7-2分离参数法解决不等式恒成立问题

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恒成立能成立问题总结(详细)

当a
1 时 x1
x2 ， h( x)
2
(0, ) 单调递减；
0 恒成立，此时
f ( x)
0 ，函数 f ( x) 在
当0
a
1
1
时，函数 f ( x) 在 (0,1) 单调递减， (1,
1) 单调递增，
2
a
1 ( 1, ) 单调递减 .
a
（Ⅱ）当 a
1 时， f (x) 在（ 0， 1）上是减函数，在（
（ 2） f (x) 0在 x R 上恒成立 a 0且 0
（ 3）当 a 0 时，若 f (x) 0在 [ , ] 上恒成立
b 2a 或 f( ) 0
b 2a 0
b 或 2a
f( ) 0
若 f ( x) 0在[ , ] 上恒成立
f( ) 0 f( ) 0
（ 4）当 a 0时，若 f ( x) 0在[ , ] 上恒成立
由 h( 1) 7 k, h(2) 20 k, h( 3) k 45, h(3) k 9 ，故 h( x)min 45 k 由 k 45 0 k 45。（ 2）据题意：存在 x 3,3 ，使 f ( x) g( x) 成立 h(x) g( x) f ( x) 0 在
x 3,3 有解，故 h( x)max 0 ，由（ 1）知 h( x) max k 7 ，于是得 k 7 。
f (x)
ln x
1a ax
x
( Ⅰ)当a
1 时，讨论 f ( x) 的单调性；
2
（Ⅱ）设 g ( x)
2
x 2bx 4. 当 a
1
时，若对任意
4
f (x1) g (x2) ，求实数 b 取值范围 .

解答恒成立问题的常规思路

知识导航恒成立问题在近几年的高考数学试题中占据了一席之地，是同学们需要重视并学习的重点内容.恒成立问题是一类综合性较强的问题，常与不等式、函数、导数、数列等知识相结合，重点考查了同学们分析、解决问题的能力.本文重点介绍三种常见的求解思路.一、分离参数分离参数法是解答含参恒成立问题的基本方法，主要通过变形把不等式中的参数和变量分离，然后运用导数法、函数的单调性等求得不含参数式子的最值，进而构造出满足不等式恒成立的条件，使问题获解.例1.已知函数f()x=ln x-a x，若f()x<x2在()1,+∞上恒成立，求a的取值范围.解：∵ln x-a x<x2，x>0，∴a>x ln x-x3，令g()x=x ln x-x3，则g'()x=1+ln x-3x2，令h()x=g'()x=1+ln x-3x2，∴h'()x=1x-6x=1-6x2x，∵h()x在[)1,+∞单调递减，h()x<h()1=-2，即g'()x<0，∴g()x在[)1,+∞单调递减，g()x<g()1=-1，∴a≥g()1=-1，f()x<x2在()1,+∞上恒成立时，a≥-1.解答本题的基本思路是，首先将不等式变形，使参数分离，然后对不含有参数的式子进行求导，通过分析其导函数的正负来讨论函数的单调性，进而求得不含有参数式子的最值，得到a的取值范围.二、数形结合数形结合法是解答恒成立问题的重要方法.在解题时，需首先将不等式变形，构造出一个或者两个简单的基本函数，然后绘制出函数的图象，通过分析函数的图象找出临界的位置关系，从而建立使不等式恒成立的关系式，使问题得解.在解答恒成立问题时灵活运用数形结合法，能快速找到解题的思路，显著提升解题的效率.例2.若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的取值范围是.解：不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x.在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意可得，在(0，+∞)上，直线有一部分在曲线的下方．由图象可知-a<1，所以a>-1.运用数形结合法能使解题过程变得更加直观、简洁，是求解恒成立问题经常采取的方法之一.在运用数形结合法解题时还应注意正确绘制函数的图象.三、利用函数的单调性虽然恒成立问题较为复杂，但我们可以结合不等式的结构特点构造合适的函数，将问题转化为函数问题，再讨论函数的单调性，建立使不等式恒成立的关系式，从而解题.我们可以利用函数单调性的定义，也可以利用导数来讨论函数的单调性.例3.已知函数f(x)=1-22x+1为奇函数.若对任意的t∈R，不等式f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立，求实数m的取值范围．解：设任意x1，x2∈R，且x1<x2，∴f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-1+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).∵x1<x2，∴2x1-2x2<0，(2x1+1)(2x2+1)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的单调递增函数．∵f(x)=1-22x+1为奇函数，且在R上为增函数，由f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立可得f[t2-(m-2)t]>-f(t2-m+1)=f(m-t2-1)，化简得2t2-(m-2)t-m+1>0，∴Δ=(m-2)2+8(m-1)<0，解得-2-22<m<-2+22，∴m的取值范围为(-2-22，-2+22)．本题主要是利用函数单调性的定义来确定函数的单调性，然后利用函数的单调性建立关于t的不等式，再利用方程的判别式建立关于m的不等式，求得m的取值范围.解答恒成立问题的方法还有很多，如函数最值法、判别式法、导数法等，而以上三种方法是解答恒成立问题的常用方法.无论运用上述哪种方法解题，同学们都要注意首先将不等式合理进行变形，构造适当的函数模型，灵活运用导数、不等式、函数等知识，以及转化思想、数形结合思想解题.（作者单位:江苏省江阴市第一中学）37。

那些年,我们一起追过的分离参数--谈谈不等式恒成立问题何时不分离参数

那些年，我们一起追过的分离参数”——谈谈不等式恒成立问题何时不分离参数厦门大学附属实验中学(363123)田富德含参不等式恒成立问题，能很好的考查学生转化与化归、分类讨论想等思想方法，能很好的考查逻辑思维能力、运算求解能力.因此，该问题一直是各省市质检、高考的热点，杂志也掀起研究含参不等式恒成立的热潮，不少文章对不等式恒成立问题的解法进行归纳，对分离参数的方法进行探讨.显然，分离参数法是解决含参不等式恒成立的主要方法、重要方法、常用方法，这类问题几乎都可以用分离参数法来解决，但也并不是所有的试题都适合用分离参数来解决，也并不是所有的试题都可以用分离参数来解决•笔者本着以溯本求源为出发点，结合课堂教学实际，有以下两点思考与大家共勉•含参不等式恒成立问题为什么要分离参数？含参不等式恒成立问题什么时候不分离参数？一、为什么要分离参数不等式恒成立问题的本质是求函数的最值问题，求函数最值需要研究函数的单调性.而参数可能对函数的单调性会产生影响，故求含参函数的最值常常要对参数的讨论.分类讨论恰是学生学习的薄弱点，而分离参数之后再构造函数，可以有效避免参数对函数单调性的影响.因此,分离参数法成为了含参不等式恒成立的常用解法，甚至是首选解法.例1对于任意的力e ［*,2］的不等式*本文为福建省教育科学“十三五”规划2018年度立项课题《基于素养教育的高中数学有效教学研究》(立项批准号:FJJKXB18-319)成果之一.2mx + 1〉0恒成立，求th 的取值范围.解法1 :设函数于(久)二/ _ 2mx + 1 e ［*,2］,题意可转化为/(^)min > 0.当m W *时，函数于(光)在［*,2］上单调递增，=/(y)二+- m + 1 > 0,解得 m < 壬，所以 m当m M 2时，函数/(%)在［*,2］上单调递减，=/(2) = 4 一4加 + 1 > 0,解得 m < },与m M 2矛盾，舍去；当* < m < 2时，函数于仏)在［*,尬］上单调递减，在［尬,2］上单调递增,/(%)min= m -2m 2 + 1 > 0,解得 - 1 < m < 1,所以< m < 1.综上所述,％的取值范围为m < 1.解法2：题意可转化为不等式2m < x+ —对于X任意的％ G ［^-,2］恒成立，设g(%) = X + ^,X G［y,2］，即 2m < g (叽”,又％ + 右 M ■右=2,当且仅当％ = 1等号成立，从而有2m < 2,解得m < 1.综上所述,m 的取值范围为m < 1.点评：对比两解法，解法2思路更为单纯，过程更为简洁，有效避开对参数m 的讨论.而能避开对参数m 的计论，分离参数法功不可没.不分离，则参数m 对函数/(%)在区间［y,2］单调性的影响，使解法1过程显然繁琐，学生成需要思考对m 讨论的标准，做起来相对比较不容易.那么解法1需要掌握吗？答案是肯定的.我们若设置这样的问题：“已知函数/(%) = / - 2"妙+ 1 (* W % W 2)的最小值为1,求m的值.”解法1的方法显然可以迁移，也能很好的考查学生分类讨论的数学思想方法.二、什么时候不分离参数纵然分离参数万般好，可是仍有许多含参不等式恒成立的试题不宜使用分离参数法.1.参数无法分离或分离后函数复杂例2已知m>0且zn#1,当％e(-l,l)时，不等式/_分<*恒成立，则m的取值范围是()•A.(*,1)B[*,1)C.(y,l)U(1,2)D.[y.l)U(1,2]解析:原不等式可化为%2-y<则问题可转化为：当％e(-1,1)时，二次函数/(%)=%2-y的图象恒在指数函数g(%)=加的图象下方.当7H>1时,g(尤)=单调递增，又/(先)< /(-1)=*，要使原不等式恒成立，即满足g(-l) &/(-1)=解得o<m W2,所以1<m W2；当0<m<1时,g(%)二m x单调递减，又_/"(%) </(1)=*，要使原不等式恒成立，即满足g(l)M /(I)=解得m M所以<1-综上所述,m的取值范围是*1或1<mW2,故选D.点评:若要对本例进行分离参数,显然需对不等式/-*<m*的两边同时开％次方，但/-*有可能为负数,故对不等式左边并不能随便开方.当参数无法分离时，就需要我们另辟蹊径了.对于函数y =/-m x的图象和单调性我们是不熟悉的，虽然不能分离参数，但是分离/和m是一个很好的方向，如上解析将问题转化为二次函数/■(%)=/-斗恒在指数函数g(%)=m下方，这两个函数都是基本初等函数，也体现了将未知化为已知的重要解题思路.例3若关于％的不等式异-儀W牛+1-a恒成立，求a的取值范围.解析:条件可转化为函数y=V-%2-4%的图象在直线y=^x+l-a的图象下方(允许有公共点).又注意到y=-x-4x可化为(%+2)2+/ =4(y^0),即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半部分，要使得半圆在直线的下方，则要满足圆心到直线的距离大于或等于半径且直线在y轴上的截距大于0,即I y x(-2)-1x0+1-al—y(f)2+(-i)2—'1解得応_1—d〉0,5.故a的取值范围为a W-5.点评：本例参数易分离，原不等式可转化为■J-x-4x-^-x W1-a,若构造函数y=J_侖-4%-牛，显然形式复杂，其导函数y=斗(-/-4x)~T(-2x-4)-寻也并不简洁可爱,继续解下去需要足够的勇气，而解压轴题确实需要这样的勇乞当分离参数后构造的函数不好求最值时，就不宜采取分离参数法.而本例利用数形结合，则迎刃而解.2.一次函数(含常函数)例4对于任意的m e[-2,2],不等式4/一8771%+7771-34>0恒成立，求％的取值范围.解析：设g(m)=4/-Smx+Im-34,m e [-2,2],要使原不等式恒成立，等价于g(m)的最小值大于零，而g(m)的最小值为g(2)或g(-2),因此，只要满足严⑵即lg(-2)>0,『2-4—5>0,解得”>5或乂<_6,故％的取L异+4x-12>0,值范围为力>5或％<-6.点评：注意到不等式是对任意的m e[-2,2]恒成立，故应将m视为变量，构造函数g(m).而g(m)或是一次函数或是常函数，其在区间]-2,2]的图象为一条线段,要使原不等式恒成立，即让该线段在m轴(横轴)上方，故只需保证线段的两个端点落在横轴上方，便解之.有不少老师将这种方法称为变换主元法，笔者则认为本例主元本身就是m,不等式是对于m的取值恒成立，显然m才是变量，而％则为参数.原不等式可化为4/-34>(8%-7)m,若要对不等式分离参数，即要对上不等式两边同除以8%-7,显然需要讨论8^-7其值正、负、零的三种情况.分离参数其目的是为了减少讨论(或是避免讨论)，而本例若要分离则增加了讨论，故不适合分离.3.部分二次不等式例5关于％的不等式x2-2mx+1>0恒成立，求m的取值范围.解析:依题意得,4=(2m)2-4x1xl<0,解得-1<m<l.故m的取值范围为-1<m<l.点评:要使得原不等式恒成立，等价于函数y= x2-2mx+ 1的图象恒在%轴上方，即对应二次方程判别式小于零.二次含参不等式在R上的恒成立问题，首选判别式法，不宜采用分离参数法.例6对于任意的%e[-2,2],不等式/-2mx+m-5<0恒成立，求m的取值范围.解析:设/(%)=x-2mx+m-5,x e[-2,2],要使得原不等式恒成立，等价于/&)的最大值小于零，而/(%)的最大值为/(-2)或/(2),因此，只要满.-2)<0,即严<1,解得_+<.1/(2)<0,3故m的取值范围为<m<*.例7对于任意的x e[-2,2],不等式2mx+m+5〉0恒成立，求m的取值范围.解析：设/(x)=2mx+m+5 ,x e[-2, 2],要使得原不等式恒成立，等价于/(先)的最小值大于零，而/(%)的最小值为/(-2)或人2),因此，只要满足[心2)>0,即严+1>0,解得_壬1/(2)>0,I-3m+1>0,5 <m<故m的取值范围为-+<m<*.点评：不等式恒成立问题的本质是求解函数的最值.给定封闭区间，对于开口向上的抛物线其最大值显然出现在区间的端点处，如例6；对于开口向下的抛物线的最小值显然出现在区间的端点处，如例7.虽然最值的位置不确定，但对于恒成立问题，只需保证可能成为最值的函数值能成立即可.对于例5、例6和例7,倘若对原不等式进行分离参数,避免不了对自变量力的讨论，分离显得多此一举、化简为繁.4.分离后没有最值或对含参函数单调性了然于胸例8当％N0时，关于力的不等式e1-1-X-ax M0恒成立，求a的取值范围.解法1:设/(%)=e x-1-x-ax2(x0),则y7(%)=e x-1-2ax=e x-2a.若aW*，当％MO时，有MO(当且仅当%=0且a=y时等号成立)，从而/(%)在[0, + 8)上单调递增，即有f(x)*(0)=0,故/■(%)在[0,+8)上单调递增，即有/(%)&/(0)=0,原不等式成立.若a>令于'(％)=0,解得％=ln(2a)>0,结合/(%)在[0,+00)上单调递增，知当％G[0, ln(2a)]时，有广仏)WO,从而f(x)在[0,+8)上单调递减，即有“(0)=o,故只％)在[0, + 8)上单调递减，即有/(ln(2a))</(0)=0,不合题意，舍去.综上所述，当aW*时，原不等式恒成立.解法2：当力=0时，原不等式成立.当％>0时，原不等式可化为a_L，设Xh(x)=e X(x>0),则条件可化为a W h(x)mia,h\x)=『(—2]+%+2,设M= e x(x-2)+x+2,p z(x)=e x(x-1)+1,当％> 0时=e x x>0,所以pO在(0,+co)单调递增，即有卩'(兀)>卩'(0)二0,所以p(%)在(0,+ 00)单调递增，即有P(光)>?(0)二0,从而h f(x)> 0,所以人仏)在(0,+8)单调递增，由于浪光)在(0,+00)上没有最小值，则a w limh(x).由洛必达X1X1法则，有lim/心)=lim------------=lim----=e x11T=所以T综上所述，当aW*时，原不等式恒成立.点评：解法2使用了分离参数法,过程中也用到了洛必达法则，一方面，中学数学教材并没有给出洛必达法则，另一方面，考生若在高考使用洛必达法则，也可能无法得满分.因此，考生在最好不要使用解法2进行作答，命题老师更不能将解法2作为试题的参考解答.故对于本例，显然适合选择解法1,直接构造函数求导讨论其单调性.对于解法1,如何确定参数的临界点是解题的一个难点.那么什么时候选择直接构造函数，又什么时候分离参数后再构造函数呢？虽然我们无法短时间快速判断分离后的函数有没有最值，但遇到定义域为开区间的函数就要小心了.在考场上考生没有太多时间对各种方法进行尝试，一般情况下，作为全卷的压轴题，分离参数极可能不可行，可能所构造函数没有最值，也可能所构造函数较为繁杂.如果考生能对参数临界点了然于胸，那么直接构造函数比较合适.每年的高考试题、各地质检试题，新型层出不穷•考生想要在考试中快速选择适合的方法，轻松解决各类恒成立问题，只是“纸上谈兵，死记方法”，显然是不行的，考生需要通过做一定量的题，多总结思考才能找到题感，以不变应万变，迅速判断是否适合分离参数来解题.作为教师，更应该多解题命题，注重一题多解和多题一解,对各类题型进行归纳总结、拓展延伸，才能站在解题的至高点上更好的引领学生.一道模考压轴小题引发的思考上海市虹口高级中学(200434)李雪娇立体几何是发展学生空间想象能力与逻辑推理能力的重要载体•在高考中，立体几何内容不仅出现在解答题中，也出现在客观题中•在高考数学的客观题中，更加注重从几何角度考察学生的思维水平及直观想象、逻辑推理等核心素养.本文从2019学年上海市虹口区高三数学一模试卷中的一道选择题出发，谈谈对立体几何教学的思考.—、试题呈现题目如图1,正四面体ABCD的体积为1,0为其中心，正四面体EFGH与正四面歩体关于点。

高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！

开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。

由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。

所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

平时练习过程中，应注意观察，总结！。

解答含参不等式恒成立问题的三个途径

解题宝典含参不等式恒成立问题是一类综合性较强的题型，经常同时涉及多个不同的知识点.由于问题中涉及了参数，所以在解题的过程中，我们要充分关注参数，对参数进行分离、分类讨论等.本文结合实例，对解答含参不等式恒成立问题的三种途径作一探讨.一、分离参数法分离参数法是指将不等式变形使参数和变量分离，然后构建关于变量的函数，将原问题转化为函数最值或值域问题来求解的方法.在分离出参数之后，求函数最值的方法有导数法、基本不等式法、配方法等.例1.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x，其单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞.若不等式æèöø1+1n n +a≤e 对于任意n ∈N *都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值.解：将不等式æèöø1+1n n +a≤e 两边取对数，可得()n +a æèöø1+1n ≤1，即a ≤1ln æèöø1+1n -n ，设g ()x =1ln ()1+x -1x，x ∈(]0,1，而函数的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞，所以ln 2()1+x -x 21+x≤0，故g ′()x <0，x ∈(]0,1，即g ()x 在区间(]0,1上为减函数，因此g ()x 在(]0,1的最小值为g ()1=1ln 2-1，则a 的最大值为1ln 2-1.解答本题主要运用了分离参数法.首先将不等式进行变形使参数和变量分离，然后构造函数g ()x ，对其求导，通过讨论导函数的单调性求得g ()x 的最小值，得到a 的最大值.二、分段讨论法分段讨论法一般适用于求解需要分多种情况进行讨论的问题.在运用分段讨论法求解含参不等式恒成立问题时，需将参数或定义域区间分成几段，然后逐段讨论使不等式恒成立时的情况，最后综合所求得的结果即可.这种方法的优势在于可以将每一种情况都考虑到.例2.已知f ()x =x ||x -a -2.当x ∈[]0,1时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.分析：已知函数式中含有绝对值，需采用分段讨论法来求解，在定义域内讨论不同区间去掉绝对值符号以及不等式恒成立的情况.解：当x =0时，显然f ()x <0成立，此时a ∈R ，当x ∈(]0,1时，由f ()x <0可得，x -2x <a <x +2x，令g ()x =x -2x ，h ()x =x +2x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =1+2x2>0，所以g ()x 在x ∈(]0,1上是单调递增的，则g ()x max =g ()1=-1，此时h ′()x =1-2x2<0，则h ()x 是单调递减，h ()x min =h ()1=3，因此a 的取值范围是()-1,3.三、单调性法单调性法是指利用函数的单调性构造使不等式恒成立的条件，使问题获解的方法.在运用单调性法解答不等式恒成立问题时，要注意首先将不等式进行变形，构造出合适的函数，然后分析函数的单调性.例3.若定义在()0,+∞上的函数f ()x 满足f ()x +f ()y =f ()xy ，且当x >1时，不等式f ()x <0成立，若不等式f æèöøx 2+y 2≤f ()xy +f ()a 对于任意x ,y ∈()0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.解：设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，则有f æèçöø÷x 2x 1<0，所以f ()x 2-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1∙x 1-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1<0，即f ()x 2<f ()x 1，所以函数f ()x 在()0,+∞上为减函数，故f æèöøx 2+y 2≤f xy +f ()a ⇔f æèöøx 2+y 2≤f ()a xy⇔a +y xy+y xy≥2xy xy=2（当且仅当x =y 时取等号），所以a 的取值范围是()0,2.分离参数法、分段讨论法和单调性法都是解答含参不等式恒成立问题的方法，但它们的适用范围并不相同，分离参数法适用于求解方便将参数、变量分离的问题；分段讨论法适用于解答需要分多种情况进行讨论的问题；单调性法适用于解答函数的性质较为明显的问题.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）42。

分离参数法解决恒成立问题的步骤

引言在数学建模和问题求解过程中，分离参数法是一种常用的方法，用于解决恒成立问题。

本文将以分离参数法解决恒成立问题的步骤为主题，深入探讨这一方法的应用和原理。

通过对这一主题的深度分析，希望读者能更全面地了解分离参数法在解决恒成立问题中的作用和意义。

一、分离参数法的基本概念分离参数法是一种通过引入新的参数，将原方程中的变量分离的方法。

在解决恒成立问题时，我们通常会遇到一些复杂的方程或不等式，通过分离参数法可以简化问题的求解过程。

这种方法的关键在于选择合适的参数，使得原方程中的变量可以被分离或者化简成更容易处理的形式。

二、分离参数法解决恒成立问题的步骤1. 确定需要分离的参数在使用分离参数法解决恒成立问题时，首先需要确定需要引入的参数。

这一步需要观察原方程的形式，找到能够将变量分离的合适参数。

通常情况下，选择参数需要考虑到简化方程和减少求解难度的原则。

2. 将参数引入原方程确定了需要分离的参数后，接下来就是将参数引入原方程。

这一步需要仔细分析原方程的结构，选择合适的方式引入参数，并进行变形操作，使得原方程中的变量能够被成功分离。

3. 分离变量并求解引入参数后，原方程中的变量应该被分离到各自的部分，使得方程的形式更简单或者更易于处理。

在分离变量的过程中，可能会需要运用一些基本的数学技巧或变换方法。

对分离后的方程进行求解，得到恒成立条件或者特定的解。

三、分离参数法解决恒成立问题的示例分析举例来说明分离参数法解决恒成立问题的具体步骤。

假设有一个非常简单的不等式问题：证明当x＞0时，恒有2x+1＞0成立。

这个问题可以通过分离参数法得到简单的解。

首先我们选择参数t，使得2x+1可以被分离为2(x-1/t)+1/t，接着我们引入t后，可以得到不等式 2(x-1/t)+1/t＞0。

由于x＞0，所以x-1/t＞0，因此不等式转化为1/t＞0。

当1/t＞0时，不等式2(x-1/t)+1/t＞0成立。

根据1/t＞0，我们知道t必须是正数，因此不等式2x+1＞0在x＞0时恒成立。

求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”

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分离参数处理不等式恒成立问题

分离参数处理不等式恒成立问题核心知识点：优点：分离参数法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算。

常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a 范围核心知识点：将()a x f ,与0的大小关系转化成()x g 和()a h 的大小关系常见题型2：已知零点个数求解参数a 范围核心知识点：将()0,=a x f 转化成()()x g a h =，应用导数方法绘制()x g 函数的大致图象常见函数图象绘制方法：1. 三次函数图象()()023≠+++=a d cx bx ax x f求导后()ac b c bx ax x f 124,23'22-=∆++=2.常见其它函数图象典型例题：例：设a 为实数，函数()a x x x x f ++-=3615223，若()x f y =的图象与x 轴仅有一个交点，求a 的取值范围解题思路：由题意()03615223=++-=a x x x x f 有两个零点，可知 x x x a 3615223-+-=有一个交点，设()x x x x g 3615223-+-=()()()()3266563630622'---=+--=-+-=x x x x x x x g ()x g ∴在()2,∞-上单调递减，()32，上单调递增，()+∞3,上单调递减()()-273==∴g x g 极大值，()()-282==g x g 极小值27->∴a 或28-<a例：已知()()R a ax xx x f ∈+-=1ln ⑵若()⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e ex f 在内有两个不同的零点，求a 的取值范围解题思路：()01ln =+-=ax x x x f 有两个零点，说明x x x a 1ln 2+=有两个交点设()x x x x g 1ln 2+=，()324'ln 211ln 2xx x x x x x x x g --=--=∴单调递减，且()01'=g ()x g ∴在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,1e 上单调递增，(]2,1e 上单调递减，()()11max ==∴g x g ； 221111e e e e e g -=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，()4222e e e g +=，()42min 2e e x g +=∴，所以a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+1,242e e 例：已知函数()(2)xf x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 解题思路：（2）由题意()()2+-=x a e x f x有两个零点，即2+=x e a x有两个解设()2+=x e x g x，此时定义域一定要注意，此时2-=x ()()()2'21++=x x e x g x ，所以()x g 在()2,-∞-，()1-2，-上单调递减，()+∞-,1上单调递增此时()eg 11=- 所以图象如下图所以由图象可知，a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 例：已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 解题思路：（2）由题意0≥x ，()1213+≥x x f ，即12132+≥-+x x ax e x x e x x ax -++≥∴12132 当0=x 时，00≥恒成立，此时R a ∈；当0>x 时，23121x e x x a x -++≥∴，设()23121xe x x x g x-++= ()()324322'12121212123xe x x x x e x x x x e x x g x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 设()x e x x x -++=1212ϕ，()01'≤-+=x e x x ϕ恒成立（由放缩可知，或者求二阶导） ()0≤∴x ϕ()x g ∴在()2,0上单调递增，()∞+，2上单调递减，()()4-722max e g x g ==∴ 所以a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,4-72e 例：已知函数()()R a e ax x f x∈-=2 ⑵若当0≥x 时，不等式()1--≤x x f 恒成立，求a 的取值范围解题思路：由题意可知12--≤-x e ax x当0=x 时，11-≤-恒成立，此时R a ∈ 当0>x 时，21x x e a x --≤，设()21x x e x g x --=，()()22'22222x x e x x x e x xe x g x x x ++-=++-= 设()()22x ++-=x e x xϕ，此时()00=ϕ ()()11x '+-=x e x ϕ，此时()00'=ϕ()0x ''>=x xe ϕ恒成立，()()0,0'>>x x ϕϕ恒成立()x g ∴在()∞+，0上单调递增但是当0=x 时，()00=x g 型，用洛必达法则；根据洛必达法则可知()212lim 21lim 1lim lim 00200==-=--=→→→→x x x x x x x e x e x x e x g 所以a 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, 例：已知xm m x x -≥-+1ln 在[)+∞,1上恒成立，求m 的取值范围解题思路：当1=x 时，00≥恒成立，此时R a ∈当1>x 时，1ln 2--+≤x x x x x m 设()1ln 2--+=x x x x x x g ，()()()()()2222'1ln 1ln 1ln 2---=-+---+=∴x x x x x x x x x x x x x g 设()x x x x --=ln 2ϕ，此时()01=ϕ ()112'--=xx x ϕ单调递增，且()01'=ϕ()()x g x ∴>∴，0ϕ在()∞+，1上恒增又1=x 时，()00=x g 型，所以使用洛必达法则根据洛必达法则，可得()21ln 2lim 1ln lim lim 1211=+=--+=→→→x x x x x x x x g x x x 所以m 的取值范围是(]2,∞-例：已知函数()()()R a ax ax e x x f x ∈+--=2212 （2）当2≥x 时，()0≥x f ，求a 的取值范围（★函数()x f 能提公因式★）解题思路：由题意()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=ax e x ax ax e x x f x x 2122122 设()021≥-=ax e x g x ，x e a x 2≤∴，设()x e x h x 2= ()()2'12x x e x h x -=，()x h ∴在[)∞+，2上单调递增 ()()2min 2e h x h ==∴所以a 的取值范围是(]2,e ∞-。

分离参数法妙解恒成立问题

分离参数法在解决恒成立问题中展现出其独特的优势。通过恒等变形，我们将参数与主元巧妙地分离于不等式两端，使得原本隐含的函数关系变得清晰可见。这一方法的核心在于转化问题，将原本复杂的含参不等式问题转化为求主元函数的值域或最值问题，进而轻松求出参数的范围。在实际应用中，我深刻体会到分离参数法的思路清晰、规律明显且操作性强，这无疑为我们解决恒成立问题提供了一条有效的途径。通过学习与实践，我逐渐掌握了这一方法的精髓，仅提高了解题效率，还拓宽了数学思维的视野。我相信，在未来的学习与探索中，分离参数法将继续发挥其重要作用，助我攻克更多的数学难题。

高三专题复习不等式恒成立问题

高三数学第一讲不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是．例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围例11、已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

分离参数法在恒成立问题中的应用

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倒囊解析
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椤ＩＩ［２０１ｔ年蔫考，浙江理科卷．碧２２题】已知数，ｃｘ）＝一∞。ｈ．口￡Ｒ求实数口的碉．使得对任意的Ｅ（ｏｌ３口】。恒有，∞ ＜４ｅ。成立．解Ｉ（ｘ —ｄ）ｈ §如．在￡（０．３司恒成立．
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对于（Ｉ）恒成立．根据前述第（４）种惯形ｔ
当 ∈（ｏｊ】时・ｌｎ《Ｏ・显然廊泣
｛４ｈ（ — ２＋ — ３ｘ）ｘ艇；｝骶根湖珊ｋ古
对于（ＩＩ）恒成立，根据的述第（３）种情形。
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综上所述・实敦的取僵湖旺（
若可以Hale Waihona Puke 离参数，问题将可以转化四种情形，
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（１）ｆ ∽ 三ａ在ｅ，恒成立・求口的取值舳．求解函数＝，（ｘ＞． ∈ Ｉ的最小僵
是单调增函数。Ｂｈ，（：０
．
厶 “）＝ Ⅳ－如果最小值可以取到・印，∞ －＞Ｍ・弗幺ａ篓Ｍ，如果最小僵不可以取
综上所述，在当今世界经济快速变化的时代，要正确认识贸易和环境之间的问题，两者相互影响，相互作用．绿色贸易壁垒就是二者作用的产物，它对我国乃至全球贸易有不小的冲击，同样也使我们认识到在国际贸易高速发展的今天，环境是个不容忽视的全球问题，直接影响着贸易的进步．所以，我们

求解不等式恒成立问题的三种途径

考点透视不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明某个不等式恒成立；（2）根据恒成立的不等式求参数的取值范围.求解不等式恒成立问题的常用思路有：构造函数、分离参数、数形结合等.对于不同的不等式，往往需采用不同的途径进行求解.下面结合实例来进行探究.一、构造函数在求解不等式恒成立问题时，我们可先将不等式左右两边的式子移项、变形；然后将不等式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，通过研究函数的单调性，求得函数的最值，来证明不等式恒成立.在求函数的最值时，可根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系来判断函数的单调性；也可以利用简单基本函数的单调性来求得函数的最大、最小值，建立使不等式恒成立的式子，即可解题.例1.求证：当x >-1时，1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.证明：设f ()x =ln ()x +1-x ，求导可得f ′()x =1x +1-1=-x x +1，因为当-1<x <0时，f ′()x >0，当x >0时，f ′()x <0，所以函数f ()x 在()-1,0上单调递增，在()0,+∞上单调递减，即f ()x ≤f ()0=0，故f ()x =ln ()x +1-x ≤0，即ln ()x +1≤x .令g ()x =ln ()x +1+1x +1-1，则g ′()x =1x +1-1()x +12=x ()x +12，因为当-1<x <0时，g ′()x <0，当x >0时，g ′()x >0，所以函数g ()x 在()-1,0上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知g ()x ≥g ()0=0，故ln ()x +1+1x +1-1≥0，ln ()x +1≥1-1x +1，综上可知，当x >-1时，不等式1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.要证明目标不等式恒成立，需分两步进行，先证明ln ()x +1≤x ，再证明ln ()x +1≥1-1x +1.在证明这两个不等式时，都需要先将不等式左右两边的式子作差、移项，构造出新函数f ()x =ln ()x +1-x 、g ()x =ln ()x +1+1x +1-1；然后对函数求导，分析导函数与0之间的大小关系，判断出函数的单调性，进而求得函数的极值，从而得出f ()x min =0、g ()x max =0，即可证明f ()x ≤0、g ()x ≥0.例2.设函数f ()x =e x ln x +2e x -1x，曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线方程为y =e ()x -1+2，证明：不等式f ()x >1恒成立.证明：由f ()x >1可得x ln x >xe -x -2e，令g ()x =x ln x ，可得g ′()x =ln x +1，∵当x ∈æèöø0,1e 时，g ′()x <0；当x ∈æèöø1e ,+∞时，g ′()x >0，∴函数g ()x 在æèöø0,1e 上单调递减，在æèöø1e ,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g æèöø1e =-1e ，令h ()x =xe -x -2e，则h ′()x =e -x ()1-x ，∵当x ∈()0,1时，h ′()x >0；当x ∈()1,+∞时，h ′()x <0，∴函数h ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴h ()x ≤h ()1=-1e，∴当x >0时，g ()x >h ()x ，即不等式f ()x >1成立.由于不等式x ln x >xe -x -2e左右两侧的式子分别含有对数式、指数式，于是分别令g ()x =x ln x 、h ()x =xe -x -2e，那么只要证明g ()x min ＞h ()x max ，即可证明不等式恒成立.利用导数法求出函数g ()x 、h ()x 在定义域内的最值，即可证明不等式成立.在构造函数时，要注意观察不等式的结构特点，将其进行合理的变形，以便构造出合适的函数模型，从而顺利证明不等式.二、分离参数对于含参不等式恒成立问题，我们通常要采用分离参数法，将不等式中的参数、变量分离，即使不等式一侧的式子中含有参数、另一侧的式子中含有变量，得到形如a ≥f ()x 、a ≤f ()x 的不等式.探讨函数f ()x 在定义域内的最值与参数a 的大小关系，即可求得问赵瑛琦37考点透视题的答案.例3.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x.(1)求函数f ()x 的单调区间；(2)若对于任意n ∈N ∗，不等式æèöø1+1n n +a≤e 恒成立，求参数a 的最大值.解：(1)函数f ()x 的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞；（过程略）(2)不等式æèöø1+1n n +a≤e 等价于()n +a ln æèöø1+1n ≤1，因为1+1n ≥1,所以a ≤1ln æèöø1+1n -n，设g ()x =1ln ()1+x -1x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =-1()1+x ln 2()1+x +1x 2=()1+x ln 2()1+x -x 2x 2()1+x ln 2()1+x ，由(1)可得ln 2()1+x -x 21+x≤0，即()1+x ln 2()1+x -x 2≤0，故当x ∈(]0,1时，g ′()x ≤0，函数g ()x 单调递减，即g ()x 在(]0,1上的最小值为g ()1=1ln 2-1，故a 的最大值为1ln 2-1.由于参数a 为指数，所以考虑对不等式左右两边的式子取对数，以将参数分离，得到a ≤1ln æèöø1+1n -n .只要求得1ln æèöø1+1n -n的最小值，即可求得a 的最大值.于是构造函数g ()x =1ln ()1+x -1x ，利用导数法求得函数的最小值，即可解题.在分离参数时，可通过移项、取对数、取倒数等方式，使参数与变量分离.例4.已知函数f ()x =-x ln x +a ()x +1，若f ()x ≤2a 在[)2,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.解：当x ≥2时，由f ()x ≤2a 可得a ≤x ln xx -1，令g ()x =x ln x x -1,x ≥2，∴g ′()x =ln x -x +1()x -12，令h ()x =ln x -x +1，x ≥2，∴h ′()x =1x-1，∵当x ≥2时，h ′()x ＜0，函数h ()x 单调递减，∴h ()x ≤h ()2=ln 2+1＞0，∴g ′()x ＞0，函数g ()x 在[)2,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g ()2=2ln 2，∴a ≤g ()x min =g ()2=2ln 2，∴实数a 的取值范围为(]-∞,2ln 2.先将不等式变形，使参数a 单独在不等式的左边，得到不等式a ≤x ln xx -1；然后在定义域[)2,+∞内求不含参函数式的最小值，即可求得参数a 的取值范围.三、数形结合有时不等式中的代数式可用几何图形表示出来，如y =kx 表示的是一条直线；y =a x 、y =x a 表示的是两条曲线；x 2+y 2=1表示的是一个圆，此时就可以采用数形结合法，根据代数式的几何意义画出图形，通过分析图形中曲线、直线之间的位置关系，研究图形的性质，来证明不等式成立.例5.若不等式e x ≥kx 对任意x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____.解：设过原点的直线与y =e x相切于点()x 0,ex 0，∵y ′=e x，∴由几何导数的意义可知切线的斜率为k =e x，∴切线的方程为y -e x 0=e x 0()x -x 0，∵切线经过点()0,0，可得x 0=1，∴切线的斜率k =e .由图可知，要使等式e x ≥kx 恒成立，需使y =e x的图象始终在直线y =kx 的上方，∴0≤k ≤e .根据不等式两侧式子的几何意义画出图形，即可将不等式问题看作函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系问题.结合图形讨论函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系，并根据导函数的几何意义求得切线的方程，即可得到关于参数的新不等式.运用数形结合法解题，需密切关注直线、曲线之间的临界情形，如相切、相交的情形，从而确定参数的临界值.可见，解答不等式恒成立问题，需注意以下几点：（1）仔细观察不等式的结构特点，并将其进行合理的变形，如作差、移项、分离参数；（2）合理构造函数模型，将问题转化为函数最值问题，以便利用导数法、函数的单调性求得最值；（3）灵活运用数形结合思想，以直观、便捷的方式来解题.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）38。

用分离参数法解含参不等式的恒成立问题

用分离参数法解含参不等式的恒成立问题含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.方法一分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题步骤：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.【例】已知函数f(x)=kx^2-\ln x，若f(x)>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是（）A．\left(\dfrac{1}{e},e\right)B．\left(\dfrac{1}{2e},\dfrac{1}{e}\right)C．\left(-\infty,\dfrac{1}{e}\right)D．\left(\dfrac{1}{2e},+\infty\right)【解析】由题意得f(x)>0在函数定义域内恒成立即kx^2-\ln x>0在函数定义域内恒成立即k>\dfrac{\ln x}{x^2}在函数定义域内恒成立设g(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}，则g'(x)=\dfrac{x-2x \ln x}{x^4}=\dfrac{x(1-2\lnx)}{x^4}当x\in (0,\sqrt{e})上，函数g(x)单调递增;当x \in (\sqrt{3},+\infty)上，函数g(x)单调递减所以当x=\sqrt{e}时，函数g(x)取得最大值，此时最大值为g(x)_{max}=\dfrac{1}{2e}所以实数的取值范围是\left(\dfrac{1}{2e},+\infty\right) ，故选D【总结】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）f(x)<g(a)恒成立\Leftrightarrow f(x)_{max} < g(a)；（2）f(x) \leqslant g(a)恒成立\Leftrightarrow f(x)_{max} \leqslant g(a)；（3）f(x)>g(a)恒成立\Leftrightarrow f(x)_{min} > g(a)；（4）f(x) \geqslant g(a)恒成立\Leftrightarrow f(x)_{min} \geqslant g(a).。

八种解法解决不等式恒成立问题

八种解法解决不等式恒成立问题1最值法例1．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（I ）试确定b a ,的值；（II ）讨论函数)(x f 的单调区间；（III ）若对于任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．分析：不等式22)(c x f -≥恒成立，可以转化为2min 2)(c x f -≥解：（I ）（过程略）3,12-==b a ．（II ）（过程略）函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞．（III ）由（II ）可知，函数)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值．要使22)(c x f -≥（0>x ）恒成立，只需223c c -≥--，解得23≥c 或1-≤c ．所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞⋃--∞．评注：最值法是我们这里最常用的方法．a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔)(min ；a x f ≤)(恒成立a x f ≤⇔)(max ．2分离参数法例2．已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(22（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若不等式e n a n ≤++)11(对于任意*∈N n 都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值．分析：对于（II ）不等式e na n ≤++)11(中只有指数含有a ，故可以将函数进行分离考虑．解：（I ）（过程略）函数)(x f 的单调增区间为)0,1(-，)(x f 的单调减区间为),0(+∞（II ）不等式e n a n ≤++)11(等价于不等式1)11ln()(≤++n a n ，由于111>+n ，知1)11ln()(≤++na n n n a -+≤⇔)11ln(1；设x x x g 1)1ln(1)(-+= ]1,0(∈x ，则221)1(ln )1(1)(x x x x g +++-=')1(ln )1()1(ln )1(2222x x x x x x ++-++=．由（I ）知，01)1(ln 22≤+-+x x x ，即0)1(ln )1(22≤-++x x x ；于是，0)(<'x g ]1,0(∈x ，即)(x g 在区间]1,0(上为减函数．故)(x g 在]1,0(上的最小值为12ln 1)1(-=g ．所以a 的最大值为12ln 1-．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当]2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f x x g a log )(=在]2,1(∈x 观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f 与函数x x g a log )(=在(∈x 图象（如右），从图象中容易知道：当0<a )(x g 上方，不合题意；当1>a 且]2,1(∈x 或部分点重合，就必须满足12log ≥a ，即21≤<a ．故所求的a 的取值范围为]2,1(．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法． 4 变更主元法例4．对于满足不等式11≤≤-a 的一切实数a ，函数)24()4(2a x a x y -+-+=的值恒大于0，则实数x 的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以x 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于0对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设)44()2()(2+-+-=x x a x a f ，]1,1[+-∈a ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立的问题．故应该有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(f f ，解得1<x 或3>x ．所以实数x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设0a 是常数，且1123---=n n n a a （*∈N n ）．（I ）证明：对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．（II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意1≥n 有1->n n a a 求出0a 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I ）递推式可以化归为31)3(32311+-=--n n nn a a ，]51)3[(3251311--=---n n n n a a ，所以数列}513{-n n a 是等比数列，可以求得对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．（II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，取2,1=n 就有⎩⎨⎧>=->-=-0603101201a a a a a a 解得3100<<a ；下面只要证明当3100<<a 时，就有对任意*∈N n 有01>--n n a a 由通项公式得011111215)1(2)1(332)(5a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅-+⋅-⋅+⋅=------当12-=k n （*∈N k ）时，02523322152332)(511101111=⋅-⋅+⋅>⋅⋅-⋅+⋅=--------n n n n n n n n a a a当k n 2=（*∈N k ）时，023*********)(51101111=⋅-⋅>⋅⋅+⋅-⋅=-------n n n n n n n a a a ，可见总有1->n n a a ．故0a 的取值范围是)31,0(评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法． 6分段讨论法例6．已知2)(--=a x x x f ，若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围．解：（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈（ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x -＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x=-∈=+∈ 则221)(xx g +='＞0，∴()g x 是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==- 221)(xx h -='＜0，∴()h x 是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h == 此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）．例7．若不等式032>+-ax x 对于]21,21[-∈x 恒成立，求a 的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对x 进行分段讨论，当0=x 时，不等式恒成立，所以，此时R a ∈；当]21,0(∈x 时，不等式就化为x x a 3+<，此时x x 3+的最小值为213，所以213<a ；当)0,21[-∈x 时，不等式就化为x x a 3+>，此时x x 3+的最大值为213-，所以213->a ；由于对上面x 的三个范围要求同时满足，则所求的a 的范围应该是上三个a 的范围的交集即区间)213,213(- 说明：这里对变量x 进行分段来处理，那么所求的a 对三段的x 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在),0(+∞的函数)(x f 满足)()()(xy f y f x f =+，且1>x 时不等式0)(<x f 成立，若不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对于任意),0(,+∞∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．解：设210x x <<，则112>x x ，有0)(12<x x f ．这样，0)()()()()()()()(121112111212<=-+=-⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ，则)()(12x f x f <，函数)(x f 在),0(+∞为减函数．因此)()()(22a f xy f y x f +≤+⇔)()(22xy a f y x f ≤+⇔xy a y x ≥+22xy y x a 22+≤⇔；而2222=≥+xy xyxy y x （当且仅当y x =时取等号），又0>a ，所以a 的取值范围是]2,0(．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式012>++ax ax 对于任意R x ∈恒成立．则实数a 的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意R x ∈恒成立，可以选择判别式法．解：当0=a 时，不等式化为01>，显然对一切实数恒成立；当0≠a 时，要使不等式012>++ax ax 一切实数恒成立，须有⎩⎨⎧<-=∆>0402a a a ，解得40<<a ．综上可知，所求的实数a 的取值范围是)4,0[．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于x 的不等式ax xx x ≥-++232525在]12,1[∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵]12,1[∈x ，∴不等式可以化为a x x x x ≥-++5252；下面只要求x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值即可，分段处理如下．当]5,1[∈x 时，x x x x f 256)(2++-=，223225622562)(x x x x x x f -+-=-+-='，再令2562)(231-+-=x x x f ，0126)(21=+-='x x x f ，它的根为2,0；所以在区间)2,1[上有0)(1>'x f ，)(x f 递增，在区间]5,2(上有0)(1<'x f ，)(x f 递减，则就有2562)(231-+-=x x x f 在]5,1[∈x 的最大值是017)2(1<-=f ，这样就有0)(<'x f ，即)(x f 在区间]5,1[是递减．同理可以证明)(x f 在区间]12,5[是递增；所以，x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值为10)5(=f ，即10≤a ．技巧解：由于]12,1[∈x ，所以，25225≥+xx ，052≥-x x 两个等号成立都是在5=x 时；从而有10525)(2≥-++=x x x x x f （5=x 时取等号），即10≤a ．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。

解答含参不等式恒成立问题的几种思路

含参不等式恒成立问题一般较为复杂.仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解.这就需要采用不同思路，如变换主元、分离参数、分类讨论等来解题.下面结合实例来谈一谈解答含参不等式恒成立问题的三种思路.一、变换主元变换主元法是指将问题中主元、参数的位置互换，即将参数视为主元，将主元视为参数进行求解的方法.运用变更主元法解答含参不等式恒成立问题，需先找出所要求证不等式中的变量与参数，然后将两者进行互换，得到新不等式，根据新主元的取值或者限制条件，列出满足题意的不等式或不等式组，从而解题.例1.对于任意-1≤a ≤1，x 2+()a -4x +()4-2a >0恒成立，则x 的取值范围为_____.解：设f ()a =()x -2a +()x 2-4x +4，a ∈[]-1,1，则问题等价于在a ∈[]-1,1时，f ()a >0恒成立，由一次函数的性质可得ìíîf ()-1>0，f ()1>0，解题宝典即{x2-5x+6>0，x2-3x+2>0，解得x<1或x>3，所以实数x的取值范围为()-∞,1⋃()3,+∞.将x和a进行变换，把a看作主元，构造关于a的函数f()a，便可采用变更主元法来解题.很显然f()a为一次函数，根据一次函数的性质，要使f()a>0恒成立，只需使[]-1,1上的所有函数值都大于0，建立关于x的不等式组，即可解题.二、分离参数分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法.运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如a≤f()x、a<f()x、a>f()x、a≥f()x的式子，只要使a≤f()x min、a<f()x min、a>f()x max、a≥f()x max，就能确保不等式恒成立.在求f()x的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式.例2.已知函数f()x=-x ln x+a()x+1，若f()x≤2a在[)2,+∞上恒成立，求a的取值范围.解：当x≥2时，由f()x≤2a可得a≤x ln xx-1，令g()x=x ln xx-1，x≥2，则g′()x=-ln x-x+1()x-12，令t()x=ln x-x+1，x≥2，则t′()x=1x-1，当x≥2时，t′()x<0，故t()x在[)2,+∞上单调递减，可得t()x max=ln2-1<0，所以g′()x=-ln x-x+1()x-12>0，则函数g()x在[)2,+∞上单调递增，可得a≤g()x min=g()2=2ln2，所以a的取值范围为(]-∞,2ln2.首先将不等式进行移项、变形，使参数a分离，得到a≤g()x.对函数g()x求导，根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数g()x的单调性，求得函数g()x min，即可运用分离参数法，确定参数a的取值范围.三、分类讨论含参不等式恒成立问题中参数的取值往往不确定，因而在求解含参不等式恒成立问题时，需灵活运用分类讨论法，对参数或某些变量进行分类讨论，从而求得问题的答案.而确定分类讨论的标准是解题的关键，可根据一元二次方程的判别式大于、等于、小于0进行分类讨论；也可根据二次函数的二次项系数大于、小于0进行分类讨论；还可根据导函数值大于、等于、小于0进行分类讨论.例3.设f()x=x2-2mx+2，当x∈[)-1,+∞时，f()x≥m恒成立，求参数m的取值范围.分析：首先将不等式f()x≥m转化为F()x=x2-2mx+2-m≥0.要使F()x≥0，需使该函数在x∈[)-1,+∞上恒大于或等于0.由于x2-2mx+2-m=0为一元二次方程，只需讨论方程在x∈[)-1,+∞上的根的分布情况.而方程的根的分布情况主要由判别式确定，所以需采用分类讨论法，对方程的判别式与0之间的大小关系进行讨论.解：设F()x=x2-2mx+2-m，则问题等价于当x∈[)-1,+∞时，F()x≥0恒成立，①当Δ=4()m-1()m+2<0，即-2<m<1时，F()x>0恒成立，②当Δ≥0时，ìíîïïΔ≥0，F()-1≥0，--2m2≤-1，即ìíîïï4()m-1()m+2≥0，m+3≥0，--2m2≤-1，解得-3≤m≤-2，综上所述，参数m的取值范围为m∈[)-3,1.采用分类讨论的思路来求解含参不等式恒成立问题，一般可将参数或与参数相关的量定为分类讨论的对象，再根据题意确定分类讨论的标准，逐层、逐级进行讨论，最后综合所得的结果即可.相比较而言，第一种思路的适用范围较窄；第二、三种思路较为常用，但第三种思路解题的过程繁琐，且运算量较大.因此在解题时，同学们可首先尝试将参数分离，将问题转化为最值问题来求解；若行不通，再考虑运用变更主元、分类讨论的思路.（作者单位：安徽省砀山第二中学）解题宝典41。

不等式恒成立问题方法完美归纳教师版

不等式恒成立与有解问题解法归纳一、分离变换法：（一）分离参数法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。

基本步骤为：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论. 分离参数法有以下几种类型： I.常规法分离参数所谓常规法分离参数，就是通过解不等式或解方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数取值范围。

例、若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)【解析】f′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518【例】已知函数H (x )＝ln x x －λ()x 2－1，若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0，求实数λ的取值范围．【分析】H (x )≤0＝H (1)恒成立转化为H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0恒成立，再分离参数求解【解析】设函数H (x )＝ln x x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立．又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x ≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln xx 2≤0，所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增．于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意；【变式训练】1、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．2、设124()lg ,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

分离参数法解决恒成立问题

分离参数法解决恒成立问题
恒成立法是一种解决方程组的方法，它的核心思想是将多个方程的每一个变量分离出来，用一个新的变量表示，然后用这个新的变量替换原来的变量，从而得到新的方程组，最终求出解。

恒成立法具有解决复杂方程组的优势，因此，它在数学、物理和工程等领域都得到了广泛的应用。

恒成立法的基本思想是将方程的每一个变量分离出来，用一个新的变量表示，然后将原来的变量用新的变量取代，从而得到新的方程组，最终求出解。

换句话说，就是将多个方程的多个变量拆分成一个一个的，用新的变量来表示，然后将原来的变量用新的变量取代，从而得到新的方程组。

例如，有两个方程，可以使用恒成立法来求解：2x+3y=6
4x-y=7
首先，可以将x和y分离出来，用新的变量来表示，即：
x=ay=b然后，将原来的变量（x和y）用新的变量（a和b）
取代，得到新的方程组：2a+3b=6
4a-b=7
再用普通的求解方法，就可以求出a=
2，b=1的解。

最后，将a和b替换回原来的变量（x和y），即可求出x=
2，y=1的解。

以上就是恒成立法的基本思想。

恒成立法的优势在于，可以解决复杂的方程组，而且不需要使用复杂的数学方法，可以很快求出解。

它在数学、物理和工程等领域都得到了广泛的应用，在解决复杂问题方面非常有效。