数学建模运动模糊图像的复原

f ( x, t ) w( x, t )d (5-1-2) 如果景物是静止的， 即 w( x, t ) f ( x) ， 那么上述积分只是 f ( x) 与时间的乘积， 曝光时间的变化只影响成像的反差。但如果景物是运动的，那么曝光的叠置成像
三、主要变量符号说明
符号 M N v L 意义 运动图像的长度 运动图像的宽度 运动物体相对于摄像机的水平运动速度 运动模糊图像的模糊尺度 运动模糊图像的模糊角度 未降质图像的能量 摄像机的曝光时间 像素坐标 聚集在图像上的的点而构成的原始图像 聚集在图像上的的点而构成的模糊图像 聚集在图像上的的点而构成的还原图像 加在图像上的加信噪音 未傅里叶变换的点扩展函数 点扩展函数 退化图像的傅里叶变换
图 4-1
运动模糊图像复原的具体流程图
五、运动模糊图像恢复模型建立与求解
5.1 模型的准备 5.1.1 对运动物体拍照造成模糊的分析 1.模糊归类 造成图像模糊的种类繁多， 针对本题是在用摄像机获取景物图像时造成的图
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像模糊，这种如果在相机曝光期间景物和摄像机之间存在相对运动，拍得的照片 都可能存在模糊的现象，我们把它归类于由于相对运动造成的运动模糊。 2.解决方法 （1）减少曝光时间，但由于相机的曝光时间不可能无限制地减少，随着曝 光时间减小，图像信噪比减少，图像质量也较低，所以一般不采用这种方法。 （2）建立运动图像的复原模型，通过数学模型来解决图像的复原问题。这 种方法就是本文主要涉及的东西，通过不同的模型来对运动图像进行复原处理， 以得到最优的效果，本文就是采用这种方法。 3.运动模糊的原理分析
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T ( x, y ) f ( x, y ) g ( x, y )
f ( x, y ) n ( x, y ) h ( x, y ) H ( x, y ) G ( x, y )

四、问题分析
本题要求我们建立运动模糊数学模型把由运动造成模糊的图像尽量还原成 清晰的图像，然后通过具体的实例来验证模型的有效性。实际生活中造成图像模 糊的原因很多，针对题目中所给的信息，是要求我们对因运动而造成模糊的图像 进行恢复处理，所以我们首先必须得了解物体运动而造成模糊的原因，寻找物体 运动中的参数（比如速度 v 及运动方向等） ，然后再结合退化模型建立综合的运 动模糊退化模型，接着就可以求出它的点扩展函数。拥有了运动模糊图像的点扩 展函数就可以建立不同的还原图像的模型将退化图像进行还原。 最后通过一个评 价指标和具体的实例演练来判断模型的有效性。 具体思路如流程图 4-1 所示：
二、基本假设
1、只考虑运动图像 f ( x, y ) 是一个二维平面的匀速直线运动 2、假设快门开启和关闭瞬时完成 3、假设曝光量适当以及聚焦正确 4、假设所有的噪声因素都当做白噪声 5、摄像机的像素不能太低，拍摄的模糊图像要有具体轮廓 6、不考虑其它非自然因素对图片造成的模糊 7、假设退化的图像和实际运动模糊图像具有相同的背景


2.运动物体的退化模型
图5-1-1
图像的退化模型
图中的 g ( x, y ), f ( x, y ), h( x, y ) 分别表示观察到的模糊图像、原始图像和退化 系统的PSF， n( x, y ) 为加性噪声。假设退化系统为线性空间不变系统，则进一步 用公式表明该退化过程为： g ( x, y ) f ( x, y ) h( x, y ) n( x, y ) (5-1-1) 式中：“ * ”表示卷积； h( x, y ) 表示窗函数。 在图像恢复技术中，点扩展函数（PSF）是影响图像恢复结果的关键因素， 所以常常利用先验知识和后判断方法估计PSF函数来恢复图像。从傅立叶变换的 角度对匀速直线运动模糊图像的点扩散函数在频域。 3.运动模糊图像的数学模型 在所有运动模糊中，由匀速直线运动造成图像模糊的复原问题更具有一般性 和普遍意义。因为变速、非直线运动在某些条件下可以被分解为分段匀速直线运 动。首先先讨论只是由匀速直线运动产生的模糊问题。在曝光量适当和焦距正确 的情况下，假设快门开起和关闭瞬时完成，则 w( x, t ) 可以表达为对实际景物图像 f ( x, t ) 的一个积分：
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2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模 竞赛参赛规则》 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模 竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表 述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺， 严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、 公平性。 如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等） 。
我们参赛选择的题号（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的报名参赛队号（12 位数字全国统一编号） ： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2015 年 8 月
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日
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图5-1 运动模糊原理图
如图5-1-1所示，当运动物体以速度 v 相对于摄像机一段距离 D 在平面上运 动时，周围的景物 A 点相对于运动物体后移到 A' 。通过光学系统成像于 a ' 点，在 摄像机靶面上像移动速度为： V V ' f max (5-1) D D -摄像机离运动物体的距离 f max -光学系 其中， V -运动物体的速度 统最大焦距 在摄像机每场积分时间内像移量为： l V 't (mm) (5-2) t 为摄像机的积分时间。 像移量的存在导致图像模糊，为得到清晰图像必须对像移量进行控制。然而 在实际工程中，摄像机的积分时间不能无限制的缩小，因为积分时间缩小后，为 了保证图像的质量，必须加大地面的照度，这就限制了摄像机的工作条件。 目前解决运动模糊的主要手段是通过了解图像的退化过程， 建立运动图像的 复原模型，通过数学模型来解决图像的复原问题。现在常用的模糊图像复原方法 有很多种，包括逆滤波、维纳滤波、盲解卷积算法、Lucy-Richardson算法等， 不同的算法效果和使用范围个不相同，但是都有一个共同点，那就是需要预先确 定点扩散函数PSF，在不知道点扩散函数的情况下，进一步的复原工作无法进行。 而对于一般的模糊图像（包括本题给出的运动模糊图像）都没有直接给出点扩散 函数，因此，必须通过已有的模糊图像建立数学模型来估计点扩展函数。 5.2 模型的建立 5.2.1.通过建立数学模型确定退化模型的点扩展函数
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运动模糊图像的复原
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ摘要
在生活中我们常常会遇到用相机拍照运动物体时得到模糊照片、 路边摄像机 拍摄超速车辆所得的图像往往看不清车牌等现象。可见，研究对运动造成模糊图 像的方法在现实生活中有重大的意义。 本题研究的是将运动模糊图像尽量变得更加清晰，然而，在一幅模糊图像和 经过处理后的图像之间我们不能直接从肉眼来主观评判其处理效果， 因此在这里 我们引入了一个客观的评判标准的三个指标 ( PSNR, K w , Q) 来判断处理后的图像 是否比原来的模糊图像更加清晰。因此，我们采取将一个清晰的图像 f ( x, y ) 经 过我们建立的运动退化模型将其模糊， 模糊的图像 g ( x, y ) 即可看做摄像机拍照时 造成的运动模糊，然后再通过滤波模型和BP神经网络将退化的图形进行还原，最 后用所建立的客观评判模型将原来清晰的图像和还原后的图像进行比较， 得出它 们的还原效果。最后将得出得模型再进行用一个实验进行检验。 首先，研究对运动模糊的复原之前，必须得对物体的运动过程做一个深入的 了解，一张彩色的照片可以看做是一个三维的图形构造而成，但由于对彩色图片 处理需要考虑很多因素， 因此我们先把彩色图像用二值法进行灰度处理变成一个 二维图像， 以便简单方便处理参数并且结合图像运动函数解决对运动模糊图像的 复原。 为了便于解决问题，本文研究的是摄像机相对于物体做匀速运动的过程，我 们可以把一个图像看做是由很多个像素坐标 ( x, y ) 构成，由于在实际中，我们无 法精确估计运动物体的速度 v 以及摄像机的曝光时间 T ，因此我们可以换个角度 直接将运动模糊图像进行Hough变换和 Sobel边缘检测计算出运动模糊图像的模 糊角度，用微分自相关的方法来估计运动模糊长度。这样就可确定出模糊图像在 x, y 的偏移量 x0 (t ), y0 (t ) ，然后就可以带入到公式：
关键词：运动模糊图像 图像复原 退化模型 PSF 维纳滤波 BP 神经网络
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一、问题的提出与重述
用数码相机拍摄运动物体时，有时会出现运动物体图像模糊不清的现象。这 主要是由于快门速度与物体的运动速度不匹配（快门速度过慢）造成的。有时是 摄影者有意拍出这种模糊的有动感的效果， 但一般人们不希望出现这种模糊的照 片。 假设拍摄时镜头对焦准确，但由于物体的运动造成数字图像出现模糊效果， 请解决一下问题： 1、建立适当的模型和算法，对运动物体的数字图像进行处理，尽可能还原 问题的清晰画面。可以对运动物体引入一些合理的假设，以便模型的建立和算法 的实施。 2、通过处理一个具体的你所拍摄的数字图像的例子，说明算法的有效性。 3、阐述你的模型的优缺点，分析所给问题的难点，说明模型或算法的改进 方向。
噪声方差： E(n( x, y ) En( x, y ) ) 2 噪声功率： E n 2 ( x, y ) 噪声主要分为加性噪声和乘性噪声， 加性噪声主要包括热噪声， 散弹噪声等， 他们与图像信息是相加关系，一般来讲，加性噪声可看做系统的背景噪声：乘性 噪声与图像信息是相乘的关系，可看作是系统的时变性或者非线性性造成的，乘 性噪声又称为卷积噪声， 可通过同态变换变为加性噪声， 因此在研究噪声特性时， 选取加性噪声即可。
H (u , v) exp[ j 2 (ux0 (t ) vy0 (t ))]dt
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T
求出模糊图像的点扩展函数 H (u , v) 。 由于在拍照时往往会有噪声干扰，这对图像的复原结果有很大的影响，所以 在进行对原图像退化是要加入一个加性噪声 n( x, y ) ， 在退化图像复原时也要进行 去噪处理。在求到点扩展函数 H (u , v) 之后，就可以利用不同的复原模型对退化 图像进行复原。因为要验证模型的有效性和实用性，就必须对退化的图像进行复 原，本文主要运用了两个复原的方法，一个是经典的维纳滤波法，由于维纳滤波 法具有局限性，因此我们还设计一个BP神经网络算法实现对运动模糊图像的复 原。通过实际实验以及客观标准分析，BP神经网络复原的效果优胜于维纳滤波， 证明我们的算法模型有效可行。
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由于影响模糊图像的的原因众多，而且性质不同。所以他们所对应的退化模 型也不同。针对本题而言，解决的问题是建立一个因为物体运动而造成模糊的退 化模型。 1.原图像的加噪处理 灰度图像可以表示成为二维亮度分布 f ( x, y ) ,其中 ( x, y ) 为像素坐标，对应的 函数值 f ( x, y ) 为像素灰度值，噪声则可看作对像素灰度值的干扰，常用函数 n( x, y ) 表示，被噪声干扰后的图像由 g ( x, y ) 表示。 噪声期望（均值） ： En( x, y )