2020年高考文科数学第一模拟考试试题
2020年高考第一次模拟考试文科数学试卷(含答案)
2020年高考第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |x ＞0或x ＜﹣1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |x ≥0或x ＜﹣1}2．复数z 满足z =2i1−i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±√5x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x4．已知数列{a n }满足2a n ＝a n ﹣1+a n +1（n ≥2），a 2+a 4+a 6＝12，a 1+a 3+a 5＝9，则a 3+a 4＝（ ） A ．6B ．7C ．8D ．95．已知向量a →=(x ，−1)，b →=(1，√3)，若a →⊥b →，则|a →|=（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．46．“cos2α=12”是“α=kπ+π6(k ∈Z)”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要（ ）A ．43小时B ．46小时C ．47小时D ．49小时8．设直线x ﹣y ﹣a ＝0与圆x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为（ ） A ．±√3 B ．±√6 C ．±3 D ．±99．函数f （x ）＝a1−x 2（a ＞1）的部分图象大致是（ ）10．已知定义域为I 的偶函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且∃x 0∈I ，f （x 0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A ．f （x ）＝x 2+|x | B ．f （x ）＝2x ﹣2﹣xC ．f （x ）＝log 2|x |D ．f(x)=x−4311．已知三棱锥A ﹣BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD =√13，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积是（ ） A ．38πB ．9πC ．76πD ．19π12．已知函数f （x ）＝lnx +a ，g （x ）＝ax +b +1，若∀x ＞0，f （x ）≤g （x ），则b a的最小值是（ ） A ．1+eB ．1﹣eC ．e ﹣1D ．2e ﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若关于x 的不等式（2a ﹣b ）x +（a +b ）＞0的解集为{x |x ＞﹣3}，则ba = ．14．若平面向量a →=（cosθ，sinθ），b →=（1，﹣1），且a →⊥b →，则sin2θ的值是 ． 15．若整数x 、y 满足不等式组{0≤x ≤2x +y −2＞0x −y +2＞0，则z =yx的最小值为 ．16．三角形ABC 中，AB ＝2且AC ＝2BC ，则三角形ABC 面积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 （一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝c ，2sin B =√3sin A ．。
2020年高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考全国1卷数学(文科)模拟试卷(含答案)
2020年高考全国1卷数学（文科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B 2C 2D ．22、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．14、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ） A ．12B ．25C ．38D ．1312、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年文科数学全国卷高考模拟1【含答案】
2020年文科数学全国卷高考模拟1文科数学本试卷共23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． (){},|0,,A x y x y x y R =+=∈,(){},|20,,B x y x y x y R =--=∈，则集合A B I =( )A ．(1,1)-B ．{}{}11x y ==-UC ．{}1,1-D ．(){}1,1- 2.等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 3．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( ) A .1)(2++-=x x x f B ． xx f 1)(=C ． 13()log f x x = D . ()ln f x x =4．已知函数(1),0()(1),0x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．已知0a >,4()4,f x x a x =-+则()f x 为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关6．已知向量(12)a =r ，，(4)b x =r ，，若向量a b //v v，则x =( ) A ．2 B ． 2- C ． 8D ．8-7.设数列{}n a 是等差数列,且5,8152=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A.109S S < B.109S S = C.1011S S < D.1011S S =8．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则l β⊥10题③．若α//l ，α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m . 其中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知离心率为e 的曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为（ ）A ．34B 423C ．43D 2310．给出计算201614121++++Λ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 11．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析
2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=_______．14．已知向量，且，则=_______．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_______．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【考点】程序框图．【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【考点】解三角形．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=2﹣i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．14．已知向量，且，则=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．（2）列联表如下：收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED==30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．2020年9月9日。
2020最新高考模拟数学考试(文科)含答案
65C ． -33D ． - 63，第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A = {x || x - 2 |≤ 2, x ∈ R }, B = { y || y = - x 2,-1 ≤ x ≤ 2}, 则等于（）A ．RB ． {x | x ∈ R 且x ≠ 0}C ．{0}D ． ∅R（A∩B ）2 ． 已 知 cos(α - β ) =3 ,sin β = - 5 , 且α ∈ (0, π ), β ∈ (- π ,0), 则 s in α =51322（）A ． 3365B ． 63653．对于平面α 和共面的直线m ，n 下列命题中真命题是（）A ．若 m ⊥ α , m ⊥ n , 则n // αC ．若 m ⊂ α，n // α，则m // nB ．若 m // α，n // α，则m // nD ．若 m ，n 与α所成的角相等，则m // n4．数列{a }中，若 a = 1 ， a =n12n1 1 - an -1(n ≥ 2, n ∈ N ) 则 a2007的值为A -1B1 C 1D225.如果 f '(x) 是二次函数, 且 f '(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,－那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()3),A. (0, 2π 3 ]B. [0, π 2π π 2π )∪[ , π)C. [0, ]∪[ 2 3 2 3, π) D.π 2π[ , ] 2 3a 2b 2| A ．(1,2 + 3 ⎤B (1, 3 ⎤⎡2+ 3, +∞)D ⎡2 - 3,2 + 3 ⎤11．如图, 直线 MN 与双曲线 C: x 2线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又NP= λPM (λ∈R), 则6．两直线 3x ＋y －2=0 和 y ＋a=0 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7．已知函数 y = f ( x )( x ∈ R)满足f ( x + 2) = f ( x ) 且当 x ∈ [-1,1]时f ( x ) = x 2 ，则y = f ( x )与y = log x 的图像的交点个数为（）7A ．3B ．4C ．5D ．68．若关于 x 的方程 4cos x - cos 2 x + m - 3 = 0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是A. [ -1,+∞)B. [-1,8]C [0,8]D [0,5]9．如图，在杨辉三角中，斜线的上方从 1 开始按箭 头所示的数组成一个锯齿形数列 1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{a } ，则 a 等于n21A ．55B ．65C ．78D ．6610．已知点 F 、F 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点， P 为右1 2支上一点，点 P 到右准线的距离为 d ，若 | PF | 、PF| 、d 依次成等差数列，12则此双曲线离心率的取值范围是（）⎦⎦C⎣ ⎣ ⎦a 2 － y 2b 2 = 1的左右两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准→ →实数λ的取值为 ( )11A. B.1 C.2 D.2312．△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()1221A.1B.C.D.1或333第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．x2113．二项式(－)9展开式中的系数为________2x x14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15．过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________ 16．定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)+f(x)=0,且函数f(x+5)为奇函24数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是5；②函数f(x)的2图像关于点(5,0)对称；③函数f(x)的图像关于直线x=5对称；④42函数f(x)的最大值为f(5).2其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分。
2020年高考第一次模拟考试数学(文科)试卷(含答案)
2020年高考第一次模拟考试数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|-1≤x ≤5}，B={x|x 2-2x >3}，则A ∩B=A.{x|3<x ≤5}B.{x|-l ≤x ≤5} C ．{x|x<-l 或x>3} D ．R2．已知复数z 满足i(3+z )=1+i ，则z 的虚部为A ．-iB ．iC ．-1D ．13．已知函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln ,1,)1()(3x x x x x f 若f(a)）>f(b)，则下列不等关系正确的是 A ．111122+<+b a B ．33b a > C ．ab a <2 D ．)1ln()1ln(22+>+b a 4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数( PMl)如下图所示，则下列结论中错误的是A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为31 B ．12个月的PMI 值的平均值低于50% C ．12个月的PMI 值的众数为49. 4% D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 5．已知函数)42sin()(π-=x x f 的图象向左平移ϕ)0(>ϕ个单位后得到函数)42sin()(π+=x x g 的图象，则ϕ 的最小值为 A ．4π B ．83π C ．2π D ．85π 6．已知数列{a n }满足a n+1-a n =2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为A. - 10 B ．- 14 C ．-18 D ．-207．已知32)2019cos(-=+a π，则=-)22sin(a π A ．97 B ．95 C ．-95 D ．-97 8．已知双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上则C 的离心率为 A ．5-1 B ．2 C ．3 D ．59．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为A ．S> -1?B ．S<0?C ．S<-l?D ．S >0?10.过抛物线E:x 2 =2py(p>0)的焦点F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，没P 为抛物线上的一动点，Q(1，2).若41||1||1=+CD AB ，则|PF|+|PQ|的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．411.已知函数f(x)=x 3 -ax -1，以下结论正确的个数为①当a=0时，函数f(x)的图象的对称中心为（0，一1）；②当a ≥3时，函数f(x)在（-1，1）上为单调递减函数；③若函数f(x)在（-1，1）上不单凋，则0<a<3；④当n =12时f(x)在[-4，5]上的最大值为15.A ．1B ．2C ．3D ．412.已知四棱锥E-ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD 上平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为A. 62 B ．31 C ．32 D.1 二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13.已知向量a =(l ，1)，|b |=3，（2a +b ）•a =2，则|a -b |=14.为激发学生团结协作、敢于拼搏、不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛l 场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，(三)班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为____． 15.将底面直径为4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为16.如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中AB =6，BC =3，CD =4，AD =5，则=+BA sin 2sin 2 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）已知数列{a n }的各项都为正数，a 1 =2，且.1211+=++n n n n a a a a。
2020年高考模拟全国统一考试(全国Ⅰ卷)文科数学模拟试题(PDF版)及答案
不等式
f
(
x)
6
可化为：
x 4
1 − 2x
6
或
1 x 2 6
3
或
x 3 2x − 4
6
，
解得： −1 a 1或1 x 3 或 3 a 5 ，综上： −1 x 5
7
4 − 2x, x 1
（Ⅱ）作出 f ( x) = 2,1 x 3 的图像如图：
2x − 4, x 3
3
20. 已知函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c ( x R) 在 x = − 2 处取得极值，其图象在点
3
(1, f (1)) 处的切线与直线 y + 2 = 0 平行.
（Ⅰ）求 a,b 的值；
（Ⅱ）若对 x −1, 2 都有 f ( x) 1 恒成立，求 c 的取值范围.
故有 99.9%的把握认为观众对电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度与性别具有相关性.
18.【解析】（Ⅰ）设等差数列an 的公差为 d ， a8 是 a5 与 a13 的等比中项.a82 =a5a13 ，即 (a1 + 7d )2 = (a1 + 4d )(a1 +12d )
d = 0 或 d = 2 ； d 0 d = 2 ，an = 2n −1
=
n 2n +1
.
19.【解析】（Ⅰ） AC = BC,O 为 AB 中点，OC ⊥ AB ，
平面VAB ⊥ 平面 ABC ，平面VAB 平面 ABC = AB ， OC 平面 ABC ，OC ⊥ 平面VAB,OC 平面 MOC ，
平面 MOC ⊥ 平面VAB ；
（Ⅱ） AC ⊥ BC 且 AC = BC = 2 ， O 分别为 AB 的中点，
2020年高考新课标(全国卷2)数学(文科)模拟试题(一)
2020年高考新课标（全国卷2）数学（文科）模拟试题（一）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=012x x x A ，{}22≤≤-=y y B ，则A B =IA ．[][]2,11,2--UB ．∅C ．{}1,1-D ．{}1 2、欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ把自然对数的底数e ，虚数单位 i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足（e i π+i ）•z ＝i ，则|z |＝（ ） A ．1B 2C 3D 2 3、某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A ．110B ．16C ．15D ．564、明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为 A ．53 B ．54 C ．158 D ．2635、若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的是A .sin 2sin 2αβ> B.sin 2sin 2αβ< C.cos 2cos 2αβ> D. cos 2cos 2αβ< 6、若变量x ，y 满足约束条件3,30,10.x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则y 的取值范围是A.RB.[]0,4C.[)2,+∞D.(],2-∞ 7、设函数)232sin()322cos()(ππ---=x x x f ，将函数)(x f 的图像向左平移ϕ (ϕ>0)个单位长度，得到函数)(x g 的图像，若)(x g 为偶函数，则ϕ的最小值是 A.6π B. 3π C. 32π D.65π8、若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 9、在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB 3，sin C 6BC BD ＝（ ）A 2B 3C ．3D ．210、P 是双曲线22134x y -=的右支上一点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为（ ） A 3B ．2C 7D ．311、已知函数2||()22019x f x x =+-，则使得(2)(2)f x f x >+成立的x 的取值范围为A ．2(,)(2,)3-∞-+∞UB ．2(,2) 3- C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 12、已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学文科一模试卷 解析版
2020年高考数学文科一模试卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A＝{0，2，4}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（ ）A．{0，2，4}B．{4}C．{2，4}D．{0.1，2，4} 2．（3分）设i为虚数单位，则复数z＝的虚部为（ ）A．i B．﹣i C．﹣1D．13．（3分）已知a＝，b＝log2，c＝，则（ ）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（3分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中比赛得分，则下列说法正确的是（ ）A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差小于乙的方差D．甲的方差大于乙的方差5．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β6．（3分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A．6B．5C．4D．37．（3分）等差数列{a n}中，若a4+a6+a13+a15＝20，则a10﹣a12的值是（ ）A．4B．5C．6D．88．（3分）已知菱形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∠ABC＝120°，则•的值为（ ）A．4B．﹣3C．D．﹣9．（3分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数k，使直线y＝k（x﹣4）与圆x2+y2＝4相交的概率为（ ）A．B．C．D．10．（3分）定义：＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，则＝（ ）A．0B．C．D．111．（3分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|+|≥3||恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．1＜e ≤B．e ≥C．1＜e ≤D．e ≥12．（3分）已知函数f（x）＝lnx+x3与g（x）＝﹣x3﹣ax的图象上存在关于y轴对称的对称点，则实数a的取值范围是（ ）A ．B ．C．a≤e D．a≥e二、填空题（将答案填在答题纸上）13．（3分）若实数x、y 满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为 ．14．（3分）如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为 ．15．（3分）已知正项等比数列{a n}满足a8＝a6+2a4，若存在两项a m，a n ，使得＝a1，则+的最小值为 ．16．（3分）已知抛物线y2＝2mx（m＞0）的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A、B 两点，以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2ty+t2﹣15＝0，则m＝ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a≠b．（1）求角C；（2）若，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积．18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量1级优2级良3级轻度污4级中度污5级重度污6级严重污等级染染染染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1000元，空气质量等量等级为3级时每天需净化空气的费用为2000元．若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3000元的概率．19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，FO⊥平面ABCD，四边形OAEF 为平行四边形．（1）求证：平面DEF⊥平面BDF；（2）若AB＝FO＝BD＝2，点H在线段BF上，且，三棱锥B﹣AHC的体积是四棱锥D﹣AOFE体积的一半，求λ的值．20．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|＝4，且∠F1AF2的最大值．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A′是A关于x轴的对称点，设点N（4，0），连接NA与椭圆C相交于点E，直线A′E与x轴相交于点M，试求|NF1|⋅|MF2|的值．21．已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）若直线l：y＝ax+b是函数F（x）＝f（x）+2x的图象的切线且a，b∈R，求a+b 的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C2的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C2上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）如果关于x的不等式|x+1|+|x﹣5|≤m无解，求实数m的取值范围；（2）若a，b为不相等的正数，求证：a a b b﹣a b b a＞0．参考答案与试题解析一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A＝{0，2，4}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（ ）A．{0，2，4}B．{4}C．{2，4}D．{0.1，2，4}【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B＝{1，4，16}；∴A∩B＝{4}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算．2．（3分）设i为虚数单位，则复数z＝的虚部为（ ）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（3分）已知a＝，b＝log2，c＝，则（ ）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（3分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中比赛得分，则下列说法正确的是（ ）A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差小于乙的方差D．甲的方差大于乙的方差【分析】由茎叶图中的数据，分析得出甲、乙得分的平均数、中位数以及方差的大小即可．【解答】解：由茎叶图知，甲得分主要集中在11～59之间，成单峰分布，单峰在11～14内，乙得分主要在12～51之间，且成单峰分布，单峰在20～28内；∴甲的平均数小于乙的平均数，A错误；甲的中位数是26，乙的中位数是28，甲的中位数小于乙的中位数，B错误；甲得分较分散些，乙得分更集中些，∴甲的方差大于乙的方差，C错误，D正确．故选：D．【点评】本题考查了利用茎叶图判断平均数、中位数和方差的大小应用问题，是基础题．5．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．（3分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A．6B．5C．4D．3【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S＝1，a＝，满足继续循环的条件，n＝2；第二次执行循环体后，S＝，a＝，满足继续循环的条件，n＝3；第三次执行循环体后，S＝，a＝，满足继续循环的条件，n＝4；第四次执行循环体后，S＝，a＝，不满足继续循环的条件，故输出的n值为5，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（3分）等差数列{a n}中，若a4+a6+a13+a15＝20，则a10﹣a12的值是（ ）A．4B．5C．6D．8【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a6+a13+a15＝20，∴4a1+34d＝20，则a10﹣a12＝（4a1+34d）＝×20＝4，故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（3分）已知菱形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∠ABC＝120°，则•的值为（ ）A．4B．﹣3C．D．﹣【分析】由平面向量的线性运算得：＝，＝，由平面向量数量积的性质及其运算得：＝﹣22＝﹣4+2＝﹣3，得解．【解答】解：因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，所以AB＝BD＝AD＝2，又因为E为AB的中点，则＝，＝，所以＝﹣22＝﹣4+2＝﹣3，故选：B．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及平面向量的线性运算，属中档题．9．（3分）在区间[﹣1，2]上随机取一个数k，使直线y＝k（x﹣4）与圆x2+y2＝4相交的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x﹣4）的距离为要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝4相交，则＜2，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，2]上随机取一个数k，使y＝k（x﹣4）与圆x2+y2＝4相交的概率为＝．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．10．（3分）定义：＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，则＝（ ）A．0B．C．D．1【分析】由已知结合三角函数的诱导公式及两角差的余弦求解．【解答】解：由题意，＝cos45°cos105°﹣sin75°sin135°＝﹣cos45°cos75°﹣sin75°sin45°＝﹣cos（75°﹣45°）＝﹣cos30°＝．故选：C．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查诱导公式及两角差的余弦，是基础题．11．（3分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|+|≥3||恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．1＜e≤B．e≥C．1＜e≤D．e≥【分析】利用双曲线的简单性质，结合向量的模，推出结果即可．【解答】解：由OP为△F1PF2的中线，可得4|+|＝8||≥3||，因为||≥a，||＝2c，可得8a≥6c，即双曲线的离心率为：1＜e≤．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12．（3分）已知函数f（x）＝lnx+x3与g（x）＝﹣x3﹣ax的图象上存在关于y轴对称的对称点，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．a≤e D．a≥e【分析】由题意可知f（x）＝g（﹣x）有解，即y＝lnx与y＝ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f（x）＝lnx+x3与g（x）＝﹣x3﹣ax的图象上存在关于y轴的对称点，∴f（x）＝g（﹣x）有解，∴lnx+x3＝x3+ax，∴lnx＝ax，在（0，+∞）有解，分别设y＝lnx，y＝ax，若y＝ax为y＝lnx的切线，∴y′＝，设切点为（x0，y0），∴a＝，ax0＝lnx0，∴x0＝e，∴a＝，结合图象可知，a≤故选：A．【点评】本题导数的几何意义，以及函数与方程的综合应用问题，关键是转化为y＝lnx 与y＝ax有交点，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13．（3分）若实数x、y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为 11 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．【解答】解：由实数x、y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A（3，2）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为3×3+2＝11．故答案为：11．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（3分）如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为 1 ．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知，几何体的直观图如图：，底面是等腰三角形，PO垂直底面，所以几何体的体积为：＝1．故答案为：1．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．15．（3分）已知正项等比数列{a n}满足a8＝a6+2a4，若存在两项a m，a n，使得＝a1，则+的最小值为 4 ．【分析】正项等比数列{a n}满足a8＝a6+2a4，可得＝a4（q2+2），解得q2＝2．若存在两项a m，a n，使得＝a1，q m+n﹣2＝2，可得m+n＝4．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正项等比数列{a n}满足a8＝a6+2a4，∴＝a4（q2+2），解得q2＝2．若存在两项a m，a n，使得＝a1，∴q m+n﹣2＝2，可得m+n＝4．则+＝（m+n）（+）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当n＝3m＝3时取等号．∴+的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（3分）已知抛物线y2＝2mx（m＞0）的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A、B 两点，以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2ty+t2﹣15＝0，则m＝ 6 ．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用抛物线的焦点弦长公式列式求得m值．【解答】解：过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2ty+t2﹣15＝0，即（x﹣1）2+（y﹣t）2＝16，可得弦的中点横坐标为1，圆的半径为4．∴x1+x2＝2，则x1+x2+m＝8，即2+m＝8，可得m＝6，故答案为：6．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力，是基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a≠b．（1）求角C；（2）若，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，化简等式得出A+B的值，从而求出C的值；（2）利用余弦定理，建立方程关系求出ab的值，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）△ABC中，∵b sin B﹣a sin A＝a cos A﹣b cos B，∴sin B•sin B﹣sin A•sin A＝sin A cos A﹣sin B cos B，∴﹣＝sin2A﹣sin2B，整理得sin2A﹣cos2A＝sin2B﹣cos2B，即2sin（2A﹣）＝2sin（2B﹣）；又a≠b，∴（2A﹣）+（2B﹣）＝π，解得A+B＝，∴C＝π﹣（A+B）＝；（2）若c＝2，△ABC的中线CD＝2，则AD＝BD＝，则cos∠ADC＝，cos∠CDB＝，∵cos∠ADC＝﹣cos∠CDB，∴＝﹣，即6﹣b2＝﹣6+a2，则a2+b2＝12，∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴8＝a2+b2﹣2ab×＝12﹣ab，则ab＝4，则△ABC的面积S＝ab sin C＝×4×＝．【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1000元，空气质量等量等级为3级时每天需净化空气的费用为2000元．若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3000元的概率．【分析】（1）由茎叶图求出[0，100）的频率，由此能估计2018年11月中空气质量达到优良的天数．（2）从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数分别为1天，2天，3天，从中任意抽取两天，基本事件总数n＝＝15，这两天的净化空气总费用为3000元包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出这两天的净化空气总费用为3000元的概率．【解答】解：（1）由茎叶图得：[0，100）的频率为：（0.002+0.004）×50＝0.3，∴以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中空气质量达到优良的天数为：30×0.3＝9．（2）从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数分别为：0.002×50×10＝1天，0.004×50×10＝2天，0.006×50×10＝3天，从中任意抽取两天，基本事件总数n＝＝15，这两天的净化空气总费用为3000元包含的基本事件个数m＝＝6，∴这两天的净化空气总费用为3000元的概率p＝＝．【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，FO⊥平面ABCD，四边形OAEF 为平行四边形．（1）求证：平面DEF⊥平面BDF；（2）若AB＝FO＝BD＝2，点H在线段BF上，且，三棱锥B﹣AHC的体积是四棱锥D﹣AOFE体积的一半，求λ的值．【分析】（1）由已知证AO与平面BDF垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）由已知体积的关系结合等积法可得V F﹣ADO＝V H﹣ABC，找出H到底面的距离与FO 的关系，由体积相等列式求解．【解答】（1）证明：∵FO⊥平面ABCD，∴FO⊥AO，又在菱形ABCD中，AO⊥BD，∴AO⊥平面BDF，∵四边形OAEF为平行四边形，∴EF∥AO，∴EF⊥平面BDF，又EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面BDF；（2）解：由（1）知，四边形AOFE为矩形，则V D﹣AOFE＝2V D﹣AOF＝2V F﹣ADO．由三棱锥B﹣AHC的体积是四棱锥D﹣AOFE体积的一半，得V F﹣ADO＝V B﹣AHC＝V H﹣ABC．∵，∴，则，∴H到底面ABC的距离为（1﹣λ）FO＝2（1﹣λ），∵ABCD为菱形，且AB＝FO＝BD＝2，∴，则，解得．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|＝4，且∠F1AF2的最大值．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A′是A关于x轴的对称点，设点N（4，0），连接NA与椭圆C相交于点E，直线A′E与x轴相交于点M，试求|NF1|⋅|MF2|的值．【分析】（1）根据椭圆性质求出a，b的值得出椭圆方程；（2）设直线AN斜率为k，用k表示出M点坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）由椭圆的对称性可知|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|+|BF1|＝|AF1|+|AF2|＝4，故2a＝4，即a＝2，又当A为椭圆的短轴顶点时，∠F1AF2取得最大值，∴b＝c，又b2+c2＝a2＝4，∴a＝2，b＝，c＝1．∴椭圆方程为．（2）设直线AN的方程为y＝k（x﹣4），代入椭圆方程得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，设A（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，∵A′（x1，﹣y1），∴直线A′E的方程为＝，令y＝0可得x＝+x1＝＝＝＝＝1．∴M（1，0），∴|MF2|＝0，∴|NF1|⋅|MF2|＝0．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）若直线l：y＝ax+b是函数F（x）＝f（x）+2x的图象的切线且a，b∈R，求a+b 的最小值．【分析】（1）先确定函数的定义域，然后根据导数符号，求出单调区间．（2）先设出切点坐标，建立a+b关于切点横坐标x0的函数，再利用单调性求出最小值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；所以f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间为（1，+∞）．（2）函数F（x）＝f（x）+2x＝，设切点坐标为，则切线的斜率为，将切点坐标为代入直线l：y＝ax+b可得，，所以，令，，令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，h（x）在区间（0，1）上为减函数，令h′（x）＞0，解得x＞1，h（x）在区间（1，+∞）上为增函数，所以h（x）≥h（1）＝﹣1，故a+b的最小值为﹣1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值等问题，是一道不错的中档题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C2的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C2上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）由曲线C1得曲线C2：（α为参数），消去参数α得曲线C2的普通方程为（x﹣）2+y2＝1，即x2+y2﹣x﹣＝0，其极坐标方程为ρ2﹣ρcosθ﹣＝0，根据互化公式可得直线l的直角坐标方程．（2）点P到直线l的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径．【解答】解：（1）由曲线C1得曲线C2：（α为参数），消去参数α得曲线C2的普通方程为（x﹣）2+y2＝1，即x2+y2﹣x﹣＝0，其极坐标方程为ρ2﹣ρcosθ﹣＝0，由直线l的极坐标方程4ρsin（θ+）+1＝0得2ρsinθ+2ρcosθ+1＝1，可得2 x+2y+1＝0．（2）圆C2的圆心（，0）到直线l的距离d＝，所以点P到直线l的距离得最大值为d+1＝．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）如果关于x的不等式|x+1|+|x﹣5|≤m无解，求实数m的取值范围；（2）若a，b为不相等的正数，求证：a a b b﹣a b b a＞0．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质求出绝对值的最小值结合不等式无解进行求解即可．（2）结合指数幂的性质以及不等式的证明方法利用作差法进行证明即可．【解答】解：（1）∵|x+1|+|x﹣5|≥|x+1﹣x+5|＝6，∴要使|x+1|+|x﹣5|≤m无解，则m＜6，即实数m的取值范围是（﹣∞，6）．（2）证明：∵a a b b﹣a b b a＝a a b b（1﹣）＝a a b b[1﹣（）b（）a]＝a a b b[1﹣（）b﹣a]，∵若a，b为不相等的正数，∴若a＞b，则b﹣a＜0，＞1，∴0＜（）b﹣a＜1则a a b b[1﹣（）b﹣a]＞0，即a a b b﹣a b b a＞0，若a＜b，则b﹣a＞0，0＜＜1，∴0＜（）b﹣a＜1则a a b b[1﹣（）b﹣a]＞0，即a a b b﹣a b b a＞0，综上a a b b﹣a b b a＞0．【点评】本题主要考查绝对值的解法，结合不等式的性质进行转化是解决本题的关键．。
2020届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(一)
= 2 ， = ）2020 届高考数学模拟考试试卷及答案（一）（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．D ．﹣22．集合 A={0，1，2，3，4}，B={x |（x +2）（x ﹣1）≤0}，则 A ∩B=（）A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，1，2，3}C ．{0，1，2}D ．{0，1}3．已知向量 （1， ） （﹣2，m ，若 ∥ ，则|2 +3 |等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．设 a 1=2，数列{1+a n }是以 3 为公比的等比数列，则 a 4=（）A ．80B ．81C ．54D ．535．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm 2B．cm3C．3cm3D．3cm36．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4B．8C．12D．167．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6B．10C．12D．169．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]10．已知直线 l ：y=kx 与椭圆 C ：交于 A 、B 两点，其中右焦点 F 的坐标为（c ，0），且 AF 与 BF 垂直，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．11．对于实数 a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b=，设 f （x ）=（2x﹣3）⊗（x ﹣3），且关于 x 的方程 f （x ）=k （k ∈R ）恰有三个互不相同的实根 x 1、x 2、x 3，则 x 1•x 2•x 3 取值范围为（）A ．（0，3） B ．（﹣1，0） C ．（﹣∞，0） D ．（﹣3，0）12．f （x ）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足 xf′（x ）≤f （x ），对任意的正数 a 、b ，若 a ＜b ，则必有（）A ．af （a ）≤bf （b ）B ．af （a ）≥bf （b ）C ．af （b ）≤bf （a ）D ．af （b ）≥bf （a ）二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分.13 ．圆（ x +2 ） 2+ （ y ﹣ 2 ） 2=2 的圆心到直线 x ﹣ y +3=0 的距离等于．14．已知函数 y=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ≤则 φ 的值为．）的部分图象如示，y15．定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （﹣x ）=﹣f （x ），f （x ﹣2）=f（x +2），且 x ∈=（﹣2，0）时，f （x ）=2x + ，则 f17．已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前 n 项和为 S n ．（Ⅰ）求 a n 及 S n ；（Ⅱ）令 b n =（n ∈N *），求数列{b n }的前 n 项和 T n ．18．已知函数 f （x ）=﹣2sin 2x +2 sinxcosx +1（Ⅰ）求 f （x ）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若 x ∈[﹣，]，求 f （x ）的最大值和最小值．19．某流感病研究中心对温差与甲型 H1N1 病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型 H1N1 病毒和100 只白鼠，然后分别记录了 4 月 1 日至 4 月 5 日每天昼夜温差与实验室里 100 只白鼠的感染数，得到如下资料：日4 月 1 日 4 月 2 日 4 月 34 月 4 日 4 月5 日期温 差感染日10 13 11 12 723 32 24 29 17数（1）求这 5 天的平均感染数；（2）从 4 月 1 日至 4 月 5 日中任取 2 天，记感染数分别为 x ， 用（x ，y ）的形式列出所有的基本事件，其中（ x ，y ）和（y ，x ）视为同一事件，并求|x ﹣y |≤3 或|x ﹣y |≥9 的概率．20．如图，已知三棱锥 A ﹣BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（I ）求证：BC ⊥平面 APC ；（Ⅱ）若 BC=3，AB=10，求点 B 到平面 DCM 的距离．21．已知椭圆 C ： + =1（a ＞b ＞0），圆 Q ：（x ﹣2）2+（y ﹣ ）2=2 的圆心 Q 在椭圆 C 上，点 P （0，）到椭圆 C 的右焦点的距离为 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l 1，l 2，且 l 1 交椭圆 C 于 A ，B 两点，直线 l 2 交圆 Q 于 C ，D 两点，且 M 为 CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．22．已知函数 f （x ）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求 f （x ）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣．2参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，= 2 ， = ） 13．已知向量 （1， ） （﹣2，m ，若 ∥ ，则|2 +3 |等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据 ∥ ，算出 =（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出 的值．【解答】解：∵∴1×m=2×（﹣2），可得 m=﹣4且 ∥ ，由此可得，∴2 +3 =（﹣4，﹣8），得 = =4故选：B4．设 a 1=2，数列{1+a n }是以 3 为公比的等比数列，则 a 4=（）A ．80B ．81C ．54D ．53【考点】8G ：等比数列的性质；8H ：数列递推式．【分析】先利用数列{1+a n }是以 3 为公比的等比数列以及 a 1=2，求出数列{1+a n }的通项，再把 n=4 代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n }是以 3 为公比的等比数列，且 a 1=2所以其首项为 1+a 1=3．其通项为：1+a n =（1+a 1）×3n ﹣ =3n ．当 n=4 时，1+a 4=34=81．∴a 4=80．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×故选：B．=（cm3）．6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4B．8C．12D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．7．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，aβ，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC平面ABCD，故D 错误．故选：C．8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6B．10C．12D．16【考点】HW：三角函数的最值．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==1+9+≥10+2=16．当且仅当∴y=故选：D．=（）（cos2θ+sin2θ）=时，取等号，的最小值为16．9．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当P为点C时斜率最小，所以故选：D．∈[﹣，0]．10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故选：C．11．对于实数 a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b=，设 f （x ）=（2x﹣3）⊗（x ﹣3），且关于 x 的方程 f （x ）=k （k ∈R ）恰有三个互不相同的实根 x 1、x 2、x 3，则 x 1•x 2•x 3 取值范围为（）A ．（0，3） B ．（﹣1，0） C ．（﹣∞，0） D ．（﹣3，0） 【考点】3O ：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系． 【分析】根据定义求出 f （x ）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a ⊗b=，∴f （x ）=（2x ﹣3）⊗（x ﹣3）=其图象如下图所示：，由图可得：x 1=﹣k ，x 2•x 3= k ，故 x 1•x 2•x 3=﹣ k 2，k ∈（0，3），∴x 1•x 2•x 3∈（﹣3，0），故选：D ．12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知条件判断出f′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出f（x）的单调性，利用单调性判断出f（a）与f（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），令F（x）=，则F′（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）≤0在（0，+∞）上单调递减或常函数∴F′（x）≤0，∴F（x）=∵对任意的正数a、b，a＜b∴≥，∵任意的正数a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：C．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．22【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心（﹣2，2），圆（x+2）+（y﹣2）=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d=故答案为：．=．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤则φ的值为．）的部分图象如示，【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（∴y=sin（2x+φ））=π，∴ω==2代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f1（x +2），且 x ∈=（﹣2，0）时，f （x ）=2x + ，则 f=f （1）=﹣f （1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （﹣x ）=﹣f （x ），∴函数 f （x ）为奇函数，又∵f （x ﹣2）=f （x +2），∴函数 f （x ）为周期为 4 是周期函数，∴f=f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2﹣ ﹣ =﹣1，故答案为：﹣1．△16．已知ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】设三角形的三边分别为 a 、b 、c ，且 a ＞b ＞c ＞0，设公差为d=2，求出 a=c +4 和 b=c +2，由边角关系和条件求出 sinA ，求出 A=60°或 120°，再判断 A 的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为 a 、b 、c ，且 a ＞b ＞c ＞0，设公差为 d=2，三个角分别为、A 、B 、C ，则 a ﹣b=b ﹣c=2，可得 b=c +2，a=c +4，∴A ＞B ＞C ，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由 A ∈（0°，180°）得，A=60°或 120°，当 A=60°时，∵A ＞B ＞C ，∴A +B +C ＜180°，不成立；即 A=120°，则 cosA== = ，化简得，解得 c=3，∴b=c +2=5，a=c +4=7，∴cosC== =，又 C ∈（0°，180°），则 sinC=∴这个三角形最小值的正弦值是故答案为：．=，，三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前 n 项和为 S n ．（Ⅰ）求 a n 及 S n ；（Ⅱ）令 b n =（n ∈N *），求数列{b n }的前 n 项和 T n ．【考点】8E ：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为 d ，由于 a 3=7，a 5+a 7=26，可得，解得 a 1，d ，利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I ）可得 b n ==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为 d ，（∵a 3=7，a 5+a 7=26，∴，解得 a 1=3，d=2，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；S n ==n 2+2n ． （Ⅱ） ===，∴T n ===．18．已知函数 f （x ）=﹣2sin 2x +2 sinxcosx +1（Ⅰ）求 f （x ）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若 x ∈[﹣，]，求 f （x ）的最大值和最小值．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】 1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（ωx +φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x ∈[﹣， ]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出 f （x ）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）函数 f （x ）=﹣2sin 2x +2sinxcosx +1，化简可得：f （x ）=cos2x ﹣1+ sin2x +1= sin2x +cos2x=2sin （2x + ）．∴f （x ）的最小正周期 T=，由 2x +=kπ（k ∈Z ）可得对称中心的横坐标为 x= kπ∴对称中心（ kπ，0），（k ∈Z ）．y（2）当 x ∈[﹣ ， ]时，2x + ∈[ ， ]当 2x +当 2x +==时，函数 f （x ）取得最小值为时，函数 f （x ）取得最大值为 2×1=2．．19．某流感病研究中心对温差与甲型 H1N1 病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型 H1N1 病毒和100 只白鼠，然后分别记录了 4 月 1 日至 4 月 5 日每天昼夜温差与实验室里 100 只白鼠的感染数，得到如下资料：日4 月 1 日 4 月 2 日 4 月 34 月 4 日 4 月5 日期温 差感染日10 13 11 12 723 32 24 29 17数（1）求这 5 天的平均感染数；（2）从 4 月 1 日至 4 月 5 日中任取 2 天，记感染数分别为 x ， 用（x ，y ）的形式列出所有的基本事件，其中（ x ，y ）和（y ，x ）视为同一事件，并求|x ﹣y |≤3 或|x ﹣y |≥9 的概率．【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这 5 天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数 n=10，设满足|x ﹣y |≥9 的事件为 A ，设满足|x ﹣y |≤3 的事件为 B ，利用列举法能求出|x ﹣y |≤3 或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD =VB﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面APC，…解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM﹣BCD =VB﹣MDC．∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴．又，∴．在△PBC中，，又∵MD⊥DC，∴，∴∴即点B到平面DCM的距离为．…21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2 的圆心 Q 在椭圆 C 上，点 P （0， ）到椭圆 C 的右焦点的距离为 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l 1，l 2，且 l 1 交椭圆 C 于 A ，B 两点，直线 l 2 交圆 Q 于 C ，D 两点，且 M 为 CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆 Q 的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得 a ，b 的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为 0，求得三角形 MAB 的面积为 4；设直线 y=kx + ，代入圆 Q 的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标，求得 MP 的长，再由直线 AB 的方程为 y=﹣ x +，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简 整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆 Q ：（x ﹣2）2+（y ﹣）2=2 的圆心为（2， ），代入椭圆方程可得+ =1，由点 P （0， ）到椭圆 C 的右焦点的距离为 ，即有 = ，解得 c=2，即 a 2﹣b 2=4，解得 a=2 ，b=2，即有椭圆的方程为+ =1；（2）当直线 l 2：y= ，代入圆的方程可得 x=2± ，可得 M 的坐标为（2， ），又|AB |=4，可得△MAB 的面积为 ×2×4=4；设直线 y=kx + ，代入圆 Q 的方程可得，（1+k 2）x 2﹣4x +2=0，可得中点 M （，），|MP |==，设直线 AB 的方程为 y=﹣ x +（2+k 2）x 2﹣4 kx ﹣4k 2=0，，代入椭圆方程，可得：设（x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得 x 1+x 2= ，x 1x 2= ，则|AB |= •=•，可得△MAB 的面积为 S= •=4，设 t=4+k 2（5＞t ＞4），可得可得 S ＜4，• •= = ＜ =1，且S＞4=综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又e x＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜所以当x∈（0，+∞）时，＜1，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2。
2020届全国1卷高考仿真模拟试卷文科数学含答案
数学（文科）答案及解析
一、选择题
1. 【答案】C 【解析】因为 A {x | log2 x 3} {x | 0 x 8}，B {0，1，2} ， 所以 A B {1，2} ，所以 ðU ( A B) {0 ，3，4} .故选 C.
2 022 2 023 2 023
12.【答案】C
【解析】由题得 f (x) x2 2ax a ，由函数 f (x) 在 x1 ，x2
(x1 x2 ) 处的导数相等，得 x1 x2 2a ， f (x1 x2 ) m 恒成立， m f (2a)(a 1) 恒成立， 令 g(a) f (2a) 1(2a)3 a(2a)2 a 2a 1
13.【答案】 380 9
【解析】设所抽取的这 100 名住户的年龄的中位数为 m ，
则有10 (0.005 0.015 0.020) ( m 40) 0.045 0.5 ,
解得 m 380 . 9
14. 【答案】 (- 3，- 47 ) 24
【解析】由题意得， f (x) 2x 2 .当 2x 2 3 时，
则
x
1 k
y
1 ，代入
y2
4x
，得
y2
4 k
y
4
0
.设
A(x1 ，y1)，
B(x2 ，y2 ) ，则
y1 y2
4 ，所以
x1x2
y12 4
y22 4
( y1y2 )2 16
1 ，因
为 OA OB x1x2 y1y2 1 4 3 0 ，所以 AOB 为钝角，即
OAB 为钝角三角形.故选 B.
3 4 a3 2a2 1(a 1) ，则 g(a) 4a2 4a 4a(a 1) .
(完整版)2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(1)(文科数学含答案详解)
）
A． 5 2
B．5
C．3
D． 5
【答案】D
【解析】由题意可得： OA 4,3 ， OB 1, 2 ，则：
OA tOB 4,3 t 1, 2 4 t,3 2t
4 t 2 3 2t 2
5t2 20t 25 ，
Sufferi 第 2 页， 共 6 页
s to o n 结合二次函数的性质可得，当 t 2 时， OA tOB 5 4 20 2 25 5 ． l min y o 本题选择 D 选项．
16
31 D．
32
so 【答案】C
me 【解析】i 1 ，
thi （1） x 2x 1,i 2 ， ng a （2） x 22x 11 4x 3,i 3， nd （3） x 24x 31 8x 7,i 4 ，
A． 4
B． 4
C． 1 3
1
D．
3
【答案】C
【解析】因为
cos
2
a tim A．
1 3
,
B．
1 3
,
C．
1 2
,
D．
1 2
,
e a 【答案】D nd 【解析】设 F1F2 2c ，令 PF1 t ，由题意可得： t c 2a2 ， t c 2a1 ，
All th 据此可得：a1 a2
c
1
，则：
e1
1 e2
1 ， e1
e2 ， e2 1
2
n,
2
，因此选
A．
thin 9．如图为正方体 ABCD A1B1C1D1 ，动点 M 从 B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向
g a 运动一周后，再回到 B1 的运动过程中，点 M 与平面 A1DC1 的距离保持不变，运动的路程 x 与 nd l MA1 MC1 MD 之间满足函数关系 l f x ，则此函数图象大致是（ ）
2020高考文科数学仿真模拟卷01(含解析)
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U AC B =（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}23x x -<<C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或2．已知11abi i=-+-，其中,a b 是实数，则复数a bi -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设15log 6a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，165c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ）A ．94-B ．94C ．274D ．274- 5．函数()()sin x xf x e ex -=+⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．83D ．47．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为（ ）（参）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.6188．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．99．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）A ．16(,)e eB ．746[,)e eC ．741[,)e eD ．7416(0,][,)e e e11．设函数π()sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A ．π6B ．π2 C ．7π6D ．π12．如图，过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点（A 在B 的上方），若,A B 到C 的一条渐近线的距离分别为12,d d ，且214d d =，则C的离心率为（ ）AB ．54C ．43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________．14．若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．已知12,F F 是椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且121260,PF F F PF S ︒∆∠==,则b =______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()112n n n a a a +=+（*n N ∈）．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1223122311633n n a a a a a a a a a a +++++++>，求正整数n 的最小值． 18．（本小题满分12分）如图所示，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==，60BAF ∠=︒. （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求三棱锥M DAF -的体积1V 与多面体CD AFEB -的体积2V 之比的值.19．（本小题满分12分）基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率%y 进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系.如果能，请计算出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A 型车和800元/辆的B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：车型 报废年限经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：61()()35iii x x y y =--=∑，621()17.5ii x x =-=∑，621()76i i y y =-=∑36.5≈.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑，121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.20．（本小题满分12分）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xx 年高考文科数学第一模拟考试试题数学试题(文科)参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B =g g其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}112|{},10|{≤-=<<=x x T x x S 则S ∩T 等于A ．SB ．TC ．}1|{≤x xD ．φ2. 函数sin y x x =+的周期为A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 3. 已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4. 若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+13的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有A ．2项B ．3项C ．5项D ．6项5. 函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 A ．2B ．4C ．8D ．166. 已知等差数列{}n a 中，315,a a 是方程2610x x --=的两根，则7891011a a a a a ++++ 等于A.18B.18-C. 15D.127. 先后连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1，1)的夹角ο90>θ 的概率是 A ．21 B ．31 C ． 127 D ． 125 8. 正三棱锥S —ABC 中，若侧棱34=SA ，高SO =4,则此正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>24y x =的准线重合。
设双曲线与抛物线的一个交点为P ,抛物线的焦点为F ，则||PF 等于A .21B .18 C. D .410. 已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间]3,4[ππ-上的最小值是2-则ω的最小值等于A ．23 B.32C.2D.3 11. 己知函数f(x)=36)2(2323-++-x x a ax,若方程f(x)=0有三个不同的解,则a 的取值范围是 A. [2,+∞) B.(－∞,2]C. (0,2)D. (－∞,0)12. 如果数列{}n a 满足，1,221==a a 且1111++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a （n ≥2），则此数列的第12项为A ．1221 B ．1121 C ．121 D ．61二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13. 函数)3(log 5.0x y -=的定义域是_________.14. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤0,063y x y x x 则该不等式组表示的平面区域 ,则z=2x+y 的最大值_________.15. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________.16. 在△ABC 中，AB =3，AC =5，∠BAC =120°，其所在平面外一点P 到A 、B 、C 三个顶点的距离都是14，则P 点到直线BC 的距离为 .三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知)2cos ,2sin 3(xx a =,)2cos ,2(cos x x b -=,函数b a x f ⋅=)(.(1)求)(x f 的单调递增区间； (2)若)2,0(π∈x ，)(x f =61-,求x cos 的值.18.（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。
设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.4，0.5。
(1) 若有3位工人参加这次测试，求至少有一人不能上岗的概率。
(2) 若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率。
19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB. D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点.（1）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的大小； (2)求二面角B —A 1D —A 的大小；（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知曲线C ：221y x λ+=．（1）由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，点P 分EF u u u r 所成的比为13-，求点P 的轨迹. P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；（2）如果直线l 的斜率为2，且过点M （0，2-），直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又9MA MB2?-uu r uu r，求曲线C 的方程．21.（本小题满分12分） 已知：函数.3)(23x ax x x f --= （1）若)(x f 在),1[+∞∈x 上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若方程f(x)=(1)32--x a (a>0)至多有两个解,求实数a 的取值范围.22.(本小题满分14分)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n na S a成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若b n =a +n 41-n (n ∈*N ), B n 是数列{b n }的前n 项和,求证：不等式 B 1n +≤4B n ，对任意n ∈*N 皆成立．(3)令.}{,)12)(12(21n n a a a n T n C C n nn项和的前求数列--=+数学试题(文科)参考答案一、选择题(1)A (2) C (3) B (4) B (5) C(6)C (7)D (8)C(9) D(10) C(11)D(12) D 二、填空题(13))3,2[ (14) 15 (15) 48 (16) 1527三、解答题 17. 解：（１）21)6sin(21cos 21sin 232cos 2cos 2sin 3)(2--=--=-=⋅=πx x x x x x b a x f ……4分由3223222622πππππππππ+≤≤-+≤-≤-k x k k x k 得 )(Z k ∈ 所以)(x f 的单调递增区间为]322,32[ππππ+-k k )(Z k ∈ ………6分 （２）由)(x f =61-得：31)6sin(=-πx 366,20ππππ<-<-∴<<x x Θ ∴,322)6cos(=-πx ………8分 ∴-⋅-=+-=6cos)6cos(]6)6cos[(cos ππππx x x 6sin)6sin(ππ⋅-x=6162213123322-=⨯-⨯…………12分18. 解：1) 每位工人通过测试的概率为542112115111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--…………2分 每位工人不能通过测试的概率为51.…………4分 3人中至少有一人不能通过测试的概率125615413=⎪⎭⎫⎝⎛-.…………6分(2) 4位工人中恰有2人通过测试的概率为P=C 24(22)51()54⋅=62596…………12分 。
19. 解：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC∵AC ⊥CB ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ………………2分∴C BA 1∠为B A 1与平面A 1C 1CA 所成角22arctan arctan11==∠C A BC CBA∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角为22arctan……………4分 （2）分别延长AC ，A 1D 交于G. 过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ∵BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影 ∴BM ⊥A 1G ∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角……6分 平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG 中， 552=∴CM 5CMB tan =∠∴, 即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan …………………8分 （3）在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ………10分 其位置为AC 中点，证明如下：∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ， ∴B 1C 1//BC∵由（1）BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，F 为AC 中点 ∴C 1F ⊥A 1D ∴EF ⊥A 1D ……11分 同理可证EF ⊥BD, ∴EF ⊥平面A 1BD …………12分 ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面 ,点F 唯一 解法二：（1）同解法一……………………4分（2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA=2 , AC ⊥CB D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点, 建立如图所示的坐标系得C （0，0，0） B （2，0，0） A （0，2，0） C 1（0，0，2） B 1（2，0，2） A 1（0，2，2）D （0，0，1）E （1，0，2）………………6分)2,2,2()1,0,2(1-=-=∴BA BD 设平面A 1BD 的法向量为n (1,,)=l mr⎩⎨⎧=μ-=λ⎩⎨⎧=μ+λ+-=μ+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴210222020BA n 0BD n 1得即 n (1,1,2)\=-r ……………8分平面ACC 1A 1的法向量为m r =（1，0，0） 16cos n,m 66<>==r r …9分即二面角B —A 1D —A 的大小为66arccos……………10分 （3）在线段AC 上存在一点F ，设F （0，y ，0）使得EF ⊥平面A 1BD欲使EF ⊥平面A 1BD 由（2）知，当且仅当n r//…………11分)2,y ,1(-=Θ 1=∴y … ……13分∴存在唯一一点F （0，1，0）满足条件. 即点F 为AC 中点……12分20.解：（1）设00(,),(,)E x y P x y ，则0(,0)F x ，∵点P 分EF u u u r 所成的比为13- ∴ 13EP PF =-u u u r u u ur∴ ()()0001,,3x x y y x x y --=---∴0023x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22001y x λ+=中，得22419y x λ+=为P 点的轨迹方程. 当49λ=时，轨迹是圆。