次。

(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)(c13+c23+c33) (a1b1c1 +a2b2c2 +a3b3c3)3333333 333 3 证明：对(a1 +a2 +a3 )(b1 +b2 +b3 )禾廿(c1 +c2 +c3 )(a1b1c1+a2b2c2 +a3b3c3)分别用柯西不等式，可得到两个不等式，将这两个不等式相乘，再用一次柯西不等式即可证明原不等式•柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设门，心，…，心；〉，：，•••，'是两组正数，k 0且k 1，则J：】丘i * 】［丫的+骈比近爲爭+(2＞爭(-「：；•-)u 1 x 丄 R 1［兀@+別］"0＞爭+(2＞爭当且仅当邑电L 乞时等号成立。

bi b2 b n闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当:■ 一、■?时得平面上的三角形不等式：血亍+（也十亠）'盂屈+拧+擔+冒/8biOAWOE +BA右图给出了对上式的一个直观理解-b~fci若记一-- ，'"，则上式为a^b < a b多个根式可转化为一个根式赫尔德不等式已知（二■-"；）是」个正实数，则僅⑴+两花/ +…兰（巧+勺+…+兔厂（屮鸟+…+0）0」佝 a ? L a m )2 ⑴ b 2 L b m )2 特例:3|2 bla 22b 22 L22b m )(G C L C m )q 2 bj q 2a 22b 22 q 2 L^等工Jo〔切比雪夫不等式〕F 面给出一个J■-时的契比雪夫不等式的直观理解。

高中数学竞赛holder不等式

高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。

它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。

2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。

霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。

霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。

3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。

4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。

当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。

5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。

根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。

高中竞赛常用的不等式

高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。

附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。

2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。

满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。

调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和）（逆序和）。

其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。

高中不等式公式总结

高中不等式公式总结高中数学中的不等式可是个让人又爱又恨的家伙！今天咱们就来好好总结一下这些不等式公式。

首先，咱们得聊聊基本不等式，那就是对于任意正实数 a 和 b ，有$a + b \geq 2\sqrt{ab}$。

这个公式就像是一个神奇的魔法，能在很多问题中大展身手。

比如说，要建一个矩形的花园，已知周长是固定的，想让面积最大，这时候基本不等式就能派上用场啦。

这就好比我们走路，从 A 点到 B 点，不管是正着走还是绕着走，距离总是在一定范围内的。

还有柯西不等式，$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$ 。

这就好像是两组士兵排队，它们的战斗力相乘总是大于等于某种组合方式下的战斗力平方。

我记得之前有一次给学生们讲不等式的习题课。

有一道题是这样的：已知$x > 0$，$y > 0$，且$x + y = 1$，求$\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$的最小值。

同学们一开始都有点懵，不知道从哪里下手。

我就引导他们，咱们可以利用基本不等式来解决呀。

把$\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$乘以$x + y$，得到$(\frac{1}{x} + \frac{4}{y})(x + y) = 1 + 4 +\frac{y}{x} + \frac{4x}{y}$，然后再利用基本不等式$\frac{y}{x} +\frac{4x}{y} \geq 2\sqrt{4} = 4$，所以$\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq 5+ 4 = 9$，当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{4x}{y}$，且$x + y = 1$时，等号成立。

高中数学《不等式》常用公式-不等式极值公式

高中数学《不等式》常用公式-不等式极值公式不等式极值公式在高中数学中是非常重要的一部分内容，它们可以帮助我们求解不等式的最大值或最小值。

本文将为您介绍几个常用的不等式极值公式，并通过实例说明其应用方法。

1. 一次不等式极值公式对于形如ax + b > 0 (或< 0)的一次不等式，其中a和b为实数，我们可以利用以下公式来求解不等式的最大值或最小值：若a > 0，不等式的最小值为-x = -b/a；若a < 0，不等式的最大值为-x = -b/a。

例如，对于不等式2x + 3 > 0，由公式可得最小值为-x = -3/2。

2. 平方不等式极值公式对于形如(ax + b)² > 0 (或< 0)的平方不等式，我们可以利用以下公式来求解不等式的最大值或最小值：若a > 0，不等式的最小值为x ∈ (-∞, -b/a)∪(-b/a, +∞)；若a < 0，不等式无最大值。

例如，对于不等式(2x + 3)² > 0，由公式可得最小值为x ∈ (-∞, -3/2)∪(-3/2, +∞)。

3. 二次不等式极值公式对于形如ax² + bx + c > 0 (或< 0)的二次不等式，其中a、b、c为实数且a ≠ 0，我们可以利用以下公式来求解不等式的最大值或最小值：若a > 0，不等式的最小值为x ∈ (-∞, x₁)∪(x₂, +∞)；若a < 0，不等式的最大值为x ∈ (x₁, x₂)。

其中，x₁和x₂分别是二次函数ax² + bx + c = 0的两个实根。

例如，对于不等式2x² + 3x - 2 > 0，我们可以求得二次函数2x² + 3x - 2 = 0的实根为x₁ = -2和x₂ = 1/2。

根据公式可得该不等式的最小值为x ∈ (-∞, -2)∪(1/2, +∞)。

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