2020届江苏省南通市如东县栟茶中学高三下学期5月模拟数学试题
江苏省高三下学期数学5月模拟考试试卷
江苏省高三下学期数学5月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2020高一上·嘉定期中) 已知集合，，且，则实数的取值范围是________.【考点】2. （1分） (2016高二下·张家港期中) 复数的虚部是________．【考点】3. （1分） (2015高三上·如东期末) 若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是________ ．【考点】4. （1分） (2019高二上·南安月考) 已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为4，为的中点，则的值等于________．【考点】5. （1分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是________ ．【考点】6. （1分） (2019高一上·昌吉月考) 函数最大值为________．【考点】7. （1分） (2016高二上·莆田期中) 若等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a2：a3=5：2，则S3：S5=________．【考点】8. （1分） (2016高二上·德州期中) 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为________．【考点】9. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知，为锐角，且，，则________， ________．【考点】10. （1分） (2016高二下·新乡期末) 已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为________．【考点】11. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3-2x2 ，则当x＞0时，f（x）=________．【考点】12. （1分） (2017高一下·珠海期末) 若α，β∈（0，），sin（）=﹣，cos（）=，则α+β=________．【考点】13. （1分） (2019高一上·万载月考) 已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．【考点】14. （1分） (2017高一上·高邮期中) 已知定义在R上的函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是________．【考点】二、解答题 (共11题；共95分)15. （10分）(2019·天津模拟) 设的内角的对边分别为，且 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【考点】16. （10分） (2019高一上·吉林月考) 如图所示，在正方体中，、分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与面所成的角的余弦值．【考点】17. （10分）已知曲线 .（1）试求曲线C在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．【考点】18. （5分） (2015高三上·合肥期末) 已知f（x）=﹣ex+ex（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最大值；（2）设g（x）=lnx+ x2+ax，若对任意x1∈（0，2]，总存在x2∈（0，2]．使得g（x1）＜f（x2），求实数a的取值范围．【考点】19. （10分） (2016高一下·平罗期末) 已知数列{an}的前n项和Sn= n，（1）求通项公式an的表达式；（2）令bn=an•2n﹣1 ，求数列{bn}的前n项的和Tn ．【考点】20. （10分）(2017·成安模拟) 设函数f（x）=ex（x2﹣x+1）（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】21. （10分）(2020·厦门模拟) 在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2 ．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m>1，求曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数．【考点】22. （5分） (2019高三上·洛阳期中) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线交于、两点，设，求的值．【考点】23. （5分）(2016·潮州模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】24. （10分） (2018高二下·通许期末) 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1.（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项。
2020届江苏省南通市高三下学期5月阶段性练习数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市高三下学期5月阶段性练习数学试题一、填空题1．已知集合{}2,1,0,1M =--，{}20N x x x =+≤，则MN =_______.【答案】{}1,0-【解析】求出集合N ，利用交集的定义可得集合M N ⋂. 【详解】{}{}2010N x x x x x =+≤=-≤≤，{}2,1,0,1M =--，因此，{}1,0M N ⋂=-.故答案为：{}1,0-. 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2．已知复数2a ii++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__. 【答案】12-. 【解析】先把复数2a ii++化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求a . 【详解】 解：因为复数()(2)2122(2)(2)55a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-， 由于它为纯虚数，所以2105a +=，且205a-≠，则12a =-， 故答案是：12-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是__. 【答案】85. 【解析】先求出平均数，再由方差计算公式求出这5次得分的方差. 【详解】某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117， 平均数为1(114116114114117)1155x =++++=， 则这5次得分的方差为：22222218[(114115)(116115)(114115)(114115)(117115)]55S =-+-+-+-+-=.故答案为：85. 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4．根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的值是__.【答案】32. 【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，由题意即可计算得解. 【详解】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，当输入的x 为1-时，可得13212m -=+=. 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了伪代码的应用，属于基础题.5．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>5双曲线的渐近线的方程是__. 【答案】2y x =±.【解析】由双曲线的离心率结合隐含条件求得ba的值，则答案可求. 【详解】解：由题意，c e a ==222225c a b a a+==， 解得：2ba=， ∴该双曲线的渐近线的方程是2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，注意隐含条件的运用，是基础题.6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是__. 【答案】12. 【解析】基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.【详解】解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，∴抽到的2道题他都会的概率是3162m p n ===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则ϕ的最小正值是______．【答案】π6【解析】先由平移求出()g x 的解析式()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 为奇函数，可得()π2π3k k ϕ-+=∈Z ，从而可求出ϕ的最小正值. 【详解】将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到，()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于函数()g x 为奇函数，所以()π2π3k k ϕ-+=∈Z ， 整理得：()ππ26k k ϕ=-+∈Z ， 当0k =时，ϕ的最小正值是π6．故答案为：π6【点睛】此题考查三角函数的平移变换，正弦函数的性质，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且18a ，3a ，26a 成等差数列，则785622a a a a ++的值是__. 【答案】16.【解析】设等比数列的公比为q ，0q >，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值. 【详解】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，设公比为q ，0q >， 由18a ，3a ，26a 成等差数列，可得312286a a a =+，即有2111286a q a a q =+，即2340q q --=，解得4(1q =-舍去），则22785656562(2)1622a a q a a q a a a a ++===++. 故答案为：16. 【点睛】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__. 【答案】52.【解析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，知两圆圆心的连线在直线y x =上，设所求圆的圆心为(,)a a ，由半径相等列式求得a 值，则答案可求. 【详解】解：圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=， 圆心坐标为(3,3)，半径为32. 如图，所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上，可设所求圆的圆心为(,)a a ，则2222(10)a a a a ++=+，解得5a =-，∴所求圆M 的半径为52.故答案为：52.【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题. 10．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为2143Rπ.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V，下部分（半球）的体积为2V，则12VV的值是__.【答案】2.【解析】设圆柱的高为h，表示出表面积可得43h R=，再分别表示出1V，2V即可. 【详解】解：设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh Rπππ=⨯+=，则43h R=，所以23143V R h Rππ==，321423V Rπ=⨯，故122VV=，故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.11．已知函数()log(1)af x x a=>的图象与直线(1)()y k x k R=-∈相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则k a+的最小值是__.【答案】3.【解析】由题知两函数其中一个交点(1,0)，另一个交点的纵坐标为1，得0k>，利用交点满足两函数解析式可求出(1)1k a-=，由均值不等式求最小值即可.【详解】解：函数()log(1)af x x a=>与直线(1)()y k x k R=-∈过(1,0)，∴由函数()log(1)af x x a=>的图象与直线(1)()y k x k R=-∈相交.其中一个交点的纵坐标为1得0k >，设交点(,1)m ，代入()log a f x x =，1log a m =，m a ∴=，再把点(,1)a 代入直线方程：211(1)()2k a k a +-=-，即3k a +，当且仅当1k a =-时，等号成立，k a +取最小值3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.12．已知函数224,0()1(2),0x x f x x x x +⎧⎪=+⎨⎪+<⎩若关于x 的不等式()10()f x mx m m R ---<∈的解集是1(x ，23)(x x ⋃，)+∞，123x x x <<，则m 的取值范围是__. 【答案】(0,2)(2,3)⋃.【解析】作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象，找到两个极限情况，结合图象即可得解. 【详解】由不等式()10f x mx m ---<得()1f x mx m <++，作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象如图所示，注意到直线1y mx m =++恒过点(1,1)-，且点(1,1)-也在函数()y f x =上，当直线1y mx m =++与函数2()(2)f x x =+相切时，可得2(4)30x m x m +-+-=，则△2440m m =-+=，解得2m =，当直线1y mx m =++过点(0,4)C 时，则14m +=，解得3m =，由图可知，满足条件的实数m的取值范围为(0,2)(2,3)⋃.故答案为：(0,2)(2,3)⋃.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，二次函数的性质应用，其它不等式的解法，考查数形结合思想，属于中档题.13．如图，在ABC∆中，32AC BC=，点M，N分别在AC ，BC上，且13AM AC=，12BN BC=.若BM与AN相交于点P，则CPAB的取值范围是__.【答案】1(,2)5.【解析】设2BC=，3AC=，由三点共线的向量表示可设(1)(1)CP CA CN C Cx y yB Mx=-+=-+，结合已知条件进一步得到1124CP CA CB=+，由此可得21133()881312cos,CPAB CA CB=-+⋅-，结合余弦函数的有界性即可得出答案.【详解】解：不妨设2BC=，3AC=，由于A，P，N 三点共线，M，P，B三点共线，故由平面向量基本定理可设，(1)(1)CP CA CN C Cx y yB Mx=-+=-+，11,32AM AC BN BC==，∴2(1)(1)23Cx yx y CB AP CA CCB=-+=-+，∴21312x yxy⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1234xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1124CP CA CB=+，222()CP CP AB CB CA ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭221124()CA CB CB CA ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 2222111||||cos 41642||||cos CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB ++⋅⋅〈⋅〉=+-⋅⋅〈⋅〉91132cos 44449232cos CA CB CA CB++⨯⨯⨯⋅=+-⨯⨯⨯⋅ 106cos 141312cos CA CB CA CB +⋅=⨯-⋅ 12cos 1333181312cos CA CB CA CB ⋅-+=⨯-⋅ 1133881312cos CA CB =-+⨯-⋅,又1cos ,1CA CB -<<，∴211331()(,4)88251312cos ,CP AB CA CB =-+⋅∈-， ∴1(,2)5CP AB ∈. 故答案为：1(,2)5.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及了平面向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.二、解答题14．已知非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，24a b +=，则||b =__. 【答案】4.【解析】先把24a b +=两边平方，再展开，并结合平面向量的数量积运算进行求解即可. 【详解】解：由题可知，2(2)16a b +=，∴224||4||||cos12160||a a b b +⋅+=，即214442||()|||162b b ⨯+⨯⨯⋅-+=， 解得||4b =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查平面向量的模长、数量积运算，对式子进行平方处理是解决平面向量模长问题的常用手段，考查学生的运算能力，属于基础题.15．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若2cos a C b =，且2sin sin sin C A B =，求B 的值； （2）若cos(2)3cos 0A B B ++=，求tan tan A C 的值. 【答案】（1）3B π=；（2）tan tan 2A C =.【解析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a c =，利用正弦定理化简已知等式可得2c ab =，从而可得c a b ==，即可得解.（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos cos sin sin A C A C =，由题意可得cos 0A ≠，cos 0C ≠，利用同角三角函数基本关系式可求tan tan A C 的值. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222?2a b c a b ab+-=，化简得22a c =，即a c =， 因为2sin sin sin C A B =，且2(sin sin sin a b cR R A B C===为ABC ∆外接圆半径）， 所以2c ab =， 所以c a b ==， 所以ABC ∆为正三角形， 所以3B π=.（2）因为cos(2)3cos 0A B B ++=，且()B A C π=-+， 所以cos[()]3cos[()]0A C A C ππ+-+-+=，所以cos()3cos()A C A C -=-+，即cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin A C A C A C A C +=-+，所以2cos cos sin sin A C A C =， 因为斜三角形ABC 中，2A π≠，2C π≠，所以cos 0A ≠，cos 0C ≠， 所以tan tan 2A C =. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的计算能力和转化思想，属于基础题.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，侧面11BCC B 是矩形，点E ，F 分别为BC ，11A B 的中点.求证：（1）1BC AC ⊥； （2）//EF 平面11ACC A .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）推导出1BC CC ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A .由此能证明1BC AC ⊥； （2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG .推导出四边形EFGC 为平行四边形，//EF GC .由此能证明//EF 平面11ACC A . 【详解】（1）因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC CC ⊥， 因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ， 平面11ACC A 平面111BCC B C C =，BC 在平面11BCC B 内，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC 在平面11ACC A 内，所以1BC AC ⊥； （2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG ，在△111A B C 中，F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点， 所以11//FG B C ，且1112FG B C =， 在矩形11BCC B 中，E 是BC 的中点， 所以11//EC B C ，且1112EC B C =， 所以//EC FG ，且EC FG =，所以四边形EFGC 为平行四边形，所以//EF GC ， 又因为EF 在平面11ACC A 外，GC 在平面11ACC A 内， 所以//EF 平面11ACC A . 【点睛】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.17．如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为ABC ∆，A 到河两岸距离AE ，AD 相等，B ，C 分别在两岸上，AB AC ⊥.为方便游客观赏，拟围绕ABC ∆区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l （即ABC ∆的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设ABD α∠=，求出l 关于α的函数解析式()f α，并求出()f α的最小值.方案2：设EC x =米，求出l 关于x 的函数解析式()g x ，并求出()g x 的最小值. 请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】方案1：由AB AC ⊥，得90EAC BAD ∠+∠=︒，可得EAC ABD α∠=∠=，2(0,)απ∈.求解三角形可得50sin AB α=，50cos AC α=，50sin cos BC αα=，即可得到()f α关于α的解析式，其中2(0,)απ∈.设sin cos t αα=+，化为关于t 的函数求解；方案2：由已知证明Rt CAE Rt ABD ∆∆∽，得AC ECAB AD=.由EC x =，得AC ==50AD =，再求得AB ，BC，可得2500()()g x x x=++，0x >.然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：方案1:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒， 在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD α∴∠=∠=，2(0,)απ∈.50AD AE ==，在Rt ADB ∆和Rt AEC ∆中，50sin AB α=，50cos AC α=，∴50sin cos BC αα===， ∴111sin cos 1()50()50()sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++=++=，其中2(0,)απ∈.设sin cos t αα=+，则sin cos )4t πααα=+=+，2(0,)απ∈，∴t ∈，212sin cos t αα=+，∴21sin cos 2t αα-=. ∴250(1)100112t y t t +==--，∴当t =时，()100min f α==+.答：景观桥总长的最小值为(100+米； 方案2:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD ∴∠=∠，则Rt CAE Rt ABD ∆∆∽，∴AC ECAB AD=.EC x =，AC ==50AD =，∴AB =，则2500BC x x===+，∴2500()()g x x x=+，0x >.0x ，()22500100g x ∴=2502100100⨯=.=，且2500x x =， 即50x =时取“=”.∴()100min g x =+答：景观桥总长的最小值为(100+米. 【点睛】本题考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为833.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）①12k =；②112y x =±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出a ，b ，然后求解椭圆C 的标准方程.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， 所以3=c b .833，则22833a c = 所以2a =，1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041kmkm m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =.②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+，且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <所以12PQ x ==-==， 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-====， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2121·n n n n a S S S λ++++=，*n N ∈，R λ∈.（1）若3λ=-，21a =-，求3a 的值；（2）若数列{}n a 的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；（3）若20a >，是否存在R λ∈，使{}n a 为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）33a =-；（2）4；（3）存在；1λ=.【解析】（1）记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323?a S S S -+=，转化求解即可. （2）设公差为d ，若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，推出21d d λ++=，若4k =，推出2321(12d d d λ++=+，求解可得2d =-，3λ=-.所以4k =符合题意.验证5k =，是否成立，推出结果. （3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，推出(1)0q λ-=，结合112(1)(1)n n n n S S S S +++-=-，推出21111n n n n S S S S +++--=，得到数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列，转化求解证明即可. 【详解】解：记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.（1）当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323a S S S ⋅-+=，即221123123()()a a a a a a a -+++=+⋅，由已知11a =，21a =-，解得33a =-.（2）因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则21a d =+，312a d =+， 若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，所以2(1)33(2)d d d λ+++=+，化简得21(1)d d d λ++=+，① 若4k =，则446S d =+，在(*)式中，令2n =得，23243·a S S S λ+=，所以2(12)(2)(46)(33)d d d d λ++++=+，化简得2321(12)d d d λ++=+，②②-①得，22d d d λ+=，因为公差不为0，所以0d ≠， 所以21d λ+=，代入①得，220d d +=，所以2d =-，3λ=-. 所以4k =符合题意.若5k =，则11a =，21a =-，33a =-，45a =-，57a =-，33S =-，48S =-，515=-S ，在(*)式中，令3n =得，43533(5)(3)(15)60a S S -+=-⨯-+-⨯-=，224(8)64S =-=，所以243543a S S S -+≠，所以k 的最大值为4.（3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，设前3项分别为1，q ，2q ，则21231,1,1S S q S q q ==+=++，(*)式中，令1n =得，22(1)(1)q q q q λ+++=+，化简得(1)0q λ-=，因为20q a =>，所以1λ=，此时(*)式为2121()?n n n n n S S S S S +++-+=，即112(1)(1)(**)n n n n S S S S +++-=-，由11S =，2211S a =+>，得31S >，由2S ，31S >得41S >，⋯，依此类推，10n S ≥>，所以(**)等价于21111n n n nS S S S +++--=， 所以数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列，所以122111n n S S a S S +--==， 于是2n 时，12211,1,n n n n S a S S a S +--=⎧⎨-=⎩两式相减得12·n n a a a +=， 因为221·a a a =，所以*12·()n n a a a n N +=∈， 又1a ，20a ≠，所以12n na a a +=（非零常数），所以存在1λ=，使{}n a 为等比数列. 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题. 20．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在k ∈R ，使()f x kx <恒成立，则称()f x 为“()m k 型函数”；若存在k ∈R ，使()f x kx 恒成立，则称()f x 为“()M k 型函数”.已知函数()(12)()f x ax lnx a R =-∈.（1）设函数1()()1(1)h x f x x =+.若0a =，且1()h x 为“()m k 型函数”，求k 的取值范围；（2）设函数21()()h x f x x =+.证明：当12a =-，2()h x 为“M （1）型函数”； （3）若a Z ∈，证明存在唯一整数a ，使得()f x 为“1()4m 型函数”. 【答案】（1）(1,)+∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）将0a =代入，依题意，即1lnx k x +>恒成立，设1()(1)lnx g x x x+=，求出函数()g x 的最小值即可得解； （2）分析可知，即证1(1)0x lnx x x ++-，令1()(1)R x x lnx x x=++-，21()x R x lnx x-'=+，方法一：由不等式的性质可知()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0R x R =，即得证；方法二：令211()()F x R x lnx x x ='=+-，再对函数()F x 求导，可得当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>，进而得到()R x 的单调性，由此得证；（3）问题等价于证明存在唯一整数a ，1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立，易知当0a 及2a 时，不合题意，故只需证明1a =时符合题意即可，方法一：记1()(12)4p x x lnx x =--，分当1x 或102x <以及当112x <<时证明即可； 方法二：记1()(12)4p x x lnx x =--，利用导数求其最大值小于0即可得证.【详解】（1）0a =时，1()1h x lnx =+. 因为1()h x 为“()m k 型函数”，所以1()h x kx <恒成立，即1lnx k x+>恒成立. 设1()(1)lnx g x x x +=，则2()0lnxg x x'-=恒成立， 所以()g x 在[1，)+∞上单调递减， 所以()g x g （1）1=， 所以k 的取值范围是(1,)+∞； （2）证明：当12a =-时，要证2()h x 为“M （1）型函数”， 即证1(1)x lnx x x ++，即证1(1)0x lnx x x++-. 令1()(1)R x x lnx x x =++-，则22211111()(1)1x R x lnx x lnx lnx x x x x x-=++---+'=+=，方法一：当1x >时，0lnx >，210x x ->，则()0R x '>；当01x <<时，0lnx <，210x x-<，则()0R x '<；所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则()R x R （1），又R （1）0=，所以()0R x ， 所以2()h x 为“M （1）型函数”.方法二：令211()F x lnx x x =+-，则22331122()0x x F x x x x x-+=+='->， 所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，又F （1）0=， 所以当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>， 所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 以下同方法一.（3）证明：函数()f x 为“1()4m 型函数”等价于1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立， 当0a 时，()(12)1044e ep e ae =--->，不合题意； 当2a 时，12111()1(4)044a p e e e e e =---->，不合题意； 当1a =时，方法一：1()(12)4p x x lnx x =--， ①当1x 或102x <时，1()004p x x -<；②当112x <<时，120x -<，由（2）知1x lnx x->，所以2(12)(1)11()(32)044x x p x x x x x---<-=-， 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”.方法二：1()(12)4p x x lnx x =--，12119()2244x p x lnx lnx x x -=-+-=-+-'， 记19()24x lnx x ϕ=-+-，则221()0x x x ϕ'-=-<， 所以()()x p x ϕ'=在(0,)+∞上单调递减. 易得1lnx x -，所以991722(21)0444p =-+=='<； 又因为199()222120244p ln =+->+->'， 所以存在唯一零点01(2x ∈，使得00019()204p x lnx x +-'=-=， 且0x 为()p x 的最大值点，所以00000000019(12)()411117()(12)242428x x p x x lnx x x x x --=--=-=+-， 注意到117228yx x =+-在1(,)22上单调递增， 所以017117()()02824p x p <==<，所以()0p x <. 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造思想，分类讨论思想，函数与方程等数学思想，考查推理论证能力，运算求解能力等，属于较难题目.21．已知矩阵A 的逆矩阵13221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵A ；（2）若向量21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算2A α.【答案】（1）1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）23⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 【解析】（1）设出矩阵，利用逆矩阵的运算法则化简求解即可. （2）直接利用矩阵乘法的运算法则化简求解即可. 【详解】解：（1）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则132323*********a b a c b d A A c d a c b d -++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 故321,20,{320,21,a c a c b d b d +=+=+=+=解得1,2,{2,3,a b c d =-===-则矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，得21212582323813A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2582281313A α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵与逆矩阵的运算法则的应用，是基本知识的考查，中档题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1,{(12x t y t =+=为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 【答案】72. 【解析】首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果. 【详解】解：由4cos()3πρθ=+得24cos()2cos sin 3πρρθρθθ=+=-，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-+=，即22(1)(4x y -+=，圆心(1,-，半径2r.由直线l的参数方程1,2{12x y t =+=得1x =+，所以直线l的普通方程为10x -=.所以圆心(1,-到直线l 的距离32d =， 所以点P 到直线l 距离的最大值为37222+=. 【点睛】本题主要考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．若实数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【答案】114【解析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z++≤++++,即()222141x y z++≥，故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==,即222x y z ++的最小值为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4,0)M p的直线l交抛物线于1(A x，1)y，2(B x，2)y两点.当AB垂直于x轴时，OAB∆的面积为22.（1）求抛物线的方程：（2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T.①证明：12y y为定值：②若//OA TB，求直线l的斜率.【答案】（1）2y x=；（2）①证明见解析；②±1.【解析】（1）当AB垂直于x轴时，求出AB坐标，利用三角形的面积转化求解抛物线方程即可.（2）①由题意可知直线l与x轴不垂直.设211(,)A y y，222(,)B y y，122212121ABy yky y y y-==-+.通过A，M，B三点共线，得122y y=-.②122y y=-，得到21142(,)By y-.求出线段AB垂直平分线的方程，结合OA TBk k=，转化求解即可.【详解】解：（1）当AB垂直于x轴时，(4,22)A p，(4,22)B p-所以OAB∆的面积为211···42?4822222AB OM p===，因为0p>，所以12p=，所以抛物线的方程为2y x=.（2）①由题意可知直线l 与x 轴不垂直.由（1）知(2,0)M ，设211(,)A y y ，222(,)B y y ，则122212121AB y y k y y y y -==-+. 由A ，M ，B 三点共线，得12221222y y y y =--， 因为12y y ≠，化简得122y y =-. ②因为122y y =-，所以21142(,)B y y -. 因为线段AB 垂直平分线的方程为22121212()()22y y y y y y y x ++-=-+-，令0y =，得22212121114(1)22T y y x y y ++==++. 因为//OA TB ，所以OA TB k k =，即1211221121144(1)2y y y y y =++-，整理得2211(1)(4)0y y +-=， 解得12y =±，故(4,2)A ±.所以1AM k =±，即直线l 的斜率为±1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 25．设*n N ∈，k ∈N ，nk .（1）化简：11112··k k n n k k n n C C C C +++++；（2）已知2220122(1)nnn x a a x a x a x -=+++⋯+.记21()(1)nk kkF n n a ==+∑.证明：()F n 能被21n 整除. 【答案】（1）12n n ++；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用组合排列数的计算公式即可得出.（2）由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+.由122121(1)21(1)(1)[]22k k k k k k k n n n k k n k k a C n C C +++-+--==⋅++，可得22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k kn n k n k k F n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑，求和即可得出.【详解】（1）解：11112(1)!(1)!(1)!(1)!1!(1)!(1)!()!!(2)!!(2)(1)!2!()!(1)!(1)!k k n n k k n n n n C C n n n n k n k k n k n n C C n n n n k n k k n k +++++++⋅+⋅⋅+++-+-===++⋅+⋅+⋅-++-⋅.（2）证明：由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+. 因为122121(1)21(1)(1)·[]22k k k k k k k n n n k k n k ka C n C C +++-+--==++， 所以22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k k n n k n k kF n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑， 因为21122232112121212121212121(1)(1)122122[]()()k k nk k n n k n n n n n n n n k k n nC C C C C C C C ++=++++++++----+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+∑12222212121212121211212212()()2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C +++++++---+=+++⋅⋅⋅+++= 12322121212111112nn n n n n C C C C ++++--=+++⋅⋅⋅++ 设1232212121211111nn n n n A C C C C ++++--=+++⋅⋅⋅+，则122213222121212121212121211111111120n n n n n n n n n n n n A C C C C C C C C --++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=++++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以0A =. 所以2121()(1)2(21)2nk kk n F n n n n n a =+=+=⋅=+∑能被21n 整除. 【点睛】本题考查了组合排列数的计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.。
2020年江苏省南通市如皋中学、如东中学高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)
2020年江苏省南通市如皋中学、如东中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，集合，则______．2.已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．3.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______．4.运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为______．5.劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为______．6.已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为______．7.若函数，则______．8.若函数满足，，且的最小值等于，则的值为______．9.在三棱柱中，点P是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则______．10.已知等比数列的前n项和为，且，，则______．11.已知向量，，若，则最小值为______．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，直线l：与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．13.已知a，，e为自然对数的底数，若存在，使得函数在上存在零点，则a的取值范围为______．14.已知不等式对任意恒成立，则的最大值为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.如图，在中，a，b，c为A，B，C所对的边，于D，且．求证：；若，求tan C的值．16.如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，，的中点．证明：平面ABC；证明：平面BDE．17.如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记，．当时，求点P距地面的高度PQ；试确定的值，使得取得最大值．18.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．椭圆C的左顶点为A．求椭圆C的方程；过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于P，Q两点，求三角形APQ的面积；过点A作直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l交y轴于点C，且，求直线l 的斜率．19.已知函数．求函数的零点；设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．20.已知数列的前n项和为，记．若是首项为a、公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．当，，成等差数列时，求的值；求证：存在唯一的正整数n，使得．设数列是公比为的等比数列，若存在r，使得，求q的值．21.已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：变为直线，求直线的方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，圆C的极坐标方程为过点M的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的直角坐标方程．23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为F ，点是抛物线C上一点，且．求p的值；若M，N为抛物线C上异于A的两点，且记点M，N到直线的距离分别为，，求的值．24.设且，集合2，3，，的所有3个元素的子集记为．当时，求集合中所有元素之和S；记为中最小元素与最大元素之和，求的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：解：集合，集合，．故答案为：．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：解析：解：．因为z为纯虚数，所以，得．故答案为：．先将z化简成复数的代数形式，然后令实部为0，虚部有意义，解出方程即可．本题考查复数的代数运算和复数的概念，要注意复数问题分母实数化解题思路的应用．属于基础题．3.答案：解析：【分析】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：，该组数据的方差为：．故答案为：．4.答案：6解析：解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当时，不满足条件跳出循环，输出I 的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基础题．5.答案：解析：解：某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，基本事件总数，恰好选中2名男生包含的基本事件个数，恰好选中2名男生的概率．故答案为：．称求出基本事件总数，恰好选中2名男生包含的基本事件个数，由此能求出恰好选中2名男生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为和，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．7.答案：解析：解：根据题意，，则，又由，则；则有，故答案为：．根据题意，由对数的运算性质可得，结合函数的解析式可得，又由，由解析式求出的值，分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．8.答案：1解析：解：由题意，根据正弦函数图象及题意，可设，，则此时的最小值等于，，，．可得．故答案为：1．本题先将三角函数进行恒等变换，然后根据正弦函数图象可得出、的大致取值情况，即可得到的值．本题主要考查三角函数进行恒等变换及正弦函数图象．本题属基础题．9.答案：解析：【分析】本题考查三棱柱和四棱锥的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设，的高为b，三棱柱的高为h，则，，由此能求出的值．【解答】解：在三棱柱中，点P是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，设，的高为b，三棱柱的高为h，则，，．故答案为：．10.答案：1解析：解：等比数列的前n项和为，且，，设等比数列的公比为q，显然，．，，即．又，由可得．再把代入可得，，故答案为：1．先判断，再利用条件求出首项和公比，从而得出结论．本题主要考查等比数列的定义、性质，属于基础题．11.答案：解析：解：向量，，当时，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立；所以的最小值为．故答案为：．根据平面向量的共线定理得出a与b的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．本题考查了平面向量的共线定理和基本不等式的应用问题，是基础题．12.答案：解析：【分析】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于基础题．M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离，从而可得实数k的取值范围．【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离，所以，所以．故答案为：．13.答案：解析：【分析】本题考查了函数单调性的判断与函数零点的关系，函数极值的计算，属于中档题．令，分类讨论a的取值，求出在上的最值，令即可．【解答】解：令可得，令，，则在上有解，当时，为增函数，，又，在上无解，不符合题意；当时，，令可得，在上单调递减，在上单调递增，若，即，则在上单调递增，，，解得，舍去若，即，则在上单调递减，，，又，在上无解，不符合题意；若，即，则在上单调递减，在上单调递增，或，则或，解得；的最小值为，．令，则，在上单调递减，又．不等式．综上，．故答案为．14.答案：解析：解：令，，即，令，解得，，，取对称轴，则，解得，此时满足题意．故，且能取等号．故答案为：．令，利用系数比例关系令，可得，再验证当时满足题意，即可得出答案．本题考查不等式的恒成立问题，运用先证必要条件，再验证充分性成立的方法是解决本题的关键，属于中档题．15.答案：解：且，，，，在直角三角形ACD中，，在直角三角形BCD中，，则，即，则，即，则，，，则，，则．解析：根据条件先求出BD，AD的大小，结合两角和差的三角公式进行证明即可．求出tan A的值，结合两角和差的正切公式进行计算．本题主要考查三角函数的化简和证明，结合两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键．16.答案：证明：如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又为的中点，．在正三棱柱中，，E为的中点，，四边形AEFG是平行四边形．．平面ABC，平面ABC，平面ABC．点D是正的AC边的中点，，由正三棱柱中，可得侧面平面ABC，侧面．E.，∽，．，．．平面BDE．解析：取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出利用三棱柱的性质可得，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；利用面面垂直的性质即可得出侧面利用相似三角形的判定和性质即可得出，再利用线面垂直的性质定理即可证明．熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．17.答案：解：由题意得，从而当时，．即点P距地面的高度为75米．由题意得，，从而，．又，所以，．从而．令则，．由，得，解得．当时，，为增函数；当时，，为减函数．所以当时，有极大值，也是最大值．因为所以．从而当取得最大值时，取得最大值．即当时，取得最大值．解析：将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；借助于角，把表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．18.答案：解：由题意：，，得：，，所以椭圆C的标准方程为：；设直线PQ的方程设，，联立与椭圆的方程整理得：所以，，则，又点A到直线PQ的距离为，所以三角形APQ的面积为：．由题意知直线l的斜率存在，设为k，l过点，则l的方程为：，联立与椭圆的方程整理得，令，，由，即，将代入中，得，所以，，由得，解得，所以直线的斜率为．解析：由题意的离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得写出直线PQ的方程，联立椭圆得两根之和及两根之积，由弦长公式求出弦长即点到直线的距离，进而求出面积；设过A的直线与椭圆联立求出B的坐标，及C的坐标，由求出斜率．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．19.答案：解：令，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减；所以，所以的零点为．由题意，，要证，即证，即证，令，则，由知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以原不等式成立．不等式对一切正实数x恒成立，，设，，记，，当时，即时，恒成立，故单调递增．于是当时，，又，故，当时，，又，故，又当时，，因此，当时，，当，即时，设的两个不等实根分别为，，又，于是，故当时，，从而在单调递减；当时，，此时，于是，即舍去，综上，k的取值范围是．解析：令，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；转化思想，要证，即证，即证，构造函数进而求证；不等式对一切正实数x恒成立，，设，分类讨论进而求解．考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；考查转化思想，构造函数求极值；考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；20.答案：解：，，成等差数列，，即，，，由，得，整理得，解得，由于且得，因此存在唯一的正整数n，使得．，，设，，，则，，，，，即，为单调递增，当时，，则，即，这与互相矛盾，时，即，若，则，即，这与互相矛盾，于是，，即，，解析：根据等差数列和等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，即可求出，若，得到，解得即可，由已知条件可得，构造，，，利用定义证明其单调性，再分别赋值验证即可．此题主要考查等差的性质的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．21.答案：解：，分，在直线l上任取一点，经矩阵AB变换为点，则，，即分代入中得，直线的方程为分解析：先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线的方程．本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB对应的变换22.答案：解：点M的极坐标为，点M的直角坐标为，圆C的极坐标方程为，即，．将，，代入上式，可得圆C的直角坐标方程为，当直线l的斜率不存在时，直线l与圆C没有交点；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．则圆心到直线l的距离为，直线l被圆C截得的弦长为，，即，解得或，直线l的方程为或．解析：由已知求出M的直角坐标，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求直线的斜率，则直线方程可求．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：因为点是抛物线C上一点，且，所以，所以，由得抛物线方程为．因为点是抛物线C上一点，所以．设直线AM方程为，，由消去x，得，即，所以．因为，所以代m，得，所以．解析：根据题意，由抛物线的定义可得，解可得p的值，将p的值代入抛物线方程即可得答案；由的结论，分析可得a的值，设直线AM方程为，，，联立直线与抛物线的方程，分析可得且，又由，计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线的方程之后，根与系数的关系的应用．24.答案：因为含元素1的子集有个，同理含2，3，4的子集也各有个，于是所求元素之和为；集合2，3，，的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有个，以n为最大元素的子集有个；以2为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以3为最大元素的子集有个．，，，，，．．解析：直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果．直接利用组合数和子集的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的原应用，集合的子集的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
2020届高三年级如东-如皋联合调研数学参考答案及评分标准
2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{}|0x x>2．—23．534．65．3106．2337．348．19．2310．111212．[－34，＋∞)13．[e2，4e]14．4333-二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）（1）因为12 BD AD c-=，所以1cos cos2a Bb A c-=，………………2分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin2A B B A C-=，所以sin2sin()C A B=-．………………6分（2）由（1）得，sin()2sin()A B A B+=-，所以sin cos cos sin2(sin cos cos sin)A B A B A B A B+=-，化简，得3cos sin sin cosA B A B=．………………8分又3cos5A=，所以4sin5A=，所以4tan3A=，4tan9B=，………………10分所以44tan tan4839tan tan()1tan tan4411139A BC A B A B++=-+=-=-=---⋅．………………14分16．（本小题满分14分）（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．因为F为C1B的中点，所以FG＝∥12C1C．………………2分在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝∥C1C，且E为A1A的中点，所以FG＝∥EA．所以四边形AEFG是平行四边形．所以EF∥AG．………………4分因为EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．………………6分（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以A1A⊥BD．………………8分（第16题）ABC DEC1A1B1FG因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ．………………10分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．………………12分因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ．………………14分17．（本小题满分14分）（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ．从而，当θ＝2π3时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75．即点P 距地面的高度为75m ．………………4分（2）方法一：由题意，得AQ ＝50sin θ，从而MQ ＝60－50sin θ，NQ ＝300－50sin θ．又PQ ＝50－50cos θ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝6－sin θ1－cos θ－6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ×6－5sin θ5－5cos θ＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分令g (θ)＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ，θ∈(0，π)，则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)(23－18sin θ－5cos θ)2，θ∈(0，π)．………………10分由g '(θ)＝0，得sin θ＋cos θ－1＝0，解得θ＝π2．当θ∈(0，π2)时，g '(θ)＞0，g (θ)为增函数；当θ∈(π2，π)时，g '(θ)＜0，g (θ)为减函数，所以，当θ＝π2时，g (θ)有极大值，也为最大值．………………12分因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2，从而当g (θ)＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值．即当θ＝π2时，∠MPN 取得最大值．………………14分方法二：以点A 为坐标原点，A M 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)．设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0．从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0．从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝300－x 0y 0－60－x 0y 01＋300－x 0y 0×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1800．………………6分由题意知，x 0＝50sin θ，y 0＝50－50cos θ，所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ．………………8分（下同方法一）18．（本小题满分16分）（1）由题意知：222222121321b a a b ⎧⎛⎫⎪-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，………………2分所以椭圆C 的方程为2214x y +=．………………4分（2）设直线PQ的方程为(2y x =-，与椭圆联立得2320x -+=，所以12433x x +=，1223x x =，则122PQ x =-==，又点A 到直线PQ 的距离为3233d +=，………………7分所以三角形APQ的面积为113322233PQ d ++⋅⋅=⋅⋅=………………9分（3）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()2y k x =+，联立方程组()42142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k x k x k +++-=，由22164214B k x k --=+，得222814B k x k -=+，………………12分将0x =代入()2y k x =+中，得到2C y k =，得2k =，解得218k =．………………14分所以直线l 的斜率为24±．………………16分19．（本小题满分16分）（1）令()ln 1g x x x =-+，所以()111xg x x x-'=-=．………………1分当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以()()max 10g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．………………3分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………5分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，………………7分令211x t x =>，1ln 1t t>-，由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立．………………9分（3）不等式()()221ln 1x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立．因为()()()()22211ln 11ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦．设()()1ln 1k x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x k x k h x x x x x +-+'=-=++．………………10分记()()2211x x k x ϕ=+-+，()()241442k k k ∆=--=-，①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增．于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()()221ln 1x x k x ->-，当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()()221ln 1x x k x ->-，又当1x =时，()()221ln 1x x k x -=-．因此当02k <≤时，不等式恒成立．………………13分②当0∆>，即2k >时，设()22110x k x +-+=的两个不等实数根分别为3x ，4x （34x x <）．又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<．故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()()210x h x -<，即()()221ln 1x x k x -<-，舍去；………………15分综上，k 的取值范围是02k <≤．………………16分20．（本小题满分16分）（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d3，解得，a d ＝34．………………3分②由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n a ＋(n ＋1)d ，2－n －2ad ≤0，n 2＋n －2a d＞0，………………5分解得－1＋1＋8ad 2＜n ≤1＋1＋8a d 2，由于1＋1＋8a d 2－－1＋1＋8a d 2＝1且－1＋1＋8a d 2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．………………8分（2）因为b t b r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．………………9分设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．………………12分所以当r ≧2时，t ＞r ≧2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13．若t ≧3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856．………………16分2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换∵1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴111011=22020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………4分在直线l '上任取一点(,)P x y ，它是由l 上的点000(,)P x y 经矩阵AB 所对应的变换所得，∵点000(,)P x y 在直线:20l x y +-=上，∴0020x y +-=．①∴00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即0011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴000122x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，即001412x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．②将②代入①得112042x y y -+-=，即480x y +-=，∴直线l '的方程为480x y +-=．………………10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程因为点M的极坐标为4π，所以点M 的直角坐标为(1,1)，………………2分因为圆C的极坐标方程为04ρθπ++=，所以将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y +++=，………………4分当直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆C 没有交点，………………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，则圆心(1,1)C --到直线l的距离为d =因为直线l 被圆C 截得的弦长为2305，所以2230()25d +=，即245=，解得12k =或2k =，所以直线l 的方程为210x y -+=或210x y --=．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）（1）因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p 2＋1＝2，所以p ＝2．………………2分（2）由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．（3）因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2)(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．－1＝m (y －2)，2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，………………6分即(y －2)(y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2，………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16．………………10分23．（本小题满分10分）（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，于是所求元素之和为23(1234)30C +++⨯=．………………2分（2）集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．………………5分31n C i i m =∴∑312n C m m m =+++ 222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++ 3(1)nn C ==+ 3131n C i i nm n C =∴=+∑………………8分32018132018201812019C i i m C =∴=+=∑………………10分。
模拟考试五教师版(1)
江苏省栟茶高级中学2020届高三第二学期模拟考试五命题人：缪鹏 审核人：桑亚一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1.集合A={}0,2x，B={-1,0,1}，若A∩B={0,1}，则x=______.【答案】0. 【解析】分析：由题意得到关于x 的方程，解方程求x 的值即可.详解：由题意结合交集的定义可知：21x =，解方程可得：0x =点睛：本题主要考查结合元素的互异性，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知样本数据12,,,n x x x L 的均值x =5，则样本数据123+1,3+1,,3+1n x x x L 的均值为______. 【答案】16 【解析】分析：由题意结合均值的性质计算均值即可. 详解：由题意结合均值的性质可知：样本数据1231,31,,31n x x x +++L 的均值为3135116x +=⨯+=.点睛：本题主要考查均值的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.若复数(1i)(1i)z a =+-(i 为虚数单位，a R ∈)满足||2z =，则a =____． 【答案】±1． 【解析】分析：由题意结合复数模的运算法则得到关于a 的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：由题意结合复数的运算法则可得：11z i ai =+⨯-，即：2=，解得：1a =±.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算公式与运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．【答案】11 【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11； 考点：1.程序框图；2.循环结构；5.若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ． 【答案】29. 【解析】试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，共有33=9⨯种方法，其中在1，2号盒子中各有一个球有21=2⨯种方法，因此所求概率是2.9考点：古典概型概率6.若双曲线22116y x m-=的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】24y x =±. 【解析】分析：首先求得m 的值，然后求解渐近线方程即可.详解：由双曲线方程可知：0m >，且：216a =，2b m =，则216c m =+，双曲线离心率：2216316c me a +===，解得：128m =， 则双曲线的渐近线满足：22016128y x -=，整理可得渐近线方程为：24y x =±.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线的方法是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程.7.已知函数()2()x x f x x e e -=--，则不等式2(2)0f x x ->的解集为______. 【答案】（0，2）. 【解析】分析：首先确定函数的单调性， 然后结合函数的单调性求解不等式的解集即可. 详解：由函数的解析式可得：()()'12xxf x e e-=-+，由于22x x x x e e e e --+≥⨯=，当且仅当x x e e -=，即0x =时等号成立， 据此可得：()()'121xxf x e e-=-+≤-，则函数()f x 是R 上的单调递减函数，注意到()00f =，则题中的不等式等价于()()220f x x f ->， 结合函数的单调性脱去f 符号有：220x x -<， 解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．8.如图，四棱锥P-ABCD ，PA ⊥底ABCD,底面ABCD 是矩形，AB=2， AD=3，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E-PAB 的体积为4，则PA 的长为______.【答案】4. 【解析】分析：由题意结合三棱锥的体积公式求解P A 的长度即可.详解：由题意可知12PAB S PA AB PA =⨯⨯=V ， 点E 到平面PAB 的距离为3，由三棱锥的体积公式可得：1343PA ⨯⨯=，即：4PA =.点睛：本题主要考查三棱锥的体积公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{}n a 是等积数列且a 1=2，前21项的和为62，则这个数列的公积为______. 【答案】0或8. 【解析】分析：由题意类比等比数列的性质分类讨论求解公积即可.详解：当公积为0时，数列12a =，20a =，360a =，45210a a a ====L 满足题意； 当公积不为0时，应该有：135212a a a a =====L ，且24620a a a a ====L ， 由题意可得：246206221140a a a a +++=-⨯=， 则：2462040410a a a a ======L ， 此时数列的公积为：248⨯=. 综上可得：这个数列的公积为0或8.点睛：本题的核心在于利用公比、公差的定义进行类比推理解题.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素；②找对应元素的对应关系． 10.如图，在扇形AOB 中，OA=4，∠AOB=120°,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C,若8OP OA ⋅=u u u r u u u r，则OC AP ⋅u u u r u u u r的值为______.【答案】4.【解析】分析：首先求得∠AOP 的大小，然后利用数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：44cos 8OP OA AOP ⋅=⨯⨯∠=u u u v u u u v， 则1cos 2AOP ∠=，3AOP π∠=， 结合平面几何知识可得：12OC PC OP ==， 由向量的运算法则可知：()()2111484222OC AP OC OP OA OP OP OA ⋅=⋅-=⋅-=⨯-⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11.已知函数2221,01()2,1x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，若()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是______. 【答案】1[,0)2-. 【解析】分析：将原问题转化为函数交点的问题，结合函数的图象整理计算即可求得最终结果. 详解：当01x ≤≤时，函数的零点满足：22210x mx +-=， 很明显0x =不是其零点，则：12m x x=-+， 当1x >时，函数的零点满足：20mx +=，则：2m x-=， 则原问题等价于函数y m =与函数()1,0122,1x x xg x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.很明显()1012y x x x=-+<≤单调递减， 且当1x =时，11122y =-+=-，绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m 的取值范围是1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.在平面角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ是直线32y x =+,则tan()αβ+的值为______.【答案】3. 【解析】分析：将原问题转化为三角方程的问题，求解三角方程后结合特殊角的三角函数值即可求得最终结果. 详解：由题意可得：sin 32αα=+sin 32ββ=则,αβ是方程sin 32x x 三角方程即：2sin 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()2324x k k Z ππππ-=+±∈， 据此可得：()5264x k k Z πππ=+±∈， 不妨设()5264k k Z ππαπ=++∈，()5264k k Z ππβπ=+-∈， 则()543k k Z παβπ+=+∈，()tan 3αβ+=-点睛：本题主要考查方程的思想，三角函数的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.设x 、y 均为正实数，且33122x y+=++,以点(x ，y)为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为______.【答案】22(4)(4)256x y -+-=. 【解析】试题分析：因为33122x y +=++，所以()81,1y x y y +=>-令()10z y z =->，则1,y z =+所以281y y xy y +=-()()2218110991061016z z z z z z z z+++++===++≥+=，当且仅当9z z =，即3z =时取等号，此时4,4,y x ==半径16xy =，则此时所求圆的方程为()()2244256x y -+-=， 故答案为22(4)(4)256x y -+-=.考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考察圆的标准方程及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.本题就是利用不等式等号成立的条件进行解答的.14.已知()()32269f x x ax a x a R =-+∈,当a>0时，若[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，则实数a 取值范围是______.【答案】[1,1]9-. 【解析】分析：由题意首先确定函数的单调性，然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果. 详解：f '(x )=3x 2-12ax +9a 2=3(x -a )(x -3a )，f (x )在(0，a )上递增，在(a ，3a )上递减，在(3a ，+∞)上递增． (1)当a ≥3时，函数f (x )在[0，3]上递增， 所以函数f (x )在[0，3]上的最大值是f (3)，若对∀x ∈[0，3]有f (x )≤4恒成立，需要有()343f a ⎧≤⎨≥⎩，解得a ∈∅．(2)当1≤a <3时，有a <3≤3a ，此时函数f (x )在[0，a ]上递增，在[a ，3]上递减， 所以函数f (x )在[0，3]上的最大值是f (a )， 若对∀x ∈[0，3]有f (x )≤4恒成立，需要有()413f a a ⎧≤⎨≤<⎩，解得a =1．(3)当a <1时，有3>3a ，此时函数f (x )在[0，a ]上递增，在[a ，3a ]上递减，在[3a ，3]上递增， 所以函数f (x )在[0，3]上的最大值是f (a )或者是f (3)．由f (a )-f (3)=(a -3)2(4a -3)：①304a <≤时，f (a )≤f (3)，若对∀x ∈[0，3]有f (x )≤4恒成立，需要有()34304f a ⎧≤⎪⎨<≤⎪⎩，解得314a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ②314a <<时，f (a )>f (3)， 若对∀x ∈[0，3]有f (x )≤4恒成立，需要有()4314f a a ⎧≤⎪⎨<<⎪⎩，解得3,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．综上所述，19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .求解最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．二、解答题：本大照共6小题，共90分15.已知斜三角形△ABC 中，π1sin()cos 62C C +-=. (1)求角C(2)若c =，求当△ABC 的周长最大时的三角形的面积 【答案】(1) 3C π=.(2)【解析】分析：（1）由题意结合两角和差正余弦公式可得π162sin C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则663C C πππ-=∴=. （2）由题意可知，当3A π=时，三角形的周长最大，此时三角形的面积为3 3.详解：（1）ππ1662sin C cosC sin C ⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0663C C C ππππ∈∴-=∴=Q （，）.（2）224cR R sinC=∴=Q， ()2436a b R sinA sinB sin A π⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，20,,33A A a b ππ⎛⎫∈∴=+ ⎪⎝⎭Q 最大，则△ABC 的周长最大， 此时()2323,233 3.c S ==⨯=点睛：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点. (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形【答案】（1）见解析. (2)见解析. 【解析】分析：(1)取11A B 的中点N ，连结1,MN O N ，由题意可证得平面1MNO P 平面11BB C C ，则1O M P 平面11BB C C .(2)很明显四边形11BB D D 是平行四边形，由几何关系可证得BD ⊥平面11AAC C ,则1BD OO ⊥，1BD BB ⊥，四边形BB 1D 1D 是矩形.详解：(1)如图所示，取11A B 的中点N ，连结1,MN O N ， 由111111,A N B N B O D O ==可得11111O N A D B C P P ， 由11,A N B N AM BM ==可得1MN BB P ，利用面面垂直的判断定理可得：平面1MNO P 平面11BB C C ， 则1O M P 平面11BB C C .(2)很明显四边形11BB D D 是平行四边形，如图所示，连结AC ,BD 交于点O ，连结OO 1，底面ABCD 是菱形，则AC BD ⊥， 平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AA 1C 1C ∩ABCD =AC ， 由面面垂直的性质定理可得：BD ⊥平面11AAC C ,而1OO ⊂平面11AAC C ，故1BD OO ⊥，而11BB OO P ，故1BD BB ⊥， 据此可得：四边形BB 1D 1D 是矩形.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M ，便得01290F MF ∠=.（1）求椭圆C 的标准方程（2）设圆T 的圆心T(0,t)在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点，点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点，若0PQ QT ⋅=u u u r u u u r 时，PQ 取得最大值为5，求实数t 的值.【答案】(1) 2212x y +=. (2) 12t =. 【解析】试题分析：（1）由1290F MF ︒∠=可知，M 也在以12F F 为直径的圆上，将条件转化为直线与圆相切，从而确定焦距，求得椭圆方程；（2）由0PQ QT ⋅=u u u r u u u r 可知，PQ 为圆的切线，利用勾股定理求切线的长，从而建立目标函数；求解最值时，由于对称轴不确定，需要分类讨论；试题解析：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左，右顶点分别为())12,A A ，所以2=2a ．又因为直线3450x y ++=上恰存在一个点M ，使得1290F MF ︒∠=，即以原点O 为圆心，半径为1r OF c ==作圆O ，使得圆O 与直线3450x y ++=相切即可．又圆心O 到直线3450x y ++=的距离1d ==， 所以1c =，2221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）设()00,P x y ，因为点P 在椭圆上，所以有220012x y +=,因为圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点．所以圆T 的方程为()2221x y t t +-=+,()0t >，由0PQ QT ⋅=u u u r u u u r得222PQ PT QT =-()()222001x y t t =+--+，又220012x y +=，所以()22201PQ y t t =-+++，①当1t -≤-即1t ≥时,当01y =-时,PQ因为PQ =解得58t =,又1t ≥，故舍去.②当1t ->-即01t <<时,当0y t =-时,PQ=214t =，又01t <<，所以12t =.综上,当12t =时,PQ . 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.二次函数的图象与性质；18.将一个半径为3dm ，圆心角为((0,2))ααπ∈的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm 3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V 关于α的函数关系式 (2)当α为何值时，V 取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球?请说明理由.【答案】(1) ()221339,0,2.322V ααπαπππ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2) 26.α=(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.理由见解析. 【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得体积表达式为()221339,0,2.322V ααπαπππ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2) 令()2230,9,2t r απ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭换元之后利用导函数研究函数的性质可得266,3t α==时，23.max V π=（3）由题意可得圆锥轴截面三角形内切圆半径032230.5r =>，则能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球. 详解：（1）23=2,9r h r απ=-()22211339,0,2.3322V r h ααππαπππ⎛⎫⎛⎫∴==-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2) 令()()()22230,9,92t r f t t t απ⎛⎫==∈=- ⎪⎝⎭，()()()360,0,96f t t t t t =--=∈'∴=Q Q ，因此66,3t α==时，23.max V π= （3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为0.r(0011332632632230.522r r ++==>，所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 19.已知函数21()2ln ().2f x x x ax a R =+-∈ (1)当a=3时，求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，当x ∈(0,1]，求证：123()()2ln 22f x f x -≥-; (3)设g(x)=f(x)-ln(ax)，对于任意a ∈(0,2)时，总存在x ∈[1,2]，使g(x)>k(a-2)-2，求实数k 的取值范围【答案】(1) 单调递增区间为()0,1和()2,+∞，函数的单调递减区间为()1,2；(2)证明见解析；(3) )5,2⎡-+∞⎢⎣. 【解析】分析：(1)当3a =时， ()()()122'3x x f x x x x--=+-=，据此讨论可得函数的单调递增区间为()0,1和()2,+∞，函数的单调递减区间为()1,2.(2)由题意结合韦达定理可得1212,2x x a x x +==，原问题转化为证明：211211434ln 22x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.构造函数：()()144ln 012g x x x x x ⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭，证明()32g x ≥即可证得题中的结论. (3)由题意将原问题转化为()()2ln 222ln 222a a k a +-->--在[]1,2上恒成立，结合函数的性质切线放缩可得实数k 的取值范围是)5,2⎡-+∞⎢⎣.详解：(1)当3a =时，()212ln 32f x x x x =+-，则：()()()122'3x x f x x x x--=+-=， 当()0,1x ∈或()2,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，综上可得，函数的单调递增区间为()0,1和()2,+∞，函数的单调递减区间为()1,2.(2)()212ln 2f x x x ax =+-，则()222'x ax f x x a x x-+=+-=，结合题意可知，12,x x 是一元二次方程220x ax -+=的两个实数根， 即：1212,2x x a x x +==，据此有：212x x =，12112x x x x -=-，① ()()2212111222112ln 2ln 22f x f x x x ax x x ax ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()112121222ln2x ax x x x a x x x =++---， 结合①的结论和韦达定理可得：()()2121121144ln 2ln 22f x f x x x x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，原问题等价于证明：211211434ln 2ln 22ln 222x x x ⎛⎫---≥- ⎪⎝⎭， 即211211434ln 22x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭. 构造函数：()()144ln 012g x x x x x ⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭，只需证明()32g x ≥即可.则()32344'x x g x x-+-=， 令()3244h x x x =-+-，则()2'38h x x x =-+，由二次函数的性质可知，()'h x 的最小值为()'00h =， 则()'0h x ≥恒成立，函数()h x 单调递增，()h x 的最大值为()114410h =-+-=-<，则()'0g x ≤恒成立，函数()g x 单调递减， 则函数()()14314ln11212g x g ⎛⎫≥=--= ⎪⎝⎭.则原命题得证.(3)由()()()()21ln 2ln ln 2g x f x ax x x ax ax =-=+--可得： ()22124'a a x g x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()()0,2,'0a g x ∈∴≥Q 恒成立，函数()g x 单调递增， ()g x 的最大值为()()22ln 222ln 2g a a =+--，原问题等价于()()2ln 222ln 222a a k a +-->--在[]1,2上恒成立， 令()()()2ln 222ln 212h x x x x =+--≤≤，则函数()22y k x =--的函数图象恒在函数()h x 图象的下方. 则()1'20h x x=--<，则函数()h x 单调递减， 且()21''0h x x =>，则()h x 的图象下凸. 注意到当2x =时，()22ln 224ln 42h =+--=-，且()222k x --=-， 而()15'222h x =--=-，如图所示，利用切线放缩的方法可知： 实数k 的取值范围是)5,2⎡-+∞⎢⎣.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 20.对于数列{}n a ，记1*n+11=,,,,k k k n n n n n a a a a a a k n N ++∆-∆=∆-∆∈则称数列{}k n a ∆为数列{}n a 的“k阶塑数列”，(1)已知1()2nn a ∆=-，①若{}n a 为等比数列，求1a 的值②设t 为任意正数，证明：存在*k N ∈，当**,N ,N n m k n m >≥∈∈时总有||n m a a t -≤；(2)已知232nn a ∆=-，若1=1a ，且3n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围.【答案】(1) ①13.②见解析.(2) 270.a -≤≤ 【解析】分析：（1）①由题意结合新定义的知识可得113a =. ②由题意可得211=322n mn m a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则41||32mn m a a t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，取k 不小于243log t 的正整数，则题中的结论成立.（2）由题意得到关于2a 的不等式组，求解不等式组可得270.a -≤≤详解：（1）①222131111111243a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=∴-=-∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q . 当2n ≥时11121111122111=133212n n n n n a a a a a ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∆+∆+∆+=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭L ，满足题意； ②11122211=132212mn m n mn ma a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦-=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 所以21121141||=||[+]32232232nmnmmn m a a t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，243m log t ∴≥，因此取k 不小于243log t的正整数， 当**,N ,N n m k n m >≥∈∈时总有||n m a a t -≤；（2）()()11123133131=2122132222n n n na n an a n a --∆--+∆=-++∆=-+--Q ， 因为20n a ∆>，所以n a ∆｛｝递增，因此232223432=0070.=070a a a a a a a a a ∆-≤≤⎧⎧∴∴-≤≤⎨⎨∆-≥+≥⎩⎩点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.江苏省栟茶高级中学2020届高三第二学期模拟考试五加试部分命题人：缪鹏 审核人：桑亚21.[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422ab +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y ==所以x ，y 的值分别为0，1．22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线sin()()4l m m R πθ-=∈，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．当圆心C 到直线l 的距时，求m 的值。
江苏省南通市如皋中学如东中学2020届高三数学下学期阶段联合调研试题含解析
（2）试确定 的值，使得 取得最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；(2)借助于角θ，把∠MPN表示出来,然后利用导数研究该函数的最值．
试题解析:(1）由题意，得 。从而，当 时， .
所以 平面 .因为 平面 ，所以 .
根据题意,可得 ， ，
所以 .从而 ，即 .
因为 , 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化,属于中档题。
17.如图，摩天轮的半径 为 ，它的最低点 距地面的高度忽略不计。地上有一长度为 的景观带 ,它与摩天轮在同一竖直平面内，且 .点 从最低点 处逆时针方向转动到最高点 处，记 .
解得： ，所以,所求椭圆C的方程为 .
（2）设直线PQ的方程为 与椭圆联立得：
其判别式
所以 ， 则
又点A到直线PQ的距离为
所以三角形APQ的面积为
（3）由题意知直线 的斜率存在，设为 ， 过点 ，则 的方程为: ，
联立方程组 ，消去 整理得: ，
恒成立，令 ，
由 ，得 ,
将 代入 中,得到 ，得 ，
所以a≤4e.
当直线y=ax+b过点 且与 相切时， 最小，
设切点为 ，则切线方程为 ，
此时
所以a的最小值为
所以 的取值范围为 。
故答案为
点睛：（1）本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义,意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. （2）本题的关键有两点,其一是转化为 存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.
江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学试题(解析版)
江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____． 【答案】3﹣4i 【解析】 【分析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-． 故答案为：3﹣4i ．【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 2.已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A∪B)＝________. 【答案】{5} 【解析】易得A∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A∪B)＝{5}．3.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30． 故答案为：30．【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【答案】255【解析】 【分析】 计算sinα25y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25= 25． 【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____． 【答案】28 【解析】 【分析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2 第二圈 是 7 4+2+8 第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误； 对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7.已知函数f(x)＝322{102x xx x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8.已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣2=-4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0， 故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4， 当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4a+=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、20F ⎫⎪⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【解析】 【分析】 根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1233PF PF ==，计算得到答案.【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2═5sin ∠PF 1F 2═5，∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，①又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得12PF PF ==12PF PF -=∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 【答案】14【解析】 【分析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=． 故答案为：14．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a ≤试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤考点：函数单调性12.已知平面向量a r ，b r ，c r 满足|a r |＝1，|b r |＝2，a r ，b r 的夹角等于3π，且（a c -r r）•（b c -r r ）＝0，则|c r|的取值范围是_____．【答案】⎣⎦【解析】 【分析】计算得到|a b +r r |=2c =r |c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（a c -r r）•（b c -rr ）＝0 可得 2c =r （a b +rr）•c a b -⋅=r r |a b +rr|•|c r|cosα﹣1×2cos3π=|a b +r r |•|c r |cosα﹣1，α为a b +r r 与cr 的夹角．再由 ()222a ba b +=++r r r r 2a r •b =r 1+4+2×1×2cos 3π=7 可得|a b +r r |=∴2c =rc r |cosα﹣1，解得cosα2=r ．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cos α≤12≤r 1，即2c r c r |+1≤0，解得≤|c r |≤故答案为22⎣⎦，． 【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13.在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____． 【答案】3【分析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a ka k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0） 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+）， 因此AB 222222222221(0)(1)111a k a k k a k a k --=-+-=+++22221a k a k+， 同理可得：AC 211k =+•22221a kak+.∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC 2212k k=++44422422221221111a k a ka a k a a k k k +=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令t 1k k =+，得S ()4422422222(1)12a t a a a a t a tt==-++-+. ∵t 1k k =+≥2，∴S △ABC442222(1)(1)2a a a a a t t≤=--⨯.2t t =t 21a a-=时，△ABC 的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =-.解之得a ＝3或a 329716+=. ∵a 3297+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____． 【答案】2e【解析】 【分析】计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝t e tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e te t r-==-，∴r ＝t 1t -，即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t ），∴△PRS 的面积为S 2t et=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS 的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ． 【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）sin B =（2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以4cos 5A == ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sinA B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455=-=(2)因为sin sin a A b B ==，且5b = ，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+= ，则2222cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以13c= .16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．（1）求证：VA∥平面BDE；（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.【详解】（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a=【解析】分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到42955m-=，计算得到答案.（2）把直线ax ﹣y +5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0得到答案. （3）l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0，过点M （1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）．由于圆与直线4x +3y ﹣29＝0相切，且半径为5， 所以42955m -=，即|4m ﹣29|＝25．因为m 为整数，故m ＝1．故所求圆的方程为（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）把直线ax ﹣y +5＝0，即y ＝ax +5，代入圆的方程，消去y ， 整理得（a 2+1）x 2+2（5a ﹣1）x +1＝0，由于直线ax ﹣y +5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0，即12a 2﹣5a ＞0，由于a ＞0，解得a 512＞，所以实数a 的取值范围是（512+∞，）． （3）设符合条件的实数a 存在，则直线l 的斜率为1a-， l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0， 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M （1，0）必在l 上， 所以1+0+2﹣4a ＝0，解得34a =．由于35412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故存在实数34a = 使得过点P （﹣2，4）的直线l 垂直平分弦AB .【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？【答案】（1）103m ；（2）当BP 为202103t =时，α+β取得最小值． 【解析】 【分析】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2tan CAD tan CAE ∠=∠得到2200x --=，解得答案.（2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜，故()10ttan αβ+=，设()f t =，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x--=，解之得，x =x =（舍）， （2）设BP＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-令f '（t ）＝0，因为0t ＜＜t =，当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，， 因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当202103t =α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n，且()243n nS p T--=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”． 【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-， 而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④，④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N *）， 又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x yn n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1，故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证．【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 20.已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x R ∈，且123x x x <<． （1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1,1)33-+（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<<【解析】 【详解】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(133-+；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，所以231222x x x x αβ++<<<试题解析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x减区间(1)33-+； （2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x =--+---'-+，22321()()()0f x x x x x -'=-<，()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减， 所以231222x x x x αβ++<<<． 考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换]21.试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【答案】y ＝2sin 2x ． 【解析】【分析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ． 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.[选修4-4：极坐标与参数方程]22.已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16 【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为. 【详解】（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 622ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即162y x =，120y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为16=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度． 【答案】（1）3015．（22． 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =u u u r （﹣1，0，2），CP =u u u r（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =r（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =r（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1），BE =u u u r（﹣1，0，2），CP =u u u r （﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ2301556BE CP BE CP⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为23015． （2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ），AP =u u u r（0，2λ，2﹣2λ），AC =u u u r （2，2，0）， 设平面APC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩u u uv r u u u v r，取x ＝1，得n =r（1，﹣1，222λλ-）， 平面ADP 的法向量m =r（1，0，0），∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为6， ∴|cos m n r r ＜，＞|2261()322()22m nm nλλ⋅===-⋅+-r r r r ， 解得12λ=，∴P （0，1，1）， ∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）41a +，ξ的分布列为（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P(ξ＝1)＝11C ·122C (1－a)2＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)；P(ξ＝3)＝11C ·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a-； P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a-.由2(1)0,12{0,21202a a a a-≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
江苏省高三下学期数学5月模拟考试试卷
江苏省高三下学期数学5月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2017高一上·徐汇期末) 已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B=________．2. （1分） (2020高二下·上海期末) 已知复数z满足，则的最大值是________.3. （1分）(2020·随县模拟) 2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩________十万只.4. （1分） (2017高一下·池州期末) 如图，该程序运行后输出的结果为________．5. （1分） (2016高一下·福建期中) 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．6. （2分）(2019·山西模拟) 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为________.7. （1分）(2020·新课标Ⅲ·文) 设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为________．8. （1分）(2018·江西模拟) 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是________．9. （1分） (2019高一下·杭州期末) 函数的最小正周期为________；单调递增区间为________．10. （1分）现有10个数，它们能构成一个以l为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则这个数大于8的概率是________．11. （1分）(2018·榆林模拟) 若角的终边经过点，则的值是________．12. （1分）(2020·龙江模拟) 已知点F为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.13. （1分）(2019高二上·河南月考) 已知中的内角为，重心为，若，则 ________.14. （1分）设x，y为正数，则的最小值是________二、解答题 (共11题；共105分)15. （10分） (2018高一下·雅安期中) 已知a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边长，且.（1）求角C的值；（2）若c=4,a+b=7，求. .的值.16. （10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1 ， BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．17. （10分）已知函数f（x）=4 sinxcosx﹣4sin2x+1．（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求的最大值．18. （10分） (2017高二上·湖北期中) 已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率分别是k1 ， k2 ，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．19. （15分） (2018高二上·湖南月考) 已知数列{an}中，，．（1）求；（2）若，求数列{bn}的前5项的和．20. （15分）(2020·吉林模拟) 已知，，动点p满足直线pa与直线pb的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，过点F且与直线l垂直的直线与相交于点T，求的最小值及此时直线l的方程.21. （5分） (2019高三上·淮安期中) 已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵及另一个特征值.22. （5分）(2017·芜湖模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2= ，且直线l经过曲线C的左焦点F．（ I ）求直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．23. （5分） (2019高一上·浠水月考)（1）已知在上是单调函数,求的取值范围；（2）求的解集.24. （10分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（1）将T表示为x的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．25. （10分）已知的展开式中，x的系数为，求：（1） a的值；（2）展开式中二项式系数最大的项．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共11题；共105分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、。
江苏省南通市2020届高三下学期5月阶段性练习数学试题
江苏省南通市2020届高三下学期5月阶段性练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2,1,0,1M =--，{}20N x x x =+≤，则M N =_______.2．已知复数2a i i++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__. 3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是__.4．根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的值是__.5．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>双曲线的渐近线的方程是__.6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是__.7．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则ϕ的最小正值是______．8．已知非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，24a b +=，则||b =__.9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且18a ，3a ，26a 成等差数列，则785622a a a a ++的值是__.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__.11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.12．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象与直线(1)()y k x k R =-∈相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则k a +的最小值是__.13．已知函数224,0()1(2),0x x f x x x x +⎧⎪=+⎨⎪+<⎩若关于x 的不等式()10()f x mx m m R ---<∈的解集是1(x ，23)(x x ⋃，)+∞，123x x x <<，则m 的取值范围是__.14．如图，在ABC ∆中，32AC BC =，点M ，N 分别在AC ，BC 上，且13AM AC =，12BN BC =.若BM 与AN 相交于点P ，则CP AB 的取值范围是__.15．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若2cos a C b =，且2sin sin sin C A B =，求B 的值；（2）若cos(2)3cos 0A B B ++=，求tan tan A C 的值.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，侧面11BCC B 是矩形，点E ，F 分别为BC ，11A B 的中点.求证：（1）1BC AC ⊥；（2）//EF 平面11ACC A .17．如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为ABC ∆，A 到河两岸距离AE ，AD 相等，B ，C 分别在两岸上，AB AC ⊥.为方便游客观赏，拟围绕ABC ∆区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l （即ABC ∆的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设ABD α∠=，求出l 关于α的函数解析式()f α，并求出()f α的最小值. 方案2：设EC x =米，求出l 关于x 的函数解析式()g x ，并求出()g x 的最小值.请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2121·n n n n a S S S λ++++=，*n N ∈，R λ∈.（1）若3λ=-，21a =-，求3a 的值；（2）若数列{}n a 的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；（3）若20a >，是否存在R λ∈，使{}n a 为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由.20．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在k ∈R ，使()f x kx <恒成立，则称()f x 为“()m k 型函数”；若存在k ∈R ，使()f x kx 恒成立，则称()f x 为“()M k 型函数”.已知函数()(12)()f x ax lnx a R =-∈.（1）设函数1()()1(1)h x f x x =+.若0a =，且1()h x 为“()m k 型函数”，求k 的取值范围；（2）设函数21()()h x f x x =+.证明：当12a =-，2()h x 为“M （1）型函数”； （3）若a Z ∈，证明存在唯一整数a ，使得()f x 为“1()4m 型函数”.21．已知矩阵A 的逆矩阵13221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ；（2）若向量21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算2A α. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1,{(12x t y t ==为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值.23．若实数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求222x y z ++的最小值.24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4,0)M p 的直线l 交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点.当AB 垂直于x 轴时，OAB ∆的面积为（1）求抛物线的方程：（2）设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T .①证明：12y y 为定值：②若//OA TB ，求直线l 的斜率.25．设*n N ∈，k ∈N ，n k .（1）化简：11112··k k n n k k n n C C C C +++++； （2）已知2220122(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+.记21()(1)nk k k F n n a ==+∑.证明：()F n 能被21n 整除.参考答案1．{}1,0-【解析】【分析】求出集合N ，利用交集的定义可得集合M N ⋂.【详解】{}{}2010N x x x x x =+≤=-≤≤，{}2,1,0,1M =--，因此，{}1,0M N ⋂=-. 故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2．12-. 【解析】【分析】先把复数2a i i ++化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求a . 【详解】解：因为复数()(2)2122(2)(2)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-， 由于它为纯虚数，所以2105a +=，且205a -≠，则12a =-， 故答案是：12-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.3．85. 【解析】【分析】先求出平均数，再由方差计算公式求出这5次得分的方差.【详解】某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117， 平均数为1(114116114114117)1155x =++++=， 则这5次得分的方差为：22222218[(114115)(116115)(114115)(114115)(117115)]55S =-+-+-+-+-=. 故答案为：85. 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 4．32. 【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，由题意即可计算得解.【详解】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，当输入的x 为1-时，可得13212m -=+=. 故答案为：32. 【点睛】 本题主要考查了伪代码的应用，属于基础题.5．2y x =±.【解析】【分析】 由双曲线的离心率结合隐含条件求得b a的值，则答案可求. 【详解】解：由题意，c e a ==222225c a b a a +==， 解得：2b a=， ∴该双曲线的渐近线的方程是2y x =±.故答案为：2y x =±.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，注意隐含条件的运用，是基础题.6．12. 【解析】【分析】基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.【详解】解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，∴抽到的2道题他都会的概率是3162m p n ===. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 7．π6【解析】【分析】先由平移求出()g x 的解析式()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 为奇函数，可得()π2π3k k ϕ-+=∈Z ，从而可求出ϕ的最小正值. 【详解】将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到，()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于函数()g x 为奇函数， 所以()π2π3k k ϕ-+=∈Z ， 整理得：()ππ26k k ϕ=-+∈Z ， 当0k =时，ϕ的最小正值是π6． 故答案为：π6 【点睛】此题考查三角函数的平移变换，正弦函数的性质，属于基础题.8．4.【解析】【分析】 先把24a b +=两边平方，再展开，并结合平面向量的数量积运算进行求解即可.【详解】解：由题可知，2(2)16a b +=，∴224||4||||cos12160||a a b b +⋅+=，即214442||()|||162b b ⨯+⨯⨯⋅-+=，解得||4b =.故答案为：4.【点睛】本题考查平面向量的模长、数量积运算，对式子进行平方处理是解决平面向量模长问题的常用手段，考查学生的运算能力，属于基础题.9．16.【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.【详解】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，设公比为q ，0q >，由18a ，3a ，26a 成等差数列，可得312286a a a =+，即有2111286a q a a q =+，即2340q q --=，解得4(1q =-舍去）， 则22785656562(2)1622a a q a a q a a a a ++===++. 故答案为：16.【点睛】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.10．【解析】【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，知两圆圆心的连线在直线y x =上，设所求圆的圆心为(,)a a ，由半径相等列式求得a 值，则答案可求.【详解】解：圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=，圆心坐标为(3,3)，半径为如图，所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上， 可设所求圆的圆心为(,)a a=解得5a =-，∴所求圆M 的半径为故答案为：【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题. 11．2.【解析】【分析】设圆柱的高为h ，表示出表面积可得43h R =，再分别表示出1V ，2V 即可. 【详解】解：设酒杯上部分高为h ， 则酒杯内壁表面积221144223S R Rh R πππ=⨯+=， 则43h R =， 所以23143V R h R ππ==，321423V R π=⨯， 故122V V =， 故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.12．3.【解析】【分析】由题知两函数其中一个交点(1,0)，另一个交点的纵坐标为1，得 0k >，利用交点满足两函数解析式可求出(1)1k a -=，由均值不等式求最小值即可.【详解】 解：函数()log (1)a f x x a =>与直线(1)()y k x k R =-∈过(1,0)，∴由函数()log (1)a f x x a =>的图象与直线(1)()y k x k R =-∈相交.其中一个交点的纵坐标为1得0k >，设交点(,1)m ，代入()log a f x x =，1log a m =，m a ∴=，再把点(,1)a 代入直线方程：211(1)()2k a k a +-=-，即3k a +，当且仅当1k a =-时，等号成立，k a +取最小值3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.13．(0,2)(2,3)⋃.【解析】【分析】作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象，找到两个极限情况，结合图象即可得解.【详解】由不等式()10f x mx m ---<得()1f x mx m <++，作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象如图所示，注意到直线1y mx m =++恒过点(1,1)-，且点(1,1)-也在函数()y f x =上，当直线1y mx m =++与函数2()(2)f x x =+相切时，可得2(4)30x m x m +-+-=，则△2440m m =-+=，解得2m =，当直线1y mx m =++过点(0,4)C 时，则14m +=，解得3m =，由图可知，满足条件的实数m 的取值范围为(0,2)(2,3)⋃.故答案为：(0,2)(2,3)⋃.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，二次函数的性质应用，其它不等式的解法，考查数形结合思想，属于中档题.14．1(,2)5.【解析】【分析】设2BC =，3AC =，由三点共线的向量表示可设(1)(1)CP CA CN C C x y y B M x =-+=-+，结合已知条件进一步得到1124CP CA CB =+， 由此可得21133()881312cos ,CP AB CA CB =-+⋅-，结合余弦函数的有界性即可得出答案.【详解】解：不妨设2BC =，3AC =，由于A ，P ，N 三点共线，M ，P ，B 三点共线，故由平面向量基本定理可设，(1)(1)CP CA CN C C x y y B M x =-+=-+，11,32AM AC BN BC ==， ∴2(1)(1)23C x y x y CB A P CA C CB =-+=-+， ∴21312x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1124CP CA CB =+， 222()CP CP AB CB CA ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭ 221124()CA CB CB CA ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 2222111||||cos 41642||||cos CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB ++⋅⋅〈⋅〉=+-⋅⋅〈⋅〉 91132cos 44449232cos CA CB CA CB ++⨯⨯⨯⋅=+-⨯⨯⨯⋅ 106cos 141312cos CA CB CA CB +⋅=⨯-⋅ 12cos 1333181312cos CA CB CA CB ⋅-+=⨯-⋅ 1133881312cos CA CB =-+⨯-⋅, 又1cos ,1CA CB -<<，∴211331()(,4)88251312cos ,CP AB CA CB =-+⋅∈-， ∴1(,2)5CP AB ∈.故答案为：1(,2)5.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及了平面向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.15．（1）3B π=；（2）tan tan 2A C =.【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a c =，利用正弦定理化简已知等式可得2c ab =，从而可得c a b ==，即可得解.（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos cos sin sin A C A C =，由题意可得cos 0A ≠，cos 0C ≠，利用同角三角函数基本关系式可求tan tan A C 的值.【详解】 解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222?2a b c a b ab+-=， 化简得22a c =，即a c =，因为2sin sin sin C A B =，且2(sin sin sin a b c R R A B C ===为ABC ∆外接圆半径）， 所以2c ab =，所以c a b ==，所以ABC ∆为正三角形， 所以3B π=.（2）因为cos(2)3cos 0A B B ++=，且()B A C π=-+，所以cos[()]3cos[()]0A C A C ππ+-+-+=，所以cos()3cos()A C A C -=-+，即cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin A C A C A C A C +=-+，所以2cos cos sin sin A C A C =，因为斜三角形ABC 中，2A π≠，2C π≠，所以cos 0A ≠，cos 0C ≠，所以tan tan 2A C =.【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的计算能力和转化思想，属于基础题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出1BC CC ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A .由此能证明1BC AC ⊥；（2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG .推导出四边形EFGC 为平行四边形，//EF GC .由此能证明//EF 平面11ACC A .【详解】（1）因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC CC ⊥，因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B C C =，BC 在平面11BCC B 内，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC 在平面11ACC A 内，所以1BC AC ⊥；（2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG ，在△111A B C 中，F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点，所以11//FG B C ，且1112FG B C =，在矩形11BCC B 中，E 是BC 的中点，所以11//EC B C ，且1112EC B C =， 所以//EC FG ，且EC FG =，所以四边形EFGC 为平行四边形，所以//EF GC ，又因为EF 在平面11ACC A 外，GC 在平面11ACC A 内，所以//EF 平面11ACC A .【点睛】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.17．答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】方案1：由AB AC ⊥，得90EAC BAD ∠+∠=︒，可得EAC ABD α∠=∠=，2(0,)απ∈.求解三角形可得50sin AB α=，50cos AC α=，50sin cos BC αα=，即可得到()f α关于α的解析式，其中2(0,)απ∈.设sin cos t αα=+，化为关于t 的函数求解； 方案2：由已知证明Rt CAE Rt ABD ∆∆∽，得AC EC AB AD=.由EC x =，得AC ==50AD =，再求得AB ，BC ，可得2500()()g x x x x =++，0x >.然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：方案1:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD α∴∠=∠=，2(0,)απ∈. 50AD AE ==，在Rt ADB ∆和Rt AEC ∆中，50sin AB α=，50cos AC α=，∴50sin cos BC αα===， ∴111sin cos 1()50()50()sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++=++=，其中2(0,)απ∈. 设sin cos t αα=+，则sin cos )4t πααα=+=+，2(0,)απ∈，∴t ∈， 212sin cos t αα=+，∴21sin cos 2t αα-=. ∴250(1)100112t y t t +==--，∴当t =时，()100min f α==+.答：景观桥总长的最小值为(100+米；方案2:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD ∴∠=∠，则Rt CAE Rt ABD ∆∆∽， ∴AC EC AB AD=. EC x =，AC ==50AD =，∴AB =，则2500BC x x===+，∴2500()()g x x x x =++，0x >. 0x，()22500100g x∴=2502100100⨯=.=，且2500xx=，即50x=时取“=”.∴()100ming x=+答：景观桥总长的最小值为(100+米.【点睛】本题考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题. 18．（1）2214xy+=；（2）①12k=；②112y x=±.【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，则222c a b=-.利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出a，b，然后求解椭圆C的标准方程.（2）①设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立22,1,4y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得12k=，直线PQ的方程为12y x m=+，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则222c a b=-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以=c.，则22ac=所以2a=，1b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）①设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041km km m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =.②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+，且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <所以12PQ x ==-== 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-====， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.19．（1）33a =-；（2）4；（3）存在；1λ=. 【解析】 【分析】（1）记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323?a S S S -+=，转化求解即可.（2）设公差为d ，若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，推出21d d λ++=，若4k =，推出2321(12d d d λ++=+，求解可得2d =-，3λ=-.所以4k =符合题意.验证5k =，是否成立，推出结果. （3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，推出(1)0q λ-=，结合112(1)(1)n n n n S S S S +++-=-，推出21111n n n n S S S S +++--=，得到数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列，转化求解证明即可. 【详解】解：记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.（1）当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323a S S S ⋅-+=，即221123123()()a a a a a a a -+++=+⋅，由已知11a =，21a =-，解得33a =-.（2）因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则21a d =+，312a d =+， 若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，所以2(1)33(2)d d d λ+++=+，化简得21(1)d d d λ++=+，① 若4k =，则446S d =+，在(*)式中，令2n =得，23243·a S S S λ+=，所以2(12)(2)(46)(33)d d d d λ++++=+，化简得2321(12)d d d λ++=+，②②-①得，22d d d λ+=，因为公差不为0，所以0d ≠， 所以21d λ+=，代入①得，220d d +=，所以2d =-，3λ=-. 所以4k =符合题意.若5k =，则11a =，21a =-，33a =-，45a =-，57a =-，33S =-，48S =-，515=-S ， 在(*)式中，令3n =得，43533(5)(3)(15)60a S S -+=-⨯-+-⨯-=，224(8)64S =-=，所以243543a S S S -+≠，所以k 的最大值为4.（3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，设前3项分别为1，q ，2q ，则21231,1,1S S q S q q ==+=++，(*)式中，令1n =得，22(1)(1)q q q q λ+++=+，化简得(1)0q λ-=，因为20q a =>，所以1λ=，此时(*)式为2121()?n n n n n S S S S S +++-+=，即112(1)(1)(**)n n n n S S S S +++-=-，由11S =，2211S a =+>，得31S >，由2S ，31S >得41S >，⋯， 依此类推，10n S ≥>，所以(**)等价于21111n n n nS S S S +++--=， 所以数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列， 所以122111n n S S a S S +--==， 于是2n 时，12211,1,n n nn S a S S a S +--=⎧⎨-=⎩两式相减得12·n n a a a +=， 因为221·a a a =，所以*12·()n n a a a n N +=∈， 又1a ，20a ≠，所以12n na a a +=（非零常数），所以存在1λ=，使{}n a 为等比数列. 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题. 20．（1）(1,)+∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将0a =代入，依题意，即1lnx k x +>恒成立，设1()(1)lnx g x x x+=，求出函数()g x 的最小值即可得解；（2）分析可知，即证1(1)0x lnx x x ++-，令1()(1)R x x lnx x x =++-，21()x R x lnx x-'=+，方法一：由不等式的性质可知()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0R x R =，即得证；方法二：令211()()F x R x lnx x x='=+-，再对函数()F x 求导，可得当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>，进而得到()R x 的单调性，由此得证；（3）问题等价于证明存在唯一整数a ，1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立，易知当0a 及2a 时，不合题意，故只需证明1a =时符合题意即可，方法一：记1()(12)4p x x lnx x =--，分当1x 或102x <以及当112x <<时证明即可；方法二：记1()(12)4p x x lnx x =--，利用导数求其最大值小于0即可得证.【详解】（1）0a =时，1()1h x lnx =+. 因为1()h x 为“()m k 型函数”，所以1()h x kx <恒成立，即1lnx k x+>恒成立. 设1()(1)lnx g x x x +=，则2()0lnxg x x'-=恒成立， 所以()g x 在[1，)+∞上单调递减， 所以()g x g （1）1=，所以k 的取值范围是(1,)+∞； （2）证明：当12a =-时，要证2()h x 为“M （1）型函数”， 即证1(1)x lnx x x ++，即证1(1)0x lnx x x++-. 令1()(1)R x x lnx x x =++-，则22211111()(1)1x R x lnx x lnx lnx x x x x x-=++---+'=+=，方法一：当1x >时，0lnx >，210x x ->，则()0R x '>；当01x <<时，0lnx <，210x x-<，则()0R x '<；所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则()R x R （1），又R （1）0=，所以()0R x ， 所以2()h x 为“M （1）型函数”.方法二：令211()F x lnx x x =+-，则22331122()0x x F x x x x x -+=+='->，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，又F （1）0=， 所以当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>， 所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 以下同方法一.（3）证明：函数()f x 为“1()4m 型函数”等价于1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立， 当0a 时，()(12)1044e ep e ae =--->，不合题意； 当2a 时，12111()1(4)044a p e e e e e =---->，不合题意； 当1a =时，方法一：1()(12)4p x x lnx x =--， ①当1x 或102x <时，1()004p x x -<；②当112x <<时，120x -<，由（2）知1x lnx x->， 所以2(12)(1)11()(32)044x x p x x x x x---<-=-， 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”.方法二：1()(12)4p x x lnx x =--，12119()2244x p x lnx lnx x x -=-+-=-+-'， 记19()24x lnx x ϕ=-+-，则221()0x x xϕ'-=-<， 所以()()x p x ϕ'=在(0,)+∞上单调递减. 易得1lnx x -，所以991722(21)0444p =-+=='<； 又因为199()222120244p ln =+->+->'， 所以存在唯一零点01(2x ∈，使得00019()204p x lnx x +-'=-=， 且0x 为()p x 的最大值点，所以00000000019(12)()411117()(12)242428x x p x x lnx x x x x --=--=-=+-， 注意到117228yx x =+-在1(,22上单调递增， 所以017117()()02824p x p <==<，所以()0p x <. 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造思想，分类讨论思想，函数与方程等数学思想，考查推理论证能力，运算求解能力等，属于较难题目. 21．（1）1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）23⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设出矩阵，利用逆矩阵的运算法则化简求解即可. （2）直接利用矩阵乘法的运算法则化简求解即可. 【详解】解：（1）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则132323210212201a b a c b d A A c d a c b d -++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 故321,20,{320,21,a c a c b d b d +=+=+=+=解得1,2,{2,3,a b c d =-===-则矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（2）由矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，得21212582323813A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2582281313A α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵与逆矩阵的运算法则的应用，是基本知识的考查，中档题. 22．72. 【解析】 【分析】首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果. 【详解】解：由4cos()3πρθ=+得24cos()2cos sin 3πρρθρθθ=+=-，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-+=，即22(1)(4x y -+=，圆心(1,-，半径2r.由直线l的参数方程1,2{12x t y t =+=得1x =+，所以直线l的普通方程为10x -=.所以圆心(1,-到直线l 的距离32d =， 所以点P 到直线l 距离的最大值为37222+=. 【点睛】本题主要考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．114【解析】 【分析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z++≤++++，进行解答即可. 【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z++≤++++,即()222141x y z++≥，故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==,即222x y z ++的最小值为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 24．（1）2y x =；（2）①证明见解析；②±1. 【解析】 【分析】（1）当AB 垂直于x 轴时，求出AB 坐标，利用三角形的面积转化求解抛物线方程即可.（2）①由题意可知直线l 与x 轴不垂直.设211(,)A y y ，222(,)B y y ，122212121AB y y k y y y y -==-+.通过A ，M ，B 三点共线，得122y y =-. ②122y y =-，得到21142(,)B y y -.求出线段AB 垂直平分线的方程，结合OA TB k k =，转化求解即可. 【详解】解：（1）当AB 垂直于x轴时，(4,)A p，(4,)B p -所以OAB ∆的面积为211···?422AB OM p ===， 因为0p >，所以12p =，所以抛物线的方程为2y x =.（2）①由题意可知直线l 与x 轴不垂直.由（1）知(2,0)M ，设211(,)A y y ，222(,)B y y ，则122212121AB y y k y y y y -==-+. 由A ，M ，B 三点共线，得12221222y y y y =--， 因为12y y ≠，化简得122y y =-. ②因为122y y =-，所以21142(,)B y y -. 因为线段AB 垂直平分线的方程为22121212()()22y y y y y y y x ++-=-+-，令0y =，得22212121114(1)22T y y x y y ++==++. 因为//OA TB ，所以OA TB k k =，即1211221121144(1)2y y y y y =++-，整理得2211(1)(4)0y y +-=，解得12y =±，故(4,2)A ±.所以1AM k =±，即直线l 的斜率为±1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 25．（1）12n n ++；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用组合排列数的计算公式即可得出.（2）由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+.由122121(1)21(1)(1)[]22k k k k k k k n n n k k n k k a C n C C +++-+--==⋅++，可得22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k kn n k n k k F n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑，求和即可得出.【详解】（1）解：11112(1)!(1)!(1)!(1)!1!(1)!(1)!()!!(2)!!(2)(1)!2!()!(1)!(1)!k k n n k k n n n n C C n n n n k n k k n k n n C C n n n n k n k k n k +++++++⋅+⋅⋅+++-+-===++⋅+⋅+⋅-++-⋅.（2）证明：由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+. 因为122121(1)21(1)(1)·[]22k k k k k k k n n n k k n k ka C n C C +++-+--==++，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
江苏省栟茶高级中学高三数学试题(doc 9页)
江苏省栟茶高级中学高三数学试题(doc 9页)更多企业学院：《中小企业管理全能版》183套讲座+89700份资料《总经理、高层管理》49套讲座+16388份资料《中层管理学院》46套讲座+6020份资料《国学智慧、易经》46套讲座《人力资源学院》56套讲座+27123份资料《各阶段员工培训学院》77套讲座+ 324份资料《员工管理企业学院》67套讲座+ 8720份资料《工厂生产管理学院》52套讲座+ 13920份资料7.给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①则与m异面；②、m是异面直线，；③若；④若，则其中真命题是①②④（填序号）．8．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为．9．设O是△内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为.10 ．已知函数，若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则此函数在递增的概率等于_______________．11．已知点P(x,y)满足条件y的最大值为8，则-6 .12．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，已知，或写成，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.试在横线上将条件补充完整.13.设M是m、n、p分别是的最小值18．14．已知的各项排成如右侧三角形状，记个数，则结论①A（2，3）=16；②；③；④；其中正确的是①②③④（写出所有正确结论的序号）．二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤.15．（本小题满分14分）已知函数；（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；（Ⅱ）当时，且的最小值为2，求的值。
15.解：（Ⅰ）………………………………4分由，得：∴的单调递增区间为， (7)分（Ⅱ）∵∴∴………………………………11分∴的最小值为，∴=2 ………………………………14分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD 中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；16.证明：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F , 又E是PC的中点，所以，EF∥AP………………………………4分∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD ………………………………7分（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，,面PAD 面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，……9分又AP面PAD，∴AP⊥CD ……11分又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD ……13分又AP面PAD，所以，面PDC⊥面PAD (14)分17．（本小题满分14分）已知向量(m是常数), (Ⅰ)若是奇函数，求m的值;(Ⅱ)若向量的夹角为中的值，求实数的取值范围.17.解: (Ⅰ)由题知=,所以= …3分由题知对任意的不为零的实数, 都有,即=恒成立，所以. ………………………………6分(Ⅱ)由题知0,所以0,即, ………………………8分①当时，；………………………9分②当时，，所以或; ………………………11分③当时，，所以. ………………………13分综上, 当时，实数的取值范围是；当时, 实数的取值范围是或;当时, 实数的取值范围是. …………………………14分18 （本小题满分16分）已知等差数列{a n}中，.（1）求{a n}的通项公式；（2）调整数列{a n}的前三项a1、a2、a3的顺序，使它成为等比数列{b n}的前三项，求{b n}的前n项和.18.解：（1）由已知，得求得，∴{a n}的公差d=3…………………………………………………………2分∴a n=a1+(n－1)d=－2+3(n－1)=3n－5.………………………………………………………………6分（2）由（1），得a3=a2+d=1+3=4，∴a1=－2，a2=1，a3=4.依题意可得：数列{b n}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4或b1==4，b2=－2，b3=1………………8分（i）当数列{b n}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4时，则q=－2 ..………………………………12分（ii）当数列{b n}的前三项为b1=4，b2=－2，b3=1时，则.…………………16分19．（本小题满分16分）定义在上的函数，如果满足对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.19.解：（1）当时，因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数。
2020届江苏省如皋中学、如东中学高三下学期阶段性联合调研考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省如皋中学、如东中学2020届高三毕业班下学期阶段性联合调研考试数学试题(解析版)注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}02A x x =<<，集合{}1B x x =>，则A B =______. 【答案】{}0x x >【解析】【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】{}{}02,1A x x B x x =<<=>，{}0A B x x ∴⋃=>.故答案为：{}0x x >.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.已知i 为虚数单位,若复数3i ()12i a z a -=∈+R 为纯虚数,则a =___________. 【答案】2-【解析】【分析】根据复数的除法法则首先计算出221i 55a a z +-=+,根据纯虚数的概念列出方程,解出即可.【详解】i (i)(12i)221i 12i (12i)(12i)55a a a a z --++-===+--+, 由题可得20210a a +=⎧⎨-≠⎩,解得2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,已知复数的类型求参数的值,属于基础题.3.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为678891086+++++=, 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.4.运行如图所示的伪代码,则输出的I 的值为_______.【答案】6【解析】。
江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析
一､填空题
1。 已知集合 ， ，则 ____．
【答案】
【解析】
由题意可得: ,
则 .
2。 设复数 （ 为虚数单位)，则 的共轭复数为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算,求得 ，再根据共轭复数的概念，即可得答案。
【详解】由于 ，所以 的共轭复数为 ．
此时退出循环体，输出的 的值为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果，“还原现场”是常用的求解方法,侧重考查数学运算的核心素养.
6。 函数 的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ,由二次函数知识求解 的范围，结合对数函数单调性可得值域.
【详解】令 ,则 ,
因为 ，且 为增函数，
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式变形为 ,构造函数 ，可知当 时,函数 在 上为减函数，可得出 ，进而可求得 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
构造函数 ,当 且当 ， ，
此时，函数 在 上为减函数，
由于 ，则 ,
所以， ，所以， , ， 。
综上可得 的取值范围为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数,判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养。
【详解】根据等差数列的性质， 可化为
即
又 = = = =40．
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
(1）若 ，则 ;
（2） 为等差数列。
（3） 且 为等差数列；
（4) 且 ;
江苏省南通市如东县栟茶中学2020届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析
，且 ，
，即 的最小值为 ．
点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式(或可以化简为一次式)．熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率．
11. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中, _____________
（1)求出函数的导数,利用导数的几何意义即可求出函数 在 处的切线方程
（2)先通过求导，研究函数 的单调性,然后利用函数 在 上有两个零点可得直线 与 的图像有两个交点，从而得到 ，求解即可
（3)不妨设 ， 恒成立等价于 ，化简为 ,然后，令 ，然后判断 的单调性即可求解
【详解】(1）当 时， , ，切点坐标为 ，
又 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ，而 平面 ， ∴
∴
点睛： （1)线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.
（2)线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线,也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线。
（2）根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边 的长度.
【答案】（1） 关于 函数关系式为 ,定义域为 ；
(2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时， 的长度为1 ．
【解析】
试题分析：
（1) 过点 作 于点 ，可得 关于 的函数关系式为 ，定义域为 ;
(2)由原函数与导函数的关系可得当 时， 有最大值 ,此时
8。 将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为 ,高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球,则该大铁球的表面积为_____________
江苏省南京市栟茶中学2020年高三数学理月考试题含解析
江苏省南京市栟茶中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若抛物线y2＝2px的准线为圆x2＋y2＋4x＝0的一条切线，则抛物线的方程为A. y2＝－16xB. y2＝－8xC. y2＝16xD. y2＝8x参考答案：C2. 已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C3. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年参考答案：B【分析】根据条件列不等式,解得结果. 【详解】由题意求满足最小n值，由得，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B.【点睛】本题考查指数函数应用与解指数不等式,考查基本求解能力,属基础题.4. 设变量满足约束条件，则的最小值为A.-2B.-4C.-6D.-8参考答案：D做出可行域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最小。
由，得，即点,代入得，选D.5. 对于不重合的两个平面与，给定下列条件：①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，其中，可以判定与平行的条件有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：答案：B6. 奇函数满足对任意都有，且，则的值为A.-9B.9C.0D.1参考答案：A略7. 已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A． B． C． D．参考答案：B8. 对于向量、、和实数，下列命题中真命题是（）A．若，则B．若，则或C．若，则D．若，则或参考答案：D略9. 已知，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也非必要条件参考答案：A10. 我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中，等差数列的通项公式为（）A．（）B．（）C. （）D．，（）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则曲线在点处的切线方程为________.参考答案：【分析】求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由，则，当时，，解得，所以，，即，，所以曲线在点处的切线方程为：，即为.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.12. 若函数的反函数为，则不等式的解集为.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数.【试题分析】因为，所以有，则，故答案为.13. 在二项式（x 2﹣）5的展开式中，含x 4的项的系数是a ，则x ﹣1dx= ．参考答案：ln10【考点】定积分；二项式系数的性质． 【分析】利用二项式定理求出a=10，从而x ﹣1dx=x ﹣1dx ，由此能求出结果．【解答】解：对于Tr+1=（x2）5﹣r （﹣）r=（﹣1）rx10﹣3r ，由10﹣3r=4，得r=2，则x 4的项的系数a=C 52（﹣1）2=10， ∴x ﹣1dx=x ﹣1dx=lnx=ln10﹣ln1=ln10．故答案为：ln10．14. 函数在区间上的最大值是 .参考答案： 215. 定义映射其中,,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:则的值为 。
江苏省南京市栟茶中学2020年高三数学文模拟试卷含解析
江苏省南京市栟茶中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．169参考答案：B【考点】归纳推理．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得．【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；13边形有2+3+4+…+11==65条对角线．故选B．2.已知条件：，条件：，则条件是条件的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：答案:D3. 已知直三棱柱中，，，，为的中点，则与平面的距离为A．B．C．D．参考答案：D4. 下列四种说法中，正确的是（）A．的子集有3个；B．“若”的逆命题为真；C．“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；D．命题“，均有”的否定是“使得参考答案：C5. “a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y+a2﹣a+3=0互相平行”的（）DRA．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴?R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩?R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7. 如图中阴影部分的面积是（）A． B．C． D．参考答案：C8. 三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=4,AA1=6，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．68π B．32π C．17π D．164π参考答案：A9. 已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值．解答：解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2，故选：A．点评：本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 设:，则是的____条件( )A．充分不必要 B．必要不充 C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若将函数表示为，其中，，，…，为实数，则＝______________．参考答案：10略12. 的展开式中的常数项为______________. (用数字作答)参考答案：2413. 已知为区域内的任意一点，则的取值范围是______．参考答案：试题分析：画出可行域如图所示：由题意可求得，由得：，显然直线过时，最小，最小值是0，直线过时，最大，最大值是6，故．考点：简单的线性规划14. 曲线在点处的切线方程为____________.参考答案：略15. 在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．参考答案：1216. （5分）（2013?乐山二模）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．其中真命题有．参考答案：②③④①中取1和3两个元素验证，发现不正确；②显然满足题意；③若数列A具有性质P，则a1=0，所以对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项．④数列是等差数列，经验证满足题意；故答案为：②③④．17. 函数f(x)=的最大值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先求出真数的最大值为，进而可得函数的最大值为．【解答】解：==sinx+cosx=sin（x+），故真数的最大值为，故函数的最大值为=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届高三年级如东,如皋联合调研数学试题
S ←0I ←0While S ≤10 S ←S ＋I （第4题）2020届高三年级第二学期阶段联合调研数 学 试 题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ▲ ．2．已知i 为虚数单位，若复数3i()12i a z a -=∈+R 为纯虚数，则a = ▲ ． 3．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ ．4．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．5．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22213x y b -=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0，则f (log 23)＝ ▲ ．8．若函数()sin 3f x x x ωω=（x ∈R ，0ω>）满足()0f α=，()2f β=，且αβ-的最小值等于2π，则ω的值为 ▲ ．9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V2V 1＝ ▲ ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知向量m ＝(a ，﹣1)，n ＝(2b ﹣2，3)(a ＞0，b ＞0)，若m ∥n ，则211a b ++的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．已知a ，b ∥R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∥[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax－b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知不等式()()322244≤+++--x xxx b a 对任意R x ∈恒成立，则b a +的最大值为▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在∥ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ∥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CA DB（第15题）16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ∥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∥(0，π)．（1）当θ ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ；（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．ABCDEC 1A 1B 1F（第16题）AMNBO PQθ18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为，且点12⎫⎪⎭在椭圆C 上．椭圆C 的左顶点为A ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2P ，Q 两点，求三角形APQ 的面积；（3）过点A 作直线与椭圆C 交于另一点B ．若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1ay x x=+-的图象交于()11,A x y ，()22,B x y （12x x <）两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x -≥-对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ∥当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad 的值；∥求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∥N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q 的值．2020届高三年级第二学期阶段联合调研数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线l'，求直线l'的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为)4π，圆C的极坐标方程为)04ρθπ++=．过点M的直线l被圆C，求直线l的直角坐标方程．1101,20201A B⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AB:20l x y+-=【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF＝2．（1）求p的值；（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM∥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．23．（本小题满分10分）·F（第22题图）x yOAMN设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019/2020学年度第二学期栟茶中学模考试卷
高三数学
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.）
1.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ___________．
2.复数()()12a i i ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =_____________
3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值为__________．
4.现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“抗疫情”的概率是_____________
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为_________6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．
7.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 、5a 、14a 成等比数列，2
53S a =，则10a =______________
8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_____________
9.若函数π()2sin(2)(0)2
f x x ϕϕ=+<<
的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是____．
10.若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．11.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，AB CD ⋅= _____________
12.若对于任意的-15x ∈∞⋃+∞（，）（，），
都有22(2)0,x a x a --+>则实数a 的取值范围是______．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22
:23C x y m ++-=，若圆C 上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________．
14.在ABC ∆中，若120C = ，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ=__________．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13
ACB ∠=，13BC =．
（1）求cos B 的值；
（2）求CD 的长.
16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．
（1）求证：CD ⊥平面PAC ；
（2）求证：//AB EF ．
17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143
x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．
（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；
（2）设直线AP ，B Q 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与
矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1
，且，设
，透光区域的面积为
.
（1）求
关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边
的长度.19.已知函数()()2
2ln f x x x ax a R =-+∈.（1）当2a =时，求()f x 的图象在 1x =处的切线方程；
（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若对区间()1,2内任意两个不等的实数1x ，2x ，不等式
()()12122f x f x x x -<-恒成立，求实数a 的取值
范围.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，
22b =，12
n n n n T b T b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）是否存在正整数n ，使得
1
1n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.21.已知矩阵32a A d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若18=24A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中，已知点2,
2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点B 在直线():cos sin 002l ρθρθθπ+=≤<上.当线段AB 最短时，求点B 的极坐标..
23.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，直线1x =-与动直线y n =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y n =的交点为P ．
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AMB ∠
的大小为定值．24.
设(
()21*1,,,n n n n n a n N a Z b Z ++=+∈∈∈.
（1）求证：228n n a b -，能被7整除：
（2）求证：n b 不能被5整除。