人教B版高中数学必修一函数教案

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人教B版必修一高中数学第二章第四节《函数的零点》教案

人教B版必修一高中数学第二章第四节《函数的零点》教案

人教B版《必修一》第二章第四节《函数的零点》(第一课时)【教材分析与学情分析】1.本节课是人教B版《必修一》第二章第四节“函数与方程”的第一课时。

高一学生在学习本节内容之前,对三次函数的了解仅限于第二章的幂函数;而利用函数零点与方程根的关系作图也仅限于二次函数。

随着学习内容的加深与扩展,本节课的设计对学生来说,是一次思想方法上的突破和学习观念的提升。

2.任教班级学生数学基础良好。

【课型】新授课【教学目标】1.能说出函数零点的定义,会求简单函数的零点。

2.经历二次函数零点性质推广到一般连续函数的过程,体会“函数与方程”、“转化与化归”、、“数形结合”的数学精神。

3. 用数学的眼光发现问题,并用数学知识方法给予解决;在学习新知的过程中,体会数学的应用价值;树立正确的人生观、价值观以及爱国主义情怀。

【教学准备】1.多媒体技术;2.网络资源;3.三封信件4.图书文献资源和网络资源:对“我国女排发球技术研究”的查阅【教学方法】自主探究、合作探究【教学重点】函数零点的概念与求法,作三次函数图象【教学难点】作三次函数图象、解决简单应用问题【教学过程】(含时间分配)(先准备几封写好的信(其实为最后学习要点的引出埋下伏笔),鼓励课堂活动踊跃的学生)(一)新课引入(5分钟)1.情景引入(激发学生的好奇心)播放中国女排在2016年里约奥运会夺冠的视频,指出女排的夺冠与数学紧密相连。

2.问题引入(激发学生求知欲)(二)概念的形成与深化(5分钟)1.实例引入 ?062=--=y x x x y 取何值时,,当对于函数2.函数的零点3.概念深化 函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点(三)实践与探究(14分钟)1.自主尝试求下列函数的零点:2.总结升华(学生把一般二次函数零点的判定以表格形式给出)3.深入探究(学生自主探究)当二次函数有零点时,请由图象探究:(1)在零点的两侧,函数值符号是否改变?(2)相邻两个零点之间函数值的符号是否相同?1.你能画出函数y=2x+7的图象吗?22.你能画出函数y=x -x-6的图象吗?323.你能画出函数y=x -2x -x+2的图象吗?(1)236(2)y x y x =-+=222(3)(4)21(5)23y x x y x x y x x =+=-+=-+()=0f x x 使得函数的实数的值,叫做这个函数的零点.(学生自主完成)对于二次函数而言: (1)当函数图象穿过零点时,函数值变号; 当函数图象遇到零点但不穿过零点时,函数值不变号. (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(师总结)推广:对任意函数,只要函数图象是连续不断的,上述性质同样成立.(四)应用举例(18分钟)1.(学生亲自投影,面对同学讲解做法,教师适当补充)在这4个区间内,取x 的一些值,以及零点,列出这个函数的对应值表: X … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … Y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 … 在坐标系内,描点连线,作出图象.x y 0 x 1x 1 x 2 0yx 321.例求函数y=x -2x -x+2的零点,并画出它的图象.322211x x x --+-解:因为 =(x-2)(x-1)(x+1)所以函数的零点为, , 2.x 4--1-11122,+∞∞3个零点把轴分成个区间:(,),(,),(,),()*学生总结方法求函数y=f(x)零点的方法:求方程f(x)=0的根.(常用:因式分解)画三次函数图象的步骤:(1)求函数的零点,用其将x 轴分成几个区间;(2)利用在区间内适当取的x 值及零点,得到图象上的一些点;(3)描点连线,得到图象.2.自主尝试(学生黑板板演)*课下研究课题3.(回扣课头)例 2 研究发现:排球发球的成功率y%与抛球角度x(单位:度)近似满足二次函数关系:216144,25y x x =-+-(3090)x << 在一场排球比赛中,每位发球队员的成功率只有大于80%,才有利于比赛胜出。

人教B版高中数学必修一教案3.3幂函数

人教B版高中数学必修一教案3.3幂函数

人民教育出版高中数学B版必修一◆3.3《幂函数》教学设计一、教学目标学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等相关知识,初步掌握了研究函数的程序。

学生思维活跃,积极性高,已初步形成对数学问题的合作探究能力。

但学生间存在差异,特别是动手操作的能力,观察、类比、分析、归纳总结的能力个体差异还比较明显。

根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,制定如下三维教学目标:(一)知识与技能:理解幂函数的概念,掌握幂函数的图象与性质,学会利用幂函数的图象与性质来解决简单的问题。

(二)过程与方法:探究幂函数的图象与性质的过程,掌握由特殊到一般、类比、数形结合、分类讨论的数学思想方法。

(三)情感、态度与价值观:培养学生画图、识图、用图的思想意识,在问题面前要有勇于探索的精神品质。

二、教学重点、难点依据课程标准,在吃透教材基础上,确立如下的教学重点、难点。

(一)重点:幂函数的图象与性质,通过主题探究、例题设计、学生板演、课件展示等手段突出重点。

2.教学过程设计请学生根据观察出的图象特征,归纳出幂函数的性质。

学生小组合作完成下表,上台展示:函数)(R x y ∈=αα指数 1>α 10<<α 0<α图象过定点单调性函数值特点完善表格,形成知识脉络,突破难点.例1、 比较下列两个代数式值的大小 (1)5.15.1)1(a a +(2)21219.01.1--练习:比较下列两个代数式的大小:(1)119.08.0--(2)43434.23.2(3)22)43()32(-- (4)2121)31()21(学生思考,口头回答教师引导学生总结比较大小的方法。

幂函数概念的应用,加深幂函数性质的理解。

0<ααα>α=α 生成新知典例 剖 析六、板书设计§3.3 幂函数[设计意图]板书呈现整堂课的内容与方法,突出本节重难点,体现教学进程,启迪学生思维.设计理念:1.本节课以:“教什么”、“怎么教”,“为什么这样教”与学生的“学什么”、“怎么学”,“为什么这样学”的有机结合为教学设计出发点.2.在教学过程中,从实际问题入手,设置探究题,引导学生自主、合作学习,渗透数学思想方法为教学设计的落脚点.3.在问题解决过程中,以数学应用意识的培养,解决问题能力的提高为教学设计的最终目的.。

人教高中数学必修一B版《函数的应用》函数研讨复习说课教学课件

人教高中数学必修一B版《函数的应用》函数研讨复习说课教学课件

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2.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是( )
A
B
C
D
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B [题图反映随着水深 h 的增加,注水量 V 增长速度越来越慢, 这反映水瓶中水上升的液面越来越小.]
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3.某人从 A 地出发,开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到 达 B 地,在 B 地停留 2 小时,则汽车离开 A 地的距离 y(单位:千米) 是时间 t(单位:小时)的函数,该函数的解析式是________.
(2)每天的盈利额超过 1 000 元,则 x∈(200,300],由 15x-2 500>1
000 得,x>7300,故每天至少需要卖出 234 张门票.
60 [设涨价 x 元,销售的利润为 y 元, 则 y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250 =-2(x-10)2+450, 所以当 x=10,即销售价为 60 元时,y 取得最大值.]
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合作探究 提素养
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一次函数模型的应用
【例 1】 某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间
2.数学建模的过程图示如下:
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当堂达标 固双基
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1.思考辨析 甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示, 判断下列说法的对错.
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(1)甲比乙先出发.( ) (2)乙比甲跑的路程多.( ) (3)甲、乙两人的速度相同.( ) (4)甲先到达终点.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.

人教B版高中数学必修一函数的奇偶性教案(2)

人教B版高中数学必修一函数的奇偶性教案(2)

函数的奇偶性教学目标:1.巩固和深化函数奇偶性的相关知识,增强运用函数与方程思想解题的意识。

2.熟悉奇偶函数图像的对称性,能综合应用函数的奇偶性解决一些问题。

一、例题讲解学点一:函数的奇偶性例1若2mmxf为偶函数,求)=xx+()(2+-)2f的单调区间及最大值(x学点二:函数奇偶性的运算例2:设奇函数),7[-f在区间]3-上(xf在区间]7,3[上是增函数,且,5)3(=f求)(x的最大值。

例3:设)(=f求不等式-)2,0(+∞上是增函数,又,0(xf是奇函数,且在区间)xf的解集。

-)1(<学点三:函数的奇偶性综合运用例4:设定义在]2,2[-奇函数)(x f ,在区间]2,0[是单调递减,且)12()(-<m f m f ,求实数m 的取值范围。

变题为设定义在]2,2[-偶函数)(x f ,在区间]2,0[是单调递减,且)()1(m f m f <-,求实数m 的取值范围。

二:针对训练1.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为增函数的是 。

(1)34)(+=x x f (2)1)(+=x x f(3)11)(-=xx f (4)2)(x x f = 2.函数]31,2[(4--∈+=x x x y 的最小值为 最大值为 3.已知)(x f 在区间],0[π上单调递增,且)(x f 的图像关于y 轴对称,试比较)2(),2(),3(πf f f -的大小为4.若偶函数)(x f 的定义域为R,且在),0[+∞上是减函数,试比较)43(-f 与)1(2+-a a f 的大小5.函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数,且52)21(=f (1)确定函数)(x f 的解析式 (2)用定义证明)(x f 在)1,1(-上的单调性 (3)解不等式:0)()1(<+-t f t f。

高中数学 2.1.3 函数的单调性教学设计 新人教B版必修1

高中数学 2.1.3 函数的单调性教学设计 新人教B版必修1

函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质.从知识的网络结构上看,函数的单调性既是函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础,在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用.函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法,对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示X作用。

二、学情分析根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1.知识与技能:使学生理解函数单调性的概念,初步掌握判别函数单调性的方法;2.过程与方法:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观:在函数单调性的学习过程中,使学生体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.根据上述教学目标,本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用.虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力,但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的.因此,本节课的学习难点是函数单调性的概念形成.四、教学重点、难点教学重点:函数单调性的概念;判断、证明函数的单调性教学难点:归纳并抽象函数单调性定义;用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法:〔1〕合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题〔2〕自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动〔3〕探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知〔如例题的处理〕。

教学用具:电脑、多媒体。

教法:整堂课围绕“一切为了学生发展〞的教学原那么突出:①动——师生互动、共同探索;②导——教师指导、循序渐进。

〔1〕新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

〔2〕理解导数的内涵——数形结合,动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。

《函数与方程、不等式之间的关系》第2课时示范课教学设计【高中数学人教B版必修第一册】

《函数与方程、不等式之间的关系》第2课时示范课教学设计【高中数学人教B版必修第一册】

第三章函数《3.2函数与方程、不等式之间的关系》教学设计第2课时会用函数的性质判断对应方程是否有实根,理解函数零点存在定理,会利用“二分法”找到实根的近似值.教学重点:函数零点存在定理教学难点:用“二分法”求函数零点的近似值PPT课件.一、整体概览问题1:阅读课本第114~118,回答下列问题:(1)本节将要研究哪类问题?(2)本节研究的起点是什么?目标是什么?师生活动:学生带着问题阅读课本,在本节课的学习过程中回答问题预设的答案:(1)本节将要研究函数的零点存在定理及二分法求方程近似解.(2)起点是函数的零点,函数的零点与对应方程的根之间的关系,以及利用函数的图像求解对应不等式的解集.目标是理解函数零点存在定理,会用函数的性质判断对应方程是否有实根,会利用“二分法”找到实根的近似值等.重点是渗透数形结合的数学思想,二分法,提升学生直观想象、数学抽象、数据分析和逻辑推理等素养.设计意图:通过阅读课本,让学生明晰本节课的学习目标,初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1.复习引入我们知道:一次函数、二次函数的零点是否存在,并不难判别,这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况,都可以根据它们的系数判别出来,而且有实数根的时候,都能够写出求根公式.问题1:关于x的一元一次方程k x+b=0(k≠0)的求根公式为________;一元二次方程的求根公式为________.师生活动:学生回答.预设的答案:bxk=-;242b b acxa-±-=(有实根时)问题2:对于次数大于或等于3的多项式函数(例如f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a≠0),以及其他表达式更复杂的函数来说,判断零点是否存在以及求零点,都不是容易的事(事实上,数学家们已经证明:次数大于4的多项式方程,不存在求根公式).那么,什么情况下一个函数一定存在零点呢?设计意图:通过问题引入新课,激发学生的求知欲.知识点1 零点的存在性问题3:如下图所示,已知A,B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,画出3种y=f(x)的可能的图像.判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.师生活动:让学生自己动手画,互相检查(如如下图是函数的图像吗?),教师与学生一起总结.可以看出,满足要求的函数f(x)在区间(a,b)中一定存在零点.零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且f(a)f (b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即∃x o∈(a,b),f(x o)=0.强调:一般地,解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的.需要注意的是,反比例函数1yx=的图像不是连续不断的.设计意图:培养学生的抽象概括能力.知识点2 零点近似值的求法问题4:例1中的函数在区间(-2,0)中存在零点x o,但是不难看出,求出x o的精确值并不容易,那么,能不能想办法得到这个零点的近似值呢?比如,能否求出一个x1,使得|x1-x0|<18?【尝试与发现】如果在区间(一2,0)中任取一个数作为x o的近似值,那么误差小于多少?如果取区间(一2,0)的中点作为x o的近似值,那么误差小于多少?怎样才能不断缩小误差?师生活动:学生回答.预设的答案:如果在区间(一2,0)中任取一个数作为x o的近似值,误差小于2;如果取区间(一2,0)的中点作为x.的近似值,误差小于1.一般地,求x.的近似值,可以通过计算区间中点函数值,从而不断缩小零点所在的区间来实现,具体计算过程可用如下表格表示.其中第2行的区间是(-2,-1),这是因为f(-2)f(-1)<0,其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值没有计算,是因为不管15 (2,]8x∈--,还是157 [,)84x∈--,我们都可以将158-看成x o的近似值,而且误差小于18.当然,按照类似的方式继续算下去,可以得到精确度更高的近似值. 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法.教师总结:二分法的求解步骤:在函数零点存在定理的条件满足时(即f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的,且f (a )f (b )<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x o 的近似值x 1,使得|x 1-x o |<ε的一般步骤如下:第一步 检查| b - a |<2ε是否成立,如果成立,取12a bx +=,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步 计算区间(a ,b )的中点2a b +对应的函数值,若()02a b f +=,取12a bx +=,计算结束;若()02a bf +≠,转到第三步. 第三步 若()()02a b f a f +<,将2a b +的值赋给b (用表示2a bb +→,下同),回到第一步;否则必有()()02a b f f b +<,将2a b+的值赋给a ,回到第一步. 这些步骤可用如图所示的框图表示三、初步应用例1 求证:函数f (x )=x 3-2x +2至少有一个零点. 师生活动:教师与学生一起分析,教师书写规范解答. 预设的答案:证明:因为f (0)=2>0,f (-2)=-8+4+2=-2<0,所以f (-2)f (0)<0,因此∃x o ∈(-2,0),f (x o )=0,即结论成立.设计意图:巩固函数的零点存在定理.例2 已知函数f (x )=x 2+ax +1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a 的取值范围.师生活动:教师与学生一起分析,教师书写规范解答.预设的答案:解:因为函数f (x )的图像是开口朝上的抛物线,因此满足条件的函数图像示意图如下图(1)(2)所示.不管哪种情况,都可以归结为f (-1)f (1)<0且||12a-≥,因此 (2-a )(a +2)<0且|a |≥2,解得a <-2或a >2.设计意图:进一步巩固函数的零点存在定理及二次函数的图像和性质.例3.用二分法求方程的近似解,求得f (x )=x 3+2x -9的部分函数值数据如表所示: x 121.51.625 1.75 1.875 1.812 5 f (x )-63 -2.625-1.459-0.141.341 80.579 3A .1.6B .1.7C .1.8D .1.9师生活动:学生思考后回答.预设的答案:解:由表格可得,函数f (x )=x 3+2x -9的零点在(1.75,1.875)之间, 结合选项可知,方程x 3+2x -9=0的近似解可取为1.8,故选C. 设计意图:巩固二分法求函数的零点. 例4已知函数321()13f x x x =-+. (1)证明方程f (x )=0在区间(0,2)内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f (x )=0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内.师生活动:学生思考后回答,教师完善规范解题过程. 预设的答案:解: (1)证明:∵f (0)=1>0,1(2)3f =-,∴1 (0)(2)03f f=-<,由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.(2)取1021 2x+==,得1(1)3f=,由此可得1(1)(2)9f f=-,下一个有解区间为(1,2).再取2123 22x+==,得31()028f=-<,∴31(1)()0224f f=-<,下一个有解区间为3(1,)2.再取3135 (1) 224x=+=,得517()0 4192f=>,∴35()()024f f<,下一个有解区间为53(,)42.故f(x)=0的实数解x0在区间53 (,)42内.设计意图:巩固零点存在定理及二分法求函数的零点的解题步骤. 练习:教科书P119练习A 4~10四、归纳小结,布置作业1.板书设计:3.2函数与方程、不等式之间的关系1.函数的零点存在定理2.二分法及其求零点近似解例1 例2 例3 例42.总结概括:回顾本节课,你有什么收获?(1)函数的零点存在定理的内容是什么?有哪些注意点?(2)什么叫二分法?(3)二分法求函数零点近似解的求解步骤?师生活动:学生总结,老师适当补充.作业:教科书P120练习B 4~9,练习C1、3、4、5 【课外拓展】信息技术求函数零点。

高中数学人教B版必修1第三章第一节指数函数

高中数学人教B版必修1第三章第一节指数函数

《指数函数》教学设计教学内容高中数学人教B版必修1第三章第一节《指数函数》教材分析本节课是高中数学必修一第三章第一节《指数函数》,是在学生系统学习了函数的基础概念、表示方法、性质,掌握了实数指数幂及其运算的基础上引入的.指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数,本节课将从“折纸”“截取木锤”的实际问题引入,引出指数函数的概念,接着研究指数函数的图像及其性质,遵守由特殊到一般的研究规律,要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象,然后推广到一般情况,类比地得到指数函数的图象,并观察图象,总结出指数函数的性质,而且是分与的两种情形.在此基础上启发学生根据指数函数的形式特点及指数函数的图象性质来解决同底数幂的大小及指数形式的函数问题,从而深化学生对指数函数的理解,并且了解较为全面的研究函数的方法,为以后再研究对数函数、幂函数等其他函数打下基础.学情分析学生对函数的图象、性质的关系已经构建了一定的认知结构,对正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数概念和性质有了初步的认识,学会解决一些简单函数问题的方法.在一定程度上已经体会过由观察到抽象的数学活动,已经了解了数形结合的思想,有一些研究函数问题方法的基础,对解决一些数学问题有一定的能力.同时指数函数为基本初等函数的第一类函数,图象和性质的研究为后面对数函数、幂函数等做铺垫,启着承上启下的作用.教学目标知识与技能1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解指数函数的概念和意义;3. 理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数单调性的简单应用.过程与方法1.能画出具体特殊指数函数的图象,类比得一般指数函数图象与性质;2. 合作探究,探索指数函数单调性的简单应用.情感态度价值观在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣,努力培养学生的创新意识,坚韧不拔的毅力!教学重点指数函数的概念和性质.教学难点指数函数的性质及应用.教学方法启发诱导与自主学习相结合教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图一、情境引入提出问题:你认为一张纸最多能对折多少次?问题1:将一张纸对折后的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?问题2:《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”请你写出截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关系式?得出这两个函数问题3:以上两个函数有何共同特征?学生回答,并动手实践学生思考回答由实际问题引入,激发学生学习兴趣,培养学生解决实际问题能力二、新课讲解定义:问题4:为什么规定底数a >0且a≠1呢?学生站立,小组讨论培养学生自主解决问题能力教学过程二、新课讲解练一练:1.判断下列函数是不是指数函数,为什么?小结:指数函数的形式2.若函数是指数函数,求a的值.问题5:得到函数的图象一般用什么方法?列表、描点、连线在同一直角坐标系画出的图象,小组讨论,两个函数的图象有什么关系?指数函数图象与性质学生独立思考,教师提问学生观察并自我总结教师启发引导,学生列表、描点、作图教师动画演示学生小组讨论,观察、归纳、总结,教师诱导、点评培养学生的观察、归纳、概括的能力通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的变化趋势,通过描点,作图培养学生的动手实践能力使学生体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.培养学生的归纳概括能力.三、例题讲解例1.利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小练一练:教师启发引导,学生独立解决,教师黑板板演学生思考、解答指数函数单调性应用,规范解题步骤巩固所学内容教学过程三、例题讲解小结:同底数幂比较大小①明确指数函数;②判断函数单调性;③利用单调性比较大小.想一想:比较下面两个数的大小:(分类讨论)学生自我总结学生独立解决,学生爬黑板教师启发引导,学生自主解决培养学生归纳、总结能力检验学生对本节课掌握情况四、当堂检测是指数函数的有 .2.比较大小(分类讨论)学生口答,PPT展示答案检测学生对本节课掌握情况五、课堂小结本节课你收获了什么?学生自我总结,师生共同回忆加强对知识的记忆,思维导图总结,使学生对本节课所学知识结构有一个整体的认识六、布置作业课本P92-93练习A练习B.七、数学世界学生思考,老师启发延伸指数函数与实际生活相结合,前后呼应,使同学们体会指数函数在生活中魅力所在指数函数 评测练习1.函数()()1012≠>+=-a a ax f x 且的图象一定经过( ).A.(1,2)B.(2,1) C .(2,2) D .(0,1) 2.若函数()()xa x f 21-=在实数集R 上是减函数,则实数a的取值范围是( ).)()()()(21,21.21,.21,0.,21.-∞-+∞D C B A3.指数函数xxb y a y ==与的图象如图所示,则( ). A.a <0,b <0 B.a <0,b >0 C.0<a <1,0<b <1 D.0<a <1,b >14. 函数()xa a y 22-=是指数函数,则( ).10.3.1.31.≠>====a a D a C a B a a A 且或 5.若913≥x,则实数x 的取值范围是 .。

人教B版高中高一数学幂函数教案设计

人教B版高中高一数学幂函数教案设计

人教B版高中高一数学幂函数教案设计一、教学目标1.了解幂函数的定义及其性质;2.掌握幂函数的图像变换;3.能够通过图像和函数式子相互转换;4.能够应用幂函数解决实际问题。

二、教学重点1.幂函数的定义及其性质;2.幂函数的图像变换。

三、教学难点1.幂函数的图像解析;2.幂函数与实际问题的综合应用。

四、教学过程设计1. 导入环节教师通过展示一张幂函数的图像,让学生通过观察来了解幂函数的定义。

2. 概念讲解1.幂函数的定义及其性质•定义:设a>0且a eq1,则函数y=a x称为幂函数。

•性质:当a>1时,幂函数y=a x呈增长趋势;当0<a<1时,幂函数y=a x呈下降趋势。

2.幂函数的图像变换•左移/右移:$y=a^{x \\pm k}$ 的图像向左/右平移k个单位;•上移/下移:$y=a^x \\pm k$ 的图像向上/下平移k个单位;•拉伸/压缩:y=a kx的图像沿x轴缩短/拉长k倍,沿y 轴拉长/缩短k倍。

3. 综合练习1.求函数f(x)=2x在点(1,2)的切线方程;2.已知函数g(x)=2−x,求g(1)和g(−1)的值;3.某村庄的归化指数是每年按 $1.2\\%$ 的速度递增,已知该村庄在2010年的归化指数为k,问在2020年底该村庄的归化指数是多少?4. 结论总结幂函数是一种常见的函数类型,通过图像可直观了解函数的增减趋势,通过函数式子可推导出函数的性质、图像变换等。

五、教学反思通过本次课程,学生们掌握了幂函数的定义及其性质,掌握了幂函数的图像变换,学会了将图像和函数式子相互转换,能够应用幂函数解决实际问题。

但是在教学中,有些学生对幂函数的图像变换还不是很理解,需要更多的练习和巩固。

后面需要进行相关习题训练,帮助学生更加深入地理解幂函数的概念和应用。

人教B版高中数学必修一教案-3.1 指数与指数函数

人教B版高中数学必修一教案-3.1 指数与指数函数

2.1.2 指数函数及其性质(1)三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质..能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程,数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a >0,且a ≠1的理由,明确数学概念的严谨性和科学性,做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的兴趣,体会指数函数是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中,通过现代信息技术的合理应用,让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体、学案. 教学过程(一)新课导学探究一:指数函数的概念问题1:细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个(即 12),第2次由2个分裂成4个(即 ),第3次由4个分裂成8个(即 ),如此下去,如果第x 次分裂得到 个细胞,那么细胞个数y 与次数x 的关系式是问题2:《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。

”请你写出截取x 次后,木棰剩余量y 关于x 的关系式是【讨论】:(1)这两个关系式是否构成函数?我们发现:在两个关系式中,每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应,因此关系式2x y= 和 1()2xy = 都是函数关系式。

(2)这是我们学过的哪个函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?我们发现: 函数2x y= 和 1()2xy =在在形式上是是相同的,解析式的右边都是指数式,且自变量都在指数位置上。

底数是常数,指数是自变量。

结论:函数2x y= 和 1()2x y =都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,它可以解决好多生活中的实际问题,这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数. (引入新课,书写课题)(二)概念讲解指数函数的概念:一般地,函数y =a x (a >0,a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 思考:1、指数函数解析式的结构特征: ①xa 前面的系数为:1 ②a 的取值范围:a >0,a ≠1③指数只含x2:为什么规定10≠>a a 且呢?否则会出现什么情况呢?①当0=a ,ⅰ若0>x ,则00=xⅱ若0≤x ,则x0无意义,如:21-=x ,则010102121===-y 无意义。

人教B版高中数学必修一教案-2.4.1 函数的零点

人教B版高中数学必修一教案-2.4.1 函数的零点

《函数的零点》教学设计一、教学内容分析本课题是普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)人教B版第二章《函数》,第4节函数与方程的第一课时,本节课的主要内容是函数零点的定义,函数零点存在性的判定方法.其目的是使学生体会函数与方程之间的联系.为下一节《二分法》做准备.利用函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了全章的始终,而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解,是在建立和运用函数模型的大背景下展开的.本章主要渗透了“函数与方程”和“数形结合”的数学思想.二、教学目标分析知识与技能目标:理解函数零点的意义,了解函数的零点与方程根的关系,会求简单函数的零点,能判断二次函数零点的存在性,并能对零点存在定理进行简单的应用.过程与方法目标:引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题,提高数学知识的综合应用能力.;体验函数零点存在定理的形成过程,初步感受零点存在定理在解题中的应用.情感态度与价值观目标:让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.三、教学基本条件分析1.学生条件:学生有较好的数学基础和数学理解能力,喜欢思考,乐于探究.2.前期内容准备:前面学习一次函数和二次函数时,教师对函数和方程的联系已经做了适当的渗透.3.教学媒体条件:支持幻灯片展示.四、教学重难点分析教学重点:函数零点的定义的理解.教学难点:正确理解函数零点的判定方法的不可逆性;函数与方程的联系及应用.五、教学过程设计(一)开门见山,揭示课题前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的图象与性质,初步学习了研究函数的一般方法,今天我们通过研究函数的另一个重要知识,来进一步感受函数与方程的联系.问题引入:已知二次函数y=x 2-x-6,试问x取什么值时,y=0?方程有几个根,y=f(x)的图象与x轴就有几个交点;方程的根就是图象与x轴交点的横坐标.-2、3在方程中称为实数根,对函数来说称为零点.(板书课题)函数的零点定义:如果函数在实数x0处的值等于零,即f(x0)=0,则x0叫做这个函数的零点.注意:零点不是点.设计意图:因为对这个定义的直观理解不难,所以直接给出,意为锻炼学生的数学阅读理解的能力,同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫.由此得出:函数与方程的关系.(二)设问疑问,引导探究 例1:求出下列函数的零点,并作出函数的图象.(1)y =x 2-2x +1 (2)y =x 2+x +1解:过程略.设计意图:加深对概念的理解.让学生知道二重(二阶)零点的含义;不是所有的函数都有零点. (幻灯片展示)上面我们给出的三个函数都是一元二次函数,那么你能总结出对于一般的一元二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0),它的零点的情况与什么有关?预设答案:与方程的判别式有关.当△>0时,一元二次方程有两个不等的实数根x 1,x 2,相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点 (x 1,0),(x 2,0),函数有两个零点x 1,x 2;【变号零点】当△=0时,一元二次方程有两个相等的实数根x 1= x 2,相应的二次函数的图象与x 轴有一个交点 (x 1,0),函数有一个二重零点x 1;【二阶零点】当△<0时,一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图象与x 轴没有交点,函数没有零点. 设计意图:让学生在总结二次函数零点情况的过程中,理清方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系.通过图象看到函数零点的性质:①图象通过零点穿过x 轴时,函数值变号.——变号零点;②零点把x 轴分成的每个区间上函数值保持同号.研究函数的零点也就是研究相应方程的实数根,也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况.(三)利用方程,研究函数例2.求函数y =x 3-2x 2-x +2的零点并画出函数的图象(简图).问题1:函数零点把x 轴分成了几部分?请考察在函数每个区间内函数值的符号.问题2:请仔细观察表格,你能发现哪些规律?(让学生观察发现)预设答案:零点两侧符号相反.问题3:是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗?预设答案:不是,譬如函数y =x 2-2x +1.只有变号零点两侧符号相反.设计意图:学生应用函数与方程的联系,通过方程研究函数的性质,做出函数的简图.同时,研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺垫.(四) 探究发现“零点存在定理”1.探究发现例3:已知函数f (x )=x +b 在(-1,1)上存在零点,求b 的取值范围.解:法一:求零点;(由教师引导)法二:由题意:f (-1)·f (1)<0,解得b ∈(-1,1).通过以上分析,请同学们思考,函数在某区间(a ,b )上是否存在零点,与该区间的端点函数值的符号情况是否有某种关系?探究:若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内满足f (a )·f (b )<0,则f (x ) 在区间(a , b )内是否存在零点?下面我们一起探究函数的零点存在的充分条件.学生先独立完成,再通过小组讨论,最后全班交流.探究①:观察图象,归纳函数y=f(x)在区间端点的函数值f(a),f(b)的正负情况.预设答案:f (a)·f (b)<0或f (a)·f (b)>0.探究②:函数y=f (x)具备了什么条件,就可确定函数在区间(a,b)上存在零点呢?预设答案:f (a)·f (b)<0.探究③:具备上述特征的函数y=f(x)是否在区间(a,b)上一定存在零点?预设答案:不是.反例:y=1x或画图验证.所以函数的图象在[a,b]上必须是连续不断的.探究④:如果连续函数f(x)满足f (a)·f (b)<0,则在区间(a,b)上存在唯一的零点吗?预设答案:不对.反例画图验证.应表述为“至少存在一个”.师生归纳总结:函数y=f(x)在(a,b)上存在零点的条件.预设答案:①函数图象连续不断;②区间端点函数值满足f (a)·f (b)<0.2.函数存在零点的条件如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y=f (x)在区间(a,b)内至少存在一个零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)=0.(五)总结升华问题:通过本节课的学习,你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获?设计意图:通过小结,理清思路,归纳总结,更好的掌握知识技能,理解数学思想方法,提高解决问题的经验.学生活动,教师进行简要的概括和升华.(六)作业课本P72练习A 1、2;P75习题2-4A 3、4、5、6.六、板书设计(略)七、课后反思方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容,表面上看,这一内容的教学并不困难,但要让学生能够真正理解,教学还需要妥善处理其中的一些问题.首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构,突出思想方法像这些中学新增内容的教学,教学就要取得成功的确不易,需要一个不断实践以及实践后的反思的过程,在实践与反思的过程中,不仅要妥善解决上述问题,还要不断地发现和解决新的问题,这样,教学效果才会逐步得到改善..。

人教B版数学必修1

人教B版数学必修1

人教B版数学必修1第二章函数2.1.2 函数的表示方法(第1课时)教案及说课稿新宾县朝鲜族中学李锦玉2018年10月11日2.1.2 函数的表示方法(第1课时)教案教学目标:知识与技能掌握函数的三种表示方法:列表法、图象法、解析法,体会表示方法的特点。

过程与方法能根据实际情景选择恰当的方法表示一个函数以获取有用的信息,培养学生灵活运用知识的能力;初步体会用函数知识解决实际问题的方法。

情感态度与价值观体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用,在图形的变化中感受数学的直观性。

重点函数的三种表示方法的简单运用。

难点根据不同的需要选择恰当的表示方法表示一个函数。

教学准备2.1.2 函数的表示方法(第1课时)说课稿根据本节教材的特点和教学内容的结构特征,依据学生的认知规律,结合学生的实际水平,制定本节课的教学设计说明如下:一、说教材《函数的表示方法》是高中新教材人教B版必修1第二章第一节第二部分的内容。

学生在初中已经接触过较简单函数的一些不同表示方法,在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法,这部分属于函数三要素之一,即对应关系的表达方式。

学习函数的表示法,不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题,也是加深对函数概念理解所必须的,同时,基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方法表示,因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法(如数形结合、化归等)、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

二、说学情本人所教的高一学生(16人)课堂纪律较好,但数学基础不够扎实,思维不够活跃,逻辑推理和分析概括的能力较弱。

因此在教学中会放慢进程,更加注重启发学生,让学生自主回答。

函数这一模块内容最多,比较抽象,学生学习确有许多困难。

基于高中阶段所接触的许多函数都可用不同的方法表示,因此教师通过设置问题去帮助学生积极主动地感受、分析、归纳三种方法的各自优点及不足,逐步过渡到能合理选用和灵活转换函数的各种表示形式,这也是向学生渗透数形结合思想方法的重要过程,同时也为后述内容-----函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)的学习打下良好的基础。

人教新课标高中数学B版必修1《3.2.2 对数函数》教学设计

人教新课标高中数学B版必修1《3.2.2 对数函数》教学设计

《对数函数图像与性质》的教学设计必修1的《对数函数图像与性质》。

设计分为:教材分析、学情分析、教学目标、教学重点与难点、教法与学法、教学过程六个部分。

第一部分:教材分析函数是一种重要的数学思想,是实际生活中数学建模的重要工具。

本节的主要内容就是函数x y 2log =的图像和性质。

它是函数x y a log =的直观体现,是进一步学习对数函数的图像和性质的准备,又是学习函数图像作法的载体,学习它也是培养和建立数形结合思想的有效途径。

本节内容还涉及到前面的指数函数,所以它应该是从指数函数向对数函数过渡的有效纽带。

第二部分:学情分析。

在学习本节课之前,学生们已经学习了二次函数、指数函数图像画法及有关性质,经历了作图、观察、比较、归纳、应用,以及猜想、验证的学习过程,已经了解如何去分析函数式到作图,研究性质去应用,初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。

但是学生对指、对数及运算还不灵活,函数定义不甚理解,也不能灵活应用图像及有关性质去解题。

第三部分:教学目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度、价值观:(1)学生经历学习,掌握函数图像求作的两种基本方法,即描点法和图像变换法,并会用它们作函数x y 2log =的图像;学生经历作图的过程,感受到图像对函数性质的探究非常重要,并会通过图像获知互为反函数的两个函数的图像关于直线y = x 对称,会用x y 2log =的图像特征概括出函数x y 2log =的性质,会用研究x y 2log =的图像和性质的方法类比研究函数x y a log =的图像和性质。

(2)学生能从作函数x y2log =和x y 2=的图像的过程中较深刻的体会出图像变换法作图的特点和意义,并以此感悟出转化思想在数学中的重要意义;学生在不断感受用图形解题的过程中,会逐步建立起数形结合的思想意识;学生在自己做出的美妙的曲线中感悟出数学的美,并知道数学也具有形象的一面和很感性的地方,学生会更加喜爱数学这门学科。

人教B版高中数学必修一教案2.1.4《函数的奇偶性》

人教B版高中数学必修一教案2.1.4《函数的奇偶性》

教课方案(一)设疑导入、观图激趣出示一组轴对称和中心对称的图片。

设计企图:经过图片惹起学生的兴趣,培育学生的审雅观,激发学习兴趣。

(二)指导察看、形成观点察看教材第 47 页图 2-20从图象得出结论,函数图象对于对称达成下表x3210123f ( x) x 2结论:从函数值对应表能够看出,当自变量 x 随意取一对相反数时,相应的两个函数值f ( x),这时我们称这一类函数为偶函数。

定义:模仿这个过程,说明 f (x)x 与f ( x)x 2 2 也是偶函数察看教材第 47 页图 2-19从图象得出结论,函数图象对于对称达成下表x3210123f (x)x3结论:从函数值对应表能够看出,当自变量 x 随意取一对相反数时,相应的两个函数值f ( x),这时我们称这一类函数为奇函数定义:模仿这个过程,说明 f (x) x 与 f (x) x32x 也是奇函数(三)学生研究、领悟定义【预习检测】练习 1:说出以下区间能否对于坐标原点对称1.R2.( 1,1)3.( 1,1]4.( ,0) U (0,)5.( ,1) U (1,)6.{ 2, 1,0,1,2}7.[a,b](a b)练习 2:判断以下图象是不是偶函数的图象?函数定义域:Ry-4 -3 -2-1 o12 3 4●x○(四)知识应用、稳固提升学生活动:试试独立解答部分习题。

教师活动:翻开 PPT,出示问题,重申停题格式,板演部分解题过程,率领学生归纳解题步骤:第一,确立函数的定义域,并判断其定义域能否对于原点对称;其次,确立与的关系;最后,得出相应的结论。

【精讲点拨】例 1、判断以下函数的奇偶性1. f ( x) x 12. f ( x)x23. f ( x) ( x ) 2 x[思想一点通 ]:4. f ( x)x2 1 1 x2研究:什么样的函数既是奇函数,又是偶函数?它的图象有什么特色?设计企图:实时稳固所学的新知,经过例题,使学生在学习新知识的同时能加以应用,使学生体验到学习数学过程中的成就感。

高中数学人教B版2019必修第一册教案 函数的奇偶性

高中数学人教B版2019必修第一册教案 函数的奇偶性

函数的奇偶性【第1课时】【教学过程】一、新知初探思考:具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?提示:定义域关于原点对称.二、初试身手1.下列函数是偶函数的是()A.y=x B.y=2x2-3C.y=1xD.y=x2,x∈[0,1]答案:B解析:选项C、D中函数的定义域不关于原点对称,选项A中的函数是奇函数,故选B.2.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()ABCD答案:B解析:B选项的图像关于y轴对称,是偶函数,其余选项中的图像都不具有奇偶性.3.函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于()A.-1B.0C .1D .无法确定 答案:C解析:∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a -1=0,即a =1. 4.若f (x )为R 上的偶函数,且f (2)=3,则f (-2)=________. 答案:3解析:∵f (x )为R 上的偶函数,∴f (-2)=f (2)=3. 三、合作探究类型1:函数奇偶性的判断 例1:判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=x 3+x ;(2)f (x )=1-x 2+x 2-1;(3)f (x )=2x 2+2xx +1;(4)f (x )=⎩⎨⎧x -1,x <0,0,x =0,x +1,x >0.解:(1)函数的定义域为R ,关于原点对称.又f (-x )=(-x )3+(-x )=-(x 3+x )=-f (x ), 因此函数f (x )是奇函数.(2)由⎩⎨⎧1-x 2≥0,x 2-1≥0得x 2=1,即x =±1.因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f (1)=f (-1)=-f (-1)=0,所以f (x )既是奇函数又是偶函数. (3)函数f (x )的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), 不关于原点对称,所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称.f (-x )=⎩⎨⎧-x -1,-x <0,0,-x =0,-x +1,-x >0,即f (-x )=⎩⎨⎧-(x +1),x >0,0,x =0,-(x -1),x <0.于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.规律方法判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图像法:跟踪训练1.下列函数中,是偶函数的有________.(填序号)①f(x)=x3;②f(x)=|x|+1;③f(x)=1x2;④f(x)=x+1x;⑤f(x)=x2,x∈[-1,2].答案:②③解析:对于①,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于②,f(-x)=|-x|+1=|x|+1,则为偶函数;对于③,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=1-x2=1x2=f(x),则为偶函数;对于④,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x-1x=-f(x),则为奇函数;对于⑤,定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则为非奇非偶函数.类型2:奇偶函数的图像问题例2:已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图像如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图像;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图像关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图像,可知它在[-5,0]上的图像,如图所示.(2)由图像知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).母题探究(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,再求解上述问题.解:(1)如图所示(2)由(1)可知,使函数值y<0的x的取值集合为(-5,-2)∪(2,5).规律方法巧用奇、偶函数的图像求解问题1.依据:奇函数⇔图像关于原点对称,偶函数⇔图像关于y轴对称.2.求解:根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题.跟踪训练2.如图是函数f (x )=1x 2+1在区间[0,+∞)上的图像,请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像,并说明你的作图依据.解:因为f (x )=1x 2+1,所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ,都有f (-x )=1-x 2+1=1x 2+1=f (x ),所以f (x )为偶函数.所以f (x )的图像关于y 轴对称,其图像如图所示.类型3:利用函数的奇偶性求值 探究问题1.对于定义域内的任意x ,若f (-x )+f (x )=0,则函数f (x )是否具有奇偶性?若f (-x )-f (x )=0呢?提示:由f (-x )+f (x )=0得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.由f (-x )-f (x )=0得f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数.2.若f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则f (0)的值可求吗?若f (x )为偶函数呢? 提示:若f (x )为奇函数,则f (0)=0;若f (x )为偶函数,无法求出f (0)的值. 例3:(1)若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________,b =________;(2)已知f (x )=x 7-ax 5+bx 3+cx +2,若f (-3)=-3,则f (3)=________. 思路点拨答案:(1)13;0(2)7解析:(1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a -1=-2a ,解得a =13. 又函数f (x )=13x 2+bx +b +1为二次函数,结合偶函数图像的特点,易得b =0. (2)令g (x )=x 7-ax 5+bx 3+cx ,则g (x )是奇函数, ∴f (-3)=g (-3)+2=-g (3)+2,又f (-3)=-3, ∴g (3)=5.又f (3)=g (3)+2,所以f (3)=5+2=7. 规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略1.定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.2.解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.跟踪训练3.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.答案:4解析:法一:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x -4)=x2-(a-4)x-4a,两式恒相等,则a-4=0,即a=4.法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数,只需多项式的奇次项系数为0,即a-4=0,则a=4.法三:根据二次函数的奇偶性可知,形如f(x)=ax2+c的都是偶函数,因而本题只需将解析式看成是平方差公式,则a=4.四、课堂小结1.奇偶性是函数“整体”性质,只有对函数f(x)定义域内的每一个值x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇函数(或偶函数).2.函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映,也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化,这是对称思想的应用.五、当堂达标1.思考辨析(1)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.()(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.()(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.()(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×2.函数f(x)=|x|+1是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案:B解析:∵f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数.3.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=______.答案:0解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,∴2ax2=0对任意x∈R恒成立,所以a=0.4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示.(1)请补充完整函数y=f(x)的图像;(2)根据图像写出函数y=f(x)的增区间;(3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.解:(1)由题意作出函数图像如图:(2)据图可知,单调增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).【第2课时】奇偶性的应用【教学目标】【核心素养】1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式,培养逻辑推理素养.2.借助奇偶性与单调性的应用,提升逻辑推理、数学运算素养.【教学过程】一、合作探究类型1:用奇偶性求解析式例1:(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1x-1,求函数f(x),g(x)的解析式.思路点拨:(1)设x<0,则-x>0―――――→当x>0f x=-x+1求f-x―――→奇函数得x<0时f x的解析式―――→奇函数的性质f0=0――――→分段函数f x的解析式(2)f x +gx =1x -1――――――→用-x 代式中x得f-x +g -x=1-x -1―――→奇偶性 得fx -gx =-1x +1――――→解方程组得fx ,g x 的解析式解:(1)设x <0,则-x >0, ∴f (-x )=-(-x )+1=x +1, 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数, ∴f (-x )=-f (x )=x +1, ∴当x <0时,f (x )=-x -1. 又x =0时,f (0)=0,所以f (x )=⎩⎨⎧-x -1,x <0,0,x =0,-x +1,x >0.(2)∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数, ∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ).由f (x )+g (x )=1x -1,①用-x 代替x 得f (-x )+g (-x )=1-x -1,∴f (x )-g (x )=1-x -1,②(①+②)÷2,得f (x )=1x 2-1;(①-②)÷2,得g (x )=xx 2-1.母题探究把本例(2)的条件“f (x )是偶函数,g (x )是奇函数”改为“f (x )是奇函数,g (x )是偶函数”,再求f (x ),g (x )的解析式.解:∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数, ∴f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),又f (x )+g (x )=1x -1,①用-x 代替上式中的x ,得f (-x )+g (-x )=1-x -1,即f (x )-g (x )=1x +1.②联立①②得f (x )=x x 2-1,g (x )=1x 2-1.规律方法利用函数奇偶性求解析式的方法1.“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x 就应在哪个区间上设. 2.要利用已知区间的解析式进行代入.3.利用f (x )的奇偶性写出-f (x )或f (-x ),从而解出f (x ).提醒:若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数,则必有f (0)=0,但若为偶函数,未必有f (0)=0.类型2:函数单调性和奇偶性的综合问题 探究问题1.如果奇函数f (x )在区间(a ,b )上单调递增,那么f (x )在(-b ,-a )上的单调性如何?如果偶函数f (x )在区间(a ,b )上单调递减,那么f (x )在(-b ,-a )上的单调性如何?提示:如果奇函数f (x )在区间(a ,b )上单调递增,那么f (x )在(-b ,-a )上单调递增;如果偶函数f (x )在区间(a ,b )上单调递减,那么f (x )在(-b ,-a )上单调递增.2.你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来?提示:奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.3.若偶函数f (x )在(-∞,0)上单调递增,那么f (3)和f (-2)的大小关系如何?若f (a )>f (b ),你能得到什么结论?提示:f (-2)>f (3),若f (a )>f (b ),则|a |<|b |. 角度一:比较大小问题例2:函数y =f (x )在[0,2]上单调递增,且函数f (x +2)是偶函数,则下列结论成立的是()A .f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72思路点拨:y =f x +2是偶函数―→fx 的图像关于x =2对称――――→[0,2]上递增比较大小答案:B解析:∵函数f (x +2)是偶函数,∴函数f (x )的图像关于直线x =2对称,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,又f (x )在[0,2]上单调递增,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 规律方法比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.跟踪训练1.设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是()A .f (π)>f (-3)>f (-2)B .f (π)>f (-2)>f (-3)C .f (π)<f (-3)<f (-2)D .f (π)<f (-2)<f (-3) 答案:A由偶函数与单调性的关系知,若x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则x ∈(-∞,0)时,f (x )是减函数,故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,∵|-2|<|-3|<π,∴f (π)>f (-3)>f (-2),故选A .角度二:解不等式问题例3:已知定义在[-2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围.解:因为f (x )在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数,所以f (x )在[-2,2]上为减函数.又f (1-m )<f (m ),所以⎩⎨⎧-2≤1-m ≤2,-2≤m ≤2,1-m >m ,即⎩⎪⎨⎪⎧-1≤m ≤3,-2≤m ≤2,m <12.解得-1≤m <12.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12.规律方法解有关奇函数f (x )的不等式f (a )+f (b )<0,先将f (a )+f (b )<0变形为f (a )<-f (b )=f (-b ),再利用f (x )的单调性去掉“f ”,化为关于a ,b 的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f (x )=f (|x |)=f (-|x |)将f (g (x ))中的g (x )全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f ,使不等式得解.跟踪训练2.函数f (x )是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f (3)<f (2a +1),则a 的取值范围是()A .a >1B .a <-2C .a >1或a <-2D .-1<a <2答案:C解析:因为函数f (x )在实数集上是偶函数,且f (3)<f (2a +1),所以f (3)<f (|2a +1|),又函数f (x )在[0,+∞)上是增函数,所以3<|2a +1|,解得a >1或a <-2.故选C . 二、课堂小结1.具有奇偶性的函数的单调性的特点(1)奇函数在[a ,b ]和[-b ,-a ]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a ,b ]和[-b ,-a ]上具有相反的单调性.2.利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x ),但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ,然后把x 转化为-x (另一个已知区间上的解析式中的变量),通过适当推导,求得所求区间上的解析式.3.偶函数的一个重要性质:f (|x |)=f (x ),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论. 三、当堂达标1.思考辨析(1)奇函数f(x)=1x,当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同,所以一般的奇函数在(0,+∞)上的解析式与(-∞,0)上的解析式也相同.()(2)对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(|x|).()(3)若存在x0使f(1-x0)=f(1+x0),则f(x)关于直线x=1对称.()(4)若奇函数f(x)在(0,+∞)上有最小值a,则f(x)在(-∞,0)上有最大值-a.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√2.已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则()A.f(1)>f(2)B.f(1)<f(2)C.f(1)=f(2)D.以上都有可能答案:A解析:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(1)>f(2),故选A.3.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(a)<f(b),则一定可得()A.a<b B.a>bC.|a|<|b|D.0≤a<b或a>b≥0答案:C解析:∵f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.]4.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式.解:f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g (x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得f(x)=x2-2,g(x)=x.。

3.1.2函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.1.2函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.1.2 函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案知识点概述函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。

如果在定义域内,随着自变量的增大,函数值也增大,那么该函数就是单调递增的。

反之,如果随着自变量的增大,函数值反而减小,那么该函数就是单调递减的。

本节课程将介绍函数单调性的判断方法,通过一些例题帮助学生掌握这一知识点。

教学目标1.掌握函数单调性的定义;2.熟悉函数单调性的判断方法;3.通过例题训练,提高学生应用函数单调性的能力。

教学重点函数单调性的判断方法教学难点如何应用单调性判断函数的增减性教学过程1. 导入新知识通过一个实例来引导学生理解函数单调性的概念。

给学生出示一个数轴图像,用手指在数轴上滑动,问学生,随着手指从左到右的滑动,哪些方向的箭头所指方向与手指滑动方向相同?引导学生发现箭头向右的部分,与手指从左到右滑动的方向一致,这表明该数轴部分是单调递增的。

而箭头指向左的部分,则相反,是单调递减的。

然后,将此概念应用到函数中,强调函数的单调性是指函数值的递增或递减的性质,通常用单调递增和单调递减两个概念来描述。

2. 函数单调性的判断方法为了帮助学生更好地理解函数单调性,本节课程将介绍两种判断函数单调性的方法。

方法一:一阶导数法对于可导函数f(x),如果在定义域上f′(x)>0,那么f(x)单调递增;如果在定义域上f′(x)<0,那么f(x)单调递减。

这是一种常见的判断函数单调性的方法,但是需要前提是函数f(x)在定义域上可导。

同时,需要注意的是,f′(x)=0的点可能是转折点,此时函数从单调递增变为单调递减,或者从单调递减变为单调递增。

方法二:二阶导数法对于二次可导函数f(x),如果在x=a处f″(a)>0,那么f(x)在x=a处有一个局部最小值,同时f(x)在x<a和x>a上单调递增;如果在x=a处f″(a)<0,则f(x)在x=a处有一个局部最大值,同时f(x)在x<a和x>a上单调递减。

人教B版高中数学必修一3.2 对数与对数函数

人教B版高中数学必修一3.2   对数与对数函数

高中数学学习材料 (灿若寒星 精心整理制作)3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算【目标要求】1. 理解对数的概念。

2. 掌握对数的运算性质。

1. 掌握换底公式并灵活运用。

【巩固教材——稳扎马步】1.指数式b c=a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 ( )A .log c a =bB .log c b =aC .log a b =cD .log b a =c 2.已知ab >0,下面四个等式中,正确命题的个数为 ( )①lg (ab )=lg a +lg b ②lg b a =lg a -lg b ③bab a lg )lg(212= ④lg (ab )=10log 1abA .0B .1C .2D .33. 3log 21122-的值等于 ( ) A.32B.32C.332D.2 4.下列等式中恒成立的是( )A.()()0,0log log log >>+=+N M N M N M a a aB.N M NMa a a a log log log log -=()1,0,0≠>>N N MC.M n M a n a log 1log =()*,0N n M ∈> D.M nmM a nmalog log =()*,,0n n m M ∈>【重难突破——重拳出击】 5.已知()1132log log log 0x =⎡⎤⎣⎦,则=-21x( )331.221.321.31.D C B A6. 如果方程 lg 2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0 的两根为x 1,x 2,那么x 1·x 2的值为 ( )A 、lg2·lg3B 、lg2+lg3C 、61D 、-6 7. 已知:2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ,则m 的值是 ( ) A.2 B.3 C.2 D.3 8. =++-+)1(log )1(n n n n ( )A .1B.-1C.2D.-29. 已知x =2+1,则lo g 4(x 3-x -6)等于 ( ) A .23B .45C .0D .21 10. 已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y yy x则x 的值是 ( )A 、-1B 、0C 、1D 、311. 若31log 131log 15121+的值属于区间(n ,n +1),n ∈N *,则n 等于 ( )A .1B .2C .3D .4 12. 若a 、b 、c ∈R +,则3a =4b =6c,则 ( )A .b ac 111+= B .b ac 122+= C .ba c 221+=D .ba c 212+=【巩固提高——登峰揽月】13.lg 25+32lg8+lg5·lg20+lg 22= 。

【B版】人教课标版高中数学必修一《指数函数》教学教案1-新版

【B版】人教课标版高中数学必修一《指数函数》教学教案1-新版

3.1.2 指数函数一、教学目标:知识与技能:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法:通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点:教学重点:指数函数的概念、图象和性质。

指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。

作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础;同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。

教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

三、学情分析:学生已经学习了函数的知识,,指数函数是函数知识中重要的一部分内容,学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象,则一定能从中发现指数函数的本质,所以对已经熟悉掌握函数的学生来说,学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中函数的学习,对解决一些数学问题有一定的能力。

通过教师启发式引导,学生自主探究完成本节课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡,思维能力的提高是一个转折期,但是,学生的自主意识强,有主动学习的愿望与能力。

有好奇心、好胜心、进取心,富有激情、思维活跃。

四、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教B版)第三章3.1.2节《指数函数》。

根据我所任教的学生的实际情况,我将《指数函数》划分为两节课(探究图象及其性质,指数函数及其性质的应用),这是第一节课“探究图象及其性质”。

新人教B版新教材学高中数学必修第一册第三章函数函数的奇偶性函数奇偶性的概念教案

新人教B版新教材学高中数学必修第一册第三章函数函数的奇偶性函数奇偶性的概念教案

考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数,了解函数奇偶性的含义,掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象、逻辑推理奇、偶函数的图像了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算问题导学预习教材P104—P109的内容,思考以下问题:1.奇函数与偶函数的定义是什么?2.奇、偶函数的定义域有什么特点?3.奇、偶函数的图像有什么特征?1.偶函数(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有—x∈D,且f(—x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数.(2)图像特征:图像关于y轴对称.2.奇函数(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有—x∈D,且f(—x)=—f(x),则称y=f(x)为奇函数.(2)图像特征:图像关于原点对称.■名师点拨(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(—x)须同时有意义,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.(2)奇、偶函数的对应关系的特点1奇函数有f(—x)=—f(x)⇔f(—x)+f(x)=0⇔错误!=—1(f(x)≠0);2偶函数有f(—x)=f(x)⇔f(—x)—f(x)=0⇔错误!=1(f(x)≠0).(3)函数奇偶性的三个关注点1若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数;2既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈I,其中定义域I是关于原点对称的非空集合;3函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称.()(2)函数f(x)=x2的图像关于原点对称.()(3)对于定义在R上的函数f(x),若f(—1)=—f(1),则函数f(x)一定是奇函数.()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(—x)+f(x)=0.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√下列函数为奇函数的是()A.y=|x| B.y=3—xC.y=错误!D.y=—x2+14解析:选C.A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数,故选C.若函数y=f(x),x∈[—2,a]是偶函数,则a的值为()A.—2B.2C.0 D.不能确定解析:选B.因为偶函数的定义域关于原点对称,所以—2+a=0,所以a=2.下列图像表示的函数是奇函数的是________,是偶函数的是________.(填序号)解析:13关于y轴对称是偶函数,24关于原点对称是奇函数.答案:2413若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=2,则f(—3)=________,f(0)=________.解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(—3)=—f(3)=—2,f(0)=0.答案:—20函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|—|x—1|;(2)f(x)=错误!+错误!;(3)f(x)=错误!;(4)f(x)=错误!【解】(1)因为x∈R,所以—x∈R,又因为f(—x)=|—x+1|—|—x—1|=|x—1|—|x+1|=—(|x+1|—|x—1|)=—f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为函数f(x)的定义域为{—1,1},关于原点对称,且f(x)=0,所以f(—x)=—f(x),f(—x)=f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)f(x)的定义域为[—1,0)∪(0,1].即有—1≤x≤1且x≠0,则—1≤—x≤1,且—x≠0,又因为f(—x)=错误!=—错误!=—f(x).所以f(x)为奇函数.(4)f(x)的定义域是(—∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,—x<0,f(—x)=1—(—x)=1+x=f(x);当x<0时,—x>0,f(—x)=1+(—x)=1—x=f(x).综上可知,对于x∈(—∞,0)∪(0,+∞),都有f(—x)=f(x),所以f(x)为偶函数.错误!判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图像法[注意] 对于分段函数奇偶性的判断,应分段讨论,要注意根据x的范围取相应的函数解析式.1.给定四个函数:1y=x3+错误!;2y=错误!(x>0);3y=x3+1;4y=错误!.其中是奇函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选B.1函数的定义域为R,f(x)=x3+错误!,f(—x)=—(x3+错误!)=—f(x),则函数f(x)是奇函数;2函数的定义域关于原点不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数;3函数的定义域为R,f(0)=0+1=1≠0,则函数f(x)为非奇非偶函数;4函数的定义域为(—∞,0)∪(0,+∞),f(—x)=错误!=—错误!=—f(x),则函数f(x)是奇函数.2.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)解析:选B.因为f(x)是奇函数,所以f(—x)=—f(x).对于A,g(—x)=—x+f(—x)=—x—f(x)=—g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.对于B,g(—x)=—xf(—x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.对于C,g(—x)=(—x)2+f(—x)=x2—f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数.对于D,g(—x)=(—x)2f(—x)=—x2f(x)=—g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.奇、偶函数的图像已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f (x)在y轴左侧的图像,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图像;(2)根据图像写出函数y=f(x)的增区间;(3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.【解】(1)由题意作出函数图像如图:(2)据图可知,单调递增区间为(—1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(—2,0)∪(0,2).1.(变问法)本例条件下,y取何值时,有四个不同的x值与之对应?解:结合图像可知,满足条件的y的取值范围是(—1,0).2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题?解:(1)由题意作出函数图像如图所示:(2)据图可知,单调递增区间为(—1,1).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(—2,0)∪(2,+∞).错误!巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0,+∞)(或(—∞,0])上对应的图像.(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(—∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图像.[注意] 作对称图像时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(—x0,—y0),关于y轴的对称点为(—x0,y0).已知函数y=f(x)是偶函数,且图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.4B.2C.1D.0解析:选D.因为f(x)是偶函数,且图像与x轴有四个交点,所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的,故所有实根之和为0.利用函数的奇偶性求参数(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a—1,2a],则a=________,b=________.(2)若已知函数f(x)=错误!是定义在(—1,1)上的奇函数,且f错误!=错误!,求函数f(x)的解析式.【解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a—1=—2a,解得a=错误!.又函数f(x)=错误!x2+bx+b+1为二次函数,结合偶函数图像的特点,易得b=0.故填错误!和0.(2)因为f(x)是定义在(—1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,即错误!=0,所以b=0.又因为f错误!=错误!=错误!,所以a=1,所以f(x)=错误!.错误!利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b =0求参数.(2)解析式含参数:根据f(—x)=—f(x)或f(—x)=f(x)列式,比较系数即可求解.1.若f(x)=(ax+1)(x—a)为偶函数,且函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为()A.±1B.—1C.1D.0解析:选C.因为f(x)=(ax+1)(x—a)=ax2+(1—a2)x—a为偶函数,所以1—a2=0.所以a=±1.当a=1时,f(x)=x2—1,在(0,+∞)上单调递增,满足条件;当a=—1时,f(x)=—x 2+1,在(0,+∞)上单调递减,不满足.2.已知函数f(x)=错误!是奇函数,则a=________.解析:因为f(x)为奇函数,所以f(—1)+f(1)=0,即(a—1)+(—1+1)=0,故a =1.答案:11.下列函数是偶函数的是()A.y=xB.y=2x2—3C.y=错误!D.y=x2,x∈(—1,1]解析:选B.对于A,定义域为R,f(—x)=—x=—f(x),是奇函数;对于B,定义域为R,满足f(x)=f(—x),是偶函数;对于C和D,定义域不关于原点对称,则不是偶函数.2.函数f(x)=错误!—x的图像关于()A.y轴对称B.直线y=—x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称解析:选C.函数f(x)=错误!—x是奇函数,其图像关于坐标原点对称.3.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+错误!,则f(—1)=________.解析:当x>0时,f(x)=x2+错误!,所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,所以f(—1)=—2.答案:—24.根据题中函数的奇偶性及所给部分图像,作出函数在y轴另一侧的图像,并解决问题:(1)如图1是奇函数y=f(x)的部分图像,求f(—4)·f(—2);(2)如图2是偶函数y=f(x)的部分图像,比较f(1)与f(3)的大小.解:(1)作出函数在y轴另一侧的图像,如图所示,观察图像可知f(—4)=—f(4)=—2,f(—2)=—f(2)=—1,所以f(—4)·f(—2)=(—2)×(—1)=2.(2)作出函数在y轴另一侧的图像,如图所示.观察图像可知f(1)=f(—1),f(3)=f(—3),f(—1)<f(—3),所以f(1)<f(3).[A 基础达标]1.下列函数为奇函数的是()A.y=x2+2B.y=x,x∈(0,1]C.y=x3+x D.y=x3+1解析:选C.对于A,f(—x)=(—x)2+2=x2+2=f(x),即f(x)为偶函数;对于B,定义域不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数;对于C,定义域为R,且f(—x)=(—x)3+(—x)=—(x3+x)=—f(x),故f(x)为奇函数;对于D,f(—x)=—x3+1≠f(x)且f(—x)≠—f(x),故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.2.若函数f(x)=(m—1)x2+(m—2)x+(m2—7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1B.2C.3D.4解析:选B.因为函数f(x)=(m—1)x2+(m—2)x+(m2—7m+12)为偶函数,所以f(—x)=f(x),即(m—1)x2+(m—2)x+(m2—7m+12)=(m—1)x2+(—m+2)x+(m2—7m +12),即m—2=—m+2,解得m=2.3.设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)—f(—x)在R上一定()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:选A.F(—x)=f(—x)—f(x)=—[f(x)—f(—x)]=—F(x),符合奇函数的定义.4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(—2)+f(—1)的值为()A.—2B.2C.1D.0解析:选A.由题图知f(1)=错误!,f(2)=错误!,又f(x)为奇函数,所以f(—2)+f(—1)=—f(2)—f(1)=—错误!—错误!=—2.故选A.5.如果函数y=错误!是奇函数,则f(x)=________.解析:设x<0,则—x>0,所以2×(—x)—3=—2x—3.又原函数为奇函数,所以f(x)=—(—2x—3)=2x+3.答案:2x+36.已知函数f(x)=ax3+bx+错误!+5,满足f(—3)=2,则f(3)的值为________.解析:因为f(x)=ax3+bx+错误!+5,所以f(—x)=—ax3—bx—错误!+5,即f(x)+f(—x)=10.所以f(—3)+f(3)=10,又f(—3)=2,所以f(3)=8.答案:87.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3,x∈R;(2)f(x)=5x4—4x2+7,x∈[—3,3];(3)f(x)=错误!解:(1)因为f(—x)=3=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)因为x∈[—3,3],f(—x)=5(—x)4—4(—x)2+7=5x4—4x2+7=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)当x>0时,f(x)=1—x2,此时—x<0,所以f(—x)=(—x)2—1=x2—1,所以f(—x)=—f(x);当x<0时,f(x)=x2—1,此时—x>0,f(—x)=1—(—x)2=1—x2,所以f(—x)=—f(x);当x=0时,f(—0)=—f(0)=0.综上,对x∈R,总有f(—x)=—f(x),所以函数f(x)为R上的奇函数.8.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图像如图所示.(1)补全f(x)的图像;(2)解不等式xf(x)>0.解:(1)描出点(1,1),(2,0)关于原点的对称点(—1,—1),(—2,0),则可得f(x)的图像如图所示.(2)结合函数f(x)的图像,可知不等式xf(x)>0的解集是(—2,0)∪(0,2).[B 能力提升]9.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:选C.依题意得对任意x∈R,都有f(—x)=—f(x),g(—x)=g(x),因此,f(—x)·g(—x)=—f(x)·g(x)=—[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(—x)|·g(—x)=|—f (x)|·g(x)=|f(x)|·g(x),|f(x)|·g(x)是偶函数,B错;f(—x)·|g(—x)|=—f(x)·|g(x)|=—[f(x)|g(x)|],f(x)·|g(x)|是奇函数,C正确;|f(—x)·g(—x)|=|—f(x)g(x)|=|f (x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.故选C.10.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)—g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.—3B.—1C.1D.3解析:选C.因为f(x)—g(x)=x3+x2+1,所以f(—x)—g(—x)=—x3+x2+1,又由题意可知f(—x)=f(x),g(—x)=—g(x),所以f(x)+g(x)=—x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.11.已知奇函数f(x)=错误!(1)求实数m的值,并画出y=f(x)的图像;(2)若函数f(x)在区间[—1,a—2]上单调递增,试确定a的取值范围.解:(1)当x<0时,—x>0,f(—x)=—(—x)2+2(—x)=—x2—2x.又f(x)为奇函数,所以f(—x)=—f(x)=—x2—2x,所以f(x)=x2+2x,所以m=2.y=f(x)的图像如图所示.(2)由(1)知f(x)=错误!由图像可知,f(x)在[—1,1]上单调递增,要使f(x)在[—1,a—2]上单调递增,只需错误!解得1<a≤3.12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a、b∈R,当a+b≠0时,都有错误!>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3—2m)≥0,求实数m的取值范围.解:(1)因为a>b,所以a—b>0,由题意得错误!>0,所以f(a)+f(—b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(—b)=—f(b),所以f(a)—f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,因为f(1+m)+f(3—2m)≥0,所以f(1+m)≥—f(3—2m),即f(1+m)≥f(2m—3),所以1+m≥2m—3,所以m≤4.所以实数m的取值范围为(—∞,4].[C 拓展探究]13.已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=错误!,h(x)=错误!.(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性;(2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;(3)由此你能猜想出什么样的结论?解:(1)因为g(—x)=错误!=g(x),h(—x)=错误!=—h(x),所以g(x)是偶函数,h (x)是奇函数.(2)g(x)+h(x)=错误!+错误!=f(x).(3)如果一个函数的定义域关于原点对称,那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.。

高中数学(人教新课标B版)教学设计 必修一:3.1.2 指数函数

高中数学(人教新课标B版)教学设计 必修一:3.1.2 指数函数

示范教案整体设计教学分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等.同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点:指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 2课时教学过程第1课时导入新课思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的34,写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式,它是函数关系式吗?若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的164,则至少要漂洗几次?教师引导学生分析,列出关系式y =(14)x ,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫做指数函数,引出本节课题.思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,1621324149,27,16-.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1,14,2,9,17,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.推进新课 新知探究 提出问题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是__________.2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的关系式是__________.讨论结果:1.y =0.84x 2.y =2x 提出问题1你能说出函数y =0.84x 与函数y =2x 的共同特征吗?2你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?3为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?4为什么指数函数的定义域是实数集?5如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步骤.活动:先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.对于问题(1),看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 对于问题(2),一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 对于问题(3),为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.对于问题(4),在(3)的规定下,我们可以把a x 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.对于问题(5),使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果:(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x 都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x 和y.(2)对于两个解析式y =0.84x 和y =2x ,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y =a x (a >0,a≠1,x ∈R )叫做指数函数,其中x 叫做自变量,函数的定义域是实数集R .(3)a =0时,x >0时,a x 总为0;x≤0时,a x 没有意义. a <0时,如a =-2,x =12,a x =(-2)21=-2显然是没有意义的.a =1时,a x 恒等于1,没有研究的必要.因此规定a >0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为a >0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R .(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题1前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? 2前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤., 3利用上面的步骤,作函数y =2x 的图象.4利用上面的步骤,作函数xy )21( 的图象.5观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?6根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?7把y =2x 和xy )21(=的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? 8你能证明上述结论吗?9能否用y =2x 的图象画xy )21(=的图象?请说明画法的理由.10什么是限制函数?活动:教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果:(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =2x…1814121248…(4)列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =(12)x…8421121418…作图如下图.(5)通过观察上图,可知图象左右延伸无止境,说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点(0,1),且y值分布有以下特点:x<0时,0<y<1;x>0时,y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察下图,可知图象左右延伸无止境,说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点(0,1),且y值分布有以下特点:x<0时,y>1;x>0时,0<y<1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=(13)x,y=(16)x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.(6)一般地,指数函数y=a x在a>1和0<a<1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.图象特征函数性质a>1 0<a<1 a>1 0<a<1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0,1) a0=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1x>0,a x>1 x>0,a x<1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1x<0,a x<1 x<0,a x>1一般地,指数函数y=a x在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a>1 0<a<1(7)在同一坐标系中作出y =2x 和y =(12)x 两个函数的图象,如下图.经过仔细研究发现,它们的图象关于y 轴对称.(8)证明:设点P(x 1,y 1)是y =2x 上的任意一点,它关于y 轴的对称点是P 1(-x 1,y 1),它满足方程y =(12)x =2-x ,即点P 1(-x 1,y 1)在y =(12)x 的图象上.反之亦然,所以y =2x 和y =(12)x 两个函数的图象关于y 轴对称.(9)因为y =2x 和y =(12)x 两个函数的图象关于y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.(10)由指数函数的定义可知,指数函数的定义域是实数集,但在实际问题中不都如此.例如,开始引进的两个函数的例子,函数y =2x 的定义域是非负整数集,函数y =0.84x 的定义域是正整数集,它们的定义域都是指数函数定义域的子集,而且它们在其定义域内分别与指数函数y =2x ,y =0.84x 取相同的值.通常,我们把这类函数称为指数函数的“限制函数”.应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数?y =x 2,y =8x ,y =2·4x ,y =(2a -1)x (a >12,a≠1),y =(-4)x ,y =πx ,y =6x3+2.活动:学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y =x 2,y =2·4x ,y =6x 3+2都不符合y =a x 的形式,教师强调y =a x 的形式的重要性,即a 前面的系数为1,a 是一个正常数(也可以是一个表示正常数的代数式),指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式.解:y =8x ,y =(2a -1)x (a >12,a≠1),y =πx 是指数函数;y =(-4)x ,y =x 2,y =2·4x ,y=6x 3+2不是指数函数.2比较下列各题中的两个值的大小:(1)1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.活动:学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案),比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出y =1.7x 的图象,如下图.在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.解法二:用计算器直接计算:1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三:利用函数单调性:(1)1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y =1.7x ,当x =2.5和3时的函数值;因为1.7>1,所以函数y =1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73.(2)0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y =0.8x ,当x =-0.1和-0.2时的函数值;因为0<0.8<1,所以函数y =0.8x 在R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.(3)因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.点评:在第(3)小题中,可以用解法一、解法二解决,但不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值.思路2例1求下列函数的定义域和值域: (1)412-x y =;(2)||)32(x y -=.活动:学生先思考,再回答,由于指数函数y =a x (a >0且a≠1)的定义域是R ,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式.解:(1)令x -4≠0,则x≠4,所以函数y =21x -4的定义域是{x ∈R |x≠4},又因为1x -4≠0,所以412-x ≠1,即函数412-x y =的值域是{y|y >0且y≠1}.(2)因为-|x|≥0,所以只有x =0. 因此函数||)32(x y -=的定义域是{x|x =0}.而||)32(x y -==(23)0=1,即函数||)32(x y -=的值域是{y|y =1}. 点评:求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的2比较下列两个数的大小:(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)53322,)31(--. 活动:教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生. 解法一:直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较: 对(1),因为30.8=2.408 225,30.7=2.157 669,所以30.8>30.7;对(2),因为0.75-0.1=1.029 186,0.750.1=0.971 642,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3),因为1.80.6=1.422 864,0.81.6=0.699 752,所以1.80.6>0.81.6;对(4),因为32)31(-=2.080 084,2-35=0.659 754,所以32)31(->2-35.解法二:利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:对(1),因为函数y =3x 在R 上是增函数,0.8>0.7,所以30.8>30.7;对(2),因为函数y =0.75x 在R 上是减函数,0.1>-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3),由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;对(4),由指数函数的性质知32)31(->(13)0=1=20>2-35,所以32)31(->2-35.解法三:利用图象法来解,具体解法略.点评:在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”.知能训练1.下列关系中正确的是()答案:D2.函数y=a x(a>0,a≠1)对任意的实数x、y都有()A.f(xy)=f(x)·f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案:C3.函数y=a x+5+1(a>0,a≠1)恒过定点__________.答案:(-5,2)拓展提升探究一:在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.活动:学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如下图.x …-2 -1 0 1 2 3 …10 …y=2x…0.25 0.5 1 2 4 8 … 1 024 …y=3x...0.11 0.33 1 3 9 27 (59)049…y=10x…0.01 0.1 1 10 100 1 000 …1010…从表格或图象可以看出:(1)x<0时,有2x>3x>10x;(2)x>0时,有2x<3x<10x;(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.因此得:一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有a x<b x<1;(2)x=0时,有a x=b x=1;(3)x>0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.探究二:分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(如下图所示),对照底数为2、3、10的指数函数的图象,研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响.由此得:一般地,0<a<b<1时,(1)x>0时,有a x<b x<1;(2)x=0时,有a x=b x=1;(3)x<0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.课堂小结1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质.3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.作业课本本节练习B2、3.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代,为什么规定底数a 是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.备课资料例1 (1)求使不等式4x >32成立的x 的集合; (2)已知a 45>a2,求实数a 的取值范围.活动:学生先思考,再讨论,然后回答.(1)由于x 在指数位置上,因此,要利用指数函数的性质进行转化,特别是指数函数的单调性,(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围.解:(1)4x >32,即22x >25.因为y =2x 是R 上的增函数,所以2x >5,即x >52.满足4x >32的x 的集合是(52,+∞).(2)由于45<2,则y =a x 是减函数,所以0<a <1.点评:正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键. 例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动:教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一:设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2,则 y 2-y 1=ax 2-ax 1=ax 1(ax 2-x 1-1).因为a >1,x 2-x 1>0,所以ax 2-x 1>1,即ax 2-x 1-1>0. 又因为ax 1>0, 所以y 2-y 1>0, 即y 1<y 2.所以当a >1时,y =a x ,x ∈R 是增函数. 同理可证,当0<a <1时,y =a x 是减函数.证法二:设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2,则y 2与y 1都大于0,则y 2y 1=ax 2ax 1=ax 2-x 1.因为a >1,x 2-x 1>0,所以ax 2-x 1>1,即y 2y 1>1,y 1<y 2.所以当a >1时,y =a x ,x ∈R 是增函数. 同理可证,当0<a <1时,y =a x 是减函数.例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少?(精确到亿)活动:师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:1999年底 人口约为13亿;经过1年 人口约为13(1+1%)亿;经过2年 人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿;经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年人口约为13(1+1%)x亿;经过20年人口约为13(1+1%)20亿.解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则y=13(1+1%)x,当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评:类似此题,设原值为N,平均增长率为p,则对于经过时间x年后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=ka x(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数.(设计者:韩双影)第2课时导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=a x与y=a x+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢?在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题.思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题,也是我们本堂课要解决的问题.推进新课新知探究提出问题1指数函数有哪些性质?2利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?3对复合函数,如何证明函数的单调性?4如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.讨论结果:(1)指数函数的图象和性质.一般地,指数函数y=a x在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a>10<a<1(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是:①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1<x2.②作差变形.即求f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函数y=f可以总结为:当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f是增函数;当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.应用示例思路1例在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2.活动:教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图.解:(1)列出函数数据表作出图象如下图.x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …2x…0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …2x+1…0.25 0.5 1 2 4 8 16 …2x+2…0.5 1 2 4 8 16 32 …比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为:将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.(2)列出函数数据表作出图象如下图.x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …2x…0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 …2x-1…0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 …2x-2…0.312 5 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 …比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为:将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.点评:类似地,我们得到y=a x与y=a x+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系:y=a x+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=a x的图象变化而来.当m >0时,y =a x 的图象向左移动m 个单位得到y =a x +m 的图象;当m <0时,y =a x 的图象向右移动|m|个单位得到y =a x +m 的图象. 上述规律也简称为“左加右减”.思路2例1设a >0,f(x)=e x a +aex 在R 上满足f(-x)=f(x).(1)求a 的值;(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.活动:学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.(1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程. (2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式. (1)解:依题意,对一切x ∈R 有f(-x)=f(x)成立,即1ae x +ae x=e x a +a e x .所以(a -1a )(e x -1e x )=0对一切x ∈R 成立.由此可得a -1a =0,即a 2=1.又因为a >0,所以a =1.(2)证明:设0<x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=e x1-e x2+1e x1-1e x2=(e x1-e x2)(1e x1+x2-1)=e x1(e x2-x1-1)·(1-e x1+x2e x1+x2).由x 1>0,x 2>0,x 2-x 1>0,得x 2+x 1>0,e x2-x1-1>0,1-e x2+x1<0,所以f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.点评:在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a ,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.例2已知函数f(x)=3x ,且x =a +2时,f(x)=18,g(x)=3ax -4x 的定义域为. (1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并用定义证明; (3)求g(x)的值域.解:(1)因为f(x)=3x ,且x =a +2时f(x)=18,所以f(a +2)=3a +2=18.所以3a =2. 所以g(x)=3ax -4x =(3a )x -4x . 所以g(x)=2x -4x .(2)因为函数g(x)的定义域为,令t =2x ,因为x ∈时,函数t =2x 在区间上单调递增, 所以t ∈,则g(t)=t -t 2=-(t 2-t)=-(t -12)2+14,t ∈.因为函数t =2x 在区间上单调递增,函数g(t)=t -t 2在t ∈上单调递减,所以函数g(x)在区间上单调递减.证明:设x 1和x 2是区间上任意两个值,且x 1<x 2,g(x 2)-g(x 1)=2x 2-4x 2-2x 1+4x 1=(2x 2-2x 1)-(2x 2-2x 1)(2x 2+2x 1)=(2x 2-2x 1)(1-2x 1-2x 2),因为0≤x 1≤x 2≤1,所以2x 2>2x 1,且1≤2x 1<2,1<2x 2≤2. 所以2<2x 1+2x 2<4.所以-3<1-2x 1-2x 2<-1,可知(2x 2-2x 1)(1-2x 1-2x 2)<0. 所以g(x 2)<g(x 1).所以函数g(x)在区间上单调递减. (3)因为函数g(x)在区间上单调递减, 所以x ∈时,有g(1)≤g(x)≤g(0).因为g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0, 所以-2≤g(x)≤0.故函数g(x)的值域为.点评:此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑. 知能训练求函数y =(12)|1+2x|+|x -2|的单调区间.活动:教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答.解:由题意可知2与-12是区间的分界点.当x <-12时,因为y =(12)-1-2x -x +2=(12)1-3x =23x -1=12·8x ,所以此时函数为增函数.当-12≤x <2时,因为y =(12)1+2x -x +2=(12)3+x =2-3-x =18·(12)x ,所以此时函数为减函数.当x≥2时,因为y =(12)1+2x +x -2=(12)3x -1=21-3x =2·(18)x ,所以此时函数为减函数.当x 1∈上单调递增,在++…+ =500×1=500.点评:第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系. 课堂小结本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性也进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,对常考的函数图象的变换进行了学习,要高度重视,在不断学习中升华提高. 作业课本习题3—1 B 3、5、6.设计感想 指数函数作为一类基本的初等函数,它虽然不具有函数通性中的奇偶性,但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们找到解题思路,本堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容,因此涉及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务.备课资料 富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击,从而发明了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱:“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款过了100年增加到131 000英镑.我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4 061 000英镑,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢主张了!”你可曾想过:区区的1 000英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开河”,还是“言而有据”呢?事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判断. y n =m(1+a)n 就是复利公式,其中m 为本金,a 为年利率,y n 为n 年后本金与利息的总和.在第一个100年末富兰克林的财产应增加到:y 100=1 000(1+5%)100=131 501(英镑),比遗嘱中写的还多出501英镑.在第二个100年末,遗产就更多了:y 100=131 501(1+5%)100=4 142 421(英镑).可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.遗嘱故事启示我们:在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪!1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言!1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”,要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中,两者选取其一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以5%的年利率,在97年的指数效应下的产物.(设计者:刘玉亭)。

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2.1.1函数 教案(2)
教学目标:理解映射的概念;
用映射的观点建立函数的概念.
教学重点:用映射的观点建立函数的概念.
教学过程:
1.通过对教材上例4、例5、例6的研究,引入映射的概念.
注:1,补充例子:投掷飞标时,每一支飞标射到盘上时,是射到盘上的唯一点上。

于是,如果我们把A 看作是飞标组成的集合, B 看作是盘上的点组成的集合,那么,刚才的投飞标相当于集合A 到集合B 的对应,且A 中的元素对应B 中唯一的元素,是特殊的对应.
同样,如果我们把A 看作是实数组成的集合,B 看作是数轴上的点组成的集合,或把A 看作是坐标平面内的点组成的集合,B 看作是有序实数对组成的集合,那么,这两个对应也都是集合A 到集合B 的对应,并且和上述投飞标一样,也都是A 中元素对应B 中唯一元素的特殊对应.
一般地,设A ,B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f)叫做集合A 到集合B 的映射,记作f:A →B.其中与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象,a 叫做b 的原象.
2,强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念
3.映射观点下的函数概念
如果A ,B 都是非空的数集,那么A 到B 的映射f :A →B 就叫做A 到B 的函数,记作y=f(x),其中x ∈A ,y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C (C ⊆B )叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数f(x).
这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.
注:新定义更抽象更一般
如:(狄利克雷函数)是无理数)(是有理数)⎩
⎨⎧=x 0x (1)x (f 4.补充例子:
例1.已知下列集合A 到B 的对应,请判断哪些是A 到B 的映射?并说明理由:
⑴ A=N ,B=Z ,对应法则:“取相反数”;
⑵A={-1,0,2},B={-1,0,1/2},对应法则:“取倒数”;
⑶A={1,2,3,4,5},B=R ,对应法则:“求平方根”;
⑷A={α|00≤α≤900
},B={x|0≤x ≤1},对应法则:“取正弦”. 例2.(1)(x ,y )在影射f 下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f 下的原象是_________。

(2)已知:f :x →y=x 2是从集合A=R 到B=[0,+∞]的一个映射,则B 中的元素1在A 中的原象是_________。

(3)已知:A={a,b},B={c,d},则从A 到B 的映射有几个 。

【典例解析】
例⒈下列对应是不是从A到B的映射,为什么?
⑴A=(0,+∞),B=R,对应法则是"求平方根";
⑵A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应法则是f:x→y=4
2
x (其中x
∈A,y∈B )
⑶A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应法则是f:x→y=(x -2)2(其中x ∈A,y ∈B)
⑷A={x|x∈N},B={-1,1},对应法则是f:x→y=(-1)x (其中x∈A,y∈B).
例⒉设A=B=R,f:x→y=3x+6,求⑴集合A中
21和-3的象;⑵集合B中21和
-3的原象.
参考答案:
例⒈解析:⑴不是从A到B的映射.因为任何正数的平方根都有两个,所以对A中的任何一个
元素,在B中都有两个元素与之对应.⑵是从A到B的映射.因为A中每个数平方除以4后,都在B中有唯一的数与之对应.⑶不是从A到B的映射.因为A中有的元素在B中无元素与之对应.如0∈A,而(0-2)2=4 B.⑷是从A到B的映射.因为-1的奇数次幂是-1,而偶数次幂是1.∴⑴⑶不是,⑵⑷是.
[点评]判断一个对应是否为映射,主要由其定义入手进行分析. 例⒉解:⑴将x=
21和x=-3分别代入y=3x+6,得21的象是2
15,-3的象是-3; ⑵将y=21和y=-3,分别代入y=3x+6,得21的原象-611,-3的原象是-3.
[点评]由映射中象与原象的定义以及两者的对应关系求解.
课堂练习:教材第36页 练习A 、B 。

小结:学习用映射观点理解函数,了解映射的性质。

课后作业:第53页 习题2-1A 第1、2题。

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