清华大学固体物理：第一章 自由电子论

第一章 自由电子论 1.1 经典自由电子论

1900年特鲁德 (P. Drude) 首先提出金属中的价电子好比气体分子，组成电子气体，它们可以同离子碰撞，在一定的温度下达到热平衡。因此电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子来描述。在外电场作用下，电子产生定向漂移运动引起了电流。在温度场中电子气体的定向流动伴随着能量传送，使金属具有良好的热导。金属的电导和热导之间的维德曼－夫兰兹(Wiedemann -Franz) 定律反映了它们都起因于电子气体的定向流动，支持了电子气体模型。特鲁德金属电子气体模型的基本假设为： (1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间的相互作用称为自由电子近似。

(2) 一个电子在有限的时间间隔dt 内经历的碰撞次数为τdt ，τ 称为平均自由时间，或弛豫时间。特鲁德假定弛豫时间与电子的位置和速度无关。这称为弛豫时间近似。

(3) 电子通过碰撞和它们的环境达到热平衡。遵从玻尔兹曼统计。电子每一次碰撞后，完全丢失原来的速度和运动方向，随机地改变运动方向，获得新的速率近似地由发生碰撞处的温度决定。这样发生碰撞的区域越热，碰撞后电子的速率越大。

应用特鲁德理论可以成功地解释金属的一些输运性质： 1 电子的运动方程

在任意时间t 电子的平均速度为p (t ) / m ，p 是每个电子的总动量。我们来计算经过无穷小的时间间隔dt 后每个电子的总动量p (t+dt )。电子在这段时间间隔内的碰撞几率为τdt ，不遭受碰撞的几率为τdt -1。假设电子不遭受碰撞，但是受到越过空间均匀的电场或/和磁场力()t f 的作用，因此电子总动量的增量为()()2dt o dt t +f 。忽略碰撞对电子总动量的影响有：

()()()()()()()()()()22

1t dt dt t t dt o dt t dt t t dt o dt ττ⎡⎤+=-++-++⎣⎦

p p f =p p f (1.1.1)

因此得到：

()()()()()()2dt o dt t t dt t dt t ++-=-+f p p p τ (1.1.2) 方程两边同除以dt ，并取dt → 0时的极限：

()()()t t dt t d f p p +-=τ

(1.1.3) 这就是电子的运动方程。 2 金属的直流电导

欧姆定律的微分形式为：

j = σ E (1.1.4) 其中σ 称为电导率。设单位体积中n 个电子以相同的平均速度υ运动，由此产生的电流密度j 将平行于υ。在时间间隔dt 内电子在速度方向运动的距离为υdt ，这样将有n υdtA 的电子越过垂直于速度方向的面积A ，每一个电子携带电荷 - e ，在时间间隔dt 内越过面积A 的电荷为 -ne υdtA ，因此电流密度为：

j = -ne υ (1.1.5) 在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。在有外加电场E 时，稳态时，按照电子运

动方程，()0=dt t d p ，()()t t f p =τ

，因此附加定向速度的平均值为υ = -e E τ / m ，τ 为弛豫时间。因此： E j m

ne τ

2= (1.1.6)

因此金属的电导率为：

m

ne τ

σ2= (1.1.7)

3 霍尔效应

1879年霍尔 (E. H. Hall) 研究了在磁场中的载流导体，发现当磁场B (设沿z 方向) 垂直于电流j x 时，在垂直于电流和磁场方向导体两边 (沿y 方向) 有电压降。首先定义两个重要的物理量：

()x

x j E

H =ρ (1.1.8)

称为横向磁阻。其中E x 为沿电流j x 方向的电场。

图1.1.1 Hall 效应

霍尔系数定义为：

B j E R x y

H = (1.1.9)

为了计算霍尔系数，由电子运动方程可得：

()()⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯+--=B E p p p m e t dt t d τ (1.1.10)

在稳恒状态，时间导数为零，因此：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

---=---=τωτωy

x c y x y c x p p eE p p eE 00 (1.1.11) 其中

m

eB

c =

ω (1.1.12) 称为回旋频率。用-ne τ / m 乘以方程两边可得：

⎩⎨⎧+-=+=y x c y x y c x j j E j j E

00τωστωσ (1.1.13)

这里σ 0就是没有磁场时特鲁德模型中的直流电导率。因为没有横向电流 即j y = 0。因此霍尔场E y 为：

x x c y Bj ne j E ⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10στω (1.1.14) 由此可得霍尔系数为：

ne

R H 1

-

= (1.1.15) 4 交流电导率和光学性质

考虑沿x 方向传播、电场在y 方向的横向电磁波，其电场强度可以表示为：

()()t kx i y e E E ωω-=0 (1.1.16) 电子的运动方程为：

()()

()ωτ

ωωy y y eE p dt

dp --

= (1.1.17)

我们寻找下列形式的稳态解：

()()t kx i y e p p ωω-=0 (1.1.18) 代入电子运动方程得：

()()

()ωτ

ωωωy y y eE p p i --=- (1.1.19)

因此：

()()()()()()ωωσωτ

ωτωωy

y

y y E i E m ne m

p ne j =-=

-=1/2

(1.1.20) 其中依赖频率的交流电导率为：