热传导方程
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数学物理方法
1.受力分析
F kx
2. 牛顿定律
mx F
3.振动方程 k x x0 m 4.根据初始条件 确定参数。
数学物理方法
第一节 波动问题
一、杆的纵振动方程（杆：非刚性杆）
L
S
设：均匀细棒（杆） ，沿杆长方向作微小振动 u(x,t)：平 衡时坐标为 x 的点在 t 时刻沿 x 方向的位移。求：细杆上各
数学物理方法
其次，为了把某一特定的物理过程完全弄清楚，还要知 道这个过程发生的具体条件（如初始时刻的条件及边界上的 条件等） ，这些条件称为定解条件。 泛定方程加上适当的定解条件就构成了一个定解问题。 本章将导出三类典型的物理过程的泛定方程和定解条件，
即波动问题的波动方程和定解条件，输运问题的热传导方程和 定解条件，以及稳定场问题的泊松方程，拉普拉斯方程与定解 条件。 最后讨论定解问题的适定性，即解得存在性，唯一性和稳 定性。
a
a2 a4 cos a 1 2! 4!
u ( x) u u
u ( x)
T1
B
1
2
C
T2
a （线性化）
wk.baidu.com
1
A
dx 并且由此导出弦的长度近似不变： ds dx cos a （3）弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
0
x
x dx
x
数学物理方法
由牛顿第二定律： 纵向：T ( x dx) cos a2 T ( x) cos a1 0 （弦只作横振动） （1）
略去垂直于杆长方向的形变
u ( x, t ) 胡克定律 （P：应力， P( x, t ) Y x 作用于单位横截面的内力）对该小段，有两个侧面 两侧均
受到应力的作用
x
x dx
x u
u dx
数学物理方法
F ( x dx, t ) F ( x, t ) S [ p ( x dx, t ) p ( x, t )] u ( x dx, t ) u ( x, t ) 沿 x 方向的合力 SY [ ] x x u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2 u x x SY [ dx] SY 2 dx dx x
数学物理方法
u ( x) u u
T2
C
B
2
将（3） ， （4）代入（2） ， 且张力与 x 无关：
u ( x)
T1
1
A
u u ( x dx, t ) u ( x, t ) dx 2 T [ ] F ( x, t )dx t x x
2
0
x
x dx
x
2u 2u 2 T 2 F ( x, t ) t x
数学物理方法
简化假设： （1）弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点 的张力沿弦的切线方向
（2）振幅极小 张力与水平方向的夹解 a1和a2 很小， 仅考虑
a1和a2 的一阶小量，略去高阶小量：
a3 a5 sin a a 3! 5! a 3 2a 5 tga a 3! 15
定义： a T / , f ( x, t ) F ( x, t ) / ，则有
utt a 2uxx f ( x, t )
utt a 2uxx
x
（杆的纵振动方程）
x dx
x u
u dx
数学物理方法
问题：方程中 a 的物理意义？（从其表达式看出，它是 反映杆本身性质的一个量）
说明：在以上推导中所作的简化假定 （1）杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去由于 杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性方程； （2）杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相同， 这样可只用一个变量 x 来表示同一截面上的各个点，否则 u 将不只是 x 和 t 的函数。
x
x dx
点的运动规律。
u
u dx
x
研究对象：取一不包含端点的小段（x,x+dx） ，并设杆的 横截面积为 s，密度为 ，杨氏模量为 Y，该小段在 t 时刻的 伸长量 u(x+dx,t)-u(x,t)
数学物理方法
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u 相对伸长量： dx x
第九章
定解问题
用数学方法研究自然科学和工程技术中的实际问题时， 首先要建立合理的数学模型，从数量上刻画各物理量之间的 关系。很多情况下这种模型是一个含有未知函数的偏导数的 方程。这些反应物理及工程过程规律的方程就是所谓的数学 物理方程。
要得到和求解数学物理方程：首先，导出这些物理量所 遵守的数学物理方程，称为泛定方程（本书重点讨论二阶线 性偏微分方程） ；
2
u ( x) u u
u ( x)
T1
B
T2
C
2
1
A
0
u 横向： dx 2 T ( x dx)sin a2 T ( x)sin a1 F ( x, t )dx （2） t
x
x dx
x
其中： F ( x, t )为单位长度弦所受到的强迫力 u ( x, t ) 又 sin a1 a1 tan a1 （3 ） x u ( x dx, t ) （4 ） sin a2 a2 tan a2 x 由（1）及 cos a1 1,cos a2 1 T ( x dx) T ( x) 张力与 x 无关
由牛顿第二定律： ma F
x
2u (a 2 , m dv Sdx) t
x dx
x u
u dx
数学物理方法
2u 2u 得 Sdx 2 SY 2 dx t x
2u u [ 2 ( )] x x x
令a
Y
2u 2u ，并记： utt 2 , u xx 2 ，有 t x
数学物理方法
二、弦的横振动方程
u ( x) u u
u ( x)
T1
B
2
C
T2
1
A
0
x
x dx
x
设：均匀柔软的细弦沿 x 轴绷紧，在平衡位置附近产生 振幅极小的横振动 u( x, t ) ： 坐标为 x 的点在 t 时刻沿 y 方向的 位移。 求：细弦上各点的振动规律 研究对象：选取不包括端点的一小段 ( x, x dx)
1.受力分析
F kx
2. 牛顿定律
mx F
3.振动方程 k x x0 m 4.根据初始条件 确定参数。
数学物理方法
第一节 波动问题
一、杆的纵振动方程（杆：非刚性杆）
L
S
设：均匀细棒（杆） ，沿杆长方向作微小振动 u(x,t)：平 衡时坐标为 x 的点在 t 时刻沿 x 方向的位移。求：细杆上各
数学物理方法
其次，为了把某一特定的物理过程完全弄清楚，还要知 道这个过程发生的具体条件（如初始时刻的条件及边界上的 条件等） ，这些条件称为定解条件。 泛定方程加上适当的定解条件就构成了一个定解问题。 本章将导出三类典型的物理过程的泛定方程和定解条件，
即波动问题的波动方程和定解条件，输运问题的热传导方程和 定解条件，以及稳定场问题的泊松方程，拉普拉斯方程与定解 条件。 最后讨论定解问题的适定性，即解得存在性，唯一性和稳 定性。
a
a2 a4 cos a 1 2! 4!
u ( x) u u
u ( x)
T1
B
1
2
C
T2
a （线性化）
wk.baidu.com
1
A
dx 并且由此导出弦的长度近似不变： ds dx cos a （3）弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
0
x
x dx
x
数学物理方法
由牛顿第二定律： 纵向：T ( x dx) cos a2 T ( x) cos a1 0 （弦只作横振动） （1）
略去垂直于杆长方向的形变
u ( x, t ) 胡克定律 （P：应力， P( x, t ) Y x 作用于单位横截面的内力）对该小段，有两个侧面 两侧均
受到应力的作用
x
x dx
x u
u dx
数学物理方法
F ( x dx, t ) F ( x, t ) S [ p ( x dx, t ) p ( x, t )] u ( x dx, t ) u ( x, t ) 沿 x 方向的合力 SY [ ] x x u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2 u x x SY [ dx] SY 2 dx dx x
数学物理方法
u ( x) u u
T2
C
B
2
将（3） ， （4）代入（2） ， 且张力与 x 无关：
u ( x)
T1
1
A
u u ( x dx, t ) u ( x, t ) dx 2 T [ ] F ( x, t )dx t x x
2
0
x
x dx
x
2u 2u 2 T 2 F ( x, t ) t x
数学物理方法
简化假设： （1）弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点 的张力沿弦的切线方向
（2）振幅极小 张力与水平方向的夹解 a1和a2 很小， 仅考虑
a1和a2 的一阶小量，略去高阶小量：
a3 a5 sin a a 3! 5! a 3 2a 5 tga a 3! 15
定义： a T / , f ( x, t ) F ( x, t ) / ，则有
utt a 2uxx f ( x, t )
utt a 2uxx
x
（杆的纵振动方程）
x dx
x u
u dx
数学物理方法
问题：方程中 a 的物理意义？（从其表达式看出，它是 反映杆本身性质的一个量）
说明：在以上推导中所作的简化假定 （1）杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去由于 杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性方程； （2）杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相同， 这样可只用一个变量 x 来表示同一截面上的各个点，否则 u 将不只是 x 和 t 的函数。
x
x dx
点的运动规律。
u
u dx
x
研究对象：取一不包含端点的小段（x,x+dx） ，并设杆的 横截面积为 s，密度为 ，杨氏模量为 Y，该小段在 t 时刻的 伸长量 u(x+dx,t)-u(x,t)
数学物理方法
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u 相对伸长量： dx x
第九章
定解问题
用数学方法研究自然科学和工程技术中的实际问题时， 首先要建立合理的数学模型，从数量上刻画各物理量之间的 关系。很多情况下这种模型是一个含有未知函数的偏导数的 方程。这些反应物理及工程过程规律的方程就是所谓的数学 物理方程。
要得到和求解数学物理方程：首先，导出这些物理量所 遵守的数学物理方程，称为泛定方程（本书重点讨论二阶线 性偏微分方程） ；
2
u ( x) u u
u ( x)
T1
B
T2
C
2
1
A
0
u 横向： dx 2 T ( x dx)sin a2 T ( x)sin a1 F ( x, t )dx （2） t
x
x dx
x
其中： F ( x, t )为单位长度弦所受到的强迫力 u ( x, t ) 又 sin a1 a1 tan a1 （3 ） x u ( x dx, t ) （4 ） sin a2 a2 tan a2 x 由（1）及 cos a1 1,cos a2 1 T ( x dx) T ( x) 张力与 x 无关
由牛顿第二定律： ma F
x
2u (a 2 , m dv Sdx) t
x dx
x u
u dx
数学物理方法
2u 2u 得 Sdx 2 SY 2 dx t x
2u u [ 2 ( )] x x x
令a
Y
2u 2u ，并记： utt 2 , u xx 2 ，有 t x
数学物理方法
二、弦的横振动方程
u ( x) u u
u ( x)
T1
B
2
C
T2
1
A
0
x
x dx
x
设：均匀柔软的细弦沿 x 轴绷紧，在平衡位置附近产生 振幅极小的横振动 u( x, t ) ： 坐标为 x 的点在 t 时刻沿 y 方向的 位移。 求：细弦上各点的振动规律 研究对象：选取不包括端点的一小段 ( x, x dx)