高中数学韦达定理公式

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一元三次方程韦达定理及其应用

一元三次方程韦达定理及其应用刘海涛１ꎬ２(１.安徽省芜湖市第一中学ꎬ安徽芜湖２４１０００ꎻ２.新青年数学教师工作室ꎬ安徽芜湖２４１０００)摘㊀要:文章介绍了一元三次方程的韦达定理及其推导过程ꎬ并给出其在不同类型问题中的应用方法ꎬ以体现一元三次方程的重要性ꎬ最后给出笔者对于强基备考教学的思考.关键词:韦达定理ꎻ强基备考ꎻＳＯＬＯ分类理论中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－０００２－０４收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:刘海涛(１９８８－)ꎬ男ꎬ安徽省滁州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:安徽省芜湖市２０２２年度教育科学研究课题基于ＳＯＬＯ理论的发展学生数学核心素养的实践研究 (项目编号:ＪＫ２２０１９)㊀㊀在教学中笔者发现ꎬ在高中数学联赛或一些高校的强基考试中ꎬ经常会出现对一元三次方程的韦达定理的考查ꎬ甚至在一些省㊁市的高考模拟卷中也偶有考查.但是学生对此知识点知之甚少(该定理不属于高中教材内容)ꎬ少部分学生虽知道该定理却不会应用ꎬ导致普遍对涉及该定理的问题望而生畏㊁望而却步ꎬ从而被动放弃ꎬ实在可惜.笔者通过梳理近些年的相关考题ꎬ在介绍一元三次方程的韦达定理的基础上ꎬ从该定理在不同问题上的应用予以分类ꎬ整理成文ꎬ以供读者学习㊁交流之用ꎬ以期抛砖引玉[１].１定理的介绍若关于ｘ的方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０(ａʂ０)有三个根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬ则三根满足:ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝－ｂａꎬｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１＝ｃａꎬｘ１ｘ２ｘ３＝－ｄａ.证明㊀由ａ(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)(ｘ－ｘ３)＝ａ[ｘ３－(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３)ｘ２＋(ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１)ｘ－ｘ１ｘ２ｘ３]ꎬ得－ａ(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３)＝ｂꎬａ(ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１)＝ｃꎬ－ａｘ１ｘ２ｘ３＝ｄꎬ化简得证.说明㊀该定理是在复数域内ꎬ即三个根(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)可为实数也可为虚数.２定理的应用２.１在三次方程中的直接应用例１㊀设ａꎬｂꎬｃ为方程ｘ３－３ｘ２－２ｘ＋１＝０的三个实根ꎬ则１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝.解析㊀由韦达定理得ａ＋ｂ＋ｃ＝３ꎬａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝－２ꎬａｂｃ＝－１ꎬ则１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝ａ４ｂ４＋ｂ４ｃ４＋ｃ４ａ４ａ４ｂ４ｃ４＝ａ４ｂ４＋ｂ４ｃ４＋ｃ４ａ４＝(ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２)２－２(ａ４ｂ２ｃ２＋ａ２ｂ４ｃ２＋ａ２ｂ２ｃ４)＝[(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)２－２ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)]２－２ａ２ｂ２ｃ２[(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)]＝７４.所以１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝７４.评注㊀该题为２０２２年清华大学ＴＡＣＡ测试题ꎬ就是一元三次方程韦达定理的直接应用ꎬ如果考生熟悉定理ꎬ只要能够对目标式１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４进行合理配凑ꎬ即可轻松解题.２.２在函数问题中的应用２.２.１求函数的解析式例２㊀设αꎬβꎬγ为方程ｘ３－ｘ＋１＝０的三个实根ꎬ求一个三次项系数为１的三次函数ｆ(ｘ)ꎬ使方程ｆ(ｘ)＝０的三根分别为１＋α２ꎬ１＋β２ꎬ１＋γ２.解析㊀由韦达定理ꎬ得α＋β＋γ＝０ꎬαβ＋βγ＋γα＝－１ꎬαβγ＝－１ꎬ则α２＋β２＋γ２＝２ꎬ(αβ)２＋(βγ)２＋(γα)２＝１.不妨设ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃꎬ则ａ＝－[(１＋α２)＋(１＋β２)＋(１＋γ２)]＝－５ꎬｂ＝(１＋α２)(１＋β２)＋(１＋β２)(１＋γ２)＋(１＋γ２)(１＋α２)＝８ꎬｃ＝－(１＋α２)(１＋β２)(１＋γ２)＝－５.故ｆ(ｘ)＝ｘ３－５ｘ２＋８ｘ－５.评注㊀该题为２０２１年天津大学强基考题ꎬ该题实为考查一元三次方程韦达定理的正向㊁逆向使用.２.２.２研究三次函数零点的关系例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－３)２ꎬ若存在ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝ｆ(ｃ)ꎬａ<ｂ<ｃꎬ则(㊀㊀).Ａ.１<ａ<２㊀㊀㊀Ｂ.ａ＋ｂ＋ｃ＝６Ｃ.ａ＋ｂ>２Ｄ.ａｂｃɪ(０ꎬ４)解析㊀求导得ｆᶄ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－３).易知ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１)和(３ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(１ꎬ３)上单调递减ꎬ极小值ｆ(３)＝０ꎬ极大值ｆ(１)＝４.㊀设ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝ｆ(ｃ)＝ｋꎬ易知ｋɪ(０ꎬ４)ꎬａɪ(０ꎬ１)ꎬｂɪ(１ꎬ３)ꎬ不难判断出函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ３)上属于极值点左移ꎬ有ａ＋ｂ>２.由ｆ(ｘ)＝ｋ得方程ｘ３－６ｘ２＋９ｘ－ｋ＝０ꎬ其中ａꎬｂ.ｃ为该方程三个根.由韦达定理得ａ＋ｂ＋ｃ＝６ꎬａｂｃ＝ｋɪ(０ꎬ４).故选ＢＣＤ.评注㊀该题为２０２３年深圳市一模考题的１１题ꎬ网上有深圳市老师反映该题得分率较低ꎬ多数学生不知道如何判断ＢꎬＤ两选项的正确与否ꎬ少部分学生答对也是靠对函数图象的直观性做出的猜测.事实上ꎬ若考生考前了解过一元三次方程的韦达定理ꎬ则可较为快速㊁准确地解出该题.２.２.３求函数的最小值例４㊀实数ａꎬｂ使得方程ｘ３－ａｘ２＋ｂｘ－ａ＝０有三个正实根ꎬ求２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１的最小值.解析㊀设方程ｘ３－ａｘ２＋ｂｘ－ａ＝０的三个正实根分别为αꎬβꎬγꎬ则α＋β＋γ＝αβγ＝ａꎬαβ＋βγ＋γα＝ｂ.由三元均值不等式ꎬ得１３(α＋β＋γ)ȡ３αβγ.则ａ３ȡ３ａꎬ即ａȡ３３.由(α＋β＋γ)２ȡ３(αβ＋βγ＋γα)ꎬ得ａ２ȡ３ｂ.于是２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１＝ａ(２ａ２－３ｂ)＋３ａｂ＋１ȡａａ２＋３ａａ２/３＋１＝３ａȡ９３ꎬ当且仅当ａ＝３３ｂ＝９{时ꎬ即方程三根均为３时等号成立.故２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１的最小值为９３.评注㊀该题为２０２０年第十届中国东南地区数学奥林匹克考试第１天的第１题.作为一项重大竞赛考题ꎬ该题的难度偏小ꎬ主要考查一元三次方程的韦达定理和两个三元不等式ꎬ是一个可以轻松拿分的数学竞赛考题.２.３在三角函数求值中的应用例５㊀求下列三式的值:(１)ｃｏｓ４０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓʎ１６０ʎꎻ(２)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ ｃｏｓ４０ʎꎻ(３)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ.解析㊀观察三式的结构不难联想到一元三次方程韦达定理ꎬ故考虑构造一元三次方程ꎬ使ｃｏｓ４０ʎꎬｃｏｓ８０ʎꎬｃｏｓ１６０ʎ为该方程的三根ꎬ又注意到ｃｏｓ(３ˑ４０ʎ)＝ｃｏｓ(３ˑ８０ʎ)＝ｃｏｓ(３ˑ１６０ʎ)＝－１２ꎬ结合三倍角的余弦公式ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ３θ－３ｃｏｓθꎬ得到方程４ｘ３－３ｘ＋１２＝０的三根分别为ｃｏｓ４０ʎꎬｃｏｓ８０ʎꎬｃｏｓ１６０ʎ.于是得到(１)ｃｏｓ４０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ＝０ꎻ(２)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ ｃｏｓ４０ʎ＝－３４ꎻ(３)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＝－１８.评注㊀该题为华东师范大学出版社出版的«数学奥林匹克小丛书»上的一道题ꎬ解答该题的关键在于数系一元三次方程的韦达定理的三式结构特征ꎬ以及三倍角余弦公式.２.４在数论问题中的应用例６㊀已知ａꎬｂꎬｃɪＺꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ求证:２(ａ４＋ｂ４＋ｃ４)是一个完全平方数.证明㊀构造方程ｘ３＋ｍｘ２＋ｎｘ＋ｋ＝０(ｍꎬｎꎬｋɪＺ)ꎬ其中ａꎬｂꎬｃ是该方程的三个整数根ꎬ由韦达定理得ｍ＝０ꎬｎ＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａꎬｋ＝－ａｂｃ.由方程得ａ３＝－(ｎａ＋ｋ)ꎬｂ３＝－(ｎｂ＋ｋ)ꎬｃ３＝－(ｎｃ＋ｋ).所以２(ａ４＋ｂ４＋ｃ４)＝－２ｎ(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)－２ｋ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝－２ｎ[(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)]＝(２ｎ)２ꎬ是一个完全平方数.评注㊀该题对高中数学竞赛生来说ꎬ是一道很平常的数论练习题ꎬ方法也有很多ꎬ但是利用一元三次方程(这里是整数域下的三次方程)的韦达定理解题ꎬ能起到事半功倍的效果ꎬ给人耳目一新的感觉[２].２.５在复数问题中的应用例７㊀已知三个复数ａꎬｂꎬｃ的模均为１ꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝１ꎬａｂｃ＝１ꎬ求ａꎬｂꎬｃ.解析㊀由ａ＋ｂ＋ｃ＝１ɪＺꎬ得ａ－＋ｂ－＋ｃ－＝１.又由题得ａａ－＝ｂｂ－＝ｃｃ－＝１ꎬ则１ａ＋１ｂ＋１ｃ＝ａ－＋ｂ－＋ｃ－＝１.即ａｂ＋ｂｃ＋ｃａａｂｃ＝１.所以ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ａｂｃ＝１.由此可得ａꎬｂꎬｃ为方程ｘ３－ｘ２＋ｘ－１＝０的三个根ꎬ因式分解方程可得(ｘ－１)(ｘ２＋１)＝０.故{ａꎬｂꎬｃ}＝{１ꎬｉꎬ－ｉ}.２.６在不等式问题中的应用例８㊀设ａꎬｂꎬｃ是实数ꎬ方程ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０有三个正根ꎬ证明:２ａ３＋９ｃɤ７ａｂꎬ并且等号成立当且仅当这３个正根相等.证明㊀设题中方程的三个正根分别为αꎬβꎬγꎬ由韦达定理ꎬ得α＋β＋γ＝－ａꎬαβ＋βγ＋γα＝ｂꎬαβγ＝－ｃ.２ａ３＋９ｃ－７ａｂ＝－２(α＋β＋γ)３－９αβγ＋７(α＋β＋γ)(αβ＋βγ＋γα)＝(α＋β＋γ)[７(αβ＋βγ＋γα)－２(α＋β＋γ)２]－９αβγ＝(α＋β＋γ)[３(αβ＋βγ＋γα)－２(α２＋β２＋γ２)]－９αβγ＝(α２β＋αβ２＋β２γ＋βγ２＋γ２α＋γα２)－２(α３＋β３＋γ３)＝－(α３＋β３－α２β－αβ２)－(β３＋γ３－β２γ－βγ２)－(γ３＋α３－γ２α－γα２)＝－(α＋β)(α－β)２－(β＋γ)(β－γ)２－(γ＋α)(γ－α)２ɤ０ꎬ当且仅当α＝β＝γ时取等号ꎬ故得证.评注㊀该题是２０１４年北京大学夏令营考题ꎬ利用韦达定理将２ａ３＋９ｃ－７ａｂ转化为关于三正根αꎬβꎬγ的表达式ꎬ代数化简即可得证.２.７在立体几何中的应用例９㊀已知长方体的体积为１ꎬ长㊁宽㊁高之和为ｋꎬ表面积为２ｋꎬ求实数ｋ的取值范围.解析㊀设该长方体的长㊁宽㊁高分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则ａ＋ｂ＋ｃ＝ｋꎬａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ｋꎬａｂｃ＝１ꎬ则可将ａꎬｂꎬｃ视作方程ｘ３－ｋｘ２＋ｋｘ－１＝０的三根.又该方程可因式分解为(ｘ－１)[ｘ２－(ｋ－１)ｘ＋１]＝０ꎬ不妨设ａ＝１ꎬ则ｂꎬｃ是方程ｘ２－(ｋ－１)ｘ＋１的两根.于是ә＝(ｋ－１)２－４ȡ０ꎬｂ＋ｃ＝ｋ－１>０ꎬｂｃ＝１>０ꎬìîíïïïï解得ｋȡ３.评注㊀题中三个条件恰好得到一元三次方程的韦达定理式的三个结构式ꎬ自然将长㊁宽㊁高作为一元三次方程的三根ꎬ借助三次方程解题.２.８在三角形中的应用例１０㊀已知әＡＢＣ的三边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ周长为２ꎬ求证:ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<２.证明㊀由题知ａ＋ｂ＋ｃ>２ｃꎬ易得０<ｃ<１ꎬ同理０<ａꎬｂ<１.不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<２等价于ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<ａ＋ｂ＋ｃꎬ化简得ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ>１＋ａｂｃ.设ｆ(ｘ)＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)ꎬ化简得ｆ(ｘ)＝ｘ３－２ｘ２＋(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)ｘ－ａｂｃ.问题等价于证明ｆ(１)>０.而由ａꎬｂꎬｃɪ(０ꎬ１)ꎬ得证ｆ(１)＝(１－ａ)(１－ｂ)(１－ｃ)>０.评注㊀对于ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ>１＋ａｂｃ的证明ꎬ解法多样ꎬ但是利用一元三次方程的韦达定理解题却是最简便的.３结束语一元三次方程的韦达定理虽没有出现在教材中ꎬ也不属于高中数学的知识点ꎬ但是通过文中的推导ꎬ我们不难发现ꎬ对于高中生而言该定理的理解完全不成问题ꎬ可以作为一种新定义题来命制题目ꎬ来考查学生的逻辑推理㊁数学运算等数学能力.基于此ꎬ笔者认为ꎬ在日常的教学中ꎬ广大一线教师可以考虑介绍一些介于高中与大学之间的数学知识ꎬ尤其是从数学逻辑推理的角度予以介绍ꎬ并给出证明过程ꎬ并辅之适量的习题以供训练ꎬ这样ꎬ学生的数学思维能力和知识储备都将得到大幅提升ꎬ高考中的优势自然明显ꎬ将来的数学学习也必将顺利.在介绍教材之外的知识点时ꎬ更重要的是让学生亲历知识的生成过程ꎬ知道概念的由来㊁定理的具体推导ꎬ从而掌握其中蕴含的数学思想方法[３]ꎬ这样ꎬ在遇到一道陌生问题时ꎬ学生才具有分析问题㊁解决问题的能力ꎬ考试自然能取得理想的成绩[４].参考文献:[１]刘海涛.例谈定比点差法在解析几何问题中的应用[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２１(０７):２５－２７.[２]刘海涛.例析构造对偶式在解题中的应用[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２１(０４):１４－１７.[３]刘海涛.类比知识的抽象过程ꎬ寻找解题的最佳途径[Ｊ].中小学数学(高中版)ꎬ２０２２(０３):５１－５４.[４]刘海涛.例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):２７－３１.[责任编辑:李㊀璟]。

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人教版高中数学必修1至必修5公式

必修二：
直线与方程
1）直线的倾斜角
3
人教版高中数学必修一至必修五公式（必会）
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾
斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜
log a m n log am b n
n log a m
n m
log a
b
(a、b、m
0，n
R, 且a
1)
,
log a
b
log c log c
b a
(a、b、c
0, 且a、c
1)
(换底公式)
函数图像（必须熟）
表1
y ax a 0, a 1
指数函数
定义域值域
xR
y 0,
对数数函数 y log a x a 0, a 1
○1 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
d C1 C2 ( A、B都相等）
○2 设直线 l1 Ax By C1 0, l2 Ax By C2 ; 则两点间的距离为
A2 B2
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
(a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题湖北省竹溪县第一高级中学442300韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。

中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。

它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。

在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式0，a0这两个隐含条件是否成立。

但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。

下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。

一、在代数方面的应用韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。

在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、解三角形和有关证明几个方面进行说明。

1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。

例1：等比数列a n中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。

剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处，故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。

2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。

剖剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。

此处sin cos与sin.cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。

在两角和差的正切公式处，tan tan和tan tan也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。

剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。

此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。

剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。

高中数学必修五公式整理

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第一章三角函数一．正弦定理：2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩推论：::sin :sin :sin a b c A B C =二．余弦定理：三．三角形面积公式：111sin sin sin ,222ABC S bc A ac B ab C ∆===第二章数列一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)2.通项公式：()d n a a n ∙-+=11或()d m n a a m n ∙-+=3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 21211-+=+=4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二．等比数列：1.定义：)0(1≠=+q q a a nn 2.通项公式：q a a n n 11-∙=或q a a mn m n -∙=3.求和公式: ）（1q ,1==na S n ）（1q 11)1(11≠--=--=qqa a q q a S n n n2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab+-=+-=+-=4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+(2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数三．数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。

韦达定理与牛顿等幂和公式

( x xn ) x n 1 x n1 2 x n2
(1)n n
那么 f ( xi ) 0 ， x k n f ( xi ) 0 ，
x
i 1
n
nk i
f ( xi ) 0 即证
n k i
对于 2 k n ，先计算 Sk j ， Sk j
Sk 1Sk 1 2 Sk 2 Sk 1Sk 1 2 Sk 2
证明：当 k n ，构造
(1)k k k 0 (1)n Sk n n 0
( k n) ( k n)
f ( x) ( x x1 )( x x2 )
x1 x2 2a3 27c 9ab ，求的最大值 3 2
在学习了 2,3 次方程的韦达定理后一个自然的问题是对于 n 次方程，有没有韦达定理，答案是有，在介绍一般的韦达定理之前，我们先介绍轮换对称多项式：轮换对称多项式可以理解成
( x x ) 展开后的多项式 f
i 1 i n 1 i 0

(xik x 1 i2
xi j xi1 xik2
为简便，我们记前一个求和号为 (k ,1,1,
j个
,1) ，后一个求和号为 (k 1,1,1,
j 1个
,1)
当 k 1 ， S1 j ( j 1)
1i0 i1 i2 i j n

xi0 xi1 xi2 xi1 xi2
韦达定理与牛顿等幂和公式
1、韦达（Vieta）定理韦达定理十分常用，我们先从最简单的二次方程的韦达定理开始：二次方程 ax bx c 0 若有两根 x1 , x2 ，那么必然可以写成 a( x x1 )( x x2 ) 0

韦达定理.初高中数学衔接

韦达定理（1课时）知识要点：若实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个实根为12,x x ，则根与系数有如下关系： 1212b x x a c x x a ìïï+=-ïïíïï?ïïïî，也称韦达定理。

注意：满足以上关系的前提是一元二次方程20ax bx c ++=有实数解，即0D >例题1. 若方程20x ax b --=的两个解是2和3，则不等式012>--ax bx 的解是_____.2. 设12,x x 是方程2210x x --=的两个根，且12x x >求（1）12x x + （2）12x x ×（3）12x x - （4）2212x x +（5）2212x x - (5) 3312x x - (7) 3312x x +3．设12,x x 是方程210x ax -+=的两个根，若22123x x +>，求实数a 的取值范围.4.已知12,x x 是方程22(2)40x a x a ++-+=的两根，求实数a 的范围；（1）若两根都大于0, 求实数a 的范围；（2）若两根都小于0，求实数a 的范围；（3）若两根一正一负，求实数a 的范围.变式：将以上题目中条件由“两根都大于0”改为“两根都大于1”，做法有变化吗？练习：1．方程250ax x b ++=的两解是13和12，那么a = ，b = . 2. 设12,x x 是方程2310x x --=的两个根，且12x x >求（1）12x x + （2）12x x ×（3）12x x - （4）2212x x +（5）2212x x - (5) 3312x x - (7) 3312x x +3. 设12,x x 是方程20x x a -+=的两个正根，若2212+>x x a ，求实数a 的取值范围. 4. 已知12,x x 是方程22(1)10x a x a -+-+=的两根，求实数a 的范围；（1）若两根都大于0, 求实数a 的范围；（2）若两根都小于0，求实数a 的范围；（3）若两根一正一负，求实数a 的范围.。

韦达定理

求：(1)
解：
。
1 1 x1 x2
(2) x12+x22

2 3 3
(3) |x1-x2|
由韦达定理知 x1+x2=
(1)
1 x 1 1 x 2
2 3
, x1 · 2= -3 x
2 9
x1 x2 = = x1 x2

=
∵x12+x22 ＝ (x1＋x2)2 -2x1x2 ＝(- 2 )2 -2×(-3)＝
(1) x1 = 3, x2 = -6
解：由韦达定理，得
(2) x1 = 7 , x2 = 7
q p x1+x2= , x1 · 2= x 3 3
q=3 x1 · 2 x
∴p= -3(x1+x2)
(1) p= 9
(2) p= 0
q= -54
q= -21
二、韦达定理的应用
例1: 已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2
2 1 2
k 1 1或 2或 4 k 0
( x1 x2 )2 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 4 2 x1 x2 x1 x2 12 4 4 k 1 k 1 4k
2
k 1 1或 2或 4 k 1或 3或 5
韦达（1540－1603）
初高中衔接之
韦达定理
回顾：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式：
x1,2=
2 4ac b b 2a
解下列方程并完成填空：（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 两根两根和两根积 x 1x 2 x1+x2 12 7

高考数学专题非对称韦达定理问题

非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y2-2x1y1+2x2为定值的情形，通过直线代换可得：y2-2x1 y1+2 x2=kx2+2x1kx1+6x2=kx1x2+2x1kx1x2+6x2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k PAk PB=y1−tx1y2−tx2=x2y1−tx2x1y2−tx1=kx1x2+(m−t)x2kx1x2+(m−t)x1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1⋅x2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：x1+x2=f(t)x1x2=g(t)⇒m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1已知双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l:x=a2上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．(1)证明：∠APN=2∠NPF；(2)取a=1，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【跟踪训练】1已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,3 2，M，N为椭圆E 上关于x轴对称的两点(不与点B重合)，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：(i)直线NC过定点，(ii)存在定点R，使PR为定值．2椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F1,0，且过点M1,32．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，且椭圆C 过点3,32 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M 、N ，直线AM 与直线x =4交于点P ，记PA 、PF 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1+k 3k 2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P 1,32 为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．【跟踪训练】3已知点F 为椭圆E :x 24+y 23=1的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2,证明k 1k 2为定值．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点3,-1 在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若M -2,0 ，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点P -4,2 ，直线AP 交直线x =-2于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别k 1、k 2，求证：k 1-k 2为定值.题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4已知B-1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之 ,C1,0和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点N-3,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于,F2,0,E-2,0点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.5已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.【跟踪训练】5已知圆C 1:(x +5)2+y 2=1，圆C 2:(x -5)2+y 2=25，动圆C 与圆C 1和圆C 2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)已知点A (0,-2),B (0,2)，过点(0,1)的直线l 与轨迹E 交于M ,N 两点，记直线AM 与直线BN 的交点为P ．试问：点P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，F 1到直线AF 2的距离为3，且AF 2 =2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过F 2且斜率为k k ≠0 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，证明：直线A 1D 与A 2E 的交点在定直线上.7已知椭圆W:x24m+y2m=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．考点过关练1已知椭圆E的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0c>0，点M在椭圆E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为4+23，面积为12c．(1)求椭圆E的方程．(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点1,0的直线l与椭圆E交于C，D两点(不同于左右顶点)，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，问是否存在实常数λ，使得k1=λk2，恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，说明理由．2椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点F (-1,0)的直线与椭圆交于C ，D 两点(其中C 点位于x 轴上方)，当CD 垂直于x 轴时，CD =3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，问；k 1k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．3已知圆C 1:(x +5)2+y 2=1，圆C 2:(x -5)2+y 2=25，动圆C 与圆C 1和圆C 2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)已知点A (0,-2),B (0,2)，过点(0,1)的直线l 与轨迹E 交于M ,N 两点，记直线AM 与直线BN 的交点为P ．试问：点P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．4已知椭圆W :x 24m +y 2m=1m >0 的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点P (1，0)的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D (不与点A ，B 重合)．(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P -1,32 在椭圆C 上，且PF 2 =52，直线l 过点F 1且与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知OF 1 =F 1M ，OF 2 =F 2N ，若直线AM ，BN 交于点D ，探究：点D 是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．6已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 22,0 为椭圆E 的右焦点，三点332,12 ，-332,12 ，2,13中恰有两点在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点A ,B 为椭圆E 的左右端点，过点M 2,0 作直线交椭圆E 于P ，Q 两点(不同于A ,B )，求证：直线AP 与直线BQ 的交点N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.7已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，△MOF 的面积的最大值为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 1,0 ，当M 不与A ，B 重合时，射线MP 交椭圆C 于点N ，直线AM ，BN 交于点T ，求∠ATB 的最大值.8已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，右焦点为F 3,0 ，A ，B 分别为椭圆C的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 1,0 作斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，求证：k1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：点M 在定直线上.非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y 2-2 x 1y 1+2 x 2为定值的情形，通过直线代换可得：y 2-2 x 1y 1+2 x 2=kx 2+2 x 1kx 1+6 x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k PAk PB=y 1−t x 1y 2−t x 2=x 2y 1−tx 2x 1y 2−tx 1=kx 1x 2+(m −t )x 2kx 1x 2+(m −t )x 1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x 1+x 2和x 1⋅x 2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：x 1+x 2=f (t )x 1x 2=g (t ) ⇒m (t )(x 1+x 2)=n (t )x 1x 2代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1已知双曲线C:x 2a 2-y 23a 2=1(a >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，P 是直线l :x =a2上一点，且P 不在x 轴上，以点P 为圆心，线段PF 的长为半径的圆弧AF 交C 的右支于点N ．(1)证明：∠APN =2∠NPF ；(2)取a =1，若直线PF 与C 的左、右两支分别交于E ，D 两点，过E 作l 的垂线，垂足为R ，试判断直线DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【分析】(1)过N 作l 的垂线，垂足为H ，且与圆弧AF 交于点M ，则MN ∥AF ，结合圆的知识可得AM =NF ，MH =HN ，设点N x 0,y 0 ，则x 20a2-y 203a 2=1，由NF HN =2，可得NF =2HN ，即得AM =NF =MN (用双曲线的第二定义来说明，也可以)，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM =∠MPN =∠NPF ，进而求解；(2)设直线PF 的方程为x =my +2，由题意可得m ∈-∞,-33 ∪33,+∞ ，联立方程组，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，由题知，直线DR 的方程为y -y 2=y 2-y 112-x 1x -12，令y =0，化简即可求解.【详解】(1)证明：过N 作l 的垂线，垂足为H ，且与圆弧AF 交于点M ，则MN ∥AF ，连接AM ，PM ，NF ．因为在圆P 中，PH ⊥AF ，PH ⊥MN ，所以|AM |=|NF |，|MH |=|HN |．由题易知右焦点F (2a ,0)，设点N x 0,y 0 ，则x 20a 2-y 203a 2=1，整理得y 20=3x 20-3a 2．因为|NF ||HN |=x 0-2a 2+y 2x 0-a 2=x 0-2a2+3x 20-3a2x 0-a 2=2x 0-a2x 0-a 2=2x 0-a x 0-a 2=2，所以|NF |=2|HN |，所以|AM |=|NF |=|MN |．【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线l :x =a 2为双曲线C :x 2a 2-y 23a 2=1(a >0)的准线，根据双曲线的第二定义，可知|NF ||HN |=ca =2，即|NF |=2|HN |，即得|AM |=|NF |=|MN |．】在圆P 中，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM =∠MPN =∠NPF ，所以∠APN =2∠NPE ．(2)由题知双曲线C :x 2-y 23=1，渐近线为：y =±33x ，右焦点为F 2,0 ，直线PF 的斜率不为0，设直线PF 的方程为x =my +2因为直线PF 与C 的左，右两支分别交于E ，D 两点，则m ∈-∞,-33 ∪33,+∞ ．设D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，R 12,y 2y 1≠y 2 ，联立方程组x=my+2x2-y23=1，得3m2-1y2+12my+9=0，则y1+y2=12m3m2-1,y1y2=-93m2-1．由题知，直线DR的方程为y-y2=y2-y112-x1x-12，令y=0，得x=x1y2-12y1y2-y1=my1+2y2-12y1y2-y1=my1y2+2y2-12y1y2-y1=-34y1+y2+2y2-12y1y2-y1=54y2-y1y2-y1=54，所以直线DR过定点54,0 .【跟踪训练】1已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,3 2，M，N为椭圆E 上关于x轴对称的两点(不与点B重合)，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：(i)直线NC过定点，(ii)存在定点R，使PR为定值．【答案】(1)x24+y2=1；(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.【分析】(1)设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，代入A,B点的坐标，得出方程组，求解即得.(2)(i)设MQ的方程为x=ty+1t≠0，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出NC的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1 ，令y=0，整理可得x=4，即可得出定点；(ii)由已知可得QP⊥PH，即可得出P的轨迹，得出答案.【详解】(1)设E的方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，则4m=1m+34n=1，解得m=14n=1，所以E的方程为x24+y2=1.(2)(i)依题意，直线MQ的斜率存在且不为0，设MQ的方程为x=ty+1t≠0，设点C x1,y1，M x2,y2，则N x2,-y2，由x=ty+1x2+4y2=4消去x并整理得t2+4y2+2ty-3=0，则Δ=16t2+48>0，y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4，显然2ty1y2=3(y1+y2)，直线NC的斜率k NC=y1+y2x1-x2，直线NC的方程为y-y1=y1+y2x1-x2x-x1 ，令y=0，则x=x1-y1x1-x2y1+y2=y2x1+x2y1y1+y2=y2ty1+1+ty2+1y1y1+y2=2ty1y2+y1+y2y1+y2=4，所以直线NC恒过定点4,0.(ii)令直线NC过的定点4,0为点H，由QP⋅NC=0，P在NC上，得QP⊥PH，则点P在以QH为直径的圆上，从而QH的中点R52,0为定点，使PR 为定值32.【点睛】思路点睛：设MQ的方程为x=ty+1t≠0，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.2椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F1,0，且过点M1,32．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．【答案】(1)标准方程为C：x24+y23=1，离心率为12；(2)103,0【分析】(1)法一：由题意可得c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，解方程即可求出a,b,c，可求出椭圆C的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出a=1，再结合b2=a2-c2求出b，可求出椭圆C的标准方程和离心率；(2)设方程为x=my+23，M x1,y1，N x2,y2，联立直线MN方程和椭圆的方程可得my1y2=83y1+y2，表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令y=0，将my1y2=83y1+y2代入化简即可得出答案.【详解】(1)法一：由题意c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=3c2=1，则椭圆C的标准方程为C：x24+y23=1，离心率为e=ca=12；法二：设椭圆的左焦点为F -1,0 ，则由椭圆的定义知2a =MF +MF =1+12+322+1-12+322=52+32=4，所以a =2，又c =1，得b 2=a 2-c 2=3，则椭圆C 的标准方程为C ：x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12；(2)因为直线MN 过点23,0且斜率不为0，所以设直线MN 方程为x =my +23，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则P 6,y 2 ，联立x =my +23x 24+y 23=1，消去x 得，3m 2+4 y 2+4my -323=0，所以Δ>0y 1+y 2=-4m 3m 2+4y 1y 2=-3233m 2+4，所以my 1y 2=83y 1+y 2 ，直线MP 方程为y -y 2=y 1-y 2x 1-6x -6 ，由对称性可知直线MP 恒过的定点在x 轴上，所以令y =0，得x -6=y 2x 1-6 y 2-y 1，且x 1=my 1+23，所以x -6=y 2my 1+23-6 y 2-y 1=my 1y 2-163y 2y 2-y 1=83y 1+y 2 -163y 2y 2-y 1=-83，可得x =103，直线MP 恒过的定点103,0 ．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3)求证直线过定点x 0,y 0 ，常利用直线的点斜式方程或截距式y =kx +b 来证明.题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，且椭圆C 过点3,32 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M 、N ，直线AM 与直线x =4交于点P ，记PA 、PF 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1+k 3k 2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)C :x 24+y 23=1；(2)k 1+k 3k 2是定值2，理由见解析【分析】(1)先求出a =2，将3,32代入求出b 2=3，得到椭圆方程；(2)设直线MN ：x =my +1，联立椭圆方程，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，得到两根之和，两根之积，表达出k 1=y 1x 1+2，k 2=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2-2，计算出k 1+k 3k 2=12+my 1y 2+3y 22my 1y 2-2y 1，将两根之积代入，化简得到k 1+k 3k 2=3m 2+4 -3y 1+y 2 +4y 1 +18m23m 2+4 y 1+18m，再代入两根之和，得到k 1+k 3k 2是定值2.【详解】(1)由题意得2a =4，解得a =2，将3,32代入椭圆方程C :x 24+y 2b 2=1中得，34+34b2=1，解得b 2=3，故椭圆方程为C :x 24+y 23=1(2)因为a =2，c =4-3=1，所以F 1,0 ，A -2,0 ，B 2,0 ，设直线MN ：x =my +1，联立x =my +1与C :x 24+y 23=1可得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0恒成立，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，直线AM ：y y 1=x +2x 1+2，令x =4得y =6y 1x 1+2，故P 4,6y 1x 1+2，k 1=y 1x 1+2，k 2=6y 1x 1+2-04-1=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2-2，则k 1+k 3k 2=y 1x 1+2+y 2x 2-22y 1x 1+2=12+y 2x 2-2⋅x 1+22y 1=12+y 2my 1+3 2y 1my 2-1=12+my 1y 2+3y 22my 1y 2-2y 1=12+-9m3m 2+4+3y 2-18m 3m 2+4-2y 1=12-33m 2+4 y 2-9m 23m 2+4 y 1+18m =3m 2+4 y 1-3y 2 +18m23m 2+4 y 1+18m=3m 2+4 -3y 1+y 2 +4y 1 +18m23m 2+4 y 1+18m =3m 2+4 18m3m 2+4+4y 1+18m23m 2+4 y 1+18m=43m 2+4 y 1+36m 23m 2+4 y 1+18m=2.k 1+k 3k 2为定值2.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P 1,32 为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)32.【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 1,32在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1, 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2), 联立方程组消去y ,再将k 1=2k 2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为12，所以a =2c .又因为a 2=b 2+c 2，所以b =3c .所以椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c2=1.又因为点P 1,32 为椭圆上一点，所以14c 2+943c2=1，解得c =1.所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程组消去y 可得(3+4k 2)x 2+8kx -8=0.所以由根与系数关系可知x 1+x 2=-8k 3+4k 2，x 1x 2=-83+4k 2.因为k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 2-2，且k 1=2k 2，所以y 1x 1+2=2y 2x 2-2.即y 12x 1+2 2=4y 22x 2-22.　①又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以y 21=34(4-x 21)，y 22=34(4-x 22)．　②将②代入①可得：2-x 12+x 1=42+x 2 2-x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12=0.所以3-83+4k 2 +10-8k 3+4k 2+12=0，即12k 2-20k +3=0.解得k =16或k =32，又因为k >1，所以k =32.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【跟踪训练】3已知点F 为椭圆E :x 24+y 23=1的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2,证明k1k 2为定值．解析：方法1.先联x 24+y 23=1x =ty +1 ，消x 得(4+3t 2)y 2+6ty -9=0，易知△>0，则y 1+y 2=-6t 4+3t 2y 1y 2=-94+3t2．ty 1y 2=32(y 1+y 2)，代入目标信息得，k 1k 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y 2稍作整理，即可得k 1k 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，为定值，得证．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的离心率为2，点3,-1 在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若M -2,0 ，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点P -4,2 ，直线AP 交直线x =-2于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别k 1、k 2，求证：k 1-k 2为定值.【答案】(1)x 28-y 28=1；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】(1)根据题意列式求a ,b ,c ，进而可得双曲线方程；(2)设l :x =my -4，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立方程，利用韦达定理可得MA ⋅MB=-4，结合圆的性质分析判断；(3)用A ,B 两点坐标表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出k 1,k 2，结合韦达定理，证明k 1-k 2为定值.【详解】(1)由题意，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，且M 3,-1 在双曲线C 上，可得9a 2-1b 2=1e =c a =2c 2=a 2+b 2，解得a 2=8，b 2=8，所以双曲线的方程为x 28-y 28=1.(2)双曲线C 的左焦点为F -4,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时直线为y =0，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设l :x =my -4，联立方程组x =my -4x 2-y 2=8，消x 得m 2-1 y 2-8my +8=0，易得Δ>0，由于过点F 作直线l 交C 的左支于A ,B 两点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=8m m 2-1，y 1y 2=8m 2-1<0，可得-1<m <1，因为MA =x 1+2,y 1 ，MB =x 2+2,y 2 ，则MA ⋅MB=x 2+2 x 1+2 +y 1y 2=my 1-2 my 2-2 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=8m 2+1 m 2-1-16m 2m 2-1+4=-4，即MA ⋅MB≠0，可得MA 与MB 不相互垂直，所以不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上.(3)由直线AP :y -2=k 1x +4 ，得Q -2,2+2k 1，所以k 2=y 2-2-2k 1x 2+2=y 2-2-2k 1my 2-2，又k 1=k PA =y 1-2x 1+4=y 1-2my 1，所以k1-k2=y1-2my1-y2-2-2k1my2-2=y1-2my2-2-my1y2-2-2k1my1my2-2=-2my2-2y1+4+2my1+2mk1y1my1my2-2，因为k1=y1-2my1，所以k1my1=y1-2，且y1+y2=my1y2，所以k1-k2=2m y1-y2my1my2-2=2y1-y2y1+y2-2y1=-2，即k1-k2为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4已知B-1,0,C1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点N-3,0,E-2,0,F2,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1x≠±2(2)是，证明见解析【分析】(1)依题意PB+PC=4，根据椭圆的定义可知P的轨迹T是以B、C为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，从而求出椭圆方程；(2)设直线PQ的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到2my1y2=53y1+y2，再求出直线PE、QF的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.(1)解：因为P为△ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6，所以PB+PC=23×6=4>BC，故由椭圆的定义可知P的轨迹T是以B-1,0,C1,0为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a=2,c=1，所以b=3，所以P的轨迹T的方程为x24+y23=1x≠±2；(2)解：设直线PQ的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立方程x=my-3x24+y23=1得：3m2+4y2-18my+15=0，则y1+y2=18m3m2+4，y1y2=153m2+4，所以2my1y2=53y1+y2，又直线PE的方程为：y=y1x1+2x+2=y1my1-1x+2，又直线QF的方程为：y=y2x2-2x-2=y2my2-5x-2，联立方程y=y1my1-1x+2y=y2my2-5x-2，解得x=22my1y2-y2-5y1-y2+5y1，把2my1y2=53y1+y2代入上式得：x=223y2-103y1-y2+5y1=43y2-5y1-y2+5y1=-43，所以当点P运动时，点M恒在定直线x=-43上5已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.【答案】(1)x24-y216=1；(2)证明见解析.【分析】(1)由题意求得a,b的值即可确定双曲线方程；(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA1与NA2的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得x+2x-2=-13，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线x=-1上.【详解】(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1.(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.【跟踪训练】5已知圆C1:(x+5)2+y2=1，圆C2:(x-5)2+y2=25，动圆C与圆C1和圆C2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于M,N两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【答案】(1)x29+y24=1x≠-655；(2)点P恒在定直线y=4上【分析】(1)设动圆的圆心为C(x,y)，利用两圆外切和内切的关系得到CC1+CC2=6>C1C2，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；(2)设直线l的方程为y=kx+1，直曲联立，结合韦达定理得到2kx1x2=3x1+x2，求出直线AM与直线BN的方程，进而得到点P满足的关系式，整理化简可得点P恒在定直线y=4上．【详解】(1)设点C的坐标为(x,y)，圆C的半径为R．由已知条件，得C1C2=25．①当动圆C与圆C1外切，与圆C2内切时，CC1=1+R,CC2=5-R，从而CC1+CC2=6>C1C2．②当动圆C与圆C1内切，与圆C2外切时，CC1=1-R,CC2=5+R，从而CC 1 +CC 2 =6>C 1C 2 ．综上可知，圆心C 的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆C 1与圆C 2交于点-655,255 与-655,-255，所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为x 29+y 24=1x ≠-655．(2)设直线l 的方程为y =kx +1，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．联立直线l 与轨迹E 的方程，得y =kx +1x 29+y 24=1x ≠-655消去y 并整理，得9k 2+4 x 2+18kx -27=0x ≠-655 ．所以x 1+x 2=-18k 9k 2+4，x 1x 2=-279k 2+4，则有2kx 1x 2=3x 1+x 2 ．由已知条件，得直线AM 的方程为x =x 1y 1+2(y +2)，直线BN 的方程为x =x 2y 2-2(y -2)，则点P 的坐标(x ,y )满足x 1y 2-2 (y +2)=x 2y 1+2 (y -2)．又y 2=kx 2+1,y 1=kx 1+1，所以y =4kx 1x 2+6x 2-2x 13x 2+x 1．把2kx 1x 2=3x 1+x 2 代入上式，得y =6x 1+6x 2+6x 2-2x 13x 2+x 1=12x 2+4x 13x 2+x 1=4．故点P 恒在定直线y =4上．6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，F 1到直线AF 2的距离为3，且AF 2 =2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过F 2且斜率为k k ≠0 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，证明：直线A 1D 与A 2E 的交点在定直线上.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析【分析】(1)首先求出直线AF 2的方程，利用点到直线的距离公式得到2bc a=3，再由AF 2 =a =2，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，设D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，消元，列出韦达定理，即可得到直线A 1D 、A 2E 的方程，设直线A 1D 与A 2E 的交点坐标为x 0,y 0 ，求出x 0，即可得解.【详解】(1)依题意可得直线AF2的方程为xc+yb=1，即bx+cy-bc=0，则F1到直线AF2的距离为-2bcb2+c2=2bca= 3.又AF2=b2+c2=a=2，a2=c2+b2，故b=3，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)得F21,0，所以直线l的方程为y=k x-1k≠0，由y=k x-1x24+y23=1可得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，设D x1,y1，E x2,y2，显然Δ>0，所以x1+x2=8k23+4k2=2-64k2+3，x1x2=4k2-123+4k2=1-154k2+3，故x1x2=52x1+x2-4.由(1)可得A1-2,0，A22,0，则直线A1D的方程为y=y1x1+2x+2，直线A2E的方程为y=y2x2-2x-2，设直线A1D与A2E的交点坐标为x0,y0，则y1x1+2x0+2=y2x2-2x0-2，故x0+2x0-2=y2x1+2y1x2-2=k x2-1x1+2k x1-1x2-2=x1x2-x1+2x2-2x1x2-2x1-x2+2=52x1+x2-4-x1+2x2-252x1+x2-4-2x1-x2+2=3x1+9x2-12x1+3x2-4=3，解得x0=4，故直线A1D与A2E的交点在直线x=4上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解.7已知椭圆W:x24m+y2m=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．【答案】(1)椭圆方程为x24+y2=1，离心率为32；(2)P点在定直线x=4上．【分析】(1)由长轴长求得m得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；(2)设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得y1+y2,y1 y2，写出直线AC,BD方程，联立求得P点横坐标x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得x= 4，即为定直线方程．【详解】(1)由题意24m=4，m=1，所以椭圆方程为x24+y2=1，a=2，b=1，则c=3，离心率为e=ca =32；(2)由题意设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-2,0),B(2,0)，由x=ty+1x24+y2=1得(t2+4)y2+2ty-3=0，显然Δ>0，y1+y2=-2tt2+4，y1·y2=-3t2+4，直线AC方程为y=y1x1+2(x+2)，直线BD方程为y=y2x2-2(x-2)，联立方程组y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2)，得x=2(x1y2+x2y1+2y2-2y1)x1y2-x2y1+2y1+2y2又x1=ty1+1x2=ty2+1，代入得x=2(2ty1y2+3y2-y1)3y2+y1，由y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4得y1+y2y1y2=2t3，即2ty1y2=3(y1+y2)，所以x=2[3(y1+y2)+3y2-y1]3y2+y1=4，所以P点在定直线x=4上．【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与x 轴垂直，再坐标特殊值(如动直线与x 轴垂直)求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可(这个寻找过程在解题中还不必反映出来)．考点过关练1已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，点M 在椭圆E 上，MF 2⊥F 1F 2，△MF 1F 2的周长为4+23，面积为12c ．(1)求椭圆E 的方程．(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点1,0 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点(不同于左右顶点)，记直线AC 的斜率为k 1，直线BD 的斜率为k 2，问是否存在实常数λ，使得k 1=λk 2，恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)存在实数λ=13【分析】(1)根据焦点三角形面积及周长列方程求出a ,b ,即可写出椭圆方程；(2)先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2化简求解即可.【详解】(1)依题意，得2a +2c =4+2312⋅2c ⋅b 2a =b 2a ⋅c =14c ，即a +c =2+3b 2a =12 ，解得a 2=4b 2=1 ，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)依题意，可设直线l 的方程为x =ty +1，联立方程x 24+y 2=1x =ty +1 ，化简整理，得t 2+4 y 2+2ty -3=0，易得Δ>0恒成立，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，由韦达定理，得y 1+y 2=-2t t 2+4y 1y 2=-3t 2+4 ，可得ty 1y 2=32y 1+y 2，于是k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=x 2-2 y 1x 1+2 y 2=ty 2-1 y 1ty 1+3 y 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=12y 1+3y 2 32y 1+3y 2 =13，故存在实数λ=13，使得k 1=λk 2恒成立．2椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点F (-1,0)的直线与椭圆交于C ，D 两点(其中C 点位于x 轴上方)，当CD 垂直于x 轴时，CD =3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，问；k 1k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)是定值，定值为3．【分析】(1)根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将k 1k 2表示出化简即可.【详解】(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F (-1,0)，所以a 2-b 2=1，将x =-1代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y =±b 2a ，故CD =2b 2a =3，所以a 2-32a =1 解得a 2=4，所以b 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)因为直线CD 过点F (-1,0)，且点C 位于x 轴上方，所以直线CD 斜率不为0，设直线CD 的方程为x =my -1，联立x 24+y 23=1x =my -1 消去x 得，3m 2+4 y 2-6my -9=0.方程(3m 2+4)y 2-6my -9=0的判别式Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+144>0，设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，由已知y 1>0，于是y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4<0，所以my 1y 2=-32y 1+y 2 ,y 2<0，。

韦达定理经典例题及解题过程

韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。

韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。

本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。

二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。

韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。

我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。

这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。

三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。

例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。

解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。

通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。

例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。

解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。

高中所有数学公式-精简版

n m n m
②
a n
an
运算性质
① a m a n a m n ② (a m ) n a mn ③ (ab) n a n b n (a 0, b 0, m, n Q)
3、对数： loga N (a 0且a 1, N 0)
性质公式运算法则 ①零和负数没有对数
1、一元二次方程： ax2 bx c 0(a 0)
判别式求根 b 2 4ac 公式韦达定理
x1,2
b b2 4ac 2a
x1 x 2
b a
x1 x 2
c a
2、指数： a k (a 0, k R)
分数指数 ① a a
r n r r Tr 1 Cn a b (r 0,1,2,, n)
规定
0 Cn 1
0! 1
3
a b c 余弦 2 R （R 为 ABC 外接圆的半径） sin A sin B sin C 定理
平方关系： sin cos 1
2 2
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
sin 2 sin cos cos 2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2sin 2 2 tan tan 2 1 tan 2
7、简单几何重要、特殊面积、体积公式
S 1 ab sin C (由正弦定理得) 2 1 (a b c) ) 2
a loga b b
② loga a 1
log am b n

2018初高中衔接数学：第7讲韦达定理

例6 例7
韦达定理
例8
韦达定理
例 10 设 a 是大于零的实数，已知存在唯一的实数 k ，使得关于
x 的方程
x 2 (k 2 ak ) x 1999 k 2 ak 0
的两根为质数.求 a 的值.
韦达定理
例 11 求满足如下条件的所有实数 k , 使得关于
x 的方程 kx (k 1) x k 1 0 的两根都是大于
2பைடு நூலகம்
零的整数.
(2) 当 0 时，有两个相等实根：
x1,2 b , 2a b c x1 x2 , x1 x2 . a a
(3) 当 0 时，没有实根．
韦达定理
韦达定理
例2
说明：务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0．
韦达定理
例3
例4
韦达定理
例5
一元二次方程的根与系数的关系实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0) ，
b 2 b 2 4ac 变形为： ( x ) 2a 4a 2 (1) 当 0 时，有两个不等实根：
根的判别式
b2 4ac
x1,2
b b 2 4ac x x b , x x c . 2 1 2 , 1 a a 2a
例 7 解方程
(3) (4)
(5)
例9
例 10
第 7讲韦达定理
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．

高中数学必背公式

高中数学必背公式高考理科数学必背公式一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1乘x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac0注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac0注：方程有共轭复数根立体图形及平面图形的公式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c乘h斜棱柱侧面积S=c'乘h正棱锥侧面积S=1/2c乘h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi乘r2圆柱侧面积S=c乘h=2pi乘h圆锥侧面积S=1/2乘c乘l=pi乘r乘l 弧长公式l=a乘ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2乘l乘r 锥体体积公式V=1/3乘S乘H圆锥体体积公式V=1/3乘pi乘r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s乘h圆柱体V=pi乘r2h图形周长、面积、体积公式长方形的周长=(长+宽)×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)](海伦公式)(p=(a+b+c)/2)和：(a+b+c)乘(a+b-c)乘1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r高中数学必修三公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角高一数学必修四重点公式一)两角和差公式 (写的都要记)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二)用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2(上面这个余弦的很重要)sin2A=2sinA乘cosA三)半角的只需记住这个：tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2(cosA)^2=(1+cos2A)/2五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)乘21-sinA=cos^(A/2)乘2。

高中数学必修1知识点

必修1初高中知识衔接点：1.立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+，立方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-.（因式分解之用）2.完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±，平方差公式：))((22b a b a b a -+=-.3.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根与系数的关系（也称韦达定理）：a b x x -=+21，ac x x =21. 高中必修1：1.闭区间上的二次函数的最值：二次函数)0()(2≠++==a c bx ax x f y 在闭区间],[q p 上的最值只能在对称轴ab x 2-=处或区间的两端点处取得处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系.2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3.包含关系：A B A =⋂B A ⊆⇔B B A =⋃⇔.（注：集合A 可能为空集！）4.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n –2个.5.映射与函数：（1）映射：一对一或多对一（注意集合中的元素能否有剩余！）.（2）函数：A 、B 为非空数集的映射. 三要素（定义域、对应法则、值域）（3）集合A 中有n 个元素，集合B 中有m 个元素，则从A 到B 的映射个数为n m 个.6.相等函数的判断：先判断定义域是否相同，再看对应法则或化简后的解析式是否相同.7.函数解析式的求法：（1）待定系数法（2）换元法（3）消元法（解方程组法）8.函数值域的常用求法：（1）直接法（观察法）：适用于比较简单的函数，从解析式出发，利用0||≥x 、02≥x 、0≥x 等，直接得出函数的值域.（2）配方法：适用于解析式中含二次三项式的函数，但要注意所给的定义域.（3）换元法：适用于无理函数、对数或指数形式的函数转化为有理函数，注意辅助元的取值范围.（4）单调性法.（5）最值法：利用基本不等式，并注意等式成立的条件.（6）图象法：利用函数图象的直观性，求得函数值域.9.函数的单调性：（1）定义：①任意性；②有大小；③同一单调区间.（2）证明步骤：①取值；②作差；③变形；④定号；⑤下结论.（3）性质：)(x f 是增函数：)()(2121x f x f x x <⇔<)(x f 是减函数：)()(2121x f x f x x >⇔<（4）判断或证明：①定义法；②图象法；③直接法（基本函数判定法）：a .常见的基本函数在给定区间上的单调性.b .c x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同.c .d x f c y +⋅=)(与)(x f y =的单调性：0>c 时相同，0<c 时相反.d .若0)(≥x f ，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.e .当)(xf 恒为正或恒为负时，)(1x f y =与)(x f y =的单调性相反. f .在公共区间内：增+增=增；减+减=减；增－减=增.10. ※（1）掌握函数)0()(2>+==a xa x x f y 的图象与性质. 当0>x 时，函数)(x f 在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数，因此)(x f 在a x =处取得最小值a a f y 2)(min ==；当0<x 时，函数)(x f 在],(a --∞上是增函数，在)0,[a -上是减函数，因此)(x f 在a x -=处取得最大值a a f y 2)(max -=-=；※（2）分式函数dcx b ax x f y ++==)(的相关结论： ①定义域}|{cd x x -≠，值域}|{c a y y ≠； ②分式函数的图象可由反比例函数平移得到； ③对称中心：),(ca c d -； ④单调区间：),(),(+∞⋃-∞c a c a ，这两个区间是同增（或同减）区间. 11.函数的奇偶性：（1）定义：若)(x f 满足)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数；若)(x f 满足)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数.（2）图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称..（3）判断：首先应判断定义域是否关于原点对称.若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（4）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.（5）若)(x f 是偶函数，那么|)(|)()(x f x f x f =-=；（6）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数），即0)0(=f ；（7）对于函数 ++++++=5544332210)(x a x a x a x a x a a x f ，若)(x f 是偶函数，则0531==== a a a ；若)(x f 是奇函数，则0420==== a a a .12.根式的性质：（1）n a =.（2）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧-==,,||a a a a n n 00<≥a a . （3）)0(10≠=a a .13.分数指数幂：（1）n m n ma a=；（2）1m n m n a a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.14.指数幂的运算性质：（1）)0(>=⋅+a a a a s r s r .（2）)0()(>=a a a rs s r .（3）)0,0()(>>=b a b a ab r r r .15.指数式与对数式的互化： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.16.对数的运算法则：若0>a ，1≠a ，0>M ，0>N ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log aa a M M N N=-；（3）log log ()n a a M n M n R =∈.推论、性质：0>a ，1≠a ，,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N > （1）基本性质：01log =a ，1log =a a .（2）恒等式：N aNa =log ，b a b a =log .（3）换底公式：log log log m a m N N a=；（4）b n m b a m a n log log =；1log log =⋅a b b a )0(>b . 17.指数函数与对数函数的图象与性质的比较：（1）图象；（2）定义域、值域；（3）单调性（单调区间）；（4）定点.18.几个常见的函数方程：（1）若函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f +=+，则该函数为正比例函数kx x f =)(.（2）若函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f =+，则该函数为指数函数()x f x a =.（3）若函数)(x f 满足)()()(y f x f xy f +=，则该函数为对数函数()log a f x x =.19.指数函数x a y =与对数函数x y a log =（这里0>a 且1≠a ）是互为反函数，且它们的图象关于直线x y =对称.20.指数增长模型：设原有量为0N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则)()1(0N x p N y x ∈+=.21.幂函数αx y =（α为常数）的图象与性质：（1）结合21,1,3,2,1-=α时函数的图象的变化情况；（2）幂函数的图象必经过第一象限及点)1,1(，一定不经过第四象限.22.方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点 ⇔函数)(x f y =有零点.23.函数零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根.特别的，若)(x f y =在区间),(b a 内有且仅有一个零点，则0)()(<⋅b f a f .24.二分法：（1）二分法的操作步骤；（2）会求方程的根或函数的零点的近似值；（3）会求方程的根或函数的零点所在的整数区间或有几个根（或零点）.25.函数模型的应用（基本步骤）：第一步，理解题意，认真审题；第二步，引进数学符号，建立数学模型；第三步，求解数学模型，得出数学结论；第四步，还原为实际问题.。

高中必背数学公式

高中必背数学公式：一元二次方程的解-b+√b2-4ac/2a-b-√b2-4ac/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a备注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac>0备注：方程存有两个不成正比的个实根b2-4ac<0注：方程有共轭复数根：立体图形及平面图形的公式圆的标准方程x-a2+y-b2=r2注：a,b是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0备注：d2+e2-4f>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱两端面积s=c*h斜棱柱两端面积s=c'*h正棱锥侧面积s=1/2c*h'正棱台侧面积s=1/2c+c'h'圆台两端面积s=1/2c+c'l=pir+rl球的表面积s=4pi*r2圆柱侧面积s=c*h=2pi*h圆锥侧面积s=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra就是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式v=1/3*s*h圆锥体体积公式v=1/3*pi*r2h横棱柱体积v=s'l备注：其中,s'就是的直横截面面积，l就是两端棱长柱体体积公式v=s*h圆柱体v=pi*r2h：图形周长、面积、体积公式长方形的周长=长+宽×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积未知三角形底a，低h，则s=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则s=√[pp-ap-bp-c]海伦公式p=a+b+c/2和：a+b+c*a+b-c*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角c，则s=absinc/2设立三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=a+b+cr/2设立三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r。

高中数学公式及定理

1.乘法与因式分解 a^2-b^2= a+b a-b a^3+b^3= a+b a^2-ab+b^2 a^3-b^3= a-b a^2+ab+b^22.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|3.一元二次方程的解 -b+√ b^2-4ac /2a -b-√ b^2-4ac /2a4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根,有共轭复数根5.三角函数公式两角和公式sin A+B =sinAcosB+cosAsinB sin A-B =sinAcosB-sinBcosAcos A+B =cosAcosB-sinAsinB cos A-B =cosAcosB+sinAsinBtan A+B = tanA+tanB / 1-tanAtanBtan A-B = tanA-tanB / 1+tanAtanBcot A+B = cotAcotB-1 / cotB+cotAcot A-B = cotAcotB+1 / cotB-cotA6.倍角公式 tan2A=2tanA/ 1- tanA ^2cos2a= cosa ^2- sina ^2=2 cosa ^2 -1=1-2 sina ^27.半角公式sin A/2 =√ 1-cosA /2 sin A/2 =-√ 1-cosA /2cos A/2 =√ 1+cosA /2 cos A/2 =-√ 1+cosA /2tan A/2 =√ 1-cosA / 1+cosA tan A/2 =-√ 1-cosA / 1+cosAcot A/2 =√ 1+cosA / 1-cosA cot A/2 =-√ 1+cosA / 1-cosA8.和差化积 2sinAcosB=sin A+B +sin A-B 2cosAsinB=sin A+B -sin A-B2cosAcosB=cos A+B -sin A-B -2sinAsinB=cos A+B -cos A-BsinA+sinB=2sin A+B /2 cos A-B /2 cosA+cosB=2cos A+B /2 sin A-B /2 tanA+tanB=sin A+B /cosAcosB;9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +n=n n+1 /2 1+3+5+7+9+11+13+15+ + 2n-1 =n2 _2+4+6+8+10+12+14+ + 2n =n n+1 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+ +n^2=n n+1 2n+1 /6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+ n^3=n2 n+1 2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +n n+1 =n n+1 n+2 /310.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 x-a ^2+ y-b ^2=^r2注： a,b 是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>012.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h'正棱台侧面积 S=1/2 c+c' h' 圆台侧面积 S=1/2 c+c' l=pi R+r l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 14.锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L注：其中,S'是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h;定理:1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于 n-2 ×180°51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即S= a×b ÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L= a+b ÷2 S=L×h83 1 比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc /S M84 2 合比性质如果a/b=c/d,那么a±b /b= c±d /d85 3 等比性质如果a/b=c/d= =m/n b+d+ +n≠0 ,那么a+c+ +m / b+d+ +n =a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线 ,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似 ASA92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 SAS94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似 SSS95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

高考重点数学公式：韦达定理-最新教育文档

高考重点数学公式：韦达定理韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。

一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1，X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。

如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。

高中必背数学公式

高中必背数学公式：一元二次方程的解-b+√b2-4ac/2a-b-√b2-4ac/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac>0注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0注：方程有共轭复数根：立体图形及平面图形的公式圆的标准方程x-a2+y-b2=r2注：a,b是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2c+c'h'圆台侧面积S=1/2c+c'l=piR+rl球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h：图形周长、面积、体积公式长方形的周长=长+宽×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[pp-ap-bp-c]海伦公式p=a+b+c/2和：a+b+c*a+b-c*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=a+b+cr/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r感谢您的阅读，祝您生活愉快。

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