人教B版高中数学必修一函数教案

2.1.1函数 教案（2）

教学目标：理解映射的概念；

用映射的观点建立函数的概念.

教学重点：用映射的观点建立函数的概念.

教学过程：

1．通过对教材上例4、例5、例6的研究，引入映射的概念.

注：1，补充例子：投掷飞标时，每一支飞标射到盘上时，是射到盘上的唯一点上。于是，如果我们把A 看作是飞标组成的集合， B 看作是盘上的点组成的集合，那么，刚才的投飞标相当于集合A 到集合B 的对应，且A 中的元素对应B 中唯一的元素，是特殊的对应.

同样，如果我们把A 看作是实数组成的集合，B 看作是数轴上的点组成的集合，或把A 看作是坐标平面内的点组成的集合，B 看作是有序实数对组成的集合，那么，这两个对应也都是集合A 到集合B 的对应，并且和上述投飞标一样，也都是A 中元素对应B 中唯一元素的特殊对应.

一般地，设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f)叫做集合A 到集合B 的映射，记作f:A →B.其中与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象.

2，强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念

3．映射观点下的函数概念

如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C ⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x).

这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.

注：新定义更抽象更一般

如：（狄利克雷函数）是无理数）（是有理数）⎩

⎨⎧=x 0x (1)x (f 4．补充例子：

例1．已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由：

⑴ A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；

⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；

⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；

⑷A={α|00≤α≤900

}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”. 例2．（1）（x ，y ）在影射f 下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f 下的原象是_________。

（2）已知：f ：x →y=x 2是从集合A=R 到B=[0,+∞]的一个映射，则B 中的元素1在A 中的原象是_________。

（3）已知：A={a,b},B={c,d},则从A 到B 的映射有几个 。

【典例解析】

例⒈下列对应是不是从Ａ到Ｂ的映射，为什么？

⑴Ａ＝（０，＋∞），Ｂ＝Ｒ，对应法则是＂求平方根＂；

⑵Ａ=｛ｘ|－２≤ｘ≤２｝,Ｂ=｛ｙ|０≤ｙ≤１｝,对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=4

2

x （其中ｘ

∈A,ｙ∈B ）

⑶Ａ=｛ｘ|０≤ｘ≤２｝，Ｂ=｛ｙ|０≤ｙ≤１｝，对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=(x －2)2(其中x ∈A,y ∈B)

⑷Ａ=｛ｘ|ｘ∈Ｎ｝，Ｂ=｛－１，１｝，对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=(－1)x （其中ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ）．

例⒉设Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋６，求⑴集合Ａ中

21和－３的象；⑵集合Ｂ中21和

－３的原象．

参考答案：

例⒈解析：⑴不是从Ａ到Ｂ的映射．因为任何正数的平方根都有两个,所以对Ａ中的任何一个

元素,在Ｂ中都有两个元素与之对应．⑵是从Ａ到Ｂ的映射．因为Ａ中每个数平方除以４后,都在Ｂ中有唯一的数与之对应．⑶不是从Ａ到Ｂ的映射．因为Ａ中有的元素在Ｂ中无元素与之对应．如0∈Ａ,而(0－2)2=４ Ｂ．⑷是从Ａ到Ｂ的映射．因为－１的奇数次幂是－１，而偶数次幂是１．∴⑴⑶不是，⑵⑷是．

［点评］判断一个对应是否为映射,主要由其定义入手进行分析． 例⒉解：⑴将ｘ＝

21和ｘ＝－３分别代入ｙ＝３ｘ＋６，得21的象是2

15，－３的象是－３； ⑵将ｙ＝21和ｙ＝－３，分别代入ｙ＝３ｘ＋６，得21的原象－611，－３的原象是－３．

［点评］由映射中象与原象的定义以及两者的对应关系求解．

课堂练习：教材第36页 练习A 、B 。

小结：学习用映射观点理解函数，了解映射的性质。

课后作业：第53页 习题2-1A 第1、2题。