工程电磁场数值分析2(基本理论二)__旧
电磁场数值分析方法及其应用
电磁场数值分析方法及其应用电磁场是无处不在的，它在我们的日常生活中也发挥着极其重要的作用，比如说电视、手机、电脑和家用电器等等。
由于电磁现象的特殊性质，使得电磁场的理论计算非常困难，因此需要引入数值计算方法，对电磁场进行模拟分析，这就是电磁场数值分析方法的基本概念。
一、电磁场数值分析方法简介1. 经典电磁场理论在介绍电磁场数值分析方法之前，我们需要先了解一下经典电磁场理论，也即麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组描述了电磁场的本质规律，包括电场E、磁场B、电荷密度ρ和电流密度J等四个基本物理量。
这些物理量之间的关系是非常复杂的，因此对于麦克斯韦方程组的求解，需要引入数值计算方法。
2. 电磁场数值计算方法电磁场数值计算方法是指采用离散化方法，将复杂的连续介质分割成有限的、简单的小单元，通过在每个小单元内求解基本电磁场变量的数值解，再通过数值方法进行拼合，最终得到求解区域内的电磁场分布特征。
3. 数值计算方法分类目前常用的电磁场数值计算方法主要包括有限元法、时域有限差分法、频域有限差分法、矩量法等等。
这些方法各有特点，适用于不同的电磁问题求解。
二、电磁场数值分析方法应用1. 微波器件设计微波器件中电磁场的分布特征是十分重要的，它决定了微波器件的性能。
采用电磁场数值分析方法可以清晰地描述微波场的分布特征，从而进行优化和改进设计，提高微波器件的性能。
2. 汽车电磁兼容性分析汽车中各类电子设备的数量越来越多，它们之间的干扰和互相影响也越来越严重。
采用电磁场数值分析方法可以对汽车中的电磁问题进行深入分析，确定干扰成因，从而提出解决方案。
3. 太阳能电池板设计太阳能电池板在光电转化过程中，需要考虑光的反射、折射和吸收等问题。
而这些问题都涉及到电磁场的分布特征。
因此，采用电磁场数值分析方法可以对太阳能电池板的设计进行优化，并提高其能量转换效率。
三、结论电磁场数值分析方法是一种强大的工具，它可以帮助我们深入了解电磁场的本质规律，并对各类电磁问题进行分析和优化设计。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
![工程电磁场分析的数理基础2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e65f27995901020206409c52.png)
– 在S上应用等效原理的第一形式可：散射场可等效为由S上的等效 源在均匀介质中产生的场。
– 这组等源满足 Jms=E×n Jes=n×H 由于金属体表面的切向电场为零，因而上面的等效磁流源为零。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
– 故散射场可只用等效电流J表达出 Es=ZL(J) Hs=K(J)
面波。故A=A(q, f)是方位角的函数，即天线有方向性。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
（二）自由空间中Maxwell方程的解 --波方程解的导出
• 在洛仑兹规范下， • 矢量位的矢量姆霍兹方程为
• 标量位标量姆霍兹方程为
• 在某些正交坐标系下，矢量姆霍兹方程可简化为 标量姆霍兹方程 （三个）
工程电磁场分析的数理基础2[1]
• 由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的 值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯 一的。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
• 任意性可以导致随意规定，要采用规范对A的 散度施加约束条件。
• 规范的选择原则：
– １）唯一地确定相应的位函数值， – ２）可简化相应的位函数方程。
• 通常，对自由空间中的动态电磁场，引入如 下的洛仑兹规范：
工程电磁场分析的数理基础2[1]
平面波
在均匀、各向同性区域，直角坐标系中的波方程的基本解 为均匀平面波。 平面波的简单表达式为
式中
工程电磁场分析的数理基础2[1]
如略去时间因子，即用复矢量表示，则平面波电场为
由Maxwell方程，可得平面波磁场的表达式
相对于传播方向，均匀平面波的电场、磁场只有横向分量， 因此称为横电磁波或TEM波。
• 用相同的方法或电磁对偶原理可求出等 效磁流产生的电磁场为
工程电磁场数值分析(有限元法)解读课件
有限元法在工程电磁场中的应用
在静电场中，电荷分布是确定的，电场强度和电位是求解的目标。有限元法可以将连续的静电场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到电场强度和电位。
有限元法在静电场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和电荷分布，为工程实际中静电场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静电场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的电荷分布被假设为均匀分布。通过将电场强度和电位表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的电场强度和电位，从而得到整个区域的电场分布。
静电场问题
总结词
详细描述
在静磁场中，磁力线是闭合的，磁场强度是确定的。有限元法可以将连续的静磁场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到磁场强度和磁感应强度。
有限元法在静磁场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和磁场分布，为工程实际中静磁场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静磁场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的磁场分布被假设为均匀分布。通过将磁场强度和磁感应强度表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的磁场强度和磁感应强度，从而得到整个区域的磁场分布。
02
诺依曼边界条件
规定电场和磁场在边界处的法向分量，与狄利克雷边界条件一起使用。
STEP 01
STEP 02
ห้องสมุดไป่ตู้
STEP 03
有限元法基础
结构分析
用于分析各种结构的应力、应变、位移等。
流体动力学
用于分析流体流动、传热等问题。
电磁场
用于分析电磁场分布、电磁力、电磁感应等问题。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
电磁场数值分析
电磁场数值分析电和磁现象在自然界普遍存在，两者相互依存形成一个不看分割的整体。
电能产生磁，磁能生电。
很早以前人们就注意到电现象和磁现象，但是两者之间的这种相互联系在很长的一段时间内都没有被人们认识。
直到奥斯特首先发现了通电直导线周围存在磁场这一现象人们才开始把电和磁放在一起来研究。
然而这个时候人们依然没有办法揭示电和磁中间的秘密，只是停留在实验研究阶段，没有形成科学的理论。
1831年法拉第发现了电磁感应定律，从此电和磁的计算可以量化了，人类历史也开启了一个新的时代—电气时代。
由于法拉第的杰出工作，电和磁不再是不可触摸的了，人们已经掌握了运用它的钥匙。
在法拉第之后，另一位杰出的科学家麦克斯韦则更进一步，建立了麦克斯韦方程组，电和磁的理论已经到了相当完美的程度。
现代电机，不管结构多么复杂，都是基于法拉第电磁感应定律和麦克斯韦方程组的原理来运行的，其电和磁的相关量都可以利用这两个定律来进行精确地分析，在设计电机时，我们也是基于这两个定律对电机的电磁过程来进行精确的设计，从而设计出理想的电机。
学会电磁场分析，主要是基于麦克斯韦方程组的相关计算，对电机的学习非常重要。
它为我们今后的学习打下基础。
在学习过程中，主要要把握以下几个度之间的关系：梯度、旋度、散度，这三者的变换正体现了电和磁之间的转换。
一基本原理电磁场的内在规律由电磁场基本方程组—麦克斯韦（Maxwell ）方程组表达。
这些方程是由麦克斯韦对大量实验结果及基本概念进行了数学加工和推广归纳而成的。
麦克斯韦方程组是分析和计算电磁场问题的出发点，它既可写成微分形式，又可写成积分形式。
微分形式的麦克斯韦方程组为 t DJ H ∂∂+=⨯∇（1） t BE ∂∂-=⨯∇（2） 0=⋅∇B（3） ρ=⋅∇D （4）式中，E 为电场强度（V/m ）；B 为磁感应强度（T ）；D 为电位移矢量（C/m 2）；H 为磁场强度（A/m ）；J 为电流密度（A/m 2）；ρ为电荷密度（C/m 2）。
工程电磁场数值分析(有限元法)解读
Ki , j Ni L(N j ) d
bi Ni f d
目标：建立节点变量之间满足的 代数方程组，即确定系数{Kij} 和 {bi}。依据的原理是加权余量法 使用的基函数为分域基。
基函数
有限元采用分片逼近的思想，跟 使用折线逼近一条任意曲线的做 法相同。使用分域基Ni，基函数 的个数等于节点的个数；每个基 函数Ni的作用区域是与该节点i相 关联的所有单元。
从而
Ni N j dxdy
e
( yi ym )( y j ym ) ( xi xm )( x j xm ) 4
再看边界部分：
e
Ni
N j n
d
（1）在节点 i 的对边jm上，Ni＝0，故积分贡献为0； （2）在节点 i 的邻边ij上，由于计算
ICCG法
3. 有限元的前处理与后处理技术
建模
自动剖分技术 误差估计，h方法与p方法 可视化问题：等位线与电力线 电场力的计算
格林公式：
2
V( 2 )dV Nhomakorabea
S
dS
N j n d
K
(e) ij
N i ( N j )dxdy N i N j dxdy N i
e e e
i ( x, y) 因： Ni 1 1 ( x2 y3 x3 y2 ) ( y2 y3 ) x ( x3 x2 ) y 2
作业：
（1）研究方向为数值计算的同学： 编写一个二维静电场有限元程序， 计算右图所示问题，或其它自己找一 个问题。
（2）研究方向非数值计算的同学：
简要叙述有限元的原理，试分析计算精度可能跟哪些 因素有关；并归纳一下，有限元法与有限差分法有那些 相同点和不同点？
工程电磁场0022解读
1 E 40
1 dV R V 1 dV C R V
1 40
上式中，常数 C 的梯度为零。
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
6
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
可知，电场强度可表示为 某个标量函数的负梯度。 把这个标量函数定义为电位，用 来表示。
2018/9/28
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9
工程电磁场
电位的唯一性问题
主讲人： 王泽忠
可以由选择电位参考点来解决。 电位的参考点就是强迫电位为零的点。 在电荷分布于有限区域的情况下， 选择无穷远处为电位参考点，计算比较方便。 这时，前面电位计算式中的常数 C 为零。
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
z l r z l
2 2
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华北电力大学电气与电子工程学院
33
工程电磁场
cos 2 zl r z l
2
主讲人： 王泽忠
2
r z l z l ln 2 2 4 0 r z l z l
2 2
当 z l 时
主讲人： 王泽忠
E
P
Q
dl
两点之间的电位差，又称为电压， 等于电场强度在这两点之间的线积分。 如果 Q 点的电位已知，则
P Q E dl
P
Q
2018/9/28
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13
工程电磁场
选择 Q 点为参考点， 令 Q 0 ， 则 P 点的电位为
主讲人： 王泽忠
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
电磁场数值分析方法讨论
目录
01 一、电磁场基本概念 和理论
03
三、电磁场数值分析 的未来方向
02
二、电磁场数值分析 方法及其优缺点
04 参考内容
电磁场是指由电场和磁场共同组成的物理场，它广泛存在于自然界和各种人工 装置中。电磁场的分析和计算对于科学研究、工程应用和实际生产具有重要意 义。本次演示将探讨电磁场数值分析的方法和模型，以及未来的发展趋势和方 向。
点，如对积分核的选取要求较高，对于复杂结构和多介质问题需要进行复杂的 数值积分等。
三、电磁场数值分析的未来方向
随着计算机技术的不断发展和数值计算方法的进步，电磁场数值分析在未来的 发展中将会面临更多的机遇和挑战。以下是一些可能的发展趋势：
1、高性能计算机的应用：随着计算机性能的不断提升，电磁场数值分析将能 够处理更加复杂的问题和更大的计算域。
边界元方法也存在一些缺点，如对边界的划分要求较高，计算量较大，需要较 大的内存空间等。
3、积分方程方法
Байду номын сангаас
积分方程方法是基于电磁场的积分方程进行数值求解的方法。在电磁场数值分 析中，积分方程方法广泛应用于解决封闭区域的电磁场问题。它的优点包括： 数学模型简单，计算量较小，可以直接计算出电磁场的分布。然而，积分方程 方法也存在一些缺
布、电磁力等性能指标。其中，有限元法是一种常用的数值计算方法，它可以 将连续的电磁场离散成多个单元，对每个单元进行计算，并通过插值得到整个 场域的结果。
三、模型建立与验证
在进行电磁场数值计算之前，需要建立永磁电机的电磁场模型。模型包括电机 的主要部件，如定子、转子、永磁体等，以及其材料属性、尺寸、相对位置等 参数。根据这些参数，利用电磁场数值计算软件可以建立起电机内部的电磁场 分布情况，
工程电磁场数值分析概述解读PPT学习教案
• 解析法主要用于理论分析，获取简单、但具有典 型意义问题的解答，建立概念，得到定性理解。
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数值法（离散法）：
• 数值法的基本思想是，把求解的场域划分成许多 细小的网格（剖分），网格与网格之间通过网格边 边界和节点连结在一起。以节点上的场量值（或位 函数值）为待求未知量，根据函数满足的微分方程 确定节点未知场量之间的关系，这种关系用代数方 程来描述。每个未知量建立一个代数方程，所有的 代数方程联立得到代数方程组，求解得到节点上的 函数值。只要节点足够密，这些节点上的函数值就 能很好的反映场的分布（离散解） 。
定量
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积分法 分离变量法 镜 像 法 、 电 轴法 微分方程法
保角变换法
••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
••••
数学模拟法 物理模拟法
••••
解析法：求解偏微分方程的经典方法
• 分离变量法、格林函数法、积分变换法等。 • 主要优点：解是精确的；具有一定的普适性，当 问题中的某些参数变化时不必重新求解；具有明确 的解析表达式，能够反映参数之间的依赖关系；解 连续可微。
各种新型电磁装置的设计都离不 开场的分析。
新型电机包括其控制，完全是个场的问题。没有场的概念，
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是不可能的。——马志源
电磁兼容问题、集成电路设计、
回旋加速器磁铁的 三维有限元分析
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1. 为什么要做电磁场的分析
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2. 电磁场分析所要解决的问题
作业：
1. 翻一翻电磁场理论基础方面的 书，熟悉有关的数学符号，特 别是“三度”（梯度、散度、 旋度）的概念；
1.5工程电磁场数值分析的概况
1.5工程电磁场数值分析的概况1.5 工程电磁场数值分析概况本章讲述了电磁场计算基础问题，内容涉及到电磁场的基本理论，各种类型电磁场的特性，所求场域中媒质的影响、场源的作用和域外源作用反映的边界条件，电磁场的规范和场解答的唯一性问题等。
作为实际电磁场问题，我们有可能通过定性分析，基于电磁场的基本方程逐步建立起相应的场的控制方程，逐步分析和建立场域边界条件和初值条件，形成定解问题，这是计算场的一种数学模型，这是求解工程电磁场的基础，我们需要努力掌握。
求解电磁场的数学模型，要想用解析的方法来确定这种定解问题的解答，那是十分困难甚至是不可能的。
因此自1864年Maxwell方程组诞生后相当长一段时间，电磁场计算问题解决极为有限。
随着电子计算机和计算技术的发展，数值计算方法逐步产生和发展用电磁场数值分析的方法解决各类电磁场问题计算才成为可能。
1.5.1电磁场数值分析的任务电磁场数值分析的基本任务是根据Maxwell方程组和电磁场的基本理论，进行：（1）建立逼近实际工程电磁场问题的连续型的数学模型；（2）采用相应的数值计算方法，经过离散化处理而转化为等价的离散型数学模型；——由离散数值构成的联立代数方程组，应用有效的代数方程组解法，计算出待求离散数学模型的离散解(即数值解)；（3）依据计算结果求得所需点处的场强，或某一区域的能量、损耗分布，或某个电磁参数的值，为工程判断和优化设计提供依据。
进行电磁场数值分析，必须具备一定的数学、物理基础和有关电磁场的专门知识，特别是建立数学模型，在很大程度上还有赖于实际的工程知识和运用数值计算方法的经验的积累，使得有可能提出恰当地理想化假设，较为准确地给定问题的定解条件，建立起把握了问题实质的数学模型。
1.5.2 电磁场数值分析主要运用方法电磁场数值分析的主要内容是讲述各种实用的数值计算方法，主要有：（1）应用于微分方程数学模型的有：有限差分法（时域有限差分法）、有限元法等；（2）应用于积分方程数学模型的有：边界元法、模拟电荷法，矩量法等。
工程电磁场数值分析解读
工程电磁场数值分析解读工程电磁场数值分析是一种应用有限元法来计算和解决电磁场问题的方法。
该方法通过将电磁场的连续性方程离散化为有限个小单元，再通过求解矩阵方程组来获取数值解。
这种分析方法能够定量计算电磁场的分布和特性，并为工程设计和优化提供重要的参考依据。
对于电磁场数值分析的解读，可以从以下几个方面进行讨论：首先，可以对电磁场的分布进行解读。
通过数值计算，可以得到电磁场在不同位置的数值结果，可以用来表示电磁场的强弱、方向和空间分布特性。
可以对电磁场的分布情况进行比较和分析，以评估电磁场的均匀性和一致性，为设计提供优化方案。
其次，可以对电磁场的特性进行解读。
通过数值计算，可以计算并分析电磁场的一些重要参数，如电场强度、磁场强度、电势、电感、电容等。
这些参数能够揭示电磁场的基本特性，并对电磁设备和系统的工作性能进行评估和优化。
另外，可以对电磁场的影响进行解读。
电磁场数值分析能够计算出电磁场对物体的作用效果，如力、热、电磁感应等。
通过对电磁场的影响进行解读，可以预测电磁场对设备、器件和系统的影响，并为电磁兼容性设计提供技术支持。
此外，还可以对电磁场数值分析方法和结果的准确性进行解读。
电磁场数值分析是一种近似求解的方法，所得数值结果可能与实际情况存在一定差异。
因此，在解读时需要对数值结果进行验证和确认，通过模型实验或其他可靠手段来验证模型的准确性和可靠性。
总之，工程电磁场数值分析是一种重要的工程设计方法，能够定量计算和解决电磁场问题。
通过对电磁场分布、特性和影响等方面进行解读，可以为工程设计和优化提供重要的参考依据。
同时也需要关注分析方法的准确性和结果的可靠性，以确保分析结果的准确性。
第二讲 工程电磁场中的数值积分法
n
(4)
其系数 Ak l k ( x)dx 时，则称求积公式为插值 a 求积公式。
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
其中 a, b 当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R( f ) =0,求积公式(4)能成为准确的等式。由于闭区 间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个
经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
例如函数
1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂。
f ( x) x 2 2 x 2 3
ab ) 2
的加权平均值
作为平均高度f()的近
似值而获得的一种数值积分方法。 （2）先用某个简单函数 (x) 近似逼近f(x), 用 (x) 代替原被积函数f(x)，即 b f ( x)dx b ( x)dx
a a
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 (x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。 由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积 分,因此将 (x) 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就 可以用其插值多项式的积分来近似代替
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度） 由定义可知，若求积公式（4.）的代数精度
工程电磁场数值分析(基本理论)
∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场的标量位 在无电流区域 引进磁标量位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇× H = 0
H = −∇ϕm
∇ ϕm = 0
2
如果存在电流，可以将 H 分解为：H = H s + H m 其中
∇ × Hs = J
∇ × Hm = 0
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅D = 0
∇⋅B = 0
∇ × H = J = σ E + Js
∂A ∇ × ∇ × A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
∂Β ∇× E = − ∂t
Js是外加电流密度。
∂A ∇ ⋅ ( + ∇ϕ ) = 0 ∂t
∂A ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
E = −∇ϕ
∇× E = 0
ρ ∇ ϕ=− ε
2
除一些特殊的情况（如气体放电等领域）外，静电场中的 电荷通常并不以ρ的形式存在于空间中，而是以面电荷的方式 存在于不同媒质的交界面上，而且通常是难以测量的，因此 并不以显式出现在方程中。所以通常求解的是拉普拉斯方程。 作为产生电场的源的“电荷”隐含在边界条件中。
∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场、矢量磁位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅B = 0
B = ∇× A
∇× H = J
∇⋅ A = 0
∇2 A = −µ J
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
工程电磁场数值分析2(基本理论)
B ( r , t ) B ( x, y , z , t )
电：是电荷之间的相互作用，靠电场来传递； 磁：电流之间的相互作用，靠磁场来传递。 电荷与电流是电磁场的“源”。归根到底，电磁 场是由电荷及其运动产生的。
电场
电荷之间的作用力（库仑定律）
1 q1q2 0 F r 2 4 0 r
1 2 q q 1 2
q 2 2 q 1 2
水面上方点电荷产生的静电场
点电荷与导体球
导体球不接地
导体球接地
球形接地导电腔内的点电荷 （等位面不是圆）
一对正负点电荷 （等位面不是圆）
平行双电轴截面 （等位面是圆）
两圆柱之间的电场分布 （等位面是圆）
A ) J s t
(
D dS q B dS 0
D
A ) 0 t
B 0
D H J t Β E t
D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
(c) 不等量同号点电荷
(d) 等量异号点电荷
(e) 不等量异号点电荷
(f) 点电荷与孤立金属球
(a) 平行板边缘场
(c) 导体尖劈外电场
(b) V型导体槽内部电场
(d) 导体圆板的电场
(e) 导体圆环的电场
(f) 棒形导体的电场
方芯圆壳电缆电位分布与电力线分布
电磁场：数学 vs 物理
方芯圆壳偏心电缆电 位分布与电力线分布
3. 电磁场基本方程（自由空间）
S
E dS q / 0
t
——电场的高斯定律 ——磁场的高斯定律
S
电磁场数值分析
电磁场数值分析引言电磁场是物理学中一个重要的研究领域，涉及到各种现实世界中的物理现象，如电磁感应、电磁波传播等。
为了更好地理解和研究电磁场，数值分析成为一种重要的工具。
本文将介绍电磁场数值分析的基本概念、方法和应用。
电磁场基本概念电磁场指的是由电荷和电流引起的电场和磁场的组合。
电场是由电荷引起的一种物理场，其描述了电荷间的相互作用。
磁场则是由电流引起的一种物理场，其描述了电流的磁性效应。
电磁场的数值分析主要涉及以下概念：1.电场强度：指在某一点产生的电场的强度，通常用矢量表示。
2.磁场强度：指在某一点产生的磁场的强度，也通常用矢量表示。
3.电势：指在某一点产生的电场对单位正电荷所做的功。
4.磁感应强度：指在某一点产生的磁场对单位正电荷所做的功。
电磁场数值分析方法电磁场数值分析基于数值计算方法，通过离散化的方式将连续的电磁场问题转化为离散的数值问题。
常用的电磁场数值分析方法包括有限差分法(Finite Difference Method, FDM)、边界元法(Boundary Element Method, BEM)、有限元法(Finite Element Method, FEM)等。
有限差分法有限差分法是一种基于差分近似的数值计算方法，将连续的变量离散化为有限个节点上的变量。
在电磁场数值分析中，有限差分法通常用于解决电场或磁场的分布问题。
该方法将空间离散化为网格，通过差分近似计算相邻节点间的电势或磁感应强度。
边界元法边界元法是一种基于积分方程的数值计算方法，将连续的物理场问题转化为边界上的积分方程。
在电磁场数值分析中，边界元法通常用于解决边界值问题，如电势或磁场在给定边界上的分布。
该方法通过将边界上的物理量表示为边界上的基本解的线性组合，通过求解线性方程组得到物理量的数值解。
有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法，将连续的问题离散化为有限个元素上的问题。
在电磁场数值分析中，有限元法通常用于解决较为复杂的问题，如非线性材料的电磁场问题。
第一篇 工程电磁场数值分析的数理基础
其中，在以下特殊情况下，上述的单矢量偏微分方程为： （１）理想介质（γ ＝０）中的电磁波方程为
H 2 2 ( 2 ) E 0 t
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.４~1.１１ 电磁场及数学模型 四、场矢量的微分方程
（２）良性导电媒质介质（γ >>ω ε ）,得涡流方程（扩散和 热传导方程）
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.2~1.3 电磁场的正、逆问题的数值分析
何为正问题？逆问题？
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.2~1.3 电磁场的正、逆问题的数值分析
正问题 ： 已知场源、边界、媒质 场量
给定场的计算区域、各区域的材料组成和特性，以及激励源 的特性，求场域中的场量随时间、空间的分布规……
(４) 时谐电磁场中的涡流方程（相量形式的扩散或热传导方程）
H E 2 ( j ) 0 B
E 0
2 2
(５) (５)
没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）
没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）
H B 2 ( ) 0 t E
(３)时谐（周期时变）电磁场中的齐次波动方程（齐次亥 姆霍兹方程）
H ( ) 0 E
2 2
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.４~1.１１ 电磁场及数学模型 四、场矢量的微分方程
B l E dl S t dS
B dS 0
S
S
D dS q
积分形式
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.４~1.１１ 电磁场及数学模型 一、麦克斯韦方程组
电磁场数值计算方法工程电磁场讲义
由于这些优异的特性，在短短几十年时间里， FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、 航空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电 子、压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助 分析方法。
在电磁分析领域，除了FEM以外，也有其 它有效的数值方法，例如：矩量法(MOM)、边 界元法(BEM)、时域有限差分法(FDTD)等等。
离散的有限自由度问题。随着单元数目的增加，单元 尺寸的缩小，或单元自由度的增加及插值函数阶数的 提高，近似解将收敛于精确解。
电磁场数值计算方法工程电磁场讲 义
FEM相比其它数值方法的优点在于： ——理论基础成熟； ——计算格式规范统一，利于编程； ——适应性高，适合各种复杂形状的区域； ——求解精度高；
其他的分析软件
除了ANSYS以外，还有许多通用或电 磁 分 析 专 业 软 件 ， 例 如 ： ANSOFT 公 司 的Maxwell 2D&3D、HFSS、飞箭公司的 FEPG、COMSOL公司的FEMLAB等等， 它们各有特点。
电磁场数值计算方法工程电磁场讲 义
3.Applications
3.1 应用实例1——准静电场 2 0
电磁场数值计算方法工程电磁场讲 义
有限元法的理论基础 ——一维有限元法
电磁场数值计算方法工程电磁场讲 义
一、回顾
1、有限元Байду номын сангаас算的方法
加权余量法中的迦辽金法和变分法中的里海 －里兹法。
2、有限元法的处理思想
对一个整体问题进行局部化处理；
微分方程简化为求解代数方程组。 3、有限元法的特点
优点、缺点
电磁场数值计算方法工程电磁场讲 义
——电力系统：高压(高压输电线、绝缘子)、电机、变压器、 电缆等；
工程电磁场数值计算第2版课件教学配套课件倪光正杨仕友邱捷等编著..
a
图4-13 场域离散化
迭代运算的差分方程：
( n 1)
(n)
4 ( 4 ) (i, j)
(i, j)
(n)
(n)
( n 1)
( n 1)
(n)
(i1, j )
(i, j1)
(i1, j )
(i, j1)
(i, j)
6/8
尚辅教学配套课件
启动 给定边值1，2 填写域内的初值 迭代次数计数N=0
x
x
2
x
n
b1
b
b2
bn
(1) 正消过程 在 aii≠0，(i＝1，2，…，n)的前提下，共包含如下 n-1步：
将A 和右端项向量b 合写成增广矩阵的形式，并对各元素加注上标“0”，即
aa12((1001))
A(0) , b(0) a3(10)
a (0) 12
a (0) 22
a (0) 32
H z y
H y z
Ex t
H z
x
H z x
Ey t
H y x
H x y
Ez t
E
n1 x
(i
1 2
,
j, k )
Exn (i
1 2
,
j, k )
1
t y
[H n
1 2
z
(i
1 2
,
j
1 2
,k)
Hn
1 2
z
(i
1 2
,
j
1 2
, k )]
1
t z
[H n
1 2
y
(i
1 2
,
j, k
尚辅教学配套课件
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例：列出边值问题（设两极板之间电压为U），要求： （1）忽略边缘效应； （2）关心电容器内部，但考虑边缘效应； （3）关心电容器边缘的场分布； （4）关心整个空间场的分布 结论：即便同一 对象，研究的目 的不同，建立的 数学模型也就各 异。
问题描述
有限元模型
电场分布
电位分布（等位线）
E D 线 线
二维静磁场问题：
一对直线电流产生的磁位：
0 I 2 0 I l cos / 2 ln ln A 2 1 2 l cos / 2 0 I l cos l 2
故：
A A 0
（新）一阶渐近边界条件，适合于净电流为0，正负电流呈两
旋转电机的气隙磁场
n
1 r
n 0 m 0
m P (cos )(cm cos m d m sin m ) n 1 n
n r 一般起支配作用的是实际存在的最低次项： n 1
n 0 有 r r
（新）n阶渐近边界条件，适合于净电荷为0，正负电荷呈n
极分布、球心位于正负电荷中心的球面。
（二维情况）
本节更多的参考文献：
金建铭. 电磁场有限元方法，西安电子科技大学出版社， 1998 马西奎，韩社教. 开放域静态电磁场问题数值解的渐近边 界条件技术研究. 中国科学（E辑），2003, 33(11): 10211027, 王颖，马西奎. 应用渐近边界条件技术计算螺管线圈的电 感与磁场分布. 西安交通大学学报, 1997: 31(11): 110-117 段耀勇, 陈荣华，盛剑霓. 矢量渐近边界条件在三维开域 涡流场计算中的应用 . 电工技术学报，1998, 13(6): 59-62
积分方 程法、 等效源 法、边 界元法 的基础
• 第一项（体积分项）：域内电荷的作用 • 第二项（面积分项）：边界条件的作用 面积分中： 第一项：等效面电荷密度 第二项：等效电偶极子层面密度
• 边界条件对解的影响
00 远处施加边界条件： n
• 边界条件对解的影响
远处施加齐次第 一类边界条件
极分布、圆心位于正负电流中心的圆边界。
时谐场问题与高频问题：
——高频问题中，渐近边界条件又称为 吸收边界条件 (Absorbing Boundary Condition, ABC) 或者辐射边界条件 (Radiation Boundary Condition, RBC) 时谐电偶极子产生的磁位：
e j r 0 I l A ez 4 r
• 数学上的意义：从微分方程的通解中确定所需要的唯一的 解答。——定解。 • 因此，边界条件不是自然的或天生必然的，而是为了求解 的需要和方便人为确定的。设立边界条件的合适与否直接 影响解题的正确性、难易和解题效率。 • 物理意义：边界条件反映了场外的源产生的效应，可以等效 为边界上的面电荷密度、电偶极子层密度、入射电流、面电 流密度等等。 • 作用效果：边界条件对域内场的影响具有“近距”特性，即对 靠近的区域影响大，远离的区域影响小。这意味着远处的边 界条件不需要那么精确，可以采用近似的描述。
0 故：
（新）二阶渐近边界条件，适合于净电荷为0，正负电荷呈两
极分布、圆心位于正负电荷中心的圆边界。
三维静磁场问题：
小电流环产生的磁位：( m a I )
2
0 m A sin e 2 4 r
故：
A 2 A 0 r r
一阶渐近边界条件，适合于电流 回路，球心位于回路中心的球面。 思考：如何推导矩形边界上的渐近条件？
• 电磁场的边界条件
表1.1 根据场线确定边界条件
强加边界条件， 在有限元法中不 能自动满足
位函数 电位 标量磁位 m 矢量磁位 A
场量 E H B
位与场的关系
E
沿着场线
0 n m 0 n
垂直于场线
const
H m
B A
m const
工程电磁场数值分析
（电磁场的基本理论）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2013.12
第1章 电磁场的基本理论
1. 电磁场的场与源 2. 矢量分析 3. 电磁场基本方程 4. 电磁场中的位函数 5. 电磁场边界条件 6. 电磁场中的力与能量
5. 场域与边界条件
什么是场域？
同轴方芯电缆
绝缘子
线圈
（Asymptotic Boundary Condition, ABC）
三维静电场问题：
点电荷产生的电位：
q 4 r
或
q 故： 2 r 4 r r
0 r r
一阶渐近边界条件，适合于净电荷 不为0，球心位于电荷中心的球面。
三维静电场问题：
电偶极子产生的电位：( p = ql )
作业：
1. 一密闭导体空腔内外各 有若干个带电导体。设各 导体带电量已知，欲求腔 内外的电场分布，试确定 求解区域，列出边值问题。
静电屏蔽问题
作业： 2. 分别以标量磁位和矢量磁位为求解量列出边值问题。 设定子绕组的电流为沿定子内表面分布的面电流，面电 流密度为 K K m sin( x)e z ，b为极距。不计铁心饱和。 b
A 0 n
A const
自然边界条件， 从位与场的关系看，电位与标量磁位是相似的，都是梯度。 在有限元法中自 动满足
电场与磁场的对称性
(a) 异号的两平行电轴形成的电场
(b) 反向的两平行长直线电流形成的磁场
电场： 平行于对称面，垂至于反对称面
磁场： 垂直于对称面，平行于反对称面
• 电磁场的边界条件
二维静电场问题：
电轴产生的电位：
ln
0 故： ln
一阶渐近边界条件，适合于净电荷不为0，圆心位于电荷中 心的圆。
二维静电场问题：
一对电轴产生的电位：
2 l cos / 2 ln ln 2 1 2 l cos / 2 l cos l 2
A const
从场与源的关系看，电位与矢量磁位是相似的，都是泊松方程。
开域问题与渐近边界条件
开域问题——如何减小有限元求解场域
当所研究的场一直延伸到无穷远处时，称为开域问题。 对开域问题可使用边界元与有限元结合（FEM+BEM） 进行模拟。通过人为边界划分为内外两个区域，内部封 闭区域用有限元模拟，外部开放区域用边界元模拟，二 者通过边界粘接在一起（耦合）。 优点：准确 缺点：有限元矩阵的稀疏性和 对称性受到破坏，增加 计算量和求解难度。
m S 0 磁力线垂直
边界条件
适用：远处； 对称面，磁力线垂直
m 0 n S
磁力线平行 边界条件
适用：远处；反对称面，磁力线平行
磁场的边界条件：矢量磁位
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。
AS 0
（格林第二公式）
V
( 2 2 )dV ( ) dS
S
• 泊松方程的格林函数解
• 前述三维边值问题，V内任意一点的电位可以表示为：
1 4
V
1 dV 4 R
1 1 R n n R dS S
磁力线平行
边界条件
适用：远处；反对称面，磁力线平行
A 0 n S
磁力线垂直 边界条件
铁磁体槽内的线电流
适用：远处；对称面，磁力线垂直
铁磁材料表面的边界条件
• 以铁材料内部为求解场域时，如果忽略漏磁场，则铁的表面 可以看作磁力线平行边界条件。 • 以铁材料外部空气区域为求解场域时，如果忽略铁的饱和效 应，铁的表面可以看作磁力线垂直边界条件。
电容器边缘场 （平行平面场）
端部边缘效应
极板无限宽时外部电场
从电容器尖端发出的电力线方程为： y x(2 x) acos( x 1)
电容器边缘场（轴对称模型）
磁场的边界条件：标量磁位 m
• 第一类边界条件： mS
const
磁极表面（空气区）。
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。
5. 场域与边界条件
边值问题与边界条件（电位泊松方程为例）
2 / S1 f1 ( S ) n f 2 ( S ) S2
• 解的存在性、唯一性和稳定性 • 唯一性定理：满足给定第一、第二、 第三类边值问题 的解是唯一的。
• 边界条件的作用
远处施加齐次第 二类边界条件
估计一下：原理 上讲，哪个会更准确一些？
5. 电磁场的边界条件
• 对于远离所关心区域的位置，可以采用近似的边 界条件，只要合理，不会对关心区域的解造成很 大影响。 • 合理与否，取决于你对问题的分析和判断，取决 于电磁场基本概念、基本图象的掌握程度。
第一类边界条件与齐次第二类边界条件：最为常用
表1.2 根据对称面确定边界条件 场与源的关 系
场类型 静电场 与恒定 电场 恒定磁 场
对称面
反对称面
2
D
与E线平行
0 n
与E线垂直
const
m 0 n
H J
A J
2
m const
与B线垂直 与B线平行 A 0 n
pr p cos 3 4 r 4 r 2 p cos 2 故： 3 r 2 r r
或
2 0 r r
（新）二阶渐近边界条件，适合于净
电荷为0，正负电荷呈两极分布、 球心位于正负电荷中心的球面。