高考数学经典常考题型第23专题 恒成立问题——数形结合法

第23专题训练 恒成立问题——数形结合法

一、基础知识:

1、函数的不等关系与图像特征:

(1)若x D ∀∈,均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方 (2)若x D ∀∈,均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方

2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数

3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等

4、作图时可“先静再动”,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数的不同取值而发生变化)

5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备

6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点: (1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 (2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义 (3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题:

例1:已知不等式()2

1log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是_________ 思路:本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出()2

1y x =-的图像,观察图像可得:

若要使不等式成立,则log a y x =的图像应在()

2

1y x =-

的上方,所以应为单增的对数函数,即1a >,另一方面,观察图像可得:若要保证在()1,2x ∈时不等式成立,只需保证在

2x =时,

()

2

1log a x x -<即可,代入2x =可

得:1log 22a a ≤⇒≤,综上可得:12a <≤ 答案:12a <≤

小专题训练有话说:(1)通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性,进而缩小了参数讨论的取值范围。

(2)学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的2x =)

(3)处理好边界值是否能够取到的问题

例2:若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤

∈ ⎥⎝

⎦

都成立,则实数a 的取值范围是___________

思路:本题选择数形结合,可先作出sin 2y x =在0,

4x π⎛

⎤

∈ ⎥⎝

⎦

的图像,a 扮演的角色为对数的底数,决定函数的增减,根据不等关系可得01a <<,观察图像进一步可得只需4

x π=

时,log sin 2a x x ≥,即log sin 214

4

4

a

a π

π

π

>⋅

=⇒>

,所以

,14a π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

答案:,14a π⎛⎫∈

⎪⎝⎭

例3:若不等式21x x c +->对任意x R ∈恒成立,求c 的取值范围

思路:恒成立不等式变形为21x c x ->-,即2y x c =-的图像在1y x =-图像的上方即可,

先作出1y x =-的图像,对于2y x c =-,可看作y x =经过平移得到,而平移的距离与c 的取值有关。通过观察图像,可得只需21c >,解得:1

2

c > 答案: 12

c >

小专题训练有话说:在本题中参数c 的作用是决定图像平移变换的程度,要抓住参数在图像中的作用,从而在数形结合中找到关于参数的范围要求

例4:若||2p ≤,不等式2

12x px p x ++>+恒成立,则x 的取值范围是______

思路:本题中已知p 的范围求x 的范围,故构造函数时可看作关于p 的函数,恒成立不等式变形为 ()2

210x p x x -+-+>,设()()()2

2122f x x p x x p =-+-+-≤≤,即关于p 的

一次函数,由图像可得:无论直线方向如何,若要()0f x >,只需在端点处函数值均大于0即可,

即()()2020

f f >⎧⎪⎨->⎪⎩,解得:12x +<-或12x -+>

答案

:x <

x > 小专题训练有话说:(1)对于不等式,每个字母的地位平等,在构造函数时哪个字母的范围已知,则以该字母作为自变量构造函数。

(2)线段的图像特征:若两个端点均在坐标轴的一侧,则线段上的点与端点同侧。

(3)对点评(2)的推广:已知一个函数连续且单调,若两个端点在坐标轴的一侧,则曲线上所有点均与端点同侧

例5:已知函数()2

1f x x mx =+-,若对任意的[],1x m m ∈+,都有()0f x <成立,则实数

m 的取值范围是_____________

思路:恒成立的不等式为2

10x mx +-<,如果进行参变分离,虽可解决问题,但是因为x 所在区间含参,m 的取值将决定分离时不等号方向是否改变,需要进行分类讨论,较为麻烦。换一个角度观察到()f x 是开口向上的抛物线,若要

()0f x <,只需端点处函数值小于零即可(无论对称轴是否在区间内),所以只需()(

)2

221022312300

2

m f

m m f m m m m ⎧-<<⎪⎧=-<⎪⎪⇒⎨

⎨

+=+<⎪⎪⎩

-<<⎪⎩ ,

解得2m ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

答案

:2⎛⎫-

⎪⎝⎭

小专题训练有话说:本题也可以用最值法求解:若()0f x <,则()max 0f x <,而()f x 是开口

向上的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以()(

)0

10f m f m <⎧⎪⎨+<⎪⎩,再解出m 的范围即可

例6:已知函数()()

1f x x a x =+,设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ,若