梅涅劳斯定理与塞瓦定理
梅涅劳斯定理和塞瓦定理(教师版)
梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过∆ABC的顶点，并且与∆ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P 、Q、R，则BPPC ∙CQQA∙ARRB=1证明：设ℎA、ℎB、ℎC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：BPPC ∙CQQA∙ARRB=ℎBℎC∙ℎCℎA∙ℎAℎB=1。
例1若直角∆ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。
【解析】因为在∆EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以∆EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于∆ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDA ∙AEEK∙KFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC =BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以∆FKB≅∆CKE，所以BF∥CE。
例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，试证：ACBC :ADBD=A1C1B1C1:A1D1B1D1。
【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于∆A1AL和∆B1BL可得：ADLD ∙LD1A1D1∙A1KAK=1，LCAC∙AKA1K∙A1C1LC1=1，BCLC∙LC1B1C1∙B1KBK=1，LDBD∙BKB1K∙B1D1 LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：ADAC∙BCBD∙A1C1A1D1∙B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2设P、Q、R 分别是∆ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于∆ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPPC ∙CQQA∙ARRB=1，求证P、Q、R三点共线。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
梅涅劳斯定理和塞瓦定理是数学和物理学中两个经典定理，它们对研究
热力学有重要意义，它们可以帮助我们理解不同物质体系的能量变化。
梅涅劳斯定理是一个数学定理，英国数学家弗朗西斯·梅涅劳斯在1850年提出的。
梅涅劳斯定理述说，一个“完整”的物理过程，当它完全
可逆时，它的总热力学功将等于零。
这种定理要求物理过程必须完全可逆，
且不会发生任何热量流出或流入，否则结果会不等于零。
塞瓦定理也是一个数学定理，意大利数学家Carlo Sévé于1870年
提出来的。
它述说：“当一个物理过程是完全可逆的，而且没有涉及有外力，如引力，牛顿力等外力，作用在物体上，则其工作量为零，即功等于能量变化。
”由于没有任何外力介入，这对于理解物理过程有着重要的意义。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理在热力学研究中都有重要的意义，它们可
以帮助我们更好地理解物质体系的能量变化。
它们还有助于帮助我们认识物
理过程，是热力学研究中不可或缺的定理。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
•
（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A
出发还可以向“C”方向走，于是有：
•
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写
出公式：
•
• （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最 后一个方案：
•
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠C
OA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
梅涅劳斯定理的数学意义
• 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中 线段长度比例的计算，其逆定理还是可以 用来解决三点共线、三线共点等问题的判 定方法，是平面几何学以及射影几何学中 的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅 劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理
•
=（S△ADF：
S△BDF）·（S△BDF：
S△CDF）·（S△CDF：
S△ADF）
•
=1
•
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记
忆：
•
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取
L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、
ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
•
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
•
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，
因此就有了图中的另外一些公式。
•
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅
劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则证明：设分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：。
注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。
例1若直角中，CK是斜边上的高，CE是的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：。
【解析】因为在中，作的平分线BH，则：，，即，所以为等腰三角形，作BC上的高EP，则：，对于和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以。
例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和，试证：。
【解析】若，结论显然成立；若AD与相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，，，，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理2设P、Q、R分别是的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数为0或2，这时若，求证P、Q、R三点共线。
证明：设直线PQ与直线AB交于，于是由定理1得：，又因为，则，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于边上的点的个数也为0或2，因此R与或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R 与同在AB线段上，则R 与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当R 与同在AB的延长线上时，R 与也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。
注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；例3点P 位于的外接圆上；是从点P向BC、CA、AB 引的垂线的垂足，证明点共线。
【解析】易得：，，，将上面三个式子相乘，且因为，，，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。
例4设不等腰的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD 与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。
【解析】被直线XFE所截，由定理1可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，，将上面的式子相乘可得：，又因为X、Y、Z丢不在的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。
四个重要定理(梅涅劳斯_塞瓦_托勒密_西姆松)
B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF 2ED AE =。
【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1FACFEA BE =+。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MDAG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。
求S △【分析】【评注】梅氏定理4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、△ABG 。
求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
8年级竞赛：梅涅劳斯定理塞瓦定理教师版.doc
第1讲 梅涅劳斯定理塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 如果一条直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC ∆的梅氏线，ABC ∆叫梅氏三角形． 证明如图1-1，若一直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点．求证： 1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=图1-1FECDBA图1-2GF E CD BA图1-3GFECDB A证法一：如图1-2，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF=∴1AF BD CE AF FB FGFB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅= 证法二：如图1-3，过A 作//AG BD 交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DCEA AG=三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=． 梅涅劳斯定理的逆定理 若F 、D 、E 分别是ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线． 知识点二、塞瓦定理塞瓦定理 如果ABC ∆的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、F 'P图1-5FECDBAAB DCEF图1-6∵直线FPC 、EPB 分别是ABD ∆、ACD ∆的梅氏线， ∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE APBC EA PD⋅⋅= 两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅= 塞瓦定理的逆定理 如果点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． 证明⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图1-5，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：F 1BD CE A DC EA F B'⋅⋅='， 又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AFFB F B'='， ∴AB ABFB F B='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图1-6．∴BD EA DC AC =，又已知1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FBAC AF =． ∴//BE FC ，∴////AD BE FC ．【例 1】 已知ABC ∆中，AD 为中线，过C 点任作一直线交AB 于F ，交AD 于E ，如图1-7，求证：:2:AE ED AF FB =.【分析】∵直线FEC 是ABD ∆的梅氏线， ∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =， ∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AFED BF=．【例 2】 （2003年深圳市中考题）如图1-8，直线1l ∥2l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC是 （ ）A ．5：2B ．4：1C ．2：1D ．3：2图1-7FECD BA图1-8l 2l 1GF EDC BA【分析】∵DG 截ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 或其延长线于F 、E 、D 三点， ∴1AF BD ECFB CD AE ⋅⋅=． ∵23AF FB =，21BC CD = ∴31BD CD =，∴23131ECAE ⨯⨯= ∴12EC AE =，即21AE EC =【例 3】 如图1-9，ABC ∆中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．【分析】∵直线AE 是BCD ∆的梅氏线， ∴1BM DA CEMD AC EB⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD ∆的梅氏线， ∴1BN DA CFND AC FB⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND = ∴::5:3:2BM MN ND =．【例 4】 如图1-10-1，ABC ∆中，5AB =，8BC =，BD BE =，2AF FC =，BF 交DE 于P ．求:DP PE ．FPE DCBA 图1-10-1O P GFEDCBA图1-10-2【分析】过A 作AG ∥DE 交BC 于G ，交BF 于Q ，如图1-10-2．N M FE CDBA图1-9可得：5AB BG ==，且DP AQPE QG=∵直线BF 是ACG ∆的梅氏线， ∴51182AQ GB CF AQ QG BC FA QG ⋅⋅=⋅⋅= ∴165DP AQ PE QG ==．【例 5】如图1-11，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ． 若AB a =，AD c =，BE b =，求BF 的长．图1-11OFE DCBA【分析】∵OE 截ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 或其延长线于E 、O 、F 三点．∴1CO AE BFAO BE FC⋅⋅=． 在平行四边形ABCD 中， ∵OA OC =，∴1OAOC= ∵AE AB BE a b =+=+，∴AE a bBE b+=∴BF b FC a b =+，即FC a bBF b+=∴2FC BF a b BF b ++=，即2BC a bBF b+=． ∵BC AD =，∴2c a b BF b +=，∴2bcBF a b=+．【例 6】 如图1-12，E 、F 分别为ABC ∆的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF交于P ，AP 的延长线交BC 于D ．求:AP PD 的值．【分析】图1-14-1PFED CB A ∵EPB 为ACD ∆的梅氏线， ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103AP PD =．【例 7】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于E ，AD 、BC 的延长线交于H ，过E 作FG ∥AB交AD 于F ，交BC 于G ，求证：AG 、BF 、EH 三线共点．【分析】设直线HE 交AB 于Q ， 由已知可得,HF HE BG EQ FA EQ GH HE ==，∴1HF BGFA GH⋅=由E 为HAB ∆的塞瓦点可得：1HD AQ BCDA QB CH⋅⋅= 同理可得：1HD BCDA CH⋅=，∴1AQ QB =，∴1HF AQ BG FA QB GH ⋅⋅= ∴AG 、BF 、EH 三线共点．【例 8】 已知：AD 、BE 、CF 为ABC ∆的高。
第3讲-梅涅劳斯定理与塞瓦定理
第三讲 梅涅劳斯定理与塞瓦定理梅涅劳斯定理如果一条不通过A 、B 、C 三点的直线与△ABC 的边BC 、CA 、AB 所在直线分别交于X 、Y 、Z ， 则1AZ BX CY ZB XC YA ⋅⋅=．塞瓦定理已知平面上△ABC 和点P （P 不在△ABC 三边上），直线AP 、BP 、CP 分别与直线BC 、CA 、AB 交于点X 、Y 、Z ，则1AZ BX CYZB XC YA⋅⋅=梅涅劳斯定理与塞瓦定理的逆定理也成立．角元塞瓦定理若△ABC 中，直线AD 、BE 、CF 交于一点，则sin sin sin 1sin sin sin CAD ABE BCFDAB EBC FCA∠∠∠⋅⋅=∠∠∠．上述结论被称为塞瓦定理的角元形式．其逆定理也是成立的．例1. 如图，已知△ABC 中，AD 、BE 、CF 交于一点P ．（1）已知54BP PE =，32CP PF =，求BDDC ． （2）已知31AP PD =，43BP PE =，求CPPF． （3）已知74AF FB =，32AE EC =，求APPD．例2. 已知BE 、CF 为△ABC 的两条内角平分线，A ∠的外角平分线与BC 的延长线相交于D ．求证：D 、E 、F 共线．例3. △ABC 中，40BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、AB 上，40CBD ∠=︒，70BCE ∠=︒，BD 、CF 相交于点F ．求证：AF ⊥BC ．例4. 过△ABC 的顶点A 作外接圆的切线与对边相交于点1A ，类似定义1B 、1C ，证明：1A 、1B 、1C 三点共线．例5. 如图，在△ABC 中，P 为高AD 上一点．延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ．求证：ADE ADF ∠=∠． A 1C 1'''的三组对应边AB与A B''交于点X，AC与A C''交于点Y，BC与B C''交于例6.如图，△ABC和△A B C点Z，且X、Y、Z三点共线．求证：直线AA'、BB'、CC'相交于一点或相互平行．Array例7.圆内接六边形ABCDEF的三组对边AB和DE、BC和EF、CD和F A所在直线分别交于L、M、N，证明：L、M、N三点共线．L。
模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理(解析版)
☑梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积．当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AB、AC于D、E、F点时，则有AE×BD×CF＝EB×CD×AF☑塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD×CE×AF＝DC×EA×FB．例题精讲考点一：梅涅劳斯定理【例1】．如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．解：∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，••＝1，即••＝1，则＝，＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，连FC，S△BCF于是S BCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案为．变式训练【变式1-1】．如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．解：对△ADC用梅涅劳斯定理可以得：••＝1，则＝．＝，S△BCQ＝S△BCE＝，S BPRF＝S△ABD＝，设S△BCF＝S△BCF﹣S△BCQ﹣S BPRF＝S△ABC．∴S△PQR故选：D．【变式1-2】．梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有••＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有＝．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB 上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE＝6．解：（1）补充的证明过程如下：∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴，∴；（2）根据梅涅劳斯定理得：．又∵，，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，则由勾股定理知：AD＝＝＝12．∴AE＝6．故答案是：6．考点二：塞瓦定理【例2】．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．证明：如图，由三角形面积的性质，有，，．以上三式相乘，得．变式训练【变式2-1】．请阅读下列材料，并完成相应任务如图，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边D，E，F 于，则××＝1．任务：（1）当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若△ABC为等边三角形，AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF的长．解：（1）证明：∵D，E分别为边BC，AC的中点，∴BD＝CD，EA＝CE，∴，由塞瓦定理，得，∴，∴AF＝BF，∴点F为AB的中点；（2）解：∵△ABC为等边三角形，AB＝12，∴AB＝AC＝BC＝12，∵AE＝4，∴EC＝12﹣4＝8，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝6，∵AB＝12，∴AF＝AB﹣BF＝12﹣BF，由赛瓦定理，得，∴，∴BF＝8．【变式2-2】．请阅读下列材料，并完成相应任务塞瓦定理定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：（1）如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若△ABC为等边三角形（如图3），AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF 的长，并直接写出△BOF的面积．（1）证明：∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴BD＝CD，CE＝AE，由赛瓦定理可得：，∴，∴AF＝BF，即点F为AB的中点；（2）∵△ABC为等边三角形，AB＝12，∴BC＝AC＝12，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC＝6，∵AE＝4，∴CE＝8，由赛瓦定理可得：BF＝8；△BOF的面积为．1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）A．B．2C．D．解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故选：B．2．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD ＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A．B．C．D．解：过D作DH∥AC交BE于H，∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，∴，，∴AE＝4DH，CE＝DH，∴，故选：B．3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点．射线CF交AB于点E，且，则等于．解：如图：过点D作DG∥EC交AB于G，∵AD是BC边上的中线，∴GD是△BEC的中位线，∴BD＝CD，BG＝GE．∵＝，∴＝∵DG∥EC，∴＝＝．故答案是：．4．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C 作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则AD的长是16，EF的长是．解：过点G作DG∥AC，交BF于点G，∵D为BC的中点，BC＝16，∴CD＝BD＝8，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴AD＝＝16，∴sin∠CAD＝，∴CE＝＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝4，∵DG∥AC，∴，设DG＝x，则CF＝2x，AF＝，∵DG∥AC，∴∠DGE＝∠AFE，∠EDG＝∠EAF，∴△DEG∽△AEF，∴，即，解得：x＝，∴CF＝2x＝∴BF＝∵，∴，∵，∴EF＝＝．故答案为：16，．6．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD、AE于H、G，则BH：HG：GM等于51：24：10．解：过M作MQ∥BC交AE于N，交AD于F，交AB于Q，∵BD：DE：EC＝3：2：1，∴设EC＝a，DE＝2a，BD＝3a，∵MQ∥BC，∴△AMN∞△ACE，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∴MN＝a，同理MF＝2a，MQ＝4a，∵MQ∥BC，∴△MNG∽△BEG，∴＝，∴＝＝，∴＝＝同理＝＝＝，＝＝，∴＝，＝＝∴BH：HG：GM＝51：24：10，故答案为：51：24：10．7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB＝a，AD＝c，BE＝b，则BF＝．解：取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝c，∴△EFB∽△EOM，∴，∵AB＝a，AD＝c，BE＝b，∴ME＝MB+BE＝AB+BE＝a+b，∴，∴BF＝．故答案为：．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，CD 的延长线交于点，求的值．解：过点B作BF⊥BC，交EC的延长线于点F，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BCF+∠ACD＝90°，又∵BF⊥BC，CD⊥AM，∴∠BCF+∠F＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠F，∠BCF＝∠CAD，∴△ACM≌△CBF（AAS），∴BF＝CM，又∵AM为BC边上的中线，∴BF＝CM＝BC，∵∠AEC＝∠BEF，∴△ACE∽△BFE，∴＝2．9．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．解：连接MF，如图，∵M是AC的中点，EF＝FC，∴MF为△CEA的中位线，∴AE＝2MF，AE∥MF，∵NE∥MF，∴＝＝1，＝＝，∴BN＝NM，MF＝2NF，设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，∵AN∥MF，∴＝＝＝，∴NQ＝a，QM＝a，∴BN：NQ：QM＝a：a：a＝5：3：2．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为BC上一点，AE交CD于点F，EH⊥AB于点H，若CF＝2FD，EH＝，求CE•BE的值．解：对于△CBD和截线AFE，由梅涅劳斯定理可知：，∵CF＝2FD，∴，∴，易知△ADC∽△EHB，∴，∴，由射影定理可知AC2＝AD•AB，∴BE•CE＝＝＝，∴BE•CE＝4．11．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，连接DE，2∠C+∠BDE＝180°．（1）求证：∠BDE＝2∠CAD；（2）若AC＝BD，∠AED＝∠ACB，求证BE＝2CD；（3）若AE＝kBE，BD＝mCD，则的值为．（用含m，k的式子表示）．（1）证明：∵2∠C+∠BDE＝180°，∴∠C+∠BDE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BDE，∴∠BDE＝2∠CAD；（2）证明：如图，延长DE至F，使DF＝BD，连接BF，在DB上截取DG＝CD，连接AG，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（SAS），∴AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，∠AGC＝∠ACB，∴∠CAG＝2∠CAD，∵∠BDF＝2∠CAD，∴∠BDF＝∠CAG，∵AC＝BD，∴AC＝BD＝AG＝DF，∴△BDF≌△CAG（SAS），∴BF＝CG，∠DFB＝∠AGC＝∠ACB，∵∠AED＝∠ACB，∠AED＝∠BEF，∴∠DFB＝∠BEF，∴BF＝BE，∴BE＝CG，∵CG＝2CD，∴BE＝2CD；（3）解：如图，记AG与DE的交点为H，设CD＝y，则BD＝my，延长DE至F，使DF＝BD＝my，连接BF，在DB上截取DG＝CD＝y，连接AG，则CG＝CD＝2y，由（2）知，△ADC≌△ADG，∴AC＝AG，∠CAD＝∠GAD，∴∠CAG＝2∠CAD，由（1）知，∠BDE＝2∠CAD，∴∠BDE＝∠CAG，∵DF＝BD，AC＝AG，∴，∵△DBF∽△ACG，∴∠DBF＝∠AGC，∴AG∥BF，∴△DHG∽△DFB，∴，∴DH＝DG＝y，∵AG∥BF，∴△BEF∽△AEH，∴，∵AE＝kBE，∴＝＝，∴EH＝kEF，∵DF＝DH+EH+EF＝y+kEF+EF＝my，∴EF＝，∴EH＝，∴DE＝EH+DH＝+y＝，∴＝＝，故答案为：．12．如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，BE⊥AD，垂足为E，点F在AD上，∠ACF＝∠DBE．（1）求证：∠ABD＝∠CFD；（2）探究线段AF，DE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，延长BE交CF于点P，AB＝AF，求的值．（1）证明：设∠DBE＝∠CFD＝α，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠ADB+α＝90°，又∵∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠ABD，∴∠ADB+2∠BAD＝180°，∴2∠BAD＝90°+α，又∵∠CFD＝∠DAC+∠ACF＝∠DAC+α＝90°﹣∠BAD+α＝2∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∵∠ABD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠CFD；（2）解：AF＝2DE．理由：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，∵AD是中线，∴BD＝CD，∵∠CMD＝∠BED＝90°，∠CDM＝∠BDE，∴△CDM≌△BDE（AAS），∴DM＝DE，CM＝BE，又∵∠BAD＝∠CFM，∠AEB＝∠CMF，∴△CMF≌△BEA（AAS），∴AE＝MF，∴AE﹣EF＝MF﹣EF，∴AF＝EM，又∵EM＝2DE，∴AF＝2DE；（3）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，由（2）可知，AF＝2DE，AD＝CD，设DE＝x，则AF＝2x，∵AB＝AF，∴AB＝2x，∴AB＝2x，设EF＝y，∴AE＝y+2x，AD＝CD＝y+3x，由（2）可知，BE＝CM，∴AB2﹣AE2＝CD2﹣DM2，∴＝（y+3x）2﹣x2，解得y＝3x，y＝﹣8x（舍去），∴AE＝5x，∵∠BDE＝∠CFE，∠AEB＝∠PEF，∴△BEA∽△PEF，∴．13．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE＝DC，点F 是DE与AC的交点，且DF＝FE．（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证：BE＝EC；（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF＝FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF＝kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB＝1，∠ABC＝a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．解：（1）∠DCA＝∠BDE．证明：∵AB＝AC，DC＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．∴∠BDE＝∠DEC﹣∠DBC＝∠DCE﹣∠ACB＝∠DCA．（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，则有∠DAC＝∠DGE．在△DCA和△EDG中，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA＝EG，CA＝DG．∴DG＝AB．∴DA＝BG．∵AF∥EG，DF＝EF，∴DA＝AG．∴AG＝BG．∵EG∥AC，∴BE＝EC．（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，∵AB＝AC，DC＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．∴∠BDE＝∠DBC﹣∠DEC＝∠ACB﹣∠DCE＝∠DCA．∵AC∥EG，∴∠DAC＝∠DGE．在△DCA和△EDG中，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA＝EG，CA＝DG∴DG＝AB＝1．∵AF∥EG，∴△ADF∽△GDE．∴．∵DF＝kFE，∴DE＝EF﹣DF＝（1﹣k）EF．∴．∴AD＝．∴GE＝AD＝．过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH．∴BC＝2BH．∵AB＝1，∠ABC＝α，∴BH＝AB•cos∠ABH＝cosα．∴BC＝2cosα．∵AC∥EG，∴△ABC∽△GBE．∴．∴．∴BE＝．∴BE的长为．14．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任务一：（1）请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；（2）写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E 为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．解：任务一：（1）△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；；任务二：证明：如图所示：由任务一可得：；；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；；∴；∴．任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC中，＝；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝；∴cos∠BAC＝；∴；∴AD＝；∴BD＝AB﹣AD＝；∵＝1；∴＝1；解得＝；过点E作EH⊥AC于H；∴＝＝＝．15．问题提出如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，∵点D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点D是AC的中点，∴∠DBC＝30°，∵BD＝ED，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴DF⊥AB，∵∠AGD＝∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AF＝AG，∵AG＝AB，∴AF＝AB，∴；（2）取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC（ASA），∴BH＝EC，∴，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴，∴，∴；问题拓展取BC的中点H，连接DH，由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵＝，∴，∴，∴，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴，∵DH＝AB，∴，∴．16．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∴∠BAE＝∠DAC，（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β，∴∠ABC＝∠ADB＝α+β，∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC，∴∠EAC＝2β，∵AF平分∠EAC，∴∠FAC＝∠EAF＝β，∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β，∴AF＝FC，AF＝BF，∴AF＝BC＝BF，∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°，∴△ABG∽△BCA，∴∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠ADB，∴△ABF∽△DBA，∴，且AB＝kBD，AF＝BC＝BF，∴k＝，即，∴（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°，∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC，∴△ABH∽△ACB，∴，∴AB2＝AC×AH设BD＝m，AB＝km，∵，∴BC＝2k2m，∴AC＝＝km，∴AB2＝AC×AH，（km）2＝km×AH，∴AH＝，∴HC＝AC﹣AH＝km﹣＝，∴。
梅氏定理,塞瓦定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理及其逆定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E 点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理证明证明一：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA 或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四：连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。
梅涅劳斯定理与塞瓦定理
梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF BD CE 1FB DC EA ．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．A GAAGFF FH1H2 EEEH3B C D B C D B C D证法一：如左图，过C作CG∥DF∵D B FBDC FG，E C FGAE AFAF BD CE AF FB FG∴1FB DC EA FB FG AF．证法二：如中图，过A作AG∥BD交DF的延长线于G∴A F AGFB BD，B D BDDC DC，C E DCEA AGAF BD CE AG BD DC三式相乘即得：1．FB DC EA BD DC AG证法三：如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于H、H、H．123则有A H∥BH∥CH，123所以A F BD CEAH BHCH123FB DC EA BH CH AH2311．梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，AF BD CE如果1FB DC EA，则F、D、E三点共线．夯实基础【例1】如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：AE:ED2AF:FB．AFEB D C【解析】∵直线FEC是△ABD的梅氏线，AE DC BF∴1．而ED BC FA D CBC12，∴A E1BFED2FA1，即A E2AFED BF．习题1.在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点F．求证：FA EAFC EB．FAEB D C【解析】直线截△ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知CD BE AF1DB EA FC，又因为BE AFBD BC，所以1，即EA FC F A EA FC EB．习题2.如图，在△ABC中，ACB90，AC BC．AM为BC边上的中线，CD AM于点D，CD的延长线交AB于点E．求A E EB．CMDB AE【解析】由题设，在Rt△AMC中，CD AM，AC2CM，2AD AD AM AC由射影定理24．DM DM AM CMAE BC MD对△ABM和截线EDC，由梅涅劳斯定理，1，即EB CM DA A EEB21141．AE所以2EB．探索提升【例2】如图，在△ABC中，D为AC中点，BE EF FC，求证：BM:MN:ND5:3:2．ADNMB E F C【解析】∵直线AE是△BCD的梅氏线，BM DA CE∴1MD AC EB．∴B MMD12211，∴B MMD11∵直线AF是△BCD的梅氏线，BN DA CF∴1ND AC FB，∴B NND11221，B NND41．∴BM:MN:ND5:3:2．习题3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1．求AG:GH:AB．AGEHFB D C【解析】∵HFC是△ABD的梅氏线，AH BC DF∴1．HB DC FA∵D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1，∴B CDC21，D FFA17．∴A HHB21171，∴A HHB72．∵GEC是△ABD的梅氏线，AG BC DE∴1GB DC EA，∴A GGB21111，∴A GGB12．∴AG:GH:HB3:4:2．∴AG:GH:AB3:4:9．【例3】过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB的延长线于点D．BE CF求证：1．EA FAA AF FE EG GD B C D B M C【解析】作直线AG交BC于M，∵MG:GA1:2，BM MC．∴A E BD MGEB DM GAA E BDEB DM121．∴E B BDAE2DM．同理，C F DCFA2DM，而BD DC BD BD2BM2(BD BM)2DM∴B E CF BD DC2DMEA FA2DM2DM2DM1．【例4】如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，AE EB，于点F，S△ABC40．求S AEFD．A DDC23，BD与CE交ADEFC BEF CD AB 【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1FC DA BE ，即E FFC32211，所以1EFFC3．所以11S△S△S△，BFE BEC ABC48进而2111S S△S△S△4011．AEFD ABD BEF ABC5840习题4.如图，在△ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x 的值．AE5xF108DCBCD AB EF 【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1DA BE FC x22．，即18x2315x1521，解得【备选】如图，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC的面积．CEOD354030ABFAF BC DO 【解析】对△ABD和截线COF，由梅氏定理得：1FB CD OA ，即4BC13CD21，所以BC CD 32BC，所以3BD．所以S△ABC3S△ABD3105315．非常挑战【例5】如图，在△ABC中，A的外角平分线与边BC的延长线交于点P，B的平分线与边CA交于点Q，C的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．ARQB C P【解析】AP是BAC的外角平分线，则BP AB①PC CABQ是ABC的平分线，则CQ BC②QA ABCR是ACB的平分线，则AR CA③RB BC①②③得BP CQ AR AB BC CA1PC QA RB CA AB BC因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线．习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．ABCD E FAPBCD E F【解析】如图，CD、BE、AF分别为三角形ABC的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．过C作BE的平行线，则BCP CBE EBD CPB，所以△BPC是等腰三角形．则PB CB．则有：C E PB CB EA BA BA．同理A D ACDB CB ；B F BAFC AC．CE AD BF CB AC BA所以1EA DB FC BA CB AC所以D、E、F共线．．板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、BD CE AFF，如图，那么1DC EA FB．通常称点P为△ABC的塞瓦点．AF EPB D C证明：∵直线FPC、EPB分别是△ABD、△ACD的梅氏线，BC DP AF∴1 CD PA FBDB CE AP，1BC EA PD．BD CE AF两式相乘即可得：1DC EA FB．塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并BD CE AF且1，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）．DC EA FBEFAAF' EF PB DC BD C证明：⑴若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F'．由塞瓦定理得：BD CE AF'1，DC EA F BBD CE AF又已知1，∴DC EA FB A F AFFB F B，∴AB ABFB F B，∴FB F B．∴F'与F重合∴CF'与CF重合∴AD、BE、CF相交于一点．⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD∥BE，如图．∴B D EADC ACBD CE AF，又已知1DC EA FB，∴EA CE AF1，即AC EA FB C E FB AC AF．∴BE//FC，∴AD∥BE∥FC．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．探索提升【例6】（1）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ三线共点．AZ YB X C（2）若AX，BY，CZ为△ABC的三条内角平分线．求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYB X CBX CY AZ【解析】（1）由条件知，BX XC，YC YA，ZA ZB．∴1XC YA ZB根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX，BY，CZ共点．，这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：B X AB CY BC AZ AC，，．XC AC YA BA ZB BCBX CY AZ AB BC AC三式分别相乘，得：1．XC YA ZB AC AB BC根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX，BY，CZ共点，这个点称为这个三角形的内心．习题6.若AX，BY，CZ分别为锐角△ABC的三条高线，求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYBX C【解析】由△ABX∽△CBZ得：B X ABBZ BC；由△BYA∽△CZA得：A Z ACAY AB；由△AXC∽△BYC可得：Y C BCCX ACBX AZ YC AB AC BC．所以1．BZ AY CX BC AB AC根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX，BY，CZ共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】如图，M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过B C的中点D，求证：EF∥BC．AFEMB CDAF BD CE【解析】对△ABC和点M应用塞瓦定理可得：1FB DC EA．又因为BD DC，所以AF CE FB EAAF AE1．进而FB EC，所以EF∥BC．习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：直线MN必平分梯形的两底．MPD CNA Q B【解析】∵AB∥CD∴MD CMDA BCMD BC∴1DA CM∵MD AQ BC1（由塞瓦定理得）DA QB CMAQ∴1QB，∴AQ QB∵D P PCAQ QB，∴DP PC．板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，E、F分别为△ABC的AC、AB边上的点，且AE3EC，BF3FA，BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D．求AP:PD的值．AFEPB D C【解析】∵P为△ABC的塞瓦点．∴A F BD CE1BD1FB DC EA3DC31∴B DDC91，∴B DBC910．∵EPB为△ACD的梅氏线，∴A P DB CE APPD BC EA PD911031 AP10∴PD3【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点L，K，对角线AC与BD 交于点M．直线KL与BD、AC分别交于点F、G．求证：K F KGLF LG．DAMCBK F L GDA KF LC【解析】对△DKL与点B应用塞瓦定理得：1．AK FL CD．DA KG LC 对△DKL和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：1AK GL CD 进而可得K F KG．LF LG。
8年级竞赛：梅涅劳斯定理塞瓦定理教师版
第1讲 梅涅劳斯定理塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 如果一条直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC ∆的梅氏线，ABC ∆叫梅氏三角形． 证明如图1-1，若一直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点．求证： 1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=图1-1FECDBA图1-2GF E CD BA图1-3GFECDB A证法一：如图1-2，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF=∴1AF BD CE AF FB FGFB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅= 证法二：如图1-3，过A 作//AG BD 交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DCEA AG=三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=． 梅涅劳斯定理的逆定理 若F 、D 、E 分别是ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线． 知识点二、塞瓦定理塞瓦定理 如果ABC ∆的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于D 、E 、F ，如图1-4，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC ∆的塞瓦点． 证明∵直线FPC 、EPB 分别是ABD ∆、ACD ∆的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=P图1-4FECDB AF 'P图1-5FECDBAABDCEF图1-6两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅= 塞瓦定理的逆定理 如果点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． 证明⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图1-5，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：F 1BD CE A DC EA F B'⋅⋅='， 又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B'='， ∴AB ABFB F B='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图1-6．∴BD EA DC AC =，又已知1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FBAC AF =． ∴//BE FC ，∴////AD BE FC ．【例 1】 已知ABC ∆中，AD 为中线，过C 点任作一直线交AB 于F ，交AD 于E ，如图1-7，求证：:2:AE ED AF FB =.【分析】∵直线FEC 是ABD ∆的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =， ∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AFED BF=．【例 2】 （2003年深圳市中考题）如图1-8，直线1l ∥2l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC是 （ ）A ．5：2B ．4：1C ．2：1D ．3：2图1-8l 2l 1GF EDC BA【分析】∵DG 截ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 或其延长线于F 、E 、D 三点，图1-7FECD BA∴1AF BD ECFB CD AE ⋅⋅=． ∵23AF FB =，21BC CD = ∴31BD CD =，∴23131ECAE ⨯⨯= ∴12EC AE =，即21AE EC =【例 3】 如图1-9，ABC ∆中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．【分析】∵直线AE 是BCD ∆的梅氏线， ∴1BM DA CEMD AC EB⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD ∆的梅氏线， ∴1BN DA CFND AC FB⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND = ∴::5:3:2BM MN ND =．【例 4】 如图1-10-1，ABC ∆中，5AB =，8BC =，BD BE =，2AF FC =，BF 交DE 于P ．求:DP PE ．FPE DCBA 图1-10-1O P GFEDCBA图1-10-2【分析】过A 作AG ∥DE 交BC 于G ，交BF 于Q ，如图1-10-2． 可得：5AB BG ==，且DP AQPE QG=∵直线BF 是ACG ∆的梅氏线， ∴51182AQ GB CF AQ QG BC FA QG ⋅⋅=⋅⋅= ∴165DP AQ PE QG ==．【例 5】如图1-11，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ． 若AB a =，AD c =，BE b =，求BF 的长．N M FE CDBA图1-9图1-11OFEDCBA【分析】∵OE 截ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 或其延长线于E 、O 、F 三点．∴1CO AE BFAO BE FC⋅⋅=． 在平行四边形ABCD 中， ∵OA OC =，∴1OAOC= ∵AE AB BE a b =+=+，∴AE a bBE b+=∴BF b FC a b =+，即FC a bBF b+=∴2FC BF a b BF b ++=，即2BC a bBF b+=． ∵BC AD =，∴2c a b BF b +=，∴2bcBF a b=+．【例 6】 如图1-12，E 、F 分别为ABC ∆的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF交于P ，AP 的延长线交BC 于D ．求:AP PD 的值．【分析】∵P 为ABC ∆的塞瓦点．∴11133AF BD CE BD FB DC EA DC ⋅⋅=⋅⋅= ∴91BD DC =，∴910BD BC =． ∵EPB 为ACD ∆的梅氏线， ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103AP PD =．【例 7】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于E ，AD 、BC 的延长线交于H ，过E 作FG ∥AB交AD 于F ，交BC 于G ，求证：AG 、BF 、EH 三线共点．【分析】设直线HE 交AB 于Q ，由已知可得,HF HE BG EQ FA EQ GH HE ==，∴1HF BGFA GH⋅= 图1-12PFE DCA F图1-13H GED C BA图1-14-1PFED CB A由E 为HAB ∆的塞瓦点可得：1HD AQ BCDA QB CH⋅⋅= 同理可得：1HD BCDA CH⋅=，∴1AQ QB =，∴1HF AQ BG FA QB GH ⋅⋅= ∴AG 、BF 、EH 三线共点．【例 8】 已知：AD 、BE 、CF 为ABC ∆的高。
四个重要定理(梅涅劳斯,塞瓦,托勒密,西姆松)
四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4． 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
第四讲 塞瓦定理、梅涅劳斯定理.尖子
梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．证法一：如左图，过C 作CG ∥DF ∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF =∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=．证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G ∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG=三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DC FB DC EA BD DC AG ⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、．则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．知识点睛模块一梅涅劳斯定理和逆定理相似——塞瓦定理、梅涅劳斯定理【例1】如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，AE ：EF ：FD=4：3：1．求AG ：GH ：AB．【例2】如图，在△ABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，∠B 的平分线与边CA 交于点Q ，∠C 的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R三点共线．【巩固】过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1=+F A CF EA BE。
典型例题塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点．证明：∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD ⋅⋅=．两式相乘即可得：1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF相交于一点（或平行）．证明：⑴若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B ⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '='，∴AB AB FB F B='，∴FB F B '=．∴'F 与F 重合∴'CF 与CF ∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图．∴BD EA DC AC =，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF=．∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．知识点睛模块二塞瓦定理及其逆定理【例3】如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN 必平分梯形的两底．【例4】（1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．【巩固】如图，M 为△ABC 内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF//BC．典型例题【例5】（1）如图1，若O 是△ABC 的重心（），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：21=AD AO （2）如图2，若O 是△ABC 的重心，若AB ＝5，点G 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向B 运动，运动时间为t 秒，连GO ，直线GO 交直线AC 与H 点（G 、H 均不与△ABC 的顶点重合）.求OHGO （用含有t的式子表示）【例6】△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的动点，BD=mCD ，AE=nEC ，AD 与BE 相交于点O ．（1）如图1，当m=2，n=1时，BE OB =___________，CDOES AOE S 四△=___________；（2）当m=1.5时，求证：CEAE OD OA 35=；（3）如图2，若CO 的延长线交AGB 于点F ，当m 、n 之间满足关系式时，AF=2BF ．（直接填写结果，不要求证明）能力提升【例7】已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA=OB ，且D 为OA 中点时，求PCAP 的值；（2）如图2，当OA=OB ，且41=AO AD 时，求APAD 的值．（3）如图3，当AD ：AO ：OB=1：n ：n 2时，直接写出AP AD 的值．【习题1】在△ABC 中，AD ：BD=1：1，AE ：CE=1：2，BE 与CD 交于点P ，则BP ：PE=（）A ．2：1B ．1：2C ．2：3D ．3：2【习题2】如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD +的值为（）A.52 B.1 C.32D.2真题赏析课后作业【习题3】如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 上任意一点，BE 交AD 于O ．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO ；②当21131+==AC AE 时，有222+=AD AO ；③当31141+==AC AE 时，有322+=AD AO ；…；则当111=AC AE 时，AD AO =（）A ．51B ．112C ．61D ．132【习题4】如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上，AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．【习题5】若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．【习题6】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD+BC=CD，E为CD上一点，且DE=DA．（1）如图1，作EF⊥AB于F，交AC于M试说明ME，MF的数量关系并说明理由；（2）如图2，连接DF、CF，求证：∠DFE=∠CFE;（3）如图3，连接BE延长交AD的延长线于G，若E点到AB的距离为85，则1BC+1DG的值为____（直接写出结果，不解答）．。
梅内劳与赛瓦定理
梅内劳斯定理与塞瓦定理一、定理梅内劳斯定理 ：设X 、Y 、Z 分别是ABC ∆的边BC,CA,AB 或其延长线的点，且有奇数个点在边的延长线上，则X 、Y 、Z 三点共线的充分条件是1=⋅⋅ZB AZ YA CY XC BX塞瓦定理：设X 、Y 、Z 分别是ABC ∆的边BC,CA,AB 或其延长线的点，且有偶数个点在边的延长线上，则AX,BY ,CZ 三线共点或平行的充分条件是1=⋅⋅ZB AZ YA CY XC BX二、例题1、在ABC ∆的边BC 上任取一点D ，设A D B ∠和ADC ∠的角平分线分别交AB,AC 于F 和E 。
求证：AD,BE,CF 相交于同一点。
CD2、已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上任意一点，E 是AC 延长线上的一点，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于F ．求证：FD ＝FE ．E3、ABC 中,D 是BC 上的点,13BD DC =,E 是AC 的中点,,AD BE 交于点,O CO 交AB 于F .求四边形BDOF 的面积与ABC 的面积之比.D4、 过ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F.，求证：1=+FACF EA BE 。
D5、如图ABC ∆中，90A ∠=，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F .若:2:BE ED AC DC =.求证:ADB FDC ∠=∠.C F6、在四边形ABCD 中，BCD ABD ∆∆,和ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M,N 分别在AC,CD 上，满足AM:AC=CN:CD ，并且B,M,N 三点共线，求证M 与N 分别是AC 和CD 的中点。
C7、设AD 是ABC ∆的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任意一点，BP,CP 分别与AC,AB 交于E 和F ，则EDA FDA ∠=∠CD三、练习1、设等腰直角三角形,90,ABC A E ∠=是AC 中点，D 在BC 上，AD BE ⊥，求证：AEB CED ∠=∠。
初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)
初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一：如左图，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF= ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．知识导航梅涅劳斯定理与塞瓦定理【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．EC D B FA【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AF ED BF=．习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EAFC EB=． EFBDCA【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知1CD BE AFDB EA FC⋅⋅=，又因为BD BC =，所以1BE AF EA FC ⋅=，即FA EAFC EB=．习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． DEBMCA夯实基础初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM ⋅===⋅．对ABM △和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=，即21114AE EB ⋅⋅=．所以2AE EB=．【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．NMDCF EBA【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线，∴1BM DA CE MD AC EB ⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD △的梅氏线， ∴1BN DA CF ND AC FB ⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND =． ∴::5:3:2BM MN ND =．习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．CEF DBH GA【解析】 ∵HFC 是ABD △的梅氏线，探索提升∴1AH BC DFHB DC FA⋅⋅=． ∵D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =， ∴21BC DC =，17DF FA =． ∴21117AH HB ⋅⋅=，∴72AH HB =． ∵GEC 是ABD △的梅氏线， ∴1AG BC DE GB DC EA ⋅⋅=， ∴21111AG GB ⋅⋅=，∴12AG GB =． ∴::3:4:2AG GH HB =． ∴::3:4:9AG GH AB =．【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=．M DGFECB A【解析】 作直线AG 交BC 于M ，∵:1:2MG GA =，BM MC =． ∴AE BD MG EB DM GA ⋅⋅112AE BD EB DM =⋅⋅=． ∴2EB BD AE DM=． 同理，2CF DCFA DM=， 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+= ∴21222BE CF BD DC DM EA FA DM DM DM+=+==．【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)FDECBA【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32121EF FC ⋅⋅=， 所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△， 进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△．习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x的值．x 1085F DE CBA【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=，即1823115152x x +⋅⋅=+，解得22x =．【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．354030O F ECDBA【解析】 对ABD △和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=，即41132BC CD ⋅⋅=，所以32BC CD =，所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与非常挑战边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．P C B QRA【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则BP ABPC CA=① BQ 是ABC ∠的平分线，则 CQ BCQA AB=② CR 是ACB ∠的平分线，则 AR CARB BC=③ ⨯⨯①②③得1BP CQ AR AB BC CAPC QA RB CA AB BC⋅⋅=⋅⋅= 因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．F EDCBAP F E D CBA【解析】 如图，CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、、于D E F 、、．过C 作BE 的平行线，则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠， 所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．则有：CE PB CBEA BA BA==．初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)同理AD AC DB CB =；BF BAFC AC=． 所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ⋅⋅=⋅⋅=．所以D E F 、、共线．板块二 塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． PFED CB A证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=． 两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． F PF'ED C BAFED CB A证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅='，知识导航又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '='， ∴AB AB FB F B ='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF =． ∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA【解析】 （1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=， 根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点． 这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点， 这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．探索提升初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)ZYX CBA【解析】 由ABX CBZ △∽△得：BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ ACAY AB =； 由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．FDEMBA【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥．习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN必平分梯形的两底．BQ A NCP DM【解析】 ∵AB CD ∥∴MD CM DA BC = ∴1MD BC DA CM⋅= ∵1MD AQ BC DA QB CM⋅⋅=（由塞瓦定理得）∴1AQQB=，∴AQ QB = ∵DP PC AQ QB =，∴DP PC =．板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．ABCD EFP【解析】 ∵P 为ABC △的塞瓦点．∴11133AF BD CE BD FB DC EA DC ⋅⋅=⋅⋅= ∴91BD DC =，∴910BD BC =． ∵EPB 为ACD △的梅氏线， ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103AP PD =【备选】如图，四边形ABCD 的对边AB 和DC ，DA 和CB 分别相交于点L K ，，对角线AC 与BD 交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、．求证：KF KGLF LG=． 非常挑战初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)11 / 11 F L K M DC BA【解析】 对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LC AK FL CD⋅⋅=． 对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LC AK GL CD⋅⋅=． 进而可得KF KG LF LG=．。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过?ABC的顶点，并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P 、Q、R，则BPPC ?CQQA?ARRB=1证明：设ℎA、ℎB、ℎC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：BPPC ?CQQA?ARRB=ℎBℎC?ℎCℎA?ℎAℎB=1。
注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。
例1若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。
【解析】因为在?EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以?EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于?ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDA ?AEEK?KFFC=1，于是KFFC=EKAE=CK AC =EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以?FKB??CKE，所以BF∥CE。
例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，试证：AC BC :ADBD=A1C1B1C1:A1D1B1D1。
【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1BL可得：ADLD ?LD1A1D1?A1KAK=1，LCAC?AKA1K?A1C1LC1=1，BCLC?LC1B1C1?B1KBK=1，LD BD ?BKB1K?B1D1LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：ADAC?BCBD?A1C1A1D1?B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1 B1C1:B1D1 B1C1定理2设P、Q、R 分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPPC ?CQQA?ARRB=1，求证P、Q、R三点共线。
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第 1 页板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．证法一：如左图，过C 作CG ∥DF证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AF ED BF=． 习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EAFC EB=． 【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知1CD BE AFDB EA FC⋅⋅=，又因为BD BC =，所以1BE AF EA FC ⋅=，即FA EAFC EB=． 习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． 【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM⋅===⋅． 对ABM △和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=，即21114AE EB ⋅⋅=．所以2AE EB=．知识导航夯实基础梅涅劳斯定理与塞瓦定理【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =． 【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线，∵直线AF 是BCD △的梅氏线，习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ． 【解析】 ∵HFC 是ABD △的梅氏线，∵D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =， ∵GEC 是ABD △的梅氏线，【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=． 【解析】 作直线AG 交BC 于M ，同理，2CF DCFA DM=， 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+=【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32121EF FC ⋅⋅=，所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△，进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△． 习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x的值．【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=，即1823115152x x +⋅⋅=+，解得22x =．【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．【解析】 对ABD △和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=，即41132BC CD ⋅⋅=，所以32BC CD =，所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则BQ 是ABC ∠的平分线，则 CR 是ACB ∠的平分线，则 ⨯⨯①②③得非常挑战探索提升第 3 页因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点． 【解析】 如图，CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、、于D E F 、、．过C 作BE 的平行线，则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠， 所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．则有：CE PB CBEA BA BA ==． 同理AD AC DB CB =；BF BA FC AC=． 所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ⋅⋅=⋅⋅=．所以D E F 、、共线．板块二 塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． 证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． 证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B'='， ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF=． 说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．探索提升知识导航（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．【解析】 （1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点． 这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点， 这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．【解析】 由ABX CBZ △∽△得：BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ ACAY AB =； 由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥． 习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN必平分梯形的两底． ∵1MD AQ BC DA QB CM⋅⋅=（由塞瓦定理得） 板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．【解析】 ∵P 为ABC △的塞瓦点．∵EPB 为ACD △的梅氏线，【备选】如图，四边形ABCD 的对边AB 和DC ，DA 和CB 分别相交于点L K ，，对角线AC 与BD 交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、．求证：KF KGLF LG=． 【解析】 对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LCAK FL CD⋅⋅=．对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LCAK GL CD⋅⋅=．非常挑战进而可得KF KGLF LG．第 5 页。
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设0是厶ABC内任意一点，AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,贝U BD/DC*CE/EA*AF/FB=1(I)本题可利用梅内劳斯定理证明：•••△ ADC被直线BOE所截，CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①而由△ ABD 被直线 COF 所截，••• BC/CD*DO/OA*AF/DF=1 ②①十②：即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1(n)也可以利用面积关系证明•/ BD/DC=S △ ABD/S △ ACD=S △ BOD/S △ COD=(S △ ABD-S △ BOD)/(S △ ACD-S △ COD)=S △ AOB/S △ AOC③同理 CE/EA=S △ BOC/ S △ AOB ④ AF/FB=S △ AOC/S △ BOC ⑤③X④X⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理：设P、Q、R分别是MBC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：氐杀詈」QC P C AB i证：先证必要性：设 AP 、BQ 、CR 相交于点M,贝V ：以上三式相乘，得：_BE.空=1PC QA RB再证充分性：若 =1，设AP 与BQ 相交于M ，且直线CM 交AB 于 R ， PC QA RB由塞瓦定理有： 拻.BP CQ ARAR AR‘ 1,于是：因为R 和R 都在线 PC QA R B R B RB 段AB 上，所以R ‘必与R 重合，故 AP 、BQ 、CR 相交于一点点 M ； 例1:证明：三角形的中线交于一点；证明：记 ABC 的中线秋，BB r CC,，我们只须证明也BA 1 CB 1=11 C 1B AC B 1A 而显然有：AG 二 GB, BA 二 AC ,CB j 二 B 1A 【练习1】证明：三角形的角平 分线交于一点; 【练习2】证明：锐角三角形的 高交于一点； 例2：在锐角 ABC 中,角.C 的平分线交 于AB 于L,从L 作边AC 和BC 的垂线，垂 足分别是M 和N,设AN 和BM 的交点是 P,证明：CP _ ABB例3设AD 是 ABC 的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任一点，BP 、CP 分别与AC 、AB 交于 E 和 F ，贝U EDA = FDA证：过A 作AD 的垂线，与DE 、DF 的延长线分别 交于M 、N 。
欲证• EDA — FDA 可以转化为证明AM AN：AD _BC 故MN //BC ,可得 AME 三 CDE , ANF 三 BDFAM AE AN AFAE CD “ AF BDBD BFCEBFCF 共点于P,根据塞瓦定理可得：-BD C^ =1BPPC S ACP S'CMP S ACM CQ_ S'BCMQAAR_ SACMRB Sp cM证：作CK _AB 下证CK 、BM 、AN 三线共点，且为 依塞瓦定理即要证明: 即要证：如空聖=1又丫 MC 二CN MC NB AK BK AM AL 1 + AML = ：AKC 二 NBBK BC —:: = NB BLAMAKBNL 三 BKC AK 匹=1 BL 依三角形的角平分线定理可知: .CK 、BM 、AN 三线共点，且为 即要证 AC AL BC AC BL P 点 CP _ ABP 点，要证CK 、BM 、AN 三线共点,CAC M A K\ #KACD _CET AD 、BE 、BA 1 CB-i C 1B 即 JAC2 AC B 1A 1成立，厶ABC 交于一点;CDC EA FB AE CDAB F BD AM"N.EDAFCE【练习创已知：ABC 外有三点M 、N 、R,且.BAR 二.CAN 「CBM 二 .ABR =二.ACN 二.BCM 二，证明：AM 、BN 、CR 三线共点； 例4.在ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点Ap B ,、G ， sin ACC , sin BAA , sin CBB , sin ZC,CB sin 《AAC sin ZB,BA证：如图对 ACC , 和-■: BCC ,应用正弦定理，可得:【练习4】在. ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点A 、B ,、C ,,使AA 、BB ,、CC ,相交于一点， 证明，关于角平分线对称于这些直线的直线 AA BB 2、CC 2也相交于一点； 课外作业：，.设A ,、B ,、C ,是 ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 的切点，证明：直线AA 、BB ,、CC ,三线共点；2. 从圆上的点A 、D 引切线，相交于点S 。
在AD 弧上取点B 和C ，直线AC 和BD 相交于P ，AB 和CD 相交于点Q ，证明，直线PQ 过点S;3. 在 ABC 的边上向外作正方形， A 、B ,、C ,是正方形的边BC 、CA 、AB 的对边的中点, 证明，直线AA 、BB ,、CC ,相交于一点；练习1答案：证：记ABC 的角平分线分别是AA，阳g,'：CB £誥谆 •器焙三角形的角平分线交于一点；证明：JAC 1 BA , CB 1G B AC B , AAC , sin /ACC , CC , sin/B 即.AC , C i C sin A C ,B sin C ,CBC ,Bsin / ACC , sin. C ,CB同理：堅ACsin ZBAA| sin E C sin /AAC sin/BCB , sin Z CBB , sin /A BA sin /B , BA sin /C从而 AC , BA CB , sin ACC , C ,B AC B ,A sin ZC ,CB sin BAA sin CBB , sin/AAC sin Z B ,BAsin 匕 B sin A C设 CB ,= x ， 那么 AB ,= b - x,则：c 2-(b -x)2 = BB ,二 a 2 -x 2 二 CB ,a 2b 2 -c 2则：B ,A 二 2 2 2c b—同理可得:2b2.2 ,2.2,2c a -b b a BA ,, A ,C 二AC ,2 2 2b c a,C ,B =2c a 2兰-b 22c2 _c _2a,2a -锐角三角形的三条高交于一点；AC , BA , CB ,C ,BA ,CB 1A 一1 练习2答案：证：记锐角 ABC 的角平分线分别是 AA,BB ,,CC ,, 练习3的答案：证：设 AM 与BC 交于M ', BN 与AC 交于N', CR 与AB交于R'JABC 的三个内角分别 记为.A 、. B 、. CBM ' CN ' AR '将以上三式子相乘可得： ---- ----------- _1,根据塞瓦定理可知:CM ' AN' BR' 练习4的答案：证：A 2、B 2、C 2位于ABC 的边上，根据例4的结论有：AC 2 BA ? CB 2 sin ._ ACC 2 sin _BAA 2 sinCBB 2 C 2BAC B 2Asin _C 2CB sin _ A 2AC sin _ B 2BA又；AA 2、BB 2、CC 2关于角平分线对称于 AA 、BB ,、CC ,，贝UACC 2 "G CB , ACC , —C 2CB , sin ACC 2 sinBAAsin CBB 2sin C ,CBsin A ACsinB , BA----------------- » ------------------ , ---------------- — ---------------- -- -------------- , -----------------sin ZC 2CB sin Z A ^AC sin ZB,BA sin ZACC , sin Z BAA,sinZCBB ,G B A ,C B , A 1 AC , BA , CB ,从而BA 2 CB 2 =r AA ^ BB 2、CC 2三线共点BM CMAB si n Z. BAMAC sin ZCAMAB BM sin(. A J • AC CM sin(. C )1A M1AMABsinsin(/ B 亠，) ACsin sin(. C )即.BM. _ ABsin B sin(NB +B ) CMAC sin sin(. C )同理.空=BCsin 「sin(N C +Y ) AN ' BA si n a ，sin( N A +a ) AR _ CAsin o sin(/A +ot ) BRCBsin 1 sin(. B J2bACBR 1S ACMAM '、BN'、CR'三点共线AC2B AC B2A 2 2课后练习答案:，.证：显然AC, =B,A, BA, =C,B, CB, =A CAC, BA, CB, =, 即:人人、B B,、CC,三线共点C, B A,C B, A」sin NASP si n/DAP si n^SPP , sin ^ASQ sin NCAQ sin ^SDQ sinNPSC sin^PASsinNPPA sin^QSC sin^QAS sin^QDA 又 DAP 二 SDQ , SDP 二 DAQ , PAS 二 QDA , PDA 二 QAS sin •ASP = sin ASQ $ P、Q位于一条直线上sin PSD sin QSD3•证：记直线 AA 1> BB j 、CC 1与边BC 、CA 、AB 的交点分别为 民、B 2、C 2BA 2 _ S^BA ,AB BA sin NABA r AB sin(N B +申) ---A 2C S 涉CA IAC CA ,sinZACA ,ACsin(Z C +半)其中 —._CBA, = . BCA , = arctan2 同理.CB 2 BC sin(. C ) AC 2 AC sin(. A ) • B 2A_ ABsi n(^A + ®) C 2B 一 BCsi n( Z B +半)将上面三条等式相乘可得：赛瓦（cevaJ 定理：点D 、E. F 分别在AABC 三条边上”AF BD CE S AAOC S AAOB S ABOC—x ----- x ---- = ------ x ------ x ------ =1FB DC EAS ABOC S AAOC S ABOABA 2 CB 2 AC 2 _1A 2CB 2AC 2 BAA （、BB ,、CC ,共点若AD 、BE. CF 共点O,则 AF BD CE —• — • =1 FB DC EABD C证明:AF S AAOCFB S ABOC BD _ S AAOB CE S ABOC DC S AAOC EA S ABOABD BD …BD BD' 而二丽，所以而二竟，故BD=BD ‘两点是同一点，定理得证血说明：赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器！如三角形中 三条高、 三条角平分线、三条中线共点都 可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。