工程电磁场数值分析2(基本理论二)__旧

作业：
1. 一密闭导体空腔内外各 有若干个带电导体。设各 导体带电量已知，欲求腔 内外的电场分布，试确定 求解区域，列出边值问题。
静电屏蔽问题
作业： 2. 分别以标量磁位和矢量磁位为求解量列出边值问题。 设定子绕组的电流为沿定子内表面分布的面电流，面电 流密度为 K K m sin( x)e z ，b为极距。不计铁心饱和。 b
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远处施加齐次第 二类边界条件
估计一下：原理 上讲，哪个会更 准确一些？
5. 电磁场的边界条件
• 对于远离所关心区域的位置，可以采用近似的边 界条件，只要合理，不会对关心区域的解造成很 大影响。 • 合理与否，取决于你对问题的分析和判断，取决 于电磁场基本概念、基本图象的掌握程度。
第一类边界条件与齐次第二类边界条件：最为常用
• 电磁场的边界条件
表1.1 根据场线确定边界条件
强加边界条件， 在有限元法中不 能自动满足
位函数 电位 标量磁位 m 矢量磁位 A
场量 E H B
位与场的关系
E
沿着场线
0 n m 0 n
垂直于场线
const
H m
B A
m const
极分布、圆心位于正负电流中心的圆边界。
时谐场问题与高频问题：
——高频问题中，渐近边界条件又称为 吸收边界条件 (Absorbing Boundary Condition, ABC) 或者辐射边界条件 (Radiation Boundary Condition, RBC) 时谐电偶极子产生的磁位：
e j r 0 I l A ez 4 r
• 数学上的意义：从微分方程的通解中确定所需要的唯一的 解答。——定解。 • 因此，边界条件不是自然的或天生必然的，而是为了求解 的需要和方便人为确定的。设立边界条件的合适与否直接 影响解题的正确性、难易和解题效率。 • 物理意义：边界条件反映了场外的源产生的效应，可以等效 为边界上的面电荷密度、电偶极子层密度、入射电流、面电 流密度等等。 • 作用效果：边界条件对域内场的影响具有“近距”特性，即对 靠近的区域影响大，远离的区域影响小。这意味着远处的边 界条件不需要那么精确，可以采用近似的描述。
m S 0 磁力线垂直
边界条件
适用：远处； 对称面，磁力线垂直
m 0 n S
磁力线平行 边界条件
适用：远处；反对称面，磁力线平行
磁场的边界条件：矢量磁位
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。
AS 0
0 故：
（新）二阶渐近边界条件，适合于净电荷为0，正负电荷呈两
极分布、圆心位于正负电荷中心的圆边界。
三维静磁场问题：
小电流环产生的磁位：( m a I )
2
0 m A sin e 2 4 r
故：
A 2 A 0 r r
一阶渐近边界条件，适合于电流 回路，球心位于回路中心的球面。 思考：如何推导矩形边界上的渐近条件？
故：
A 1 ( j ) A 0 r r
在高频场计算中，多直接以 H 或 E 为计算量，故上式并不多见。
高频问题矢量渐近边界条件（索末菲辐射条件）：
E E ˆ 0 jk r H H
（三维情况）
A 1 ( jk )A 0 2
• 第一类边界条件：
S const
电极表面。
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。 电力线垂直 S 0 边界条件
适用：远处，电位降为0； 反对称面，电力线垂直
0 n S
电力线平行 边界条件
适用：远处； 对称面，电力线平行
A 0 n
A const
自然边界条件， 从位与场的关系看，电位与标量磁位是相似的，都是梯度。 在有限元法中自 动满足
电场与磁场的对称性
(a) 异号的两平行电轴形成的电场
(b) 反向的两平行长直线电流形成的磁场
电场： 平行于对称面，垂至于反对称面
磁场： 垂直于对称面，平行于反对称面
• 电磁场的边界条件
工程电磁场数值分析
（电磁场的基本理论）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2013.12
第1章 电磁场的基本理论
1. 电磁场的场与源 2. 矢量分析 3. 电磁场基本方程 4. 电磁场中的位函数 5. 电磁场边界条件 6. 电磁场中的力与能量
5. 场域与边界条件
什么是场域？
同轴方芯电缆
绝缘子
线圈
表1.2 根据对称面确定边界条件 场与源的关 系
场类型 静电场 与恒定 电场 恒定磁 场
对称面
反对称面

2
D
与E线平行
0 n
与E线垂直
const
m 0 n
H J
A J
2
m const
与B线垂直 与B线平行 A 0 n
积分方 程法、 等效源 法、边 界元法 的基础
• 第一项（体积分项）：域内电荷的作用 • 第二项（面积分项）：边界条件的作用 面积分中： 第一项：等效面电荷密度 第二项：等效电偶极子层面密度
• 边界条件对解的影响
00 远处施加边界条件： n
• 边界条件对解的影响
远处施加齐次第 一类边界条件
（格林第二公式）

V
( 2 2 )dV ( ) dS
S
• 泊松方程的格林函数解
• 前述三维边值问题，V内任意一点的电位可以表示为：

1 4

V
1 dV 4 R

1 1 R n n R dS S
pr p cos 3 4 r 4 r 2 p cos 2 故： 3 r 2 r r
或
2 0 r r
（新）二阶渐近边界条件，适合于净
电荷为0，正负电荷呈两极分布、 球心位于正负电荷中心的球面。
三维静电场问题：
电位多极子展开式：


n
1 r
n 0 m 0
m P (cos )(cm cos m d m sin m ) n 1 n
n r 一般起支配作用的是实际存在的最低次项： n 1
n 0 有 r r
（新）n阶渐近边界条件，适合于净电荷为0，正负电荷呈n
极分布、球心位于正负电荷中心的球面。
5. 场域与边界条件
边值问题与边界条件（电位泊松方程为例）
2 / S1 f1 ( S ) n f 2 ( S ) S2
• 解的存在性、唯一性和稳定性 • 唯一性定理：满足给定第一、第二、 第三类边值问题 的解是唯一的。
• 边界条件的作用
截断边界
另一种也是更常用的办法是使用人工边界对场域进行截断。 最简单的办法是在“足够远”的位置设置边界，令场量或者 位函数为0。 优点：简单，易操作； 缺点：精度缺乏保障； 增加无谓的计算量； 希望：在保证精度的同时， 尽量压缩无用区域。 为此需研究场在远区的渐近特性。
电磁场的远区特性、渐近边界条件
磁力线平行
边界条件
适用：远处；反对称面，磁力线平行
A 0 n S
磁力线垂直 边界条件
铁磁体槽内的线电流
适用：远处；对称面，磁力线垂直
铁磁材料表面的边界条件
• 以铁材料内部为求解场域时，如果忽略漏磁场，则铁的表面 可以看作磁力线平行边界条件。 • 以铁材料外部空气区域为求解场域时，如果忽略铁的饱和效 应，铁的表面可以看作磁力线垂直边界条件。
二维静电场问题：
电轴产生的电位：
ln
0 故： ln
一阶渐近边界条件，适合于净电荷不为0，圆心位于电荷中 心的圆。
二维静电场问题：
一对电轴产生的电位：
2 l cos / 2 ln ln 2 1 2 l cos / 2 l cos l 2
二维静磁场问题：
一对直线电流产生的磁位：
0 I 2 0 I l cos / 2 ln ln A 2 1 2 l cos / 2 0 I l cos l 2
故：
A A 0
（新）一阶渐近边界条件，适合于净电流为0，正负电流呈两
（二维情况）
本节更多的参考文献：
金建铭. 电磁场有限元方法，西安电子科技大学出版社， 1998 马西奎，韩社教. 开放域静态电磁场问题数值解的渐近边 界条件技术研究. 中国科学（E辑），2003, 33(11): 10211027, 王颖，马西奎. 应用渐近边界条件技术计算螺管线圈的电 感与磁场分布. 西安交通大学学报, 1997: 31(11): 110-117 段耀勇, 陈荣华，盛剑霓. 矢量渐近边界条件在三维开域 涡流场计算中的应用 . 电工技术学报，1998, 13(6): 59-62
三维静磁场问题：
小电流环产生的磁标位：
m cos m 4 r 2
m 2m 0 故： r r
一阶渐近边界条件，适合于电流 回路，球心位于回路中心的球面。
二维静磁场问题：
直线电流产生的磁位：A ln
A A 0 故： ln
一阶渐近边界条件，适合于净电流不为0，圆心位于电流中 心的圆。
A const
从场与源的关系看，电位与矢量磁位是相似的，都是泊松方程。
开域问题与渐近边界条件
开域问题——如何减小有限元求解场域
当所研究的场一直延伸到无穷远处时，称为开域问题。 对开域问题可使用边界元与有限元结合（FEM+BEM） 进行模拟。通过人为边界划分为内外两个区域，内部封 闭区域用有限元模拟，外部开放区域用边界元模拟，二 者通过边界粘接在一起（耦合）。 优点：准确 缺点：有限元矩阵的稀疏性和 对称性受到破坏，增加 计算量和求解难度。
电容器边缘场 （平行平面场）
端部边缘效应
极板无限宽时外部电场
从电容器尖端发出的电力线方程为： y x(2 x) acos( x 1)
电容器边缘场（轴对称模型）
磁场的边界条件：标量磁位 m
• 第一类边界条件： mS
const
磁极表面（空气区）。
• 齐次第一类边界条件和齐次第二类边界条件： (1)对称面； (2)远处；(3)易于确定力线走向的位置。
例：列出边值问题（设两极板之间电压为U），要求： （1）忽略边缘效应； （2）关心电容器内部，但考虑边缘效应； （3）关心电容器边缘的场分布； （4）关心整个空间场的分布 结论：即便同一 对象，研究的目 的不同，建立的 数学模型也就各 异。
问题描述
有限元模型
电场分布
电位分布（等位线）
E D 线 线

旋转电机的气隙磁场
（Asymptotic Boundary Condition, ABC）
三维静电场问题：
点电荷产生的电位：

q 4 r
或
q 故： 2 r 4 r r
0 r r
一阶渐近边界条件，适合于净电荷 不为0，球心位于电荷中心的球面。
三维静电场问题：
电偶极子产生的电位：( p = ql )