初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线
一.命题的证明及应用
在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．
命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：
∵∠1＝∠，∠２＝∠，
∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+∠A．
点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.
命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．
证明：如图２：
∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－（∠DBE+∠DCF）
=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）
=180°－（∠A+180°）
=180°－∠A－90°
=90°－∠A；
点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.
命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．
证明：如图3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×代入②得：
∠E=∠A．
点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.
命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.
证明：如图3：
∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF
∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分线．
点评利用角平分线的性质和判定能够证明．
应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．
例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．
①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.
②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？
解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°
②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都
是锐角，则该三角形是锐角三角形．
点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．
解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．
可以直接得：∠=×96°=3°．
点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．
例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，
则∠CAP=_______________．
解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠
BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠
BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．
点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的
外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．
解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠
ACB －∠ACB=90°－×90°=45°
点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．
二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1
()2
BE AC AB =
- 证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，
所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE=
1
2
BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。

因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，
∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，
所以BE=
12FC=12（AC －AF ）=1
2（AC －AB ）， 所以1
()2
BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

2
1F E
D
C
B
A
证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中
所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。

因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中 所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。

因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ． 因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ， 所以PE=PF 。

同理可证PF=PG 。

所以PG=PE ，
又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ， 所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1=∠2。

三.角平分线------应用
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、由角平分线的性质联想两线段相等
例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．
证明 连结DB ，DC ．
∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF ． ∵D 在BC 的垂直平分线上，∴BD=DC ．
又∠BED=∠CFD=90°， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ． 二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形 例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且AD=DC
求证：∠A+∠C=180°． 证明 延长BA 至F ，使BF=BC ．由BD 平分∠ABC 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，
∴∠C=∠F ，DF=CD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．
三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形
例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，
G
2
1
P
F E C B
A E
M D F C B
A 图1
F
D C B A 图2
A D
B C
E 图1-1
求证：BD+CE=DE ．
证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠DBF=∠DFB
∴BD=FD ，同理CE=FE ．
∴BD+CE=DF+FE=DE ．
四、实际生活中的应用
例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？
解析：分别作△ABC 两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．
．
五.角平分线携“截长补短”显精彩
角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
eg1 . 如图1-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD 上截取CF =BC ，如图1-2 在△FCE 与△BCE 中，
∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. 又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，
∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .
eg2. 已知，如图2-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥
BC 于点D ，
AB +BC =2BD .
求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图2-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD
E F
C
B D A 图3
图4
A D
B C
E
F 1
2
34图1-2
A B C D P 1
2N
图2-1 P 12
N
A B
C
D
E
图3-2
2-2
又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°
eg3.已知：如图3-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .
证明：方法一（补短法） 延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图3-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，
在△ABD 与△AED 中,
∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .
方法二（截长法） 在AB 上截取AF =AC ，如图3-3 在△AFD 与△ACD 中,
∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .
上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

让掌握学生掌握好“截长补短法”
对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

如图1所示，在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2。

求证：AB=AC ＋CD 。

证法一：截取法。

就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一段等于加法运算的另一条线段。

如图2所示，在AB 上截取AE=AC ，连结DE 。

在△AED 和△ACD 中 所以△AED ≌△ACD ，
所以ED=CD ，∠3=∠C 。

因为∠3=∠B ＋∠4，∠C=2∠B ，
所以∠B=∠4， 所以BE=DE 。

所以AB=AE ＋BE=AC ＋DE=AC ＋CD 。

证法二、补短法。

就是在较短的一条线段的基础上通过延长在截取的方
法将求和的两条线段连结在一起。

本种方法是延长AC ，再在延长线上截取CF=CD 。

如图3所示，延长AC 到点F ，使CF=CD ，连结DF 。

因为CF=CD ，
所以∠3=∠F 。

因为∠ACB=∠3＋∠F ，
所以∠ACB=2∠F 。

又因为∠ACB=2∠B ，
所以∠B=∠F 。

在△ABD 和△AFD 中 所以△ABD ≌△AFD ， 所以AB=AF 。

D
C B A 12
图3-1 E D
C B A 12图3-2 F D
C B A 12
图3-3
43
2
1E D C
B A
图2 3
21F D C B A 图3
因为AF=AC ＋CF=AC ＋CD ， 所以AB= AC ＋CD 。

第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC ，再在延长线上截取CM=AC 。

证明：延长DC ，在DC 的延长线上截取CM=AC ，连结AM 。

因为因为CM=CA ， 所以∠3=∠M 。

因为∠ACB=∠3＋∠M ， 所以∠ACB=2∠M=2∠3。

又因为∠ACB=2∠B ，
所以∠B=∠M=∠3，
所以AB=AM 。

因为∠4=∠B ＋∠1，∠DAM=∠2＋∠3，∠1=∠2 所以∠4=∠DAM ，
所以AM=DM=DC ＋CM=DC ＋AC ， 所以AB=DC ＋AC 。

练习：如图5所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。

求证：BE －AC=AE 。

提示：可以将减法运算转化为加法运算，然后利用“截长”或者“补短”法解
决问题。

四.角平分线中考真题
角平分线的性质与应用 一、选择题
1、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）
A.PA PB =
B.PO 平分APB ∠
C.OA OB =
D.AB 垂直平分OP
【解析】选D.由OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，可得PA PB =，由HL 可得Rt △AOP ≌Rt △BO P ， 所以可得PO 平分APB ∠，OA OB =.
2、(2009·牡丹江中考)尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、
D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1
2CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，
由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ）
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS
O
D
P
C
A B 4321M D C B A 图4 图3
F
E D
C
B
A 图5
【解析】选D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP, 所以OCP ODP △≌△，因此依据为SSS ；
3、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
（Ａ）三条中线的交点
（Ｂ）三条高的交点 （Ｃ）三条边的垂直平分线的交点
（Ｄ）三条角平分线的交点
答案：D
4、（2007·义乌中考）如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．
已知PE=3，则点P 到AB 的距离是（ ）.
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【解析】选A.由角平分线的性质可得. 二、填空题
5、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC 中，∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是_______厘米。

【解析】过点D 作DE 垂直于AB 于E,由勾股定理得68102222=-=-=BC BD CD ,由角平分线性质得
6==CD DE
答案：6.
6、（2010·珠海中考）如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_____cm.
【解析】因为，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，有BD 为∠ABC 的角平分线，
所以P 到BC 的距离等于PE 的长等于4. 答案：4
7、（2008·肇庆中考）如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） . 答案：PC =PD （答案不唯一） 三、解答题
8、（2009·怀化中考）如图，P 是∠BAC 内的一点，PE AB PF AC ⊥⊥，，垂足分别为点E F ，，AF AE =．
求证：（1）PF PE =；
（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．
【证明】（1）如图，连结AP ，,,AC PF AB PE ⊥⊥ ∴∠AEP =∠AFP =
90，
又AE =AF ，AP =AP ，
∴Rt △AEP ≌Rt △AFP ，∴PE =PF ．
（2）∵Rt △AEP ≌Rt △AFP ，∴∠EAP =∠F AP ， ∴AP 是∠BAC 的角平分线， 故点P 在∠BAC 的角平分线上
9、(2008·青岛中考)如图，AB AC ，表示两条相交的公路，现要在BAC ∠的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1 000米．
（1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置P ． 【解析】（1）（1）1 000米=100 000厘米， 100 000÷50 000=2（厘米）； (2)
10、（2008·衢州中考）如图，AB ∥CD
(1)用直尺和圆规作C ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ，连结AF 。

要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。

【解析】(1)作图略；
(2)取点F 和画AF 正确(如图)； 添加的条件可以是：F 是CE 的中点； AF ⊥CE ；∠CAF=∠EAF 等。

(选一个即可) ∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C
五.最后----角平分线、垂直平分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：
AC
AB
DC BD =。

分析：要证
AC
AB
DC BD =
，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式AC
AB
DC BD =
中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明
AC
AB
DC BD =
就可以转化为证AE ＝AC 。

证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13
221⇒∠E ＝∠3⇒AE ＝AC CE ∥AD ⇒
AE
AB
DC BD =
∴AC
AB
DC BD =
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ） ①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。

答案：
9
35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB ＝ 。

2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。

3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。

4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。

5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。

二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ） A 、800 B 、1000 C 、1200 D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ）
A 、8 cm 、8 cm 、14cm
B 、12 cm 、12 cm 、6cm
C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm
D 、以上答案都不对
选择第4题图
E F D C B
A
4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，CE 是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定
三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D 。

求证：MA ＝MD 。

2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。

3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。

4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。

参考答案
一、填空题：
1、380；
2、240；
3、4；
4、14；
5、680
二、选择题：CBCDB
三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26，∠B ＝∠DAB ＝22.50
∴∠ADE ＝450，AE ＝
22AD ＝2622⨯＝6 又∵∠C ＝600
∴EC ＝3236
3==AE
4、证△ACD ≌△CBF。