利用数学公式和物理模型求曲率半径

利用数学公式和物理模型求曲率半径

丁震（江苏省泰兴中学 江苏 225400）

摘要 本文首先推导高等数学中的曲率公式，使读者对曲率、曲率半径的知识有比较全面、清晰的理解，然后从平抛运动模型、简谐运动模型、天体运动模型和凹面镜模型推导圆锥曲线中顶点位置的曲率半径。

关键词 曲率 开普勒第二定律 笛卡尔规则

高中物理教学中处理一般曲线运动的力和运动问题，常建立圆周运动模型，圆为相切圆或辅助圆，相切圆的半径即为曲率半径。在自主招生和物理竞赛的命题中，关于曲率半径的知识也屡见不鲜。笔者重点利用几种常见的物理模型推导圆锥曲线中特殊位置的曲率半径，抛砖引玉，希望各位同仁批评指正。

一． 曲率公式

曲线运动的轨迹是曲线，在数学上，用曲率描述曲线（连续函数）弯曲程度。如图1所示xoy 坐标系中曲线上有两逼近的点M 和M '，设M M '的弧长为Δs ，M 和M '切线的倾斜角变化量为Δα，则 弧微分公式：22()+(')s x y x ∆∆⋅∆'=tan y α ； 平均曲率：=K s

α∆∆ ； M 点的曲率：230''lim =(1+')s y d K s ds y αα∆→∆=∆， 其中y '为一阶导数，y ''为二阶导数；

M 点的曲率半径：1=K

ρ ； 只要曲线方程给定，都能够利用公式求出曲线上各点的曲率半径。

二． 平抛运动模型

如图2所示小球m 以v 0平抛，不计阻力，则0=x v t ，21=

2

y gt ； 消去t 得：22

0=2v x y g ⋅⋅ ； 在抛出点O ：20=g=v a ρ， 得： 20=v g ρ ； 图1

抛物线的标准方程2

=2x Py ，其中20v P g = ； 故顶点O 处曲率半径=P ρ 。

三． 简谐运动模型

质点m 做椭圆运动，可视为两个互相垂直的同频率简谐运动的叠加，如图3所示xoy 坐标系中，椭圆方程22

22+=1x y a b ，半焦距22-c a b x 方向：=-x F kx ，振幅为a ；

y 方向：=-y F ky ，振幅为b ，其中k 为回复力系数；

则在顶点A 处：2==A nA A v ka a m ρ ； 简谐运动的频率k m ω，=A

v b ω⋅ 得：2=A b a ρ， 同理顶点B 处：2

B a b

ρ= 。 四． 天体运动模型

如图4所示双曲线方程2222-=1x y a b ，半焦距22=+c a b =b y x a

。 质量为M 的太阳在焦点F （c,0）处。设行星在双曲线轨道顶点时的速率为v 0，质量为m 的行星绕太阳运动在顶点处的机械能为201-2-Mm E mv G c a =

，设行星远离太阳时的速率为v ∞， 根据开普勒第二定律： 0=(-)v b v c a ∞⋅

根据机械能守恒定律： 22011-=2-2

Mm mv G mv c a ∞， 可得：0+=(+)

c a v GM a c a ； 在顶点处：202=(-)v Mm G m c a ρ，得2

=b a

ρ 。 五． 凹面镜模型

几何光学中凹面镜成像的物像关系在近轴光线条件下，利用笛卡尔规则表示为：

112+='s s r

，其中s ’为像距，s 为物距，r 为球面半径，顶点左侧为负，右侧为正。 分别利用物像关系推导圆锥曲线中顶点处的曲率半径。

图2

图3

图4

如图5-1，当反射面为抛物面时，

112

+=

p-

-2ρ

∞

，得=P

ρ；

如图5-2，当反射面为椭圆面时，

112

+=

-(-)-(+)-

a c a cρ

，得

2

=

b

a

ρ；

如图5-3，当反射面为双曲面时，

112

+=

-(-)+-

c a a cρ

，得

2

=

b

a

ρ。

物像关系的适用条件必须是近轴光线，而曲线上M和M'无限逼近，恰好使这一条件得以满足，使得求曲率半径不再是近似，而是精确求解，同时利用几何光学求解更简单、易理解。

参考文献

【1】同济大学数学教研室主编．高等数学．高等教育出版社，1988年4月第3版．【2】沈晨主编．更高更妙的物理．浙江大学出版社，2006年1月第1版．图5-1 图5-2 图5-3