梅涅劳斯定理与塞瓦定理

设0是厶ABC内任意一点，

AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,贝U BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

(I)本题可利用梅内劳斯定理证明：

•••△ ADC被直线BOE所截，

CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ ABD 被直线 COF 所截，••• BC/CD*DO/OA*AF/DF=1 ②

①十②：即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

(n)也可以利用面积关系证明

•/ BD/DC=S △ ABD/S △ ACD=S △ BOD/S △ COD=(S △ ABD-S △ BOD)/(S △ ACD-S △ COD)=S △ AOB/S △ AOC③同理 CE/EA=S △ BOC/ S △ AOB ④ AF/FB=S △ AOC/S △ BOC ⑤

③X④X⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

塞瓦定理：

设P、Q、R分别是MBC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点

的充要条件是：氐杀詈」

Q

C P C A

B i

证：先证必要性：设 AP 、BQ 、CR 相交于点M,贝V ：

以上三式相乘，得：_BE

.空=1

PC QA RB

再证充分性：若 =1，设AP 与BQ 相交于M ，且直线CM 交AB 于 R ， PC QA RB

由塞瓦定理有： 拻.

BP CQ AR

AR AR

‘ 1,于是：因为R 和R 都在线 PC QA R B R B RB 段AB 上，所以R ‘必与R 重合，故 AP 、BQ 、CR 相交于一点点 M ； 例1:证明：三角形的中线交于一点；

证明：记 ABC 的中线秋，BB r CC,，我们只须证明也BA 1 CB 1

=1

1 C 1B AC B 1A 而显然有：AG 二 GB, BA 二 AC ,CB j 二 B 1A 【练习1】证明：三角形的角平 分线交于一点; 【练习2】证明：锐角三角形的 高交于一点； 例2：在锐角 ABC 中,角.C 的平分线交 于AB 于L,从L 作边AC 和BC 的垂线，垂 足分别是M 和N,设AN 和BM 的交点是 P,证明：CP _ AB

B

例3设AD 是 ABC 的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任一点，BP 、CP 分别与AC 、

AB 交于 E 和 F ，贝U EDA = FDA

证：过A 作AD 的垂线，与DE 、DF 的延长线分别 交于M 、N 。欲证• EDA — FDA 可以转化为证明AM AN

：AD _BC 故MN //BC ,可得 AME 三 CDE , ANF 三 BDF

AM AE AN AF

AE CD “ AF BD

BD BF

CE

BF

CF 共点于P,根据塞瓦定理可得：-BD C^ =1

BP

PC S ACP S'CMP S ACM CQ

_ S

'BCM

QA

AR

_ S

ACM

RB Sp cM

证：作CK _AB 下证CK 、BM 、AN 三线共点，且为 依塞瓦定理

即要证明: 即要证：如空聖=1又丫 MC 二CN MC NB AK BK AM AL 1 + AML = ：

AKC 二 NB

BK BC —:: = NB BL

AM

AK

BNL 三 BKC AK 匹=1 BL 依三角形的角平分线定理可知: .CK 、BM 、AN 三线共点，且为 即要证 AC AL BC AC BL P 点 CP _ AB

P 点，要证

CK 、BM 、AN 三线共点,

C

AC M A K

\ #

K

A

CD _CE

T AD 、BE 、

BA 1 CB-i C 1B 即 JAC2 AC B 1A 1成立，厶ABC 交于一点;

C

DC EA FB AE CD

AB F BD AM"N.EDAF

CE

【练习创已知：ABC 外有三点M 、N 、R,且.BAR 二.CAN 「CBM 二 .ABR =二.ACN 二.BCM 二，证明：AM 、BN 、CR 三线共点； 例4.在ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点Ap B ,、G ， sin ACC , sin BAA , sin CBB , sin ZC,CB sin 《AAC sin ZB,BA

证：如图对 ACC , 和-■: BCC ,应用正弦定理，可得:

【练习4】在. ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点A 、B ,、C ,,使AA 、BB ,、CC ,相交于一点， 证明，关于角平分线对称于这些直线的直线 AA BB 2、CC 2也相交于一点； 课外作业：

，.设A ,、B ,、C ,是 ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 的切点，证明：直线AA 、BB ,、

CC ,三线共点；

2. 从圆上的点A 、D 引切线，相交于点S 。在AD 弧上取点B 和C ，直线AC 和BD 相交于

P ，AB 和CD 相交于点Q ，证明，直线PQ 过点S;

3. 在 ABC 的边上向外作正方形， A 、B ,、C ,是正方形的边BC 、CA 、AB 的对边的中点, 证明，

直线AA 、BB ,、CC ,相交于一点；

练习1答案：证：记ABC 的角平分线分别是AA

，阳g,'：CB £誥谆 •器焙三角形的角平分线交于

一点；

证明：JAC 1 BA , CB 1

G B AC B , A

AC , sin /ACC , CC , sin/B 即.AC , C i C sin A C ,B sin C ,CB

C ,B

sin / ACC , sin. C ,CB

同理：堅

AC

sin ZBAA| sin E C sin /AAC sin/B

CB , sin Z CBB , sin /A BA sin /B , BA sin /C

从而 AC , BA CB , sin ACC , C ,B AC B ,A sin ZC ,CB sin BAA sin CBB , sin

/AAC sin Z B ,BA

sin 匕 B sin A C