矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的初等变换
论 A m 结 :设 是 ×n矩 , 阵
A 过 干 初 行 变 变 B A 若 经 若 次 等 列 换 成 ,即 → B, 在 阶 等 逆 阵1 2L l n 初 ⇔存 m 初 (可 )矩 P ,P , ,P和 阶 等 逆 阵 1 (可 )矩 Q ,Q2, ,Qt使 L 得 B = PP LPAQQ2LQt 1 2 l 1
所以,对AX = B ⇒ X = A−1B,
行 可构造[ AB] [ EX] , X = A−1B →
−1 −1 −1 k 2 1 : k 行 P−1LP−1P−1 −1 2 1
特别Ax = β ⇒ x = A−1β ,
可构造[ Aβ ] [ Ex] , x = A β →
行 −1
1 1 1 3 (2) 例 已知A = , B = 2 5且AX = B.求解X. 3 −2
应 初 行 换 相 的 等 变 .
a1 a2 a3 1 0 k a1 a2 a3 + ka1 b b b 0 1 0 b b b kb 再 1 2 3 看 = 1 2 3 + 1 c1 c2 c3 0 0 1 c1 c2 c3 + kc1
0 0 0 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1
1 0 −2 1 ∴[(C − B)T ]−1 = 1 −2 0 1 1 0 0 1 ∴A = D[(C − B)T ]−1 = 0 0 0 0
1 性 : P(i(k)) = k ≠ 0, P(i(k)) = P(i( )) 质 k
−1
1 1 O O 1 1 k ri + krj (3)E = O O (c + kc ) = P(i, j(k)) j i uuuuuuuuu r 1 1 O O 1 1
第三章 矩阵的初等变换
第三章 矩阵的初等变换矩阵是数学中一个重要的概念，它在科学和工程应用中有着广泛的用途。
矩阵的初等变换是矩阵学中的一项基本操作，对矩阵进行初等变换可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及矩阵的特征值与特征向量等问题。
本章将从初等变换的定义、性质、分类以及应用方面进行阐述。
一、初等变换的定义及性质1. 初等变换的定义初等变换是矩阵学中对矩阵的一种基本操作，它包括三种类型的变换：（1）交换矩阵的任意两行或两列；（2）用非零常数乘矩阵的任意一行或一列；（3）把矩阵的任意一行或一列加上另一行或一列的某个倍数。
这三种变换分别称为行变换、列变换和倍加行变换 （或倍加列变换）。
通过对矩阵进行这三种变换，可以使得矩阵的某些特性变得更加清晰，可以方便地进行矩阵运算、矩阵求解等操作。
2. 初等变换的性质（1）初等变换不改变矩阵的秩。
（2）初等变换不改变矩阵的行列式的值。
（3）若矩阵A经过一次初等变换得到矩阵B，则存在一个可逆矩阵P，使得P·A=B。
（4）由矩阵A经过若干次初等变换得到的矩阵B和矩阵A之间可通过一系列的初等矩阵相乘得到，即B=E1·E2·...·En·A，其中Ei为第i种初等矩阵。
二、初等变换的分类根据初等变换的不同类型，我们可以把初等变换分为三类：行初等变换、列初等变换和整体初等变换。
1. 行初等变换行初等变换是对矩阵的一行进行变换，包括以下三种类型：（1）交换矩阵的两行；（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行；（3）把矩阵的某一行加上另一行的某个倍数。
对于一个n阶矩阵A，我们可以用行向量$(a_{1i} ,a_{2i} ,...,a_{ni})^{T}$表示A的第i行，例如A的第1行可以表示为$(a_{11} ,a_{12} ,...,a_{1n})^{T}$。
那么通过上述变换，我们可以得到新的矩阵A'，它的第i行表示为：（1）若把矩阵第i行和第j行交换，则$A'_{i}=A_{j}$，$A'_{j}=A_{i}$，其余行不变；（2）若用非零常数k乘以矩阵的第i行，则$A'_{i}=kA_{i}$，其余行不变；（3）若把矩阵的第j行的k倍加到第i行上，则$A'_{i}=A_{i}+kA_{j}$，其余行不变。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。
它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。
1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。
2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。
3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。
二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。
1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。
消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。
2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。
三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。
计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。
矩阵的初等变换
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就 定义 称矩阵 与B列等价 矩阵A与 列等价 列等价,记作A~B ; 矩阵
定义:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称 定义 矩阵A与 等价 等价,记作A~B . 矩阵 与B等价
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A= 1 2
2 3 4 5 1 4 6 8 10 r2 −2r1 0 1 3 3 4 5 4 5 8 10 2
2 3 4 0 0 0
5 0 = A3 3 3 4 5 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1
矩阵的初等变换
主要内容： 主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换 初等行变换: 定义 初等行变换 (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) .
r 2 − 2 r1 r3 − r1 r 4 − 2 r1
§1 矩阵的初等变换
r 2 ↔ r3
A1
− 1 × r4
1 0 0 0 2 1 0 0
2 1 0 0 3 0 1 0
3 0 0 1 4 0 0 0
4 0 0 0
5 0 = A2 0 0 5 0 = A3 0 0
第三节 矩阵的初等变换
6 3 9 3
(2) A r113
2 0
1 3 1 1 3 4
2 3 9 6
0 (3)A r13r3 0
6 18 21 1 3 4
定义2 矩阵的初等列变换:
设A是m n矩 阵,
(i) 对调A的两列(对调 i, j 两列, 记作 ci cj );
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(ii) 以一个非零数 k 乘以A的某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 kri );
(iii) 把A的某一行所有元素的 k倍加到另一行 对应的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
定
，
其 中r就 是 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非零 行 的 行 数.
(2)所 有与A矩 阵等 价 的 矩阵 组 成 的一 个集 合 ， 称 为一 个 等 价类. 标 准形F 是 这个 等 价 类中 形 状最 简 单 的矩 阵.
(3) 矩阵A可以 只通过初等行变换 化为 行阶梯形、行最简单形. 再通过初等列变换 化 为 标 准 形.
1 6 4 1 4
r2 r4
0 2 3
4 0 2
3 1 0
1 1
5 5
03
1 6 4 1 4
rr43 32rr11
0 0 0
4 12 16
3 9 12
1 7 8
1
1121
1 6 4 1 4
(ii) 以非零数k 乘以A的某一列中的所有元素 (第 i 列乘以 k , 记作 kci );
矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行 素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一 行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零 素可行 为0画11的 非出100行 零一数 元条， ，34阶3阶 也梯梯 就线(B线 是，5 )的 非线竖 零的线 行下（ 的方与 元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2
矩阵的初等变换
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换指的是对方阵中的元素施行的线性变换，这种线性变换仅涉及行之间和列之间的移位，加倍或取负，而不涉及现存元素之间的运算，这种变换具有很多特点，它不改变矩阵的性质，具有非常广泛的应用，因此它在数学中被广泛使用。
首先，矩阵的初等变换仅涉及行之间和列之间的移位，加倍或取负，而不涉及现存元素之间的运算。
这类变换包括交换行和列、乘以一行或列的一个非零常数、加一行或列的数倍的另一行或列等等。
这类变换对原矩阵没有实质性影响，经过这种变换，原矩阵的逆矩阵仍然存在，但是变换后的矩阵中元素的值发生了变化。
其次，矩阵的初等变换具有非常广泛的应用，包括多元线性回归中的系数矩阵降秩、求解线性方程组的特解的方法和非完备性矩阵的展开、求取矩阵的最佳逼近等等。
由此可见，矩阵的初等变换是解决线性代数问题的有效工具，在解决数值计算的问题中也有着重要的应用。
第三，矩阵的初等变换具有易于推导的优点。
经过初等变换，矩阵中的元素没有发生实质性的变化，因此变换只涉及矩阵中元素在行或列上的移位、加倍或取负，这种变换可以很容易地推导出，因此它不但可以节省时间，而且是可逆的，即可以以变换前的方程恢复出变换后的矩阵。
最后，矩阵的初等变换具有解决数值计算问题的优势，它可以帮助计算解出精确的数值解，使可能的误差降至最低。
由于初等变
换具有节省时间和可逆的优点，因此它可以有效地帮助计算机解出更为精确的结果。
总的来说，矩阵的初等变换是一种非常有用的变换，该变换仅涉及行列之间的关系，具有节省时间和可逆性的特点，可以有效地帮助计算出更为精确的结果，因此它在数学中得到了广泛的应用。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
线性代数—矩阵的初等变换
1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )
矩阵的初等变换
1 5
r3
rr1262rr33
1 0 0
0 1 0
0
0
．
1
1.1 矩阵的初等变换概念
定理2
任意一个矩阵 Amn ，都能经过有限次初等变换变成标准形矩阵。
例题
2 1 2 3
例2
将矩阵
A
4
1
3
5
化为标准形。
2 0 1 2
2 1 2 3
2 1 2 3
2 0 1 2
解：
A
4
2
1 0
(E(i ，j))1 E(i ，j) ；(E(i(k)))1 E(i(k1)) ；(E(i ，j(k)))1 E(i ，j(k)) ． 性质 2 初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵，即
(E(i ，j))T E(i ，j) ；(E(i(k)))T E(i(k)) ；(E(ri krj ))T E(rj kri ) ． 性质 3 对一个矩阵 Amn 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘一个相应的 m 阶初等 矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A 右乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
线性代数
1.1 矩阵的初等变换概念
定义1
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换． （1）交换矩阵中的第 i 行（列）与第 j 行（列）的元素，记作 ri rj 或 ci cj ； （2）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列），记作 kri 或 kci ； （3）矩阵的第 j 行（列）元素的 k 倍加到第 i 行（列）对应元素上，记作 ri krj 或 ci kcj ．（注意：第 j 行（列）的元素并没有改变。） 矩阵的初等行或列变换统称为初等变换。
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1
矩阵的三种初等变换
矩阵的三种初等变换
矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的初等变换也是线性代数中的基本操作。
初等变换是指对矩阵进行某些简单的操作，使得矩阵的性质发生变化，从而得到新的矩阵。
下面将介绍三种常见的矩阵初等变换，包括行变换、列变换和倍加变换。
一、行变换
行变换是指对矩阵的某一行进行简单变换，例如交换两行、某一行乘以一个数、将某一行加上另一行的某个倍数等操作。
行变换可以使得矩阵变成行最简形式，也可以用于求解线性方程组，例如高斯-约旦消元法就是通过行变换求解线性方程组的方法。
二、列变换
列变换是指对矩阵的某一列进行简单变换，例如交换两列、某一列乘以一个数、将某一列加上另一列的某个倍数等操作。
列变换可以用于求解矩阵的秩、解决线性方程组等问题。
三、倍加变换
倍加变换是指对矩阵某一行或某一列进行一定倍数的加减运算，例如将某一行乘以k之后加到另一行上。
倍加变换可以用于求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等问题。
总之，初等变换是矩阵计算中一个非常重要的操作，通过行变换、列变换和倍加变换可以得到一系列的新矩阵，这些新矩阵在线性
代数中具有很多实际应用。
同时，初等变换也是线性代数学习中的一个重要环节，掌握初等变换的方法及其应用，可以帮助我们更好地理解矩阵及其应用。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。
这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。
一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。
这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。
三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。
3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。
二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。
下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。
假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。
1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。
这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。
这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。
如果系数k为0，则可以直接删除该方程。
3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。
矩阵的初等变换
将定义1中的“行”换成“列”，即可得到 初等列变换的定义。 初等行变换、初等列变换统称为初等变换。
※ 初等变换都是可逆的。
如果矩阵A经有限次初等变换变成了矩阵B， 就称矩阵A与矩阵B等价。记为：A ~ B
矩阵之间等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若A ~ B ，则 B ~ A
例5、求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
例6、求解非齐次线性方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
k k m×n 矩阵A的 k 阶子式共有 Cm Cn 个。
定义3（秩）：设在矩阵A中有一个不为零的 r 阶子式 D，且所有 r 阶以上的子式全为零， 则称数 r 为矩阵A的秩。记为：R(A)
※ 显然有： R(A)＝ R(AT)
例1、求矩阵A、B的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
例3、求矩阵A及B＝（A:b）的秩，其中
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
1 2 例4、已知矩阵 A 1 2
例7、设有线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解
（2）无解
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二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值.
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 c 3
x3
c
x4 3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
系数矩阵
a1n a2n
x1
X
x2
amn
xn
b1
b
b2
bn
(1) 可以表示为 AX b.
称B =(A b)为A的增广矩阵
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
定义 如果两个线性方程组同解，则称这两个线 性方程组等价。
线性方程组的矩阵表示式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组 (1) 的增广矩阵）的变换．
用矩阵的初等行变换 解方程组（2）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
2 2 3
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
B5
对应的方程组为
x1 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 x3
4 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r3 1 1 2 1 4
r3 2r1 r4 3r1
0 0 0
2 5
3
2 5
3
2 3
4
0 6
B2
3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 1 2 1 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
r3 r4 r4 2r3
1 1 0 1 0 0 0 0
2 1 1 1
01 00
4
0 3
B
4
0
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0