《弧长与扇形面积》PPT课件
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弧长和扇形面积的计算PPT课件
解:(1)答案不唯一.如:根据垂径定理可以证明 △CBE≌△DBE,得出BC=BD, BC和BD相等, 所以△BCD是等腰三角形,∠BCD=∠A;由直 径所对的圆周角等于90°,可以得出△ABC是直 角三角形,即BC⊥AC,进而得出OF∥BC;根据 CE⊥BE,由勾股定理可以得出BC2=CE2+BE2.
C.120° D.80°
解析:∵弧长的公式l= n R,∴
180
解得n=160.故选B.
8 n18,09
2.用半径为30 cm,圆心角为120°的扇形围成一 个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径为( A ) A.10 cm B.30 cm
C.45 cm D.300 cm
解析:设此圆锥的底面半径为r cm,根据圆锥的
3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边 所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a, 高h,底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足 r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个 量的情况下求出第三个量.
检测反馈
1.已知一条弧的半径为9,弧长为8π,那么这条 弧所对的圆心角为 ( B ) A.200° B.160°
360
比较扇形面积公式S= n r2 和弧长公式
360
l nr，你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
180
扇形的面积公式：
(其中n为圆心角的度数,r为圆的半径,l为扇 形的弧长).
(教材168页例)如图所示,☉O的半 径为10 cm.
(1)如果∠AOB=100°,求 AB的长及扇形AOB的
面积.(结果保留一位小数) (2)已知 BC =25 cm,求∠BOC的度数.(结果精 确到1°)
R 3
= 60.
4.已知圆锥的母线长为5 cm,底面半 径为3 cm,那么圆锥侧面展开图中, 扇形的圆心角大小为 216° .
《弧长和扇形面积》课件
面积为______
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
45
R
R 2
360
8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
3
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)
=360°-120°-120°=12DB= × 3 × 3
2
60×32
3−
360
=
9 3
3
− .
2
2
记作:扇形OCED
新知探究 知识点1
S =πR2
分别计算下图中各扇形的面积
R
180° O
2
180
R
R 2
360
2
R 90°
O
2
90
R
R 2
360
4
45°
R
O
2
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R
R 2
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8
n°R
O
2
n
n
R
R 2
360
360
扇形面积公式：
半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是
解得
135×4²
R=4，∴此扇形的面积为
=6π(cm2).
360
随堂练习
1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在
的圆的半径均为15 m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，
则游泳池的周长是 40π m.
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2= CO1 = CO2 =15m，
弧长和扇形面积优秀课件
（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什 么联系？
5．布置作业
教科书第 113 页 练习第 1，2，3 题． 教科书习题 24.4 第 4，6，8 题．
（5）半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长？
l n 2R nR
360
180
思考：弧长的大小由哪些量决定？
1．探究并应用弧长公式
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．
A C
B
100° R=900 mm
O
D
2．探究并应用扇形面积公式
4、已知扇形的半径是3cm，此扇形的弧长是 2πcm，则此扇形的圆心角等于_1_2_0_度，扇形 的面积是___3_π__cm²。（结果保留π）
5、一个扇形的半径为3cm，面积为πcm²，则 此扇形的圆心角为___4_0___度。
6、已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长
为 8 ，则此扇形的面积是___1_6_____。
九年级 上册
24.4 弧长和扇形面积（第1课时）
教学目标
• 1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法 推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算 • 2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式 ，并能利用扇形面积公式进行相关计算．
1．探究并应用弧长公式
问题1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周 长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
问题2：什么图形是扇形。
B
B
弧 圆圆心心角角
A
扇形
O A
2．探究并应用扇形面积公式
问题3：你能否类比刚才我们研究弧长公式的 方法推导出扇形面积的计算公式？
5．布置作业
教科书第 113 页 练习第 1，2，3 题． 教科书习题 24.4 第 4，6，8 题．
（5）半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长？
l n 2R nR
360
180
思考：弧长的大小由哪些量决定？
1．探究并应用弧长公式
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．
A C
B
100° R=900 mm
O
D
2．探究并应用扇形面积公式
4、已知扇形的半径是3cm，此扇形的弧长是 2πcm，则此扇形的圆心角等于_1_2_0_度，扇形 的面积是___3_π__cm²。（结果保留π）
5、一个扇形的半径为3cm，面积为πcm²，则 此扇形的圆心角为___4_0___度。
6、已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长
为 8 ，则此扇形的面积是___1_6_____。
九年级 上册
24.4 弧长和扇形面积（第1课时）
教学目标
• 1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法 推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算 • 2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式 ，并能利用扇形面积公式进行相关计算．
1．探究并应用弧长公式
问题1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周 长的一部分．如何计算圆周长？如何计算弧长？
问题2：什么图形是扇形。
B
B
弧 圆圆心心角角
A
扇形
O A
2．探究并应用扇形面积公式
问题3：你能否类比刚才我们研究弧长公式的 方法推导出扇形面积的计算公式？
弧长及扇形的面积ppt课件
如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右 滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成 的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°， 怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、 如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求 弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它 翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌 面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动 ，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路 径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为 圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、 弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
弧长和扇形面积公式ppt课件
形的面积为___4____.
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
弧长和扇形面积的计算ppt课件
式 S扇形=
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
弧长和扇形面积ppt
这个公式是计算扇形面积的基础，通过将扇形角度转换为弧度，并将其除以360， 然后乘以π和半径的平方，可以得出扇形的面积。
扇形面积在几何图形中的应用
总结词
扇形面积在几何图形中有着广泛的应用，如计算圆的面积、 解决实际问题等。
详细描述
在几何学中，扇形面积常常用于计算更复杂的图形，如椭圆 、弓形等。此外，在实际生活中，扇形面积也常用于计算各 种实际问题，如建筑物的通风、管道的通风等。
03
扇形面积
扇形面积的定义
总结词
扇形面积是指一个扇形的内部区 域的面积。
详细描述
扇形面积是从一个圆中切割出来 的一部分，由两条半径和圆弧围 成。它可以用圆的面积和切割角 度来表示。
扇形面积的计算公式
总结词
扇形面积的计算公式是 (θ/360) × π × r^2，其中θ是扇形的角度，r是半径。
详细描述
04
弧长和扇形面积的关系
弧长和扇形面积的关联性
01
弧长和扇形面积都是圆或圆弧的一部分，它们之间存在密切的 关联性。
02
弧长是圆弧的长度，而扇形面积是圆心角和半径的函数。
在相同的圆心角和半径条件下，弧长和扇形面积可以通过特定
03
的公式相互转换。
弧长和扇形面积的转换关系
弧长（s）和扇形面积（A）之 间的关系可以用以下公式表示： s = αr，其中α是圆心角的弧
度数，r是半径。
扇形面积也可以表示为 A = 0.5lr，其中l是弧长。
通过这两个公式，我们可以将 弧长和扇形面积相互转换。
弧长和扇形面积在实际问题中的应用
1
在几何学中，弧长和扇形面积是研究圆和圆弧性 质的重要参数。
2
在物理学中，弧长和扇形面积可以用于描述旋转 体的运动轨迹和能量分布。
扇形面积在几何图形中的应用
总结词
扇形面积在几何图形中有着广泛的应用，如计算圆的面积、 解决实际问题等。
详细描述
在几何学中，扇形面积常常用于计算更复杂的图形，如椭圆 、弓形等。此外，在实际生活中，扇形面积也常用于计算各 种实际问题，如建筑物的通风、管道的通风等。
03
扇形面积
扇形面积的定义
总结词
扇形面积是指一个扇形的内部区 域的面积。
详细描述
扇形面积是从一个圆中切割出来 的一部分，由两条半径和圆弧围 成。它可以用圆的面积和切割角 度来表示。
扇形面积的计算公式
总结词
扇形面积的计算公式是 (θ/360) × π × r^2，其中θ是扇形的角度，r是半径。
详细描述
04
弧长和扇形面积的关系
弧长和扇形面积的关联性
01
弧长和扇形面积都是圆或圆弧的一部分，它们之间存在密切的 关联性。
02
弧长是圆弧的长度，而扇形面积是圆心角和半径的函数。
在相同的圆心角和半径条件下，弧长和扇形面积可以通过特定
03
的公式相互转换。
弧长和扇形面积的转换关系
弧长（s）和扇形面积（A）之 间的关系可以用以下公式表示： s = αr，其中α是圆心角的弧
度数，r是半径。
扇形面积也可以表示为 A = 0.5lr，其中l是弧长。
通过这两个公式，我们可以将 弧长和扇形面积相互转换。
弧长和扇形面积在实际问题中的应用
1
在几何学中，弧长和扇形面积是研究圆和圆弧性 质的重要参数。
2
在物理学中，弧长和扇形面积可以用于描述旋转 体的运动轨迹和能量分布。
弧长与扇形面积公式ppt课件
90求截面上有水部分的面积。
有水部分的面积 = S扇- S△
有水部分的面积 A = S扇+ S△
0
AD
B
D
C
E
B
0
12
C
1.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径 都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形
中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.
B A
D
C
13
n°
B
O
示
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的 扇形面积为S，则
S扇形
nR 2
360
8
1.已知扇形的圆心角为120°，
半径为2，则这个扇形的面积
S扇形=
4
3
.
2.已知扇形面积为 1 ，圆心
3
角为60°，则这个扇形的半
径R=___2_．
9
比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:
交
B
A.10 cm B.
3
20 cm
3
C.
25 cm
3
D. 50 cm
3
15
中考链接
5.如果一个扇形面积是它所
在圆的面积的 1 ，则此扇 8
形的圆心角是（ C ）
0
16
6.已知半径为2cm的扇形，其弧为 ，
则这4 个扇形的面积是
。
3
7.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”
22
那么这条弧所对的圆心角为 1600 .
4
实 制造弯形管道时，要先按中心 际 线计算“展直长度”，再下料，
应 试计算图所示管道的展直长度L.
用
( 500 +1400 )mm
有水部分的面积 = S扇- S△
有水部分的面积 A = S扇+ S△
0
AD
B
D
C
E
B
0
12
C
1.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径 都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形
中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.
B A
D
C
13
n°
B
O
示
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的 扇形面积为S，则
S扇形
nR 2
360
8
1.已知扇形的圆心角为120°，
半径为2，则这个扇形的面积
S扇形=
4
3
.
2.已知扇形面积为 1 ，圆心
3
角为60°，则这个扇形的半
径R=___2_．
9
比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:
交
B
A.10 cm B.
3
20 cm
3
C.
25 cm
3
D. 50 cm
3
15
中考链接
5.如果一个扇形面积是它所
在圆的面积的 1 ，则此扇 8
形的圆心角是（ C ）
0
16
6.已知半径为2cm的扇形，其弧为 ，
则这4 个扇形的面积是
。
3
7.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”
22
那么这条弧所对的圆心角为 1600 .
4
实 制造弯形管道时，要先按中心 际 线计算“展直长度”，再下料，
应 试计算图所示管道的展直长度L.
用
( 500 +1400 )mm
弧长和扇形面积(公开课)课件
电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
14．(10分)如图，每个小正方形的边长为1 cm，O，A，B都在小正方 形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图． (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径．
(1)由图可知，OB＝ 22＋22＝2 2，则弧 AB 的长为90π1×802 2＝ 2π，
∴面积为12×2 2× 2π＝2π
由 20π＝12108π0R，∴R＝30，∴S 侧＝12×20π×30＝300π.S 全 ＝S 侧＋S 底＝300π＋π·102＝400π
11．(XXXX·聊城)把地球看成一个外表光滑的球体，假设沿地球赤道
绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16
cm，那么钢丝大约需要加长( A)
8．(3分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形， 那么此圆锥的底面圆的半径为_____1___．
9．(3 分)如图，⊙O 中，半径 OA＝4，∠AOB＝120°，用阴影部分的
扇形围成的圆锥底面圆的半径长是( B )
A．1 5
C.3
4 B.3 D．2
10．(8分)如果圆锥底面的周长是20π，侧面展开后所得扇形的圆心角 为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
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14．(10分)如图，每个小正方形的边长为1 cm，O，A，B都在小正方 形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图． (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径．
(1)由图可知，OB＝ 22＋22＝2 2，则弧 AB 的长为90π1×802 2＝ 2π，
∴面积为12×2 2× 2π＝2π
由 20π＝12108π0R，∴R＝30，∴S 侧＝12×20π×30＝300π.S 全 ＝S 侧＋S 底＝300π＋π·102＝400π
11．(XXXX·聊城)把地球看成一个外表光滑的球体，假设沿地球赤道
绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16
cm，那么钢丝大约需要加长( A)
8．(3分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形， 那么此圆锥的底面圆的半径为_____1___．
9．(3 分)如图，⊙O 中，半径 OA＝4，∠AOB＝120°，用阴影部分的
扇形围成的圆锥底面圆的半径长是( B )
A．1 5
C.3
4 B.3 D．2
10．(8分)如果圆锥底面的周长是20π，侧面展开后所得扇形的圆心角 为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
弧长和扇形面积ppt
利用弧度制计算弧长
总结词
利用弧度制计算弧长是一种基于角度的另一种计算方式，通过将角度转换为弧度 ，并利用弧长公式进行计算。
详细描述
在弧度制下，角度和弧长之间的关系可以用公式L=rθ表示，其中θ是以弧度为单位 的角度。通过将角度转换为弧度，我们可以利用这个公式计算出弧长。
利用微积分计算弧长
总结词
利用微积分计算弧长是一种基于微元法的计算方式，通过将圆分割成无数个小的弧段，并求和得到整 个圆的周长。
详细描述
利用微积分计算弧长的基本思想是将圆分割成无数个小的弧段，每个弧段的长度可以近似为弦长。然 后，将这些弦长相加得到整个圆的周长。这个方法可以用来计算任意曲线的长度，包括圆的周长。
03 扇形面积的计算方法
利用圆的性质计算扇形面积
总结词
通过圆的性质，我们可以将扇形面积转化为圆的一部分，从而计算出其面积。
05 弧长和扇形面积的扩展知 识
弧长的变种：曲线的长度
弧长的概念
弧长是曲线的基本属性之一，表示曲线上两点之间的长度。在几 何学中，弧长通常用于描述曲线段的长度。
曲线的长度
除了弧长，曲线的长度也是重要的概念。一条曲线由无数个小的直 线段组成，这些直线段的长度之和就是曲线的总长度。
计算方法
计算曲线的长度通常需要使用微积分的方法，通过求和公式将无数 个小的直线段长度相加，得到曲线的总长度。
04 弧长和扇形面积的应用
在几何学中的应用
弧长公式
弧长公式是计算圆弧或曲线的长度的重要工 具，广泛应用于几何学中。通过弧长公式， 可以确定圆弧的长度，进而用于解决与圆、 椭圆、抛物线等形状相关的几何问题。
扇形面积公式
扇形面积公式是计算扇形面积的基础，对于 解决与圆、椭圆、抛物线等形状相关的几何 问题具有重要意义。通过扇形面积公式，可 以确定扇形的面积，进而用于解决与角度、 弧长等相关的几何问题。
弧长及扇形的面积-PPT课件
C=2π R，S⊙O＝π R2 （2）什么叫圆心角？
顶点在圆心，它的两边分别与圆还有另一个交点这 样的角叫做圆周角
我们上体育课掷铅球练习时， 要在指定的圆圈内进行，这个 圆的直径是2.135m。这个圆的 周长与面积是多少呢？（结果 精确到0.01）
周长约是6.70m，面 积约是3.58㎡
想一想
（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是多少？
（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算。
（3）题设没有标明精确度的，结果可以用π 表示。
4、较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形
的面积的和或差进行计算。
论正确的是（ ）
C
A.甲先到B点 C.甲、乙同时到B点
B.乙先到B点 D.无法确定
DE F G A A1 A2 A3 B
课堂小结
1、弧长计算公式是什么？ l n R
180
2、扇形的面积计算公式是什么？
S扇形
n R2
360
或
S扇形
1 lR 2
3、在进行弧长或扇形面积计算时要注意些什么？
（1）公式中n表示1°的圆心角的倍数；
4
O
AC
O1
B
D.2π
O2
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子 的另一端拴着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多 大？
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的
计算公式为S扇形=
n R2
180 角所对的弧长是 5π 。
3
（2）如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且
顶点在圆心，它的两边分别与圆还有另一个交点这 样的角叫做圆周角
我们上体育课掷铅球练习时， 要在指定的圆圈内进行，这个 圆的直径是2.135m。这个圆的 周长与面积是多少呢？（结果 精确到0.01）
周长约是6.70m，面 积约是3.58㎡
想一想
（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是多少？
（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算。
（3）题设没有标明精确度的，结果可以用π 表示。
4、较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形
的面积的和或差进行计算。
论正确的是（ ）
C
A.甲先到B点 C.甲、乙同时到B点
B.乙先到B点 D.无法确定
DE F G A A1 A2 A3 B
课堂小结
1、弧长计算公式是什么？ l n R
180
2、扇形的面积计算公式是什么？
S扇形
n R2
360
或
S扇形
1 lR 2
3、在进行弧长或扇形面积计算时要注意些什么？
（1）公式中n表示1°的圆心角的倍数；
4
O
AC
O1
B
D.2π
O2
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子 的另一端拴着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多 大？
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的
计算公式为S扇形=
n R2
180 角所对的弧长是 5π 。
3
（2）如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且
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180 360
90 360
45 360
n 360
所对弧长是 180 2r
360
90 2r
360
45 2r
360
n 2r
360
圆心角占整个周角的
180 360
90 360
45 360
n 360
所对扇形面积是
180 r 2
360 90 r 2
360
45 r 2
360
n r 2
360
结论：
1.如果弧长为C1，圆心角度数为n度，圆 的半径为r，那么，弧长的计算公式为： Q
1.问题情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(mm，精确到1mm)
A 700mm
C
B R=900mm 100 O
700mm D
2.探求新知
如图，由组
成圆心角的两条
半径和圆心角所
对的弧所围成的
O
图形叫做扇形
扇形
由图可知：扇形面积越大，圆心角就越大
解 : 设半径OA绕轴心O按逆时针
方向旋转n°,则
n R =15.7
180
解方程，得
n≈90.
答：滑轮按逆时针方向旋转的
角度约为90°.
例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球 周长（或子午圈长）的简单方法．如图24-64， 点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两 地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大 致相同，两地的实际距离为5000希腊里（1希 腊里≈158.5m)．当太阳光线在赛伊尼直射时， 同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方
24-67，设该扇形的面积为S.
在铁皮上画一个扇形，除需 知道扇形半径l 外，还需知
道扇形圆心角α．由刚学过
的弧长计算方法，可得
∴ 2 r 2 l
360
=360 r =360 40 =288
l
50
S= l 2 = 288 502 =2000 (cm2 )
360
360
一、弧长的计算公式
C1Βιβλιοθήκη n 3602RnR
180
二、扇形面积计算公式
s
n 360
r
2或s
1 2
C1r
三、圆锥侧面面积计算公式
S侧 rl
课后作业
1.完成P56练习题
2.P57 习题24.7 第3、6题（上交 ）
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
小试牛刀 下列图形是扇形吗？
扇形：
怎样计算圆心角 是n0的弧长和扇形面 积？
Q
l
扇形面积S
n° Or
知识回顾
o rp
圆的周长公式
C=2πr
圆的面积公式
S=πr2
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长及对应扇形面积。
图 23.3.2
圆心角占整个周角的
向的角为α,实际测得α是7.2°，由此估算出
了地球的周长，你能进行计算吗？
解: 因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角
∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长（即⊙O的周长）为C，则
C = 360 =50,
∴
AS 7.2
C 50 AS 50 5000
250000(希腊里)
≈39625(km)
答：地球的周长约为39625km.
C1
n 360
2R
nR
180
l
扇形面积S
n° Or
2.如果扇形面积为s，圆心角度数为n，
圆半径是r，那么扇形面积计算公式为：
s
n 360
r
2
nr
180
r 2
1 2
C1r
s n r 2
360
或s
1 2
C1r
例1 一滑轮装置如图24-63，滑轮的半径 R=10cm，当重物上升15.7cm时，问滑轮的一 条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？ (假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)
我们知道，地球周长约为40000km．可见，2000
前，埃拉托塞尼的估算结果已经相当精确了.
完成书本P55思考题
小组讨论/ 同桌之间合作交流
1.圆柱的侧面展开图是 什么? 它的侧面展开图的面积 计算公式是什么
S侧 2 rl
2.点击概念
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底 面是一个圆，侧面是一个曲面.
l
h Or
1.圆锥的高h
(思考：圆锥的母线
2.圆锥的母线l
有几条？)
4.3高.底、面母半线径、r底面半径之间的 关系
l2 h2 r2
继续探索
若将准备好的圆锥 模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展 开图．
hl
Or
图 23.3.7
得出结论
圆锥的侧面积
S侧
1 2
C1R
1 2
2r
l
rl
例3如图24-66，圆锥形的烟囱帽，它的 底面直径为80cm，母线为50cm．在一块 大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽 的侧面展开图？求出该侧面展开图的面 积． 解 烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
90 360
45 360
n 360
所对弧长是 180 2r
360
90 2r
360
45 2r
360
n 2r
360
圆心角占整个周角的
180 360
90 360
45 360
n 360
所对扇形面积是
180 r 2
360 90 r 2
360
45 r 2
360
n r 2
360
结论：
1.如果弧长为C1，圆心角度数为n度，圆 的半径为r，那么，弧长的计算公式为： Q
1.问题情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(mm，精确到1mm)
A 700mm
C
B R=900mm 100 O
700mm D
2.探求新知
如图，由组
成圆心角的两条
半径和圆心角所
对的弧所围成的
O
图形叫做扇形
扇形
由图可知：扇形面积越大，圆心角就越大
解 : 设半径OA绕轴心O按逆时针
方向旋转n°,则
n R =15.7
180
解方程，得
n≈90.
答：滑轮按逆时针方向旋转的
角度约为90°.
例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球 周长（或子午圈长）的简单方法．如图24-64， 点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两 地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大 致相同，两地的实际距离为5000希腊里（1希 腊里≈158.5m)．当太阳光线在赛伊尼直射时， 同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方
24-67，设该扇形的面积为S.
在铁皮上画一个扇形，除需 知道扇形半径l 外，还需知
道扇形圆心角α．由刚学过
的弧长计算方法，可得
∴ 2 r 2 l
360
=360 r =360 40 =288
l
50
S= l 2 = 288 502 =2000 (cm2 )
360
360
一、弧长的计算公式
C1Βιβλιοθήκη n 3602RnR
180
二、扇形面积计算公式
s
n 360
r
2或s
1 2
C1r
三、圆锥侧面面积计算公式
S侧 rl
课后作业
1.完成P56练习题
2.P57 习题24.7 第3、6题（上交 ）
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
小试牛刀 下列图形是扇形吗？
扇形：
怎样计算圆心角 是n0的弧长和扇形面 积？
Q
l
扇形面积S
n° Or
知识回顾
o rp
圆的周长公式
C=2πr
圆的面积公式
S=πr2
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长及对应扇形面积。
图 23.3.2
圆心角占整个周角的
向的角为α,实际测得α是7.2°，由此估算出
了地球的周长，你能进行计算吗？
解: 因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角
∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长（即⊙O的周长）为C，则
C = 360 =50,
∴
AS 7.2
C 50 AS 50 5000
250000(希腊里)
≈39625(km)
答：地球的周长约为39625km.
C1
n 360
2R
nR
180
l
扇形面积S
n° Or
2.如果扇形面积为s，圆心角度数为n，
圆半径是r，那么扇形面积计算公式为：
s
n 360
r
2
nr
180
r 2
1 2
C1r
s n r 2
360
或s
1 2
C1r
例1 一滑轮装置如图24-63，滑轮的半径 R=10cm，当重物上升15.7cm时，问滑轮的一 条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？ (假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)
我们知道，地球周长约为40000km．可见，2000
前，埃拉托塞尼的估算结果已经相当精确了.
完成书本P55思考题
小组讨论/ 同桌之间合作交流
1.圆柱的侧面展开图是 什么? 它的侧面展开图的面积 计算公式是什么
S侧 2 rl
2.点击概念
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底 面是一个圆，侧面是一个曲面.
l
h Or
1.圆锥的高h
(思考：圆锥的母线
2.圆锥的母线l
有几条？)
4.3高.底、面母半线径、r底面半径之间的 关系
l2 h2 r2
继续探索
若将准备好的圆锥 模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展 开图．
hl
Or
图 23.3.7
得出结论
圆锥的侧面积
S侧
1 2
C1R
1 2
2r
l
rl
例3如图24-66，圆锥形的烟囱帽，它的 底面直径为80cm，母线为50cm．在一块 大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽 的侧面展开图？求出该侧面展开图的面 积． 解 烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日