中考数学 圆的综合综合试题附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.

（1）求证：AE=BF；

（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；

（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.

【答案】（1）（2）见解析；（3）9

【解析】

分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=1

2

AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的

余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；

（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．

详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=1

2

AC，∠CBD=∠C=45°，

∴∠A=∠FBD．

∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．

∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，

A FBD

AD BD

EDA FDB

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

，

∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；

（2）连接EF，BG．

∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．

∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．

∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．

∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；

（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2．

∵EB=4，BF=2，∴EF=22

42

+=25．

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=

DE

EF

．

∵EF=25，∴DE=25×

2

=10．

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴

GE

AE

=

EB

ED

，即GE•ED=AE•EB，

∴10•GE=8，即GE=410，则GD=GE+ED=910．

∴119101

109

2252

S GD DF GD DE

=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．

点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．

2．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．

（1）当t=0时，点F的坐标为；

（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离； （3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；

（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．

【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245

或325. 【解析】

试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标； （2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；

（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论； （4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．

试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°， ∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =

1

2

AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．

（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．

（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴

AB AO FA FE =，∴1853

t

=，