《倍角公式和半角公式》教案1汇总
高中数学备课教案三角函数的倍角与半角公式
高中数学备课教案三角函数的倍角与半角公式高中数学备课教案三角函数的倍角与半角公式一、简介在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。
而其中，三角函数的倍角与半角公式更是学生容易混淆的部分。
本教案将详细介绍三角函数的倍角与半角公式，并提供相关的例题和解析，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
二、三角函数的倍角公式1. 正弦函数的倍角公式：对于任意角A，有sin(2A) = 2sin(A)cos(A)解析：倍角公式指的是将角度A变成2A，然后利用已知角度A 的正弦函数值来推导出角度2A的正弦函数值。
根据正弦函数的定义，sin(2A)可表示为sin(A+A)。
利用三角函数的和差化积公式可以得到sin(2A) = 2sin(A)cos(A)。
2. 余弦函数的倍角公式：对于任意角A，有cos(2A) = cos²(A) - sin²(A)解析：同样地，倍角公式指的是将角度A变成2A，然后利用已知角度A的余弦函数值来推导出角度2A的余弦函数值。
根据余弦函数的定义，cos(2A)可以表示为cos²(A) - sin²(A)。
3. 正切函数的倍角公式：对于任意角A，有tan(2A) = (2tan(A)) / (1 - tan²(A))解析：类似于正弦函数和余弦函数，倍角公式指的是将角度A变成2A，然后利用已知角度A的正切函数值来推导出角度2A的正切函数值。
tan(2A)可以表示为(2tan(A)) / (1 - tan²(A))。
三、三角函数的半角公式1. 正弦函数的半角公式：对于任意角A，有sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]其中，±表示正负两个值，取决于角A所在的象限。
解析：半角公式是将角度A变成A/2，然后利用已知角度A的余弦函数值来推导出角度A/2的正弦函数值。
sin(A/2)可以表示为±√[(1 - cos(A)) / 2]。
〖2021年整理〗《倍角公式》优秀教案
《倍角公式》教学设计
板书设计
教学研讨
教学过程中要展示公式的产生过程，重点是公式的应用，适当辅以公式的变形技巧等内容，要让学生通过5个例题，深刻理解倍角公式的结构和几种常见变形并能应用于实际解题中，在解题后教师一定要引导学生总结公式的规律与技巧，寻找解题的通性通法，以便更好地提升数学学科素养、积累解题经验
利用二倍角公式化简与证明时，对三角式的变形通常有以下几种变形的角度：
（1）从“角”入手，把“复角”变“单角”；
（2）从“名”入手，异名化同名；
（3）从“幂”入手，利用降幂公式先降次；
（4）从“形”入手，利用配方法。
高一数学导学案(倍角与半角公式)
量，且
,0 . 2
①求 sin cos 的值； ②求
sin 2 的值。 sin cos
教学过程 巩固练习： 1. 设 a （
反思与总结
1 3 2 tan13 1 cos50 cos 6 sin 6 , b , c , 则有 2 2 1 tan 2 13 2
过点 A(1 ,
3 ). 2
（1）求 f ( x) 的表达式； （2）求 f ( x) 的单调递增区间。
主要问题
4
1 ,sin 2 , 求 sin cos ,sin cos . 2 3
（3）已知 为锐角，且 tan
1 sin 2 cos sin ,求 的值， 2 sin 2 cos 2
（4） tan 70 cos10
0 0
3 tan 200 1 .
7.已知 tan( 值.
4
)
1 sin 2a cos2 ， （1）求 tan 的值； （2）求 的 2 1 cos 2
教学过程 8.如图,在一住宅小区内,有一块半径为 10 米,圆心角为
反思与总结
3
的扇形空地,现要在这
块空地上种植一块矩形草皮,使其中一边在半径上且内接于扇形,问应如何设计, 才能使得此草皮面积最大?并求出面积的最大值.
） A. a b c
B. a b c C. a c b
）
A． 0,
4
B.
5 , 4 12
2
C. , 12 2 ）
5
D.
教学设计1：3.2.1 倍角公式
3.2.1 倍角公式整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题1.还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写2.你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3.在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？4.细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？5.能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？6.让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin____＝2sin____cos____，cos____＝cos 2____－sin 2____.7.思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？8.请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cosα＝1，此时α＝k π(k ∈Z )． 若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1 已知sinα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1．y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数【答案】D2．若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72【答案】C3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°【答案】B例 2 证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)·2sin θ(sin θ＋cos θ)·2cos θ＝tan θ＝右． 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为__________．【答案】432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2(cos 2θ－sin 2θ)＋2sin 2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝tan θ＝右边. 思路2例 1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 变式训练1．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2是( ) A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数【答案】A2．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 【答案】B例 2 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，0<B <π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B )的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34， tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247.又tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B )＝tan2A ＋tan2B 1－tan2A tan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34. 又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan(A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．。
倍角公式教学设计
倍角公式教学设计一、教学目标一)知识与技能通过实例引入，使学生理解倍角公式的基本形式和变形式，能熟练地运用倍角公式进行简单的三角函数计算。
二)过程与方法通过实例分析和推导，使学生体会倍角公式在三角函数化简与求值中的应用，并初步掌握公式的运用。
三)情感、态度与价值观通过学习和实践，使学生体会数学与生活的密切，激发学生学习数学的兴趣和积极性，同时培养学生的运算能力和推理能力。
二、教学重难点一)教学重点倍角公式及其应用。
二)教学难点对倍角公式的变形式的理解和应用。
三、教学过程一)引入新课回顾上节课学习的三角函数的基本概念和公式，引出倍角公式的概念和公式。
二)新课学习1、讲解倍角公式及其推导过程。
2、通过实例分析和推导，使学生进一步理解倍角公式的应用。
3、结合教材上的例题和练习题，引导学生进行简单的三角函数计算和化简。
三)巩固练习1、教材上的练习题：P19，1-4题。
2、课堂练习：P20，5-6题。
3、课外作业：P21，7-8题。
四)归纳小结总结本节课学习的倍角公式及其应用，强调公式的使用方法和注意事项。
初中数学倍角公式在初中数学中，倍角公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速求解一些角度的度数或者三角函数值。
倍角公式通常是指将一个角的度数或三角函数值翻倍的公式。
下面是一些常见的倍角公式：1、sin(2α) = 2sinαcosα这个公式可以将一个角的正弦值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的正弦值。
2、cos(2α) = cos²α - sin²α这个公式可以将一个角的余弦值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的余弦值。
3、tan(2α) = 2tanα / (1 - tan²α)这个公式可以将一个角的正切值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的正切值。
4、sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]这个公式可以将一个角的正弦值除以2。
倍角公式和半角公式-中档难度-讲义
倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017•南充模拟）函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．2．（2017春•韶关期末）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=1﹣cos2α=．又∵α是第二象限角，得sinα＞0，∴sinα=，由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．故选：D．3．（2016春•天台县月考）若f（cosx）=cos2x，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，令cosx=1，得到f（1）=2﹣1=1；故选：A．4．（2016•诸暨市模拟）已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：∵sinθ+cosθ=①，θ为钝角，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：2sinθcosθ=﹣，∵由θ∈（，π），得到sinθ﹣cosθ＞0，可得：sinθ﹣cosθ===，②∴由①+②可得：sinθ=，由①﹣②可得：cosθ=﹣，∴tanθ==﹣，∴tan2θ==．法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，又sinθ+cosθ=＞0，可得：θ∈（，），可得：2θ∈（π，），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：sin2θ=﹣，∴tan2θ=．故选：B．5．（2015秋•潮州期末）已知，则=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵，∴=．故选：C．6．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．7．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．8．（2012春•锦州期末）已知sinα=，＜α＜π，则tan的值为（）A． B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵已知sinα=，＜α＜π，∴＜＜，且cosα=﹣．再由二倍角公式可得2﹣1=﹣，求得cos=，∴sin=，则tan==2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2018春•杨浦区校级月考）已知cos（α+）=，≤α≤，则cos（2α+）=﹣．【解答】解：∵≤α≤，cos（α+）=＞0，∴＜α+≤，∴sin（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）﹣cos（α+）=﹣，cosα=﹣=﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，sin2α=2sinαcosα=，则cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=﹣．故答案为：﹣10．（2018春•小店区校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，，则f（x）的单调递增区间为（或）．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵，可得：2x+∈（，），∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈或时，f（x）单调递增．∴f（x）的单调递增区间为（或）．故答案为：（或）．11．（2018春•福田区校级期中）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．故答案为：﹣．12．（2018春•海州区校级月考）求cos cos cos cos cos=．【解答】解：cos cos cos cos cos=﹣cos cos cos cos cos== ===，故答案为：．13．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴，∴1＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．14．（2016春•陕县校级月考）已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin=．【解答】解：∵α∈（π，），∴∈（，），∴sin＞0．∵cosα=1﹣2sin2=﹣，∴sin=．故答案是：．15．（2016春•浦东新区校级期中）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．16．（2014•新余二模）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵tanα+=，∴=，∴，∴sin2α=，∵α∈（，），∴cos2α=﹣，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2018春•沙市区校级期中）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．18．（2018•临川区校级模拟）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ﹣（k∈Z），∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（﹣）=．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[]，∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．19．（2017秋•湛江月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1+0=1．（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=﹣，∴cos2α=±．∵α∈（0，π），sin2α=﹣，∴2α∈（π，π），∴cos2α＜0，故cos2α=﹣．20．（2017春•如东县校级期中）由倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；（2）已知3×18°=90°﹣2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．【解答】解：（1）cos2x═cos（2x+x）=cos2xcosx﹣sin2xsinx=（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx=2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx=4cos3x﹣3cosx，（2）因为cos（3×18°）=cos（90°﹣2×18°），所以4cos318°﹣3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3=2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=（舍去）．21．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f （x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．22．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或23．（2010春•闸北区期末）已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．【解答】解：由题意，…（3分）…（3分）…（3分）用万能公式求对同样给分．24．（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=。
高中数学半角公式教案
高中数学半角公式教案
一、教学目标：
1. 了解半角公式的概念及应用场景；
2. 能够熟练应用半角公式解决相关数学问题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
二、教学重点：
1. 半角公式的定义及推导过程；
2. 半角公式在实际问题中的应用。
三、教学内容：
1. 半角公式的定义：tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x))；
2. 半角公式的推导过程；
3. 半角公式的应用举例。
四、教学过程：
1. 引入：通过实际问题引入半角公式的概念和应用场景；
2. 讲解：详细介绍半角公式的定义和推导过程；
3. 练习：让学生进行练习，熟练掌握半角公式的应用方法；
4. 拓展：引导学生思考半角公式在其他数学问题中的应用；
5. 总结：总结本节课的内容，并提出问题让学生思考。
五、作业布置：
1. 完成相关练习题目；
2. 思考半角公式在解决其他数学问题中的应用。
六、教学反馈：
1. 收集学生作业，检查答题情况；
2. 总结学生表现，及时给予反馈；
3. 鼓励学生继续学习，拓展数学知识。
七、教学资源：
1. 课本资料；
2. 练习题目和解答。
八、教学评价：
1. 学生掌握半角公式的程度；
2. 学生对半角公式的应用能力。
希望以上教案能够帮助您顺利开展高中数学半角公式的教学工作。
祝您教学顺利！。
倍角公式教学设计
倍角公式教学设计引言：倍角公式是高中数学中重要的一个公式，其在解决三角函数方程、证明三角函数的恒等式以及求解三角函数值等方面起着重要的作用。
本文将针对倍角公式的教学设计，旨在帮助学生更好地理解并应用倍角公式。
一、教学目标：通过本堂课的学习，学生应能够：1. 理解倍角公式的含义和作用；2. 熟练运用倍角公式解决三角函数方程；3. 掌握利用倍角公式证明三角函数的恒等式；4. 能够灵活运用倍角公式求解三角函数值。
二、教学内容与方法：1. 教学内容：（1）倍角公式的定义和推导过程；（2）倍角公式的应用：解三角函数方程、证明三角函数的恒等式、求解三角函数值。
2. 教学方法：（1）讲授与讨论相结合的教学方法，引导学生自主思考；（2）示例分析法，通过具体的例题引导学生理解和掌握倍角公式；（3）互动式教学，鼓励学生积极参与课堂讨论。
三、教学步骤：1. 导入与激发兴趣：教师可以通过提出问题、展示实际生活中的应用等方式，激发学生对倍角公式的兴趣。
2. 概念解释与讲解：教师通过清晰明了的语言解释倍角公式的定义和推导过程，引导学生了解倍角公式的含义和作用。
3. 示范与演示：教师通过具体的例题，演示如何应用倍角公式解决三角函数方程、证明三角函数的恒等式以及求解三角函数值。
学生可以跟随教师的步骤进行计算，并在过程中提问和讨论。
4. 学生练习与巩固：教师布置练习题，要求学生独立完成。
学生可以结合课堂上所学的知识，灵活运用倍角公式，解决各种类型的题目。
5. 总结与归纳：教师与学生共同总结倍角公式的重要性和应用范围，并对学生的问题进行解答和澄清。
四、教学评价：1. 课堂互动：教师可以通过课堂讨论、提问和学生回答等方式，了解学生对倍角公式的理解程度，并鼓励学生积极参与教学活动。
2. 练习评价：通过学生完成的练习题目，检验学生对倍角公式的理解和应用能力，并对学生的答题情况进行评价和反馈。
3. 学习成果评估：通过课堂实际教学效果的观察和学生的学习表现，对学生的学习成果进行评估和总结。
倍角公式和半角公式一
倍角公式和半角公式一目标认知：Ej学习目标：in1.能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；2.能运用倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式);3.体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用.学习重点：Q倍角公式及其变形.学习难点：s倍半角公式变形及应用.内容解析：Ei1 .倍角公式口在和角公式中令凸=Q，即得二倍角公式:sm3Q；= ^EincK 匚os a ；F r *"■acos2□:= CCS a- sin a = 2cos G-1 = 1-2sin a ；亠r 2 tan fttan 2Q:=--- 2——1 - tan a注意：(1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.a 0；+ P e + Q(2) “倍角”的意义是相对的，不局限于2◎与^的形式.例如□■与3,2 与4等，也为引出半角作准备.二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式.二倍角的正切公式成立的条件: U丰此兀+ 理— + —,归E Z2 2 A熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次)(6)3 COEor =公式的逆用及变形：1 +cos 2a . 1 1 - c<js2a----------- ,£in Of = --------------2.半角公式E1由倍角公式变形得到:曲吧=上更竺2 l-HCOSd ：；前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式:a其中正负号由2的象限确定.不必考虑正负.3.积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）S3（1）积化和差：sin 戸=—凶n （臂+ Q ） +徂口（说一用］.COE sin 戸二一Win （臂十 戸）- COE cos 戸=—+ 戸）+UQ 占（◎一 戸打. sin iXsin # = — —+ Q-cos （门;一0）］.2 （2）和差化积:.C r .时 0 口一 0sm ci' + sin p=2ELn ----- c os ----- .2 2 .c r 6r+0 . asin sin Q = £ COE ------- s in ----- .2 2 . 0^+ 8 a- 6COE O^ + COE Q = 2 COS --- cos ---- .L 2 2 - r . a+声.a-fiCOE ①一匚OK 0 = —2 fin Ein ----L 2 2本周典型例题：闺沁■X = 2.otE 〔卫加1 .已知口 2 ，求 sin2a , cos2a , tan2a 的值.庄3飢£ ”中図鼻，盟£ = ±旗心厘 2^2； 22 y 1+ COSO ：；借助倍角公式还可得到另一个半角公式:tan —1 1 + CCSsin a _ 1- cosct左口 H ，好处在于可以sin a = —,CiE解析：•••口2「。
半角公式教案
半角公式教案教案标题：引入半角公式的基础数学课程教学教学目标：1.了解和理解半角公式的概念；2.学会应用半角公式解决与角度相关的数学问题；3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1.半角公式的定义和推导过程；2.半角公式的应用举例。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师出示一道与角度相关的数学问题，要求学生思考并讨论如何解决；2.学生积极参与讨论，教师引导学生思考角度和半角之间是否存在一定的关系。
二、学习（20分钟）1.教师简要介绍半角公式的概念和定义，并推导出半角公式的表达式；半角公式：sin（A/2）= ±√[(1 - cosA) / 2]2.教师讲解半角公式的原理和应用；3.学生跟随教师的讲解，记录笔记并思考相关问题。
三、实践（30分钟）1.学生分组，每组选举一名代表解答问题；2.教师提供一些与角度相关的题目，要求学生运用半角公式进行解答；3.学生小组展示解题思路和方法，其他小组提问和讨论；4.教师给予学生及时的反馈和指导。
四、巩固（15分钟）1.教师出示一些应用半角公式解决实际问题的例子，要求学生尝试解答；2.学生将解题过程和答案呈现出来，教师进行点评和总结。
五、拓展（15分钟）1.结合实际，教师讲解半角公式在几何、物理等领域的应用；2.学生进行讨论和思考，拓展半角公式在更多领域中的应用。
六、归纳（10分钟）1.教师将半角公式的应用进行总结，并概括成简洁的原则；2.学生积极参与讨论，检查自己的笔记是否完整。
七、作业（5分钟）1.布置与半角公式相关的练习作业，要求学生独立完成；教学反思：通过本节课的教学，学生对半角公式的概念和应用有了初步的了解。
通过实践和讨论，学生积极参与，有效提高了对半角公式的理解和运用能力。
同时，通过拓展环节的设置，拓宽了学生对半角公式在实际应用中的认识。
在今后的教学中，可以进一步引导学生运用半角公式解决更复杂的数学问题，加深对半角公式的理解和运用能力。
倍角公式和半角公式-简单难度-讲义
倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2018•绵阳模拟）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C． D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．2．（2018•海淀区校级三模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，则cos2α=（）A．﹣ B． C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，∴tanα=﹣2，则cos2α====﹣，故选：A．3．（2018•中山市一模）函数y=2sin2（x+）﹣1是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．故选：A．4．（2018春•福州期末）化简的结果为（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．5．（2017春•江西月考）已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：∵3sinα+4cosα=0，∴3tanα+4=0，可得：tanα=﹣=，整理可得：2tan2﹣3tan﹣2=0，∴解得：tan=2，或﹣，∵α是第二象限角，∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z，∴tan＞0，故tan=2．故选：A．6．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（），则cos 等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵已知cos α=，α∈（），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．7．（2017春•西华县校级期中）如果|cos θ|=，＜θ＜4π，那么cos的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：|cos θ|=，＜θ＜4π，∴cosθ=，θ∈（，），∈（，），∴cos＞0，由cosθ=2﹣1=，得cos=，故选：C．8．（2016秋•怀仁县校级期中）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C． D．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B．二．填空题（共8小题）9．（2018春•浦东新区期末）若sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），∴=．∴sin2θ=2sinθcosθ==﹣．故答案为：．10．（2018春•南京期末）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin=，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故答案为：．11．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°=．【解答】解：sin75°•cos75°==故答案为：12．（2018•道里区校级三模）已知tana=﹣2，则tan2a=．【解答】解：∵tana=﹣2，∴tan2a===，故答案为：．13．（2017•普陀区二模）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．14．（2017春•邗江区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．15．（2016秋•浦东新区校级期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．16．（2015•闵行区二模）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2014春•瓜州县校级期中）（1）化简•，（2）一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为？【解答】解：（1）•==2sinx；（2）设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则，解得：α=2．18．（2013春•江西校级期末）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或c=8 …（13分）所以c=819．（2013•亭湖区校级二模）已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且．（1）求角A；（2）若，求的值．【解答】解：（1）∵∴，即，，∴，∵0＜A＜π∴∴∴．（2）由题知．20．（2013秋•缙云县校级期中）已知：sinα=，α∈（，π），求sin2α和cos2α的值．【解答】解：sinα=，α∈（，π），故有cosα=﹣=﹣，故sin2α=2sinαcosα=﹣；cos2α=1﹣2sin2α=．21．求证：（1）=；（2）tan=．【解答】证明：（1）∵等式的右边==== ===左边，∴等式=成立．（2）等式的右边== ==tan=左边，∴等式tan=成立．22．已知cosβ=﹣，（0＜β＜π），求：sin，cos，tan的值．【解答】解：∵0＜β＜π，∴∈（0，），sin，cos，tan的值都是正值．∵cosβ=﹣=2cos2﹣1，（0＜β＜π），∴cos=；∴tan===．23．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．【解答】解：∵sinα=，且α=（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，由α∈（，π）知，∈（，），∴sin===．24．已知cosα=，α的终边在第四象限，求sin，cos，tan的值．【解答】解：α的终边在第四象限，且cosα=，∴2kπ﹣＜α＜2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣＜＜kπ﹣，k∈Z，∴为第二或第四象限角．由半角公式可知：sin2=（1﹣cosα）=×（1﹣）=，cos2=（1+cosα）=×（1+）=，当为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0，tan＜0，∴sin==，cos=﹣=﹣，tan==﹣；当为第四象限角，∴sin＜0，cos＞0，tan＜0，∴sin=﹣=﹣，cos==，tan==﹣．。
最新倍角公式和半角公式一资料
最新倍角公式和半角公式一资料倍角公式和半角公式是解析几何中常用的一组公式，用于求解两个角的倍角和半角。
它们在三角函数、平面几何和立体几何等应用领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍最新的倍角公式和半角公式，并给出相关的例题和解析。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。
1.正弦的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ通过这个公式，我们可以将一个角的正弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的乘积的二倍。
例题1：已知角A的正弦值为1/2，求角2A的正弦值。
解析：根据倍角公式，sin2A = 2sinAcosA代入sinA = 1/2，得到sin2A = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2所以角2A的正弦值为√3/22.余弦的倍角公式cos2θ = cos^2θ - sin^2θ通过这个公式，我们可以将一个角的余弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的差的平方。
解析：根据倍角公式，cos2B = cos^2B - sin^2B代入cosB = 3/5，sinB = √1 - cos^2B = √1 - 9/25 = 4/5，得到cos2B = (3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25所以角2B的余弦值为-7/253.正切的倍角公式tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)通过这个公式，我们可以将一个角的正切值表示为这个角的正切值的两倍除以1减去这个角的正切值的平方。
例题3：已知角C的正切值为2，求角2C的正切值。
解析：根据倍角公式，tan2C = (2tanC)/(1 - tan^2C)代入tanC = 2，得到tan2C = (2 × 2)/(1 - 2^2) = -8/3所以角2C的正切值为-8/3二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。
三角函数的倍角与半角公式教案
三角函数的倍角与半角公式教案三角函数在数学中具有广泛的应用，而倍角与半角公式是一类重要的三角函数关系式。
本教案旨在介绍三角函数的倍角与半角公式，并辅以示例和练习，以便学生能够深入理解和熟练运用这些公式。
一、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以用来求解角度为2θ的正弦值。
公式如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以用来求解角度为2θ的余弦值。
公式如下：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. 正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以用来求解角度为2θ的正切值。
公式如下：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)二、半角公式1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以用来求解角度为θ/2的正弦值。
公式如下：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]选择正号还是负号要根据角度θ的范围来确定。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以用来求解角度为θ/2的余弦值。
公式如下：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]同样，选择正号还是负号要根据角度θ的范围来确定。
3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以用来求解角度为θ/2的正切值。
公式如下：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]同样地，选择正号还是负号要根据角度θ的范围来确定。
三、示例与练习示例1：已知sinθ = 3/5，求cos2θ的值。
解法：首先，根据sinθ = 3/5，可以得到cosθ = 4/5（利用勾股定理）。
然后，使用余弦函数的倍角公式，cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，代入已知的cosθ和sinθ，计算得到cos(2θ) = -24/25。
因此，cos2θ的值为-24/25。
高一数学倍角公式和半角公式知识精讲
高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。
例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。
特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。
降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。
三角倍角半角公式汇总
三角倍角半角公式汇总三角倍角半角公式是在三角函数中常用的一组公式，用于计算角度的倍角和半角。
这些公式在解决三角函数相关问题时具有很大的实用价值。
下面将对三角倍角半角公式进行汇总，并进行详细的介绍。
一、正弦函数的倍角和半角公式1. 正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ这个公式表示，正弦函数的平方可以表示为正弦函数和余弦函数的乘积的两倍。
这个公式在解决正弦函数的倍角问题时非常有用。
2. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)这个公式表示，正弦函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以2。
需要注意的是，由于正弦函数是奇函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。
二、余弦函数的倍角和半角公式1. 余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示，余弦函数的平方可以表示为余弦函数的平方减去正弦函数的平方，也可以表示为2倍余弦函数的平方减去1，还可以表示为1减去2倍正弦函数的平方。
这些形式在解决余弦函数的倍角问题时都可以使用。
2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)这个公式表示，余弦函数的半角可以表示为余弦函数的和的平方根除以2。
与正弦函数的半角公式类似，由于余弦函数是偶函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。
三、正切函数的倍角和半角公式1. 正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)这个公式表示，正切函数的平方可以表示为2倍正切函数除以1减去正切函数的平方。
这个公式在解决正切函数的倍角问题时非常有用。
2. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这个公式表示，正切函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以余弦函数的和。
《倍角公式和半角公式》教案
教学环节
教学内容
师生互动
布置作业
层次三： . 教材练习 B，1,2 ，3(1)(2)(3)
第三层次要求学有 余力的学生完成
设计意图 通过分层作业使学生 进一步巩固本节课所 学内容，并为有余力 的学生的发展提供更
学习好资料
欢迎下载
加广阔的空间
实施新教材， 教师该如何 “采集”和 “创生”有效的教学素材，寻找适合学生的教学设计，
么？
公 请学生想一想要关注什么？公式中的
正切公式
有限制吗？
式
使学生掌握二倍角的余弦
的适用范围
T 学生回答要使
有意义，需分母有
2
公式的不同表示形式，并
意义 的
掌握二倍有正切公式的适
师生讨论要使 tan2 有意义， 取值范 用范围，以加深对公式的
围 深
认识和理解，培养严谨的
提出对于 cos2
=cos 2
通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理
能力和辩证唯物主义观点。
二、教学重点、难点
重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式
C 的两种变形。 2
难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。
三、教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进 行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流， 在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进 行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。
条件，灵活选用公式。另外，逆用
此公式时，更要注意结构形式。
[学习资料]高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式示范教案
![[学习资料]高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式示范教案](https://img.taocdn.com/s3/m/420bec51a26925c52cc5bfe5.png)
3.2.1 倍角公式示范教案整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题1还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写2你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？ 3在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？ 4细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？5能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？6让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin ＝2sin cos ，cos＝cos2－sin2.7思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？8请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗 活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α2αcos2α＝cos 2α－sin 2α2αtan2α＝f(2tan α1－tan 2α2α)cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等．问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2，2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α. 若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k∈Z )．若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)．若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1已知sin α＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－5132＝－1213，sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119.点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点. 变式训练1．y ＝(sinx －cosx)2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 答案：D 2．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72答案：C3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° 答案：B例 2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ.活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋－cos2θsin2θ＋＋cos2θ＝2sin θcos θ＋＋1－2cos 2θ2sin θcos θ＋＋2cos 2θ－＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ ＝sin θθ＋sin θcos θθ＋cos θ＝tan θ＝右，所以，原式成立． 方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋cos θ＝tan θ＝右．方法三： 左＝＋sin2θ－cos2θ＋sin2θ＋cos2θ＝2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ－2θ－sin 2θ2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θ2－θ＋sin θθ－sin θθ＋cos θ2＋θ＋sin θθ－sin θ＝θ＋cos θθ＋cos θ＋sin θ－cos θθ＋cos θθ＋cos θ＋cos θ－sin θ＝θ＋cos θθθ＋cos θθ＝tan θ＝右．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为__________． 答案：432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2θ－sin 2θ＋2sin 2θ＋cos θ ＝sin θθ＋cos θθ＋＝tan θ＝右边.思路2例 1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116.例 2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值．活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A<π，0<B<π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34，tan2A ＝2tanA1－tan 2A ＝2×341－342＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43.于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B1－tan2Atan2B ＝247－431－247－43＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34.又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝＋1－tan2A ＋B ＝－1121－－1122＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α.解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2αα＋sin2α2sin2αα＋cos2α＝1tan2α.课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．备课资料一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°.2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cos αcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1.4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0. (1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x∈R )的值域．6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值．7．已知cos(x －π4)＝210，x∈(π2，3π4)．(1)求sinx 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝12cos10°－32sin10°cos10°＝－2sin10°cos10°＝－sin20°＝4.2．解：原式＝2sin36°cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2nsin α2n －1.4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48° ＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：(1)由题意，得m·n ＝sinA －2cosA ＝0， 因为cosA≠0，所以tanA ＝2.(2)由(1)知tanA ＝2，得f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x∈R ，所以sinx∈[－1,1]．当sinx ＝12时，f(x)有最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．6．∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2，∴π2<α－β2<π. ∴sin(α－β2)＝459.∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2，∴0<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53.∵cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7275，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝－239729. 7．解：(1)因为x∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)．于是sin(x －π4)＝1－cos2x －f(π4)＝7210， sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x∈(π2，3π4)，故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－452＝－35，sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.。
半角公式教案
半角公式教案
教案标题: 利用半角公式解题
教学目标:
- 理解半角公式的概念和应用。
- 掌握半角公式的求解方法。
- 能够运用半角公式解决相关问题。
教学准备:
- 教师准备相关教学资料，包括半角公式的定义和应用案例。
- 学生准备纸笔以及计算器（可选）。
教学过程:
1. 引入：
- 向学生介绍半角公式的概念，即将角度的一半代入三角函数的对应关系以求得近似值的公式。
- 解释为什么要使用半角公式，比如在实际生活中度量角度可能会有误差，使用半角公式可以提高精确度。
2. 讲解半角公式的定义和推导过程：
- 利用三角函数的和差化积公式和用余弦公式求三角形中的余弦值，推导出半角公式的表达式。
3. 案例演示：
- 教师选取一些常见的案例，通过具体的例子演示如何使用半角公式求解问题，鼓励学生积极参与讨论和思考。
- 例如，计算角度θ=75°的正弦、余弦和正切的近似值。
4. 让学生练习应用半角公式:
- 提供一些练习题给学生，让他们运用半角公式求解。
- 学生可以在纸上计算，也可以使用计算器进行计算。
5. 总结:
- 教师和学生一起总结半角公式的定义和应用，重点强调使用半角公式时需要注意的事项。
- 鼓励学生在课后的学习中继续应用半角公式解决其他相关问题。
评估:
可以设计一些半角公式的应用题作为评估学生对知识点的掌握情况。
拓展:
可以引入更多的三角函数的进一步应用，如半角公式在工程中的应用等，帮助学生更好地理解和运用。
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《倍角公式和半角公式》教案1
一、教学目标
1.知识目标
掌握公式的推导，明确的取值范围。
能运用二倍角公式求三角函数值。
2.能力目标
通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。
通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标
通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
二、教学重点、难点
重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。
难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。
三、教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。
四、课时
1课时
五、教学过程
教学环
节
教学内容师生互动设计意图复
习引入复习两角和与
差的三角函数
公式
先让学生回忆两角和与
差的正弦、余弦、正切
公式的来龙去脉，并请
一个同学把这六个公式
写在黑板上
学生板演
教师点评这些公式：一
方面要从公式的推导上
去理解它，另一方面要
从公式的结构特点上去
记忆，还要注意公式的
正、用、逆用和变用。
今天，我们继续学习二
倍角的正弦、余弦和正
切公式
温旧知新，让
学生明确学习
的内容
公
式的推导探索研究
二倍角的
正弦、余弦
和正切公式
请学生想一想，在公式
中对
如何合理赋值，才
能出现
sin2,cos2,tan2
的表达式，并请同学把
对应的等式写在黑板上
1. 引导学生运用已
学过的两角和的三角
函数公式推得二倍角
公式，使学生理解二
倍角公式就是两角和
的三角函数公式的特
例，这样有助于公式
的记忆
学生板演
教师提出问题：二倍角的正切公式还有没有其它的推导方法
学生课后思考
2. 问题的提出可以让学生了解公式的不同推导方法，有助于学生发散思维的培养
公式的深化
理解1.
二倍角的
正切公式
的适用范围
2．二倍角余
弦公式的不同
表现形式
提出对于公式，我
们要注意些什么？
请学生想一想要关注什
么？公式中的有限制
吗？
学生回答要使
有意
义，需分母有意义
师生讨论要使tan2有
意义，取值范围
提出对于cos2=cos2
-sin2，还有没有其
他的形式？
学生板演
教师板书三个公式，并
告诉学生公式记号分别
为，对二
倍角公式大家要注意以
下问题：(1用单角的三
角函数表示复角的三角
使学生掌握二
倍角的余弦公
式的不同表示
形式，并掌握
二倍有正切公
式的适用范
围，以加深对
公式的认识和
理解，培养严
谨的数学思维
品质
函数；(2 有三种形
式，是有条件的
教学环节教学内容师生互动设计意图
公式的应用例1．
已知，
求sin2,cos2,tan2的值
巩固练习一：
练习A，1,2，3。
例2．证明恒等式：
巩固练习二：
习题3-2A,3(1 (2 (3
例1．
可让学生自己解决，
本题也可按其程它的
程序来做，并让学生
比较方法之优劣。
师：证明恒等式有哪
些途径？
生：一是由左边证到
右边，二是由右边证
到左边，三是左右两
边同时变形为同一个
式子。
师：针对例2待证恒
等式中式子的特点，
我们应采取哪种途
径？
生：由左边证到右边
师：下面同学们自己
试着证明该题
完成后学生完成巩固
例1是两倍角公式
的应用求值问题，
同时复习了同角的
三角函数关系及三
角函数的符号问
题，为学生展示不
同的解题方法，可
培养学生灵活运用
知识解决问题的能
力
例2是一个三角恒
等式的证明问题，
要引导学生运用合
理的途径进行证明
练习二
归纳小结(1 说明二倍角的三角函数公式是
两角和与差的三角函数公式的特
例
(2 中角没有限制条件，
而中，有限制条件
(3 要熟悉多种形式的两个角的倍
数关系，才能熟练地应用好二倍
角公式，这是灵活运用公式的关
键
(4 cos2有三种形式，要依据条
件，灵活选用公式。
另外，逆用此
公式时，更要注意结构形式。
引导学生总结回顾，
可采取提问的方式进
行
系统地总结回顾本
节课所学的内容有
助于学生形成清晰
的知识网络
布置作业层次一：
教材练习B，1,2
层次二：
教材练习B，1,2，3,4；教材习题
3-2A，4(2 作业分三个层次，
第一层次要求所有学
生都要完成；
第二层次要求学有余
力的学生完成；
通过分层作业使学
生进一步巩固本节
课所学内容，并为
有余力的学生的发
展提供更加广阔的
空间
教学环节教学内容师生互
动
设计意
图
布置
作
业层次三：
.教材练习B，1,2，3(1(2(3
第三层
次要求
学有余
力的学
生完成
通过分
层作业
使学生
进一步
巩固本
节课所
学内
容，并
为有余
力的学
生的发
展提供
更加广
阔的空
间
备注实施新教材，教师该如何“采集”和“创生”有效的教学素材，寻找适合学生的教学设计，使学生获得最优的发展是这节课要体现的设计理念.
1. 以旧引新,明确学习内容. ――――→
―――→化单角
―――→（感受“化归”）
令
2．教会学生合理赋值. -----------------→
( 合角 ( 倍角
3.思考与交流: (给学有余力的学生留有发展的空间
⑴求证:
⑵利用三角公式化简:
⑶
4.教学中点出发现二倍角公式的基本思想,体现“授之以鱼，不如授之以渔’’的教育思想.对公式要求做到三个“三”：即“三掌握” “三想” “三会用”.。