探索勾股定理(一)知识讲解
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
探索勾股定理(一)说课稿
《探索勾股定理（一）》说课稿高明区东洲中学谢雪莲各位评委、老师，你们好! 我是高明区东洲中学谢雪莲。
今天我说课的内容是九年义务教育北师大版数学教材八年级上册第一章第一节《探索勾股定理（一）》，下面让我来阐述一下我是如何分析教材、如何设计教学过程的。
一、学生起点分析认识基础：在学习本节内容之前，学生已经掌握了三角形的三边关系及等腰三角形、等边三角形的相关性质，对于直角三角形内角之间的数量关系也十分熟悉。
活动经验基础：在七年级下册《三角形》一章中，学生通过测量、拼图、折纸等多种形式的活动，进行了充分的实践与探索，在活动中学会了与他人交流、合作的策略，初步获得了数学活动经验，提高了思维水平。
二、教学任务分析勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形紧密联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
三、教学目标分析●知识与技能目标用正方形面积的等量关系验证勾股定理并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
●解决问题经历探索勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力。
●情感与态度1、激励学生自主探究，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。
从而让学生多角度地思考问题，发展思维。
2、通过互联网搜索相关内容进行预习与拓展勾股定理的知识，激发学生热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
四、教学重点与难点：●重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
●难点：计算以斜边为边长的大正方形R面积以及割补思想的方法理解与应用。
五、教法、学法1.教学方法：在整个准备过程中遵循学生的认知规律，分别从问题的引入、结论的得出、定理的证明与运用进行教学设计、教学实践和教学反思。
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
1.1探索勾股定理(教案)
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释勾股定理，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过，我意识到在讲解难点时，需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后，我可以在这一部分增加一些互动环节，如让学生自己动手画图，加深对定理的理解。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是代数证明部分。
（2）将勾股定理应用于解决实际问题，特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例：
-在代数证明部分，学生可能对平方的概念理解不深，教师需要通过具体例子和图形演示，帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范，引导学生学会提取关键信息，建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识，将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神，鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
《探索勾股定理》第一课时说课稿(完整版)
《探索勾股定理》第一课时说课稿相信勾股定理大家都很熟悉，但是让你说课你应该觉得很难。
下面是整理的《探索勾股定理》第一课时说课稿，请阅读，上，发现学习。
一、教材分析(一)教材所处的地位这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
(二)根据课程标准，本课的教学目标是：1、能说出勾股定理的内容。
2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历观察猜想归纳验证的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
(三)本课的教学重点：探索勾股定理本课的教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。
二、教法与学法分析：教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。
引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题实验操作归纳验证问题解决课堂小结布置作业六部分。
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
三、教学过程设计(一)提出问题：首先创设这样一个问题情境：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是已知一直角三角形的两边，如何求第三边? 的问题。
勾股定理知识讲解
勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考热点：主要考查勾股定理与直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理： １．勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
２.勾股定理的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用X围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（22+＜2c的三边就不具有这一特征，因而在a b+＞2c）和钝角三角形（22a b应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用（重点）①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则22∆中，90Ca c b=-，22=-b c ac a b=+，22②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
勾股定理
第一讲 探索勾股定理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA一般题型1、在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________ 经典题型例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=2、一架4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ）．（A ）3.2m （B ）4.0m （C ）4.1m （D ）5.0m 练习1、已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为2、如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是__ _ __ 。
2.6探索勾股定理(一)-
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾 弦
股
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
b b
c
例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b; 3 4 (3)已知: a = ,b= , 求 c; 5 5 (4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
C
B
议 一 议
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
心动
不如行动
2.6探索勾股定理（1）
合作学习
（1）作两个直角三角形，使其两直角边分 别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米, (2)分别测量两个直角三角形的斜边的长度。 （3）你能发现直角三角形三边长度之间存 在什么关系吗？
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．
13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A、 1 B、
C、 D、2
6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ，则该△为三角形
探索勾股定理
0.5 2 B
C
A
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
40 A
90
C
160
B 40
例1：已知ΔABC中，∠C= 90，BC=a，
AC=b，AB=c。 (1)若a=3, b=2, 求c; (2)若a=3,c=5,求b;
试一试 1、在△ABC中，∠C= 90 .
（1）若a=5，b=12，则c= .
（2）若c=4，b= 6 ，则a=
.
2、已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B= 90 ，则有关系式（ ）
a cc b
c c
a
b
• 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳 话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了 的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
你会算吗？
印度数学家什迦逻（1141年-1225年？） 曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
勾股
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首发先发现现了了勾勾股股定定理，理因，此 因此在国外 在人国们外通人们常通称常勾称勾股股定定理理为为毕毕达哥达拉哥斯 拉斯定理。 定为理了。纪为了念纪毕念达毕达哥哥拉拉斯斯学学派派，1，9515955年希腊 年曾希经腊发曾经行发了行了一一枚枚纪纪念念票邮。票.
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前
探索勾股定理(1)
(四)探究升级，提高能力
1、某楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼 4.5米的地方搭建云梯，升起云梯到达火灾窗 口。已知云梯长20.5米，问发生火灾的窗口 距离地面多高？(不计消防车的高度）
c2 a 2 b2
公式变形
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2
利用平方差公式简 化计算.
图 1 图2
图2 图3
A、B、 C 面积 关系
1 4 9
1 4 9
2 8 18
SA+SB=SC
图3
直角三 角形三 边数量 关系
a2+b2=c2
自主探索1
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
自主探索2
观察右边两 幅图：
4.需要注意：教材顺序、上下衔接
三、教学目标
1.理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单 的计算和实际运用． 2.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股 定理的探索过程，让学生经历“观察—猜想—归 纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊 到一般的思想方法． 3.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快 乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发 学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励 学生发奋学习．
四、教法学法
教学方法： 引导——探究——发现; 学习方法： 观察——猜想——归纳，自主探究和合作交 流相结合.
五、教学过程设计
(一).创设情境，引入新课 (二).探究发现，归纳结论
(三).简单应用，巩固三基
(四). 探究升级，提高能力
(五). 梳理知识，课堂小结
(六). 布置作业
第一周辅导 勾股定理
勾股定理（一）一、一周知识概述1、学习勾股定理及其应用．了解勾股定理具有悠久的历史．我国是最早了解勾股定理的国家之一．2、在探索中学习认识勾股定理，通过“数格子”和“拼图”等实践活动证明勾股定理．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、重点知识归纳及讲解勾股定理揭示了直角三角形之间的数量关系，并且是直角三角形的重要性质，应用广泛．在解直角三角形时，通常有以下几种情况：1、已知直角三角形的两边，求第三边；2、已知直角三角形的一边，求另两边的关系；3、证明三角形边长的平方关系；4、对勾股定理要学会灵活变形．如Rt△ABC中，∠C=90°，已知c，a求b时，应将勾股定理变化为222=-等等．b c a三、难点知识剖析1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离为2千米和7千米，且张、李二村庄相距13千米．（1）、水泵应修建在什么地方，可使所用的水管最短；请你在图中设计出水泵站的位置；（2）、如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？2、已知：如图，△ABC中，AD是中线，AE是高，AB=12，AC=8，BC=10．求：DE的长．解：3、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2．测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．解：4、（云南昆明市）如图，一位旅行者骑自行车沿湖边正东方向笔直的公路BC行驶，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶10分钟后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向．如果此旅行者的速度为12千米/小时，求建筑物A到公路BC的距离．(结果可带根号)解：第一周小测试A 卷一、选择题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．如果b=15， c=17，则a的值为（）A．12 B．9 C．8 D．62、△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且∠A=60°，c=2，则S△ABC为（）A．B．C．D．3、已知直角三角形两直角边的长为4和5，则斜边上的高为（）A．B．C．D．4、如图，∠A=∠DBC=90°，AD=3，AB=4，CB=12，则CD的长为（）A．5 B．13 C．17 D．195、木工做一个宽80cm，高60cm的长方形木框，需在相对角的顶点加一个加固木条，则木条长为（）A．90cm B．100cm C．105cm D．110cm6、如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长是（）A．2 B．2.6 C．3 D．47、(江苏南通)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8、已知等腰△ABC中，AB=AC，且BC=6，BC上的高为4，则底边中点到两腰的距离为（）A．B．C．D．9、在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33二、解答题1、已知△ABC的三个角的度数比是∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求证：b2=3a2．2、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠B=2∠1，BD=2，求AC的长．3、已知直角三角形两直角边的差为2，斜边长为10，求这个三角形的面积.4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点，求证：PB2+PC2=2PA2.。
探索勾股定理(第1课时)课件(浙教版)
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝13，BC＝14， AC＝15，求BC边上的高线AD.
分析：要求出AD需先求出BD或CD，由于DB＋CD ＝BC，所以可设DB＝x，则CD＝14－x，这样分 别在两个直角三角形中根据勾股定理把AD2用含x 的代数式表示出来，然后得到关于x的方程，求 出x即可解决问题．
第2章 特殊三角形 2.7 探索勾股定理(第1课时)
勾股定理的探索
例1 如图(1)所示，用硬纸板做成两个全等的直 角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 图(2)是腰长为c的等腰直角三角形，请你开动脑 筋，将它们拼成一个能说明勾股定理的图形．画 出拼成的图形的示意图，并用其说明勾股定理．
分析：用三个三角形拼成一个梯形，用梯形的 面积公式来说明勾股定理．
52 42 41cm, 所以第三条线段的长为3cm和 41cm.
错因：由于思维定势只考虑了3，4，5的情况，没有 对哪一条是斜边进行分类讨论．
解：如图(3)所示，用三个直角三角形拼成一个
直角梯形．
三个直角三角形的面积和为1 ab 2 1 c2
2
2
直角梯形的面积为 1 (a b)(a b)
2
∴1 ab 2 1 c2 1 (a b)(a b) 化简得a2＋b2＝c2
，2
22
即勾股定理成立．
注意点：拼图法可以用来说明解决一些代数式 恒等的问题，使用过程中要注意两点：(1)一般 通过割补、拼接，用相同的材料得到不同的(或 同一个)图形；(2)用拼成的不同(或同一个)图 形的面积之间的关系可以建立代数式的恒等关 系．
在Rt△CEF中，设CE＝x，则EF＝DE＝8－x.
由勾股定理得 x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
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方法：1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； 2. “割、补、拼、接”法.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
课堂检测：
（1）勾股定理说的是 。
（2）直角三角形的两边长分别是3cm、
4cm，则第三边长是
。
（3）直角三角形周长为12 cm，斜边长 为5 cm，求直角三角形的面积.
（74厘米）的电视机. 小明量了电 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了. 你同意他的想法 吗？你能解释这是为什么吗？
四、课堂小结
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你 的同伴交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
a2 b2 c2
（3）分别以5厘米、12厘米为 直角边作出一个直角三角形，并测 量斜边的长度. （2）中的规律对 这个三角形仍然成立吗？
勾股定理
（gou-gu theorem）
如果直角三角形两直角边长
分别为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股， 斜边称为弦，“勾股定理”因此而得 名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
观察下面地板砖示意图：
观察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积 之间存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
探究活动二：
观察右 边两幅 图：
C A
B
C A
B
填表（每个小正方形的面积 为单位1）：
（4）若直角三角形两直角边的比是3∶4， 斜边长是20，求此直角三角形的面积.
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a2 b2 c2?
ac b
ab c
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
C的面积
13 25
SASBSC
结论2 以直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的 长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面 积吗？
a cC Ab
B
A
ac b
C
B
（2）你能发现直角三角形三边 长度之间存在什么关系吗？
探索勾股定理
（第1课时）
学习目标
• 1、经历用数格子的办法探索勾股 定理的过程，进一步发展学生的合 情推理意识，主动探究的习惯，进 一步体会数学与现实生活的紧密联 系。
• 2 、探索并理解直角三角形的三边 之间的数量关系，进一步发展学生 的说理和简单推理的意识及能力。
二、探索发现勾股定理
探究活动一：
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
C的面积
？
怎样计算 正方形C 的面积呢？方法一：方法二：
方法三：
“割”
分割为四个直 角三角形和一 个小正方形
“补”
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
“拼”
将几个小块拼成 一个正方形，如 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形
分析表中数据，你发现了什么？
弦 勾
股
三、简单应用
例 如图所示，一棵大树在一 次强烈台风中于离地面10米处折 断倒下，树顶落在离树根24米处. 大树在折断之前高多少米？
基础巩固练习：
（口答）求下列图形中未知正方 形的面积或未知边的长度：
100
225
?
x
17
15
已知直角三角形两边，求第三边.
生活中的应用： 小明妈妈买了一部29英寸