圆的标准方程公开课
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
《圆的认识》公开课课件
与圆相关的数学问题挑战与探讨
复杂几何图形中的圆
探讨圆与其他几何图形（如三角形、矩形等）的组合问题，求解面 积、周长等。
圆的动态变化
研究圆的半径、位置等参数变化时，圆的性质如何变化。
圆的高级应用
介绍圆在高等数学、物理学等领域的应用，如圆周运动、复平面上的 圆等。
THANKS
谢谢
单位圆法
以坐标原点O为圆心，1为半径作单 位圆，利用三角函数在单位圆上的 性质表示任意角，从而画出对应的 图形。
03
CHAPTER
圆的性质定理与证明
切线长定理及其证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
证明方法
通过连接圆心和切点，利用切线性质和相似三角形性质进行证明。
切线性质定理及其证明
弦切角推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
与圆相关的线段性质
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径 。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点
的连线平分两条切线的夹角。
割线性质
从圆外一点引圆的两条割线，这 一点到每条割线与圆的交点的两
条线段长的积相等。
05
CHAPTER
与圆相关的图形变换与计算
圆的平移与旋转
平移定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形 运动称为平移。
旋转定义
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运 动称为旋转。
圆的平移与旋转特性
圆在平移和旋转过程中，其形状和大小均不发生改变，仅位置和方 向发生变化。
圆的参数方程
01
定义
圆的参数方程是{x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ}，其中θ为参数，表示圆上
圆的标准方程课件(公开课)ppt课件
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
1
创设情境 引入新课
一石激起千层浪
2
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆的？
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
3
4
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆？
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？ 怎样求圆的标准方程？
6
探究新知
设点M (x,y)为圆上任意一点，则 |MA|=r.
(x a)2 (y b)2 r
(x-a)2+(y-b)2=r2
y M(x,y)
r
O
A(a,b) x
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？ 怎样求圆的标准方程？
不相等，M点2 的坐标不适合圆的方程，所以点M 2 不
在这个圆上．
9
知识探究二：点与圆的位置关系
怎样判断点M 0 (x0, y0 )
(x 在a)2圆 ( y b)2 r2
内呢？圆上？还是在圆外呢？
M0
M0 O
O M0
O
点在圆内
点在圆上
点在圆外
| OM 0 | <r
| OM 0 | =r
7
小试牛刀
1.求下列圆的方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
x2 y2 9
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆. (x 3)2 (y 4)2 25
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
(x 8)2 ( y 3)2 25
2.说出下列圆的圆心和半径:
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
(公开课) 圆的标准方程教学设计
4.1.1《圆的标准方程（第1课时）》教学设计教材分析：圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。
学情分析：圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。
再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。
通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.启发学生思考问题，理解问题，解决问题。
教学目标：1．知识与技能（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
3．情感态度与价值观通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。
教学重点与难点：1.重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。
2.难点： (1)由已知条件求圆的标准方程(2)判定点和圆的位置关系教学过程（一） 创设情景，引入新课用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形 “ 圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式。
人教高中数学 必修二 4.1.1圆的标准方程(公开课教案)
《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。
《圆的标准方程》-公开课教学设计
4.1.1圆的标准方程一、教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用.同时,圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。
也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程"一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究”型教学模式进行教学设计.二、三维目标1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。
2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力。
三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用.四、教学难点会根据不同的已知条件,会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。
五、课时安排 1课时六、教学过程设计七、板书设计八、教学反思圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。
为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。
另外,为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神,并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣,完成本节的学习任务。
圆的标准方程公开课一等奖课件
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
圆的标准方程课件
圆的标准方程课件圆是平面几何中的重要图形之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆的标准方程，这是描述圆的一种重要方式。
本课件将详细介绍圆的标准方程，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 圆的定义。
首先，让我们来回顾一下圆的定义。
圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
2. 圆的标准方程。
圆的标准方程是描述圆的一种数学表达式，它可以简洁地表示出圆的位置、形状和大小。
对于平面直角坐标系中的圆来说，其标准方程为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程的意义是平面上任意一点(x, y)到圆心(a, b)的距离等于半径r。
3. 推导过程。
我们可以通过一些基本的几何知识来推导圆的标准方程。
首先，假设圆心坐标为(a, b)，半径为r。
设平面上任意一点的坐标为(x, y)。
根据两点间距离公式，点(x, y)到圆心(a, b)的距离为：√[(x a)² + (y b)²]根据圆的定义，这个距离应该等于半径r。
因此，我们可以得到方程：√[(x a)² + (y b)²] = r。
两边平方得到：(x a)² + (y b)² = r²。
这就是圆的标准方程。
4. 圆的图像。
接下来，让我们来看一下圆的图像。
通过圆的标准方程，我们可以很容易地画出圆的图像。
首先，确定圆心的坐标(a, b)，然后以半径r为距离在平面直角坐标系上作图，就可以得到一个完整的圆。
5. 圆的性质。
最后，我们来总结一下圆的一些重要性质。
根据圆的标准方程，我们可以得到以下结论：圆的标准方程中，圆心坐标(a, b)决定了圆的位置，半径r决定了圆的大小。
《圆》单元教案公开课
《圆》单元教案公开课第一章：圆的引入1.1 教学目标让学生了解圆的定义和特点。
培养学生观察和描述圆的能力。
1.2 教学内容圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为半径运动一周的轨迹称为圆。
圆的特点：圆是对称的，任意一条通过圆心的线都是圆的对称轴。
1.3 教学方法采用问题引导法，让学生通过观察和思考来理解圆的定义。
利用实物模型或图示来展示圆的特点。
1.4 教学活动让学生观察一些生活中的圆形物体，如硬币、轮子等，并描述它们的特点。
引导学生通过实际操作，画出一个圆并观察其对称性。
1.5 作业布置让学生回家后找一些圆形物体，观察并描述它们的特点，并尝试画出一个圆。
第二章：圆的周长和面积2.1 教学目标让学生掌握圆的周长和面积的计算方法。
培养学生运用圆的周长和面积解决实际问题的能力。
2.2 教学内容圆的周长：圆的周长等于半径乘以2π。
圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。
2.3 教学方法采用讲解法和练习法，让学生通过计算和实际问题来理解和掌握圆的周长和面积的计算方法。
2.4 教学活动讲解圆的周长和面积的计算公式。
让学生进行一些计算练习，如给定一个圆的半径，计算其周长和面积。
2.5 作业布置让学生回家后，找一些圆形物体，测量它们的周长和面积，并记录下来。
第三章：圆的性质3.1 教学目标让学生了解圆的性质，如圆的直径、半径、弧等。
培养学生观察和描述圆的性质的能力。
3.2 教学内容圆的直径：圆上任意两点通过圆心的线段称为直径。
圆的半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。
圆的弧：圆上任意两点之间的部分称为弧。
3.3 教学方法采用问题引导法和观察法，让学生通过观察和思考来了解圆的性质。
3.4 教学活动讲解圆的直径、半径和弧的定义。
让学生进行一些实际操作，如画出一个圆，并用直尺和圆规来测量其直径、半径和弧。
3.5 作业布置让学生回家后，找一些圆形物体，观察并描述它们的直径、半径和弧。
第四章：圆的方程4.1 教学目标让学生掌握圆的标准方程和一般方程。
圆的标准方程公开课PPT
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的标准方程的说课课件
圆的标准方程的推导过程
总结词：方程推导
详细描述：最后，我们将推导圆的标准方程。设圆心为$(h, k)$，半径为$r$，则圆的标准方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。 这个方程描述了所有与圆心距离等于半径的点的集合，也就是我们定义的圆。通过这个方程，我们可以方便地找到圆上任意一点 的坐标。
案例式教学
结合具体案例，让学生在实际问 题中理解和应用圆的标准方程， 提高其分析和解决问题的能力。
互动式教学
鼓励学生提问、讨论，通过师生 互动、生生互动，加深学生对圆
的标准方程的理解和掌握。
教学手段
多媒体教学
利用PPT、几何画板等多媒体工 具，形象生动地展示圆的标准方
程的形成过程和几何意义。
实验教学
通过数学实验，让学生亲自动手操 作，观察圆的标准方程的变化规律， 加深对圆的标准方程的理解。
类比教学
通过与椭圆的比较，让学生更好地 理解圆的标准方程的特点和性质。
学生活动设计
小组讨论
01
将学生分成若干小组，针对圆的标准方程的相关问题进行讨论，
培养学生的合作精神和沟通能力。
个人探究
02
布置相关问题，让学生自主探究，培养其独立思考和解决问题
的基本定义
总结词：基础概念
详细描述：首先，我们需要理解圆的基本定义。圆是一种几何图形，由一个点（ 称为圆心）和固定距离（称为半径）的集合组成。在平面几何中，圆定义为所有 与给定点等距的点的集合。
圆上三点确定一个圆的定理
总结词：定理理解
详细描述：接下来，我们需要理解并掌握一个重要的定理，即“圆上三点确定一个圆的定理”。这个 定理表明，如果在平面上选择三个不共线的点，那么存在一个唯一的圆通过这三个点。这三个点可以 用来确定圆心和半径。
圆的标准方程公开课
2024/1/28
03
向量与矩阵
在高级数学中，向量和矩阵是处理几何问题的有力工具。通过向量和矩
阵的运算，可以方便地表示和处理圆的方程以及其他几何问题。
18
05
典型例题分析与解答
2024/1/28
19
例题一：已知圆心和半径求圆的方程
题目
已知圆心为$C(2, -3)$，半径为 $4$，求该圆的方程。
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
8
标准方程的推导过程
01
以圆心为原点，建立平 面直角坐标系。
2024/1/28
02
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $OP$ 的长度为 $r$。
03
根据两点间距离公式， 有 $OP = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$ 。
10
03
圆的方程与图形的关系
2024/1/28
11
方程与图形的对应关系
圆的标准方程为$(x-a)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$，其中$(a,b)$为
圆心坐标，$r$为半径。
当$a=0,b=0$时，方程简化为 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$，表示以 原点为圆心，$r$为半径的圆。
2024/1/28
29
THANKS
感谢观看
2024/1/28
30
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹 角。
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点
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y
M
C
(x?a)2 ?(y?b)2 ? r2 圆心C(a,b),半径r
O
x
圆心O(0,0),半径r,则圆的标准方程： x2 ? y2 ? r 2
二、点与圆的位置关 系：
（1）点P在圆上 ? ?x0 ? a?2 ? ?y0 ? b?2 ? r 2 （2）点P在圆内 ? ?x0 ? a?2 ? ?y0 ? b?2 ? r 2 （3）点P在圆外 ? ?x0 ? a?2 ? ?y0 ? b?2 ? r2
6
一、圆的标准方程
1、建立坐标系； 建
2、设点M(x, y)为圆上
的任意一点； 设
y M (x,y)
OC x
3、限定条件：|MC|= R 限 4、代点； (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R 代
5、化简； (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 化
2020/4/4
7
圆心C (a,b),半径r
探究二：点与圆的位置关系
怎样判断点 M0(x0在, y圆0) C 上？圆外呢？
(x? a)2 ? (y?内b)2？? r圆2
y
M3
M2
C
o
x
M1
2020/4/4
11
探究二：点与圆的位置关系
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
M M
M O
O
O
|OM| <r
点在圆内
2020/4/4
|OM|=r 点在圆上
2020/4/4
O(a, b)
O(a, b)
13
练一练：
点P( m1, 5)与圆x2+y2=25的位置关
系 A 在圆外
C 在圆内
B在圆上 ( DA )
D 在圆上或圆外
2020/4/4
14
例题讲解 例1、写出圆的方程
过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
解：设所求圆的方程为（ x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? 5. 因为已知圆过点（ 0，1），（2，1），所以可得：
过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
例2. ? AB的C三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
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例2 ? ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (1)
??a2 ? (1? b)2 ? 5
? ?(2
?
a)2
?
(1?
b)2
?
5
解得
? ?
a1
?b1
? ?
1 ?
或 1
? ?
a
2
?b2
? ?
1 3
因此，所求圆的方程为
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(x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 5或( x ? 1)2 ?（y-3）2 ? 5.
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例题讲解 例1.写出圆的方程
三、求圆的标准方程的方法：
1. 代数方法： 待定系数法求
2、圆心为 A(2,?3)，半径长等于 5,求圆的方程
(x – 2 )2+(y + 3 ) 2=25
变式： 圆心C(2，-3),且过点M(5,1)的圆的方程
(x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
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已知：圆的标准方程 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
请判断：点 M1(5,?7) ， M2(? 5,?1) 是否在该圆上？
?? r ? 5
所求圆的方程为
(x?2)2 ?(y?3)2 ? 25 待定系数法
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y
L2
A (5,1)
R
x
D B (7,-3)
O
L1
E
C (2,-8)
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例2 ? ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
(法二)解：AB中点为（ 6，-1），k AB ? ? 2
y M(x,y)
M(x, y)
O C(a,b) x
(x? a)2 ? (y? b)2 ? r2
圆的标准方 程
2个条件（ a，b）、r确定一个圆的方程 .
特别地，圆心为O （0，0）半径r，则圆的方程
为：
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x2 ? y2 ? r 2
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随堂练习
1、求:圆心及半径 (1). x2+y 2=4 (2). (x+1) 2+y 2=1
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们
的坐标都满足方程（ 1）．于是
?(5 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 ??(7 ? a)2 ? (?3 ? b)2 ? r 2 ??(2 ? a)2 ? (?8 ? b)2 ? r 2
?a?2 ? ??b ? ?3
|OM|>r
点在圆外
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点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y 0-b)2<r 2时,点M在圆C 内
(x0-a)2+(y 0-b)2=r 2时,点M在圆C 上
(x0-a)2+(y 0-b)2>r 2时,点M在圆C 外
M (x0 , y0 )
M(x0 , y0 )
M(x0 , y0 )
O(a, b)
把 M1 (5,?的7)坐标代入方程 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 (? 5,?的1) 坐标代入此方程，左右两边不
相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在
这个圆上 ． 2020/4/4
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创设情境
一石激起千层浪 摩天轮 2020/4/4
奥运五环
1
自然界中有着漂亮的圆，圆是最完美的曲线之一.
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2
形
y
.
.
o
数
l : Ax? By? C ? 0
x
那么，直线可以用一4
3
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4
马高丹
回顾旧知
1、什么是圆？
平面内到定定点点距离等于定定长长的点的集合（轨迹）是圆 .
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置 (定位) 半径－－确定圆的大小 (定形)
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探究一
已知圆的圆心 C(a,b)及圆的半径 R, 如 何确定圆的方程？
y
M
C(a,b)
O
x
圆2020/4/4上的点的集合：P={M ||MC|=R}
则直线AB的中垂线为 y+1= 1 (x ? 6) 2
即为x ? 2 y ? 8 ? 0(1)
同理可得直线 BC的中垂线为x ? y ? 1 ? 0(2)
联立（1）和（2）,得圆心为D（2，-3） 半径为AD=5，圆的方程(为x-22)? (y? 3)2 ? 25
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一、圆的标准方 程