高中数学教案集合与简易逻辑

集合与简易逻辑

一.知识网络

以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.

二．高考考点

1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.

2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.

3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力. 4．充分条件与必要条件的判定与应用.

三．知识要点

（一）集合

1.集合的基本概念

（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：

（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.

（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.

（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.

（2）集合的表示方法

集合的一般表示方法主要有

（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.

提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.

（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.

②认知集合的过程：

认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.

例：认知以下集合：

; ；;，其中M=｛0，1｝.

分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R) 点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.

对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故

B=｛y|y≥－1｝.

对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.

对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.

（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.

评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.

2．集合间的关系

（1）子集

（I）子集的定义（符号语言）：若x∈Ax∈B,则AB（注意：符号的方向性）

规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φA 显然：任何一个集合都是自身的子集, 即AA.

（II）集合的相等：若AB且BA，则A=B.

（III）真子集定义：若AB且A≠B；则AB（即A是B的真子集）. 特例：空集是任何非空集合的真子集.

（2）全集，补集

（I）定义：设I是一个集合，AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作 A，即 A=｛x|x∈I,且xA｝. 在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.

（II）性质：φ=U； U=φ；（A）=A

（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.

（3）交集，并集

（I）定义：

①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x∈A,且x∈B｝;

②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x∈A,或x∈B｝.

（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且xB；x∈B且xA；x∈A且x∈B.

（III）基本运算性质

①“交”的运算性质A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C

②“并”的运算性质A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B ∪C）= A∪B∪C

③交.并混合运算性质

A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=A A∪（A∩B）=A

（ IV ）重要性质

①A∩B=A AB； A∪B=BAB；

②A∩B=（A∪B）； A∪B=（A∩B）

上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.

（二）简易逻辑

1.命题

（1）定义

（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.

（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. 复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.

（2）复合命题的真假判断

（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；

（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；

（III）“非p”与p的真假相反.

（3）认知

（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”