冲刺985及211尖子生系列讲义导数与函数高中数学

冲刺985及211优等生系列讲义导数与函数高中数学 问题一 如何灵活应用函数的四大性质 1 问题二 函数中存在性与恒成立问题 17 问题三 如何利用导数处理参数范围问题 35问题四 函数与方程、不等式相关问题 68 问题五 利用导数处理不等式相关问题 94 问题一 如何灵活应用函数的四大性质函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空题,也有解答题；有基础题，也有难度较大的试题..本文将从单调性、奇偶性、单调性与奇偶性和四大性质的综合应用四方面分别加以阐述. 一、函数单调性的灵活应用函数单调性的定义：在定义域的一个子集I 里,有两个任意自变量12,x x ,当12x x < 时,均有()()12f x f x < ,则()f x 在区间I 内单调增.当12x x <时,()()12f x f x >则()f x 在区间I 内单调减.函数的单调性也可表示为：1212()()0f x f x x x ->-时单调递增；1212()()f x f x x x -<-时单调递减.判断方法：①定义法(作差比较；步骤：1.取值 2,作差 3,定号 4,结论)；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判断法则；⑤倒数法；复合函数的单调性：设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若()f x 与()g x的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若()f x 与()g x 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数,简称同增异减.函数单调性的应用：比较大小；解不等式；求取值范围； 求二次函数最值；抽象函数单调性的判断.【例1】如果对定义在R 上的函数()f x ,对任意两个不相等的实数12,x x ,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①e x y x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩. 以上函数是“H 函数”的所有序号为 .【分析】本题的重点和难点均为对“H 函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,采用合并重组的方法进行处理,得()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦ ,由单调性定义的本质,可以看出“H 函数”本质上就是个单调递增函数.【解析】因为对任意两个不相等的实数12,x x ,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,即总有不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,即为函数()f x 是定义在R 上的增函数,对于①,由于e x y =与y x =均为R 上增函数,则函数e xy x =+在R 为增函数；对于②,明显先减后增,不符合；对于③,因为'3cos 0y x =->在R 上恒成立,则3sin y x x =-在R 为增函数；对于④,如图： 当x<0时为减函数,当x>0为增函数,不符合,故选①③.【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断(定义法,图像法,导数法),学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.【小试牛刀】【2016黑龙江省牡丹江市高三上学期期中】已知函数()()⎩⎨⎧>≤--=-7,7,336x a x x a x f x ,若数列{}n a 满足()()na f n n *=∈N 且{}n a 是递增数列,则实数a 的取值范围是( ) A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,49 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,49 C ．[)3,2 D ．()3,2 【答案】D【解析】根据题意,有86301(3)73a a a a -⎧->⎪>⎨⎪-⨯-<⎩,解得23a <<,所以实数a 的取值范围是(2,3),故选D ．二、函数奇偶性的灵活应用函数奇偶性的定义：若函数满足()f x 对于定义域的任意x ,都有()()f x f x -=-,则函数()f x 为奇函数；若函数满足()f x 对于定义域的任意x ,都有()()f x f x -=,则函数()f x 为偶函数.奇偶性的判断：①看定义域是否关于原点对称；②看()f x -与()f x 的关系.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()()0f x f x f x +-=⇔ 是奇函数；()()()0f x f x f x --=⇔ 是偶函数奇偶性常见的性质：①y =f (x )是偶函数⇔y =f (x )的图象关于y 轴对称, y =f (x )是奇函数⇔y =f (x )的图象关于原点对称；②若奇函数f (x )在0x =处有意义,则f (0)=0；③奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇(设两函数的定义域分别为12,D D ,12D D 要关于原点对称).【例2】【2016辽宁省五校协作体高三上学期考试】若关于x 的函数()2222sin tx x t x f x x t +++=+(0t >)的最大值为M ,最小值为N ,且4M N +=,则实数t 的值为 ．【分析】先把()f x 分离常数,得()f x t x xx t +++=2sin 2,再由函数奇偶性确定t 的值【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分离常数,才能看出()f x 是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高.【小试牛刀】已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x <0时,f (x )＝3x ,则f (log 94)的值为( )(A )－2 (B )21-(C )21(D )2【答案】B【解析】根据对数性质,f (log 94)＝f (log 32)因为f (x )是奇函数,于是f (log 32)＝－f (－log 32)＝－f (log 312),且log 312<0故f (log 94)＝－f (log 312)＝－31log 2132=-. 三、函数单调性与奇偶性的综合应用函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性．函数的这两个基本性质应用灵活、广泛.【例3】【2015江苏扬州高三考试】设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 ． 【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式(一个分段函数),此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式)(2)(x f t x f ≥+中,2()f x 的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：)2()(2x f x f =,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t 的范围.【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.【小试牛刀】【2015新课标卷2】设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】解法一：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()()2222121212134+10f x f x f x f x x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔>-⇔-<113x ⇔<< ,故选A.解法二：把1x =代入()(21)f x f x >-,得()()11f f >,这显然不成立,所以1x =不满足()(21)f x f x >-, 由此可排除D ；又()01f =-,()11ln 22f -=-,()()01f f <-,所以0x =不满足()(21)f x f x >-, 由此可排除B,C,故选A. 四、函数性质的综合运用函数周期性的定义：如果存在一个数a ,使得f (x +a )=f (x )[记忆方法：括号里面相减等于一个定值a ],则f (x )为周期函数,T =a .说明：(),0nT n n ∈≠Z 也是)(x f 的周期周期性的推广：若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a 函数对称性：如果存在一个数a ,使得f (x +a )=f (a -x )[记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a ],则f (x )为对称函数,对称轴为x =a .对称性的一般结论：(1)若()()f a x f b x +=-,则()f x 图像关于直线2a bx +=对称；(2)()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=(即a x b x +=- )对称.对称性和周期性的结合：① f (x )图像关于点(a ,0)和(b ,0)(a b ≠ )对称,则f (x )是周期函数,一个周期为T =2a b-；② f (x )图像关于直线x =a 和x =b (a b ≠ )对称,则f (x )是周期函数,一个周期为T =2a b-；③ f (x )图像关于点(a ,0)和直线x =b (a b ≠ )对称,则f (x )是周期函数,一个周期为T =4a b-.【例4】已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数,函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,则下列式子一定成立的是( )A. )()2(x f x f =-B. )6()2(+=-x f x fC. 1)2()2(=+⋅-x f x fD.0)1()(=++-x f x f【分析】由题中函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数,结合奇函数的定义转化可得：()(4)f x f x =--,再由条件：函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,结合对称性的规律可得：(4)(4)f x f x -=+,最后由周期性的概念可转化为：()(4)(8)f x f x f x =-+=+,可见函数的周期为8,即可求解.【解析】因为(2)f x -为奇函数,所以(2)(2)f x f x -=-+,则()(4)f x f x =--．又因为(3)f x +关于直线1x =对称,所以()f x 关于4x =对称,所以(4)(4)f x f x -=+,则()(4)(8)f x f x f x =-+=+,于是8为函数()f x 的周期,所以(2)(6)f x f x -=+,故选B ．【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完成本题有一个难点：)2(x f -为奇函数的处理,这要对奇函数定义本质有充分的理解,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起,这也正是此类题目一般较难的原因,在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解,这并非一日之功了,须注意平时的积累和磨炼.【小试牛刀】已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③C ．①④D ．③④【答案】A在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.(1)一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；(2)画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.【迁移运用】1. 【河南省安阳一中2015届高三月考】已知函数21,0,()cos ,0,x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩则下列结论正确的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数 D.()f x 的值域为[－1,＋∞) 【答案】Ｄ【解析】作出函数21,0,()cos ,0,x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩的草图：知：Ａ、Ｂ、Ｃ均不对,只有Ｄ正确；故选Ｄ．2. 【2016浙江宁波效实中学高三上期中考试】函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,则实数a 的取值范围是( )A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤-D ．1a ≤- 【答案】D【解析】∵21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,∴0121221421a a a a a <⎧⎪⎪-≤⇒≤-⎨⎪-≥+-⎪⎩,故选D ．3. 【广东省惠州一中等六校2015届高三8月联考】定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21(01)()1(1)x x f x x x ⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩,()g x =2log (0)x x >,若存在实数a ,使得()()f a g b =成立,则实数b 的取值范围是( )A. []2,2-B. 11[2,][,2]22--⋃C. 11[,0)(0,]22-⋃D. (][),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】当0x ≥时,0≤()f x ≤1,∵()f x 是奇函数,∴()f x 的值域为[-1,1], 要使存在实数a ,使得()()f a g b =成立,则-1≤()g b =2log ||b ≤1,解得122b -≤≤-或122b ≤≤,故选B.4. 【2016山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,x x x f 2)(2+=,若)()2(2a f a f >-,则实数a 的取值范围是 A ．),2()1,(+∞--∞ B ．),1()2,(+∞--∞ C ．)2,1(- D ．)1,2(- 【答案】D5.【2016安徽合肥市八中高三上学期第一次段考】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称,(1)1,f -=则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】由已知条件知,函数()f x 在定义域R 上关于点(0,0)对称,同时关于直线x=1对称,所以函数()f x 的周期为T=4．又(1)1,f -=所以1)1(-=f ．易知,0)0(=f ,所以0)0()4(,1)1()3(,0)0()2(===-===f f f f f f ．因此(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=)2016()4()3()2()1(504f f f f f -+++）（0)0(0504=-⨯=f故选B ． 6.已知函数是定义在实数集R 上的以2为周期的偶函数,当时,.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点,则实数的值是( )A ．或；B ．0；C ．0或；D ．0或.【答案】D【解析】根据已知可得函数2()(2),[21,21),f x x k x k k k =-∈-+∈Z ,在直角坐标系中作出它的图象,如图,再作直线y x a =+,可见当直线y x a =+与抛物线2y x =相切时,或者直线y x a =+过原点时,符合题意,此时14a =-或0a =.7. 【2015届河北省“五个一名校联盟”高三教学质量监测】已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-,3)2(-=-f ,数列{}n a 满足11-=a ,且21n nS a n n =⨯+,(其中n S 为{}n a 的前n 项和),则=+)()(65a f a f ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2 【答案】C【解析】由定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-知,3()2f x -=3[()]2f x --=3()2f x --=()f x -,所以(3)f x -= 33[()]22f x --= 3()2f x --= (())f x --=()f x ,所以)(x f 的周期为3,由21n n S an n =⨯+得,2n n S a n =+,当n≥2时,n a =1122(1)n n n n S S a n a n ---=+---,所以n a =121n a --,所以2a =-3,3a =-7,4a =-15,5a =-31,6a =-63,所以=+)()(65a f a f (31)(63)f f -+-=(3101)(3210)f f -⨯+-⨯+=(1)(0)f f --=(13)0(2)f f ---=--=3,故选C.8. 【江苏省苏州市2015届高三9月调研测试】已知函数()2log 1a xf x x -=+为奇函数,则实数a的值为 ． 【答案】1【解析】由奇函数得：()()22+--log =-log 11-a x a x f x f x x x -=+，,1-=1a x xx a x -++,21a =,因为1a ≠-,所以 1.a =9. 【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试12】已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ． 【答案】1.10. 【2015届江西省景德镇高三第二质检】已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称,设关于x 的不等式()()f x m f x +<的解集为A ,若(5,2)A --⊆,则实数m 的取值范围是 ． 【答案】3m ≤-或3m =【解析】函数()f x 的图象关于点(-2,0)中心对称,则(4)(0)f f -=-,由此求得4a =,所以232()(2)(45)6310f x x x x x x x =++-=++-,()()()()0f x m f x f x m f x +<⇔+-<,22()()[33(4)63]f x m f x m x m x m m +-=+++++, 显然0m =不舍题意,当0m >时,()()0f x m f x +-<⇔2233(4)630x m x m m +++++<, 由题意22223(5)15(4)6303(2)6(4)630m m m m m m ⎧⋅--++++≤⎪⎨⋅--++++≤⎪⎩3633m m ≤≤⎧⇒⎨-≤≤⎩3m ⇒=, 当0m <时,()()0f x m f x +-<⇔2233(4)630x m x m m +++++>,因为422m +->-,所以由题意223(2)6(4)630m m m ⋅--++++≥3m ⇒≤-或3m ≥(舍去),3m ⇒≤-,综上,m 的取值范围是3m ≤-或3m =．11. 已知函数()()1,0112log ≠>+--=a a x mxm x f a是奇函数,则函数()x f y =的定义域为【答案】(1,1)-12. 已知函数()y f x =为奇函数,且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =- 给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k,0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时,2()log (1)f x x =--；④函数(||)y f x =在(k,k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为 【答案】①②③【解析】由题设()y f x =为奇函数,其图象关于原点中心对称,又对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--,所以其图象还关于点()1,0,据此可判断函数()f x 为周期函数,最小正周期2T =,又当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =-,因此可画出函数()f x 的图象大致如下图一所示,函数|()|y f x =的图象如下图二所示,函数(||)y f x =的图象如下图三所示,由图象可知①②正确,④不正确； 另外,当()1,0x ∈-时,()22,3x -∈所以,()()()222log 21log 1f x x x -=--=-又因为()f x 是以2这周期的奇函数所以,()()()2f x f x f x -=-=-所以,()()2log 1f x x -=-所以,()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-,所以③也正确故答案应填：①②③13. 【浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期期初联考】设()f x R 是上的奇函数,且对任意的实数,a b 当0a b +≠时,都有()()f a f b a b +>+(1)若a b >,试比较(),()f a f b 的大小；(2)若存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式2()()0f x c f x c -+->成立,试求实数c 的取值范围．【答案】(1)()()f a f b >；(2)11(,)22+--．【解析】试题分析：(1)由a ＞b,得()()0f a f b a b +>+,所以f(a)+f(-b)＞0,由)(x f 是定义在R 上的奇函数,能得到)()(b f a f >．(2)由)(x f 在R 上是单调递增函数,利用奇偶性、单调性可把2()()0f x c f x c -+->中的符号“f”去掉,分离出参数c 后转化为函数最值即可解决,注意存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使不等式)()(x h c g <成立⇔]23,21[,)()(max ∈<x x h c g ,注意存在成立与恒成立是不同的．14. 【上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学试题】已知函数(其中且),是的反函数.(1)已知关于的方程在区间上有实数解,求实数的取值范围； (2)当时,讨论函数的奇偶性和增减性；(3)设,其中.记,数列的前项的和为(),求证：.【答案】(1)[5,9]；(2)奇函数,减函数；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)这是一个对数方程,首先要转化为代数方程,根据对数的性质有1(1)(7)1m x x x x -=+-+,从而有(1)(7)m x x =--,方程在[2,6]上有解,就变为求函数(1)(7)m x x =--在[2,6]上的值域,转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)1()1x xa g x a +=-,1()1nn n a b g n a +==- 11(1)11(1)nn p p ++=-+(1)1(1)1n n p p ++=+-,要证明不等式成立,最好是能把和n T 求出来,但看其通项公式n b ,这个和是不可能求出的,由于我们只要证明不等式4n n T n <<+,那么我们能不能把n b 放缩后可求和呢？21(1)1n n b p =++-,显然1n b >,即n T n >,左边易证,又由二项式定理122(1)1n n n p C p C p +=++n n n C p ++,在2n ≥时,12(1)(1)112nnnn n p C C ++>++=+,所以411114()(1)1na n n n n <+=+-++,注意到12135b p =+≤<,至此不等式的右边可以求和了,111114[(1)()()]2231n T n n n <+-+-++-+14(1)1n n =+-+4n <+,得证．(2)的定义域为,定义域关于原点对称,又, ,所以函数为奇函数.下面讨论在上函数的增减性.任取、,设,令,则,,所以因为,,,所以.又当时,是减函数,所以.由定义知在上函数是减函数.又因为函数是奇函数,所以在上函数也是减函数.问题二函数中存在性与恒成立问题函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等. 一、函数性质法【例1】(1)已知函数12)(2+-=ax x x f ,x ax g =)(,其中0>a ,0≠x ．若对任意]2,1[∈x ,都有)()(x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围；(2)已知两函数2)(x x f =,m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(,若对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥,求实数m 的取值范围.【分析】(1)根据题意条件中的x 是同一值,故不难想到将问题等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立,在通过分离变量,从而可创设出新函数,再求出此函数的最值来解决问题．(2)根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量不一定是同一数值,故可分别对在两个不同区间内的函数)(x f 和)(x g 分别求出它们的最值,再根据只需满足()()min minf xg x ≥即可求解．【解析】(1)由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立, 只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可． 对12)(23++=x x x x ϕ求导,0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ, 故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数,32)1()(min ==ϕϕx ,所以a 的取值范围是320<<a ．【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.此法关键在函数的构造上,常见于两种----一分为二或和而为一,另一点充分利用函数的图象来分析,即体现数形结合思想.【牛刀小试】已知=)(x f xx +221,=)(x g a x -+)1ln(,若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,求实数a 的取值范围.【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,则2max min )()(x g x f >,即a ->3ln 0,所以3ln >a . 二、分离参数法【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3．(1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.【分析】(1)由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为3,可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：ln e 13a ++=,从而解得1a =；(2)要使2()f x kx≤对任意0x >恒成立,只需max 2()[]f x k x ≥即可,而由(1)可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()xg x x +=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则.常见的有一个口诀：大就大其最大,小就小其最小,即最终转换为求函数最值. 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,( D x ∈,λ为实参数)恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:(1) 将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式；(2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值；(3) 解不等式()max()g f x λ≥(或()()ming f x λ≤) ,得λ的取值范围.【牛刀小试】若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时220x ax ++>恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】9.2a >-三、主参换位法 【例3】已知函数()ln()(xf x ea a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数,(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求t的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量,则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(Ⅰ)1a =(Ⅱ)由(Ⅰ)知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+,()g x 在[]11-，上单调递减,()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立,1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--, ∴只需2sin11t t λλ--≤++,2(1)sin110t t λ∴++++≥(其中1λ≤-)恒成立,由上述②结论：可令()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤⎧⎨--+++≥⎩,21sin10t t t ≤-⎧∴⎨-+≥⎩,而2sin10t t -+≥恒成立,1t ∴≤-.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了. 【牛刀小试】若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围.12x <<四、数形结合法 【例4】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k ≥,求实数k 的取值范围.【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立,应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k=-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决. 【解析】令()()222F x f x k x kx k=-=-+-,则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足0∆<,即()24220k k ∆=--<,解得21k -<<.当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩解得32k -≤≤-, 故由①②知31k -≤<.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立,则有00a >⎧⎨∆<⎩,同理,若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于恒成立,则有00a <⎧⎨∆<⎩.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >(注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0)；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <(注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0).(对于()()f x g x ≥型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理),这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷. 【牛刀小试】设1a ≥,()32f x x x a =-+,若()f x a ≥对任意[]1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】当312a ≤≤时32x x a a -+≥显然成立,当32a >时不等式可转化为32,a x a x--≥ 作y x a =-的图像,使其图像在()3212a y x x -=≤≤图像上方,可得13222312a a a a ⎧⎛⎫-≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≥-⎪⎩,解得52a ≥五、存在性之常用模型及方法【例5】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0. (1)求b 的值；(2)若存在[)1,x ∈+∞,使得()1af x a <-,求a 的取值范围.【分析】(1)根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a ,b 的方程,进而求得b 的值：()()1af x a x b x '=+--,()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；(2)根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式()1a f x a <-成立,只需min()1af x a >-即可,因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a 的不等式即可,而由(1)可知()21ln 2a f x a x x x -=+-,则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=,因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解得a的取值范围是()()11,+∞.②当112a <<时,11a a >-,()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭,不合题意,无解,10分③当1a >时,显然有()0f x <,01a a >-,∴不等式()1af x a <-恒成立,符合题意,综上,a 的取值范围是()()11,+∞.【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定(恒成立),再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题.【牛刀小试】已知=)(x f xx +221,=)(x g a x -+)1ln(,(1)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围； (2)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.巩固强化1. 已知函数)1(1)(>-=a a a x f x x,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ变化时,0)1()sin (≥-+m f m f θ 恒成立,则实数m 的取值范围是___________． 【答案】1≤m【解析】由11()()x x x x f x a a f x a a ---=-=-=-,则函数1()xx f x a a =-为奇函数,又因1a >则函数1()x x f x a a =-在R 上单调增,又由0)1()sin (≥-+m f m f θ化简得(sin )(1)(sin )(1)f m f m f m f m θθ≥--≥-，,故sin 1m m θ≥-,当2πθ=时,sin 1m m θ≥-恒成立,当0,)2πθ∈[时,即11sin m θ<-,令函数11sin y θ=-可得1y ≥,即min 1()11sin θ=-,所以1≤m ．2. 已知函数2(),([2,2])f x x x ∈-=,2()sin(2)3,[0,]62g x a x a x ππ=++∈,1[2,2]x ∀∈-,001[0,],()()2x g x f x π∃∈=总使得成立,则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,4][6,)-∞-+∞3.设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】]1,1[-【解析】因为),4cos(2sin cos )(π++=-+='x a x x a x f则存在实数2,1x x ,使得1))4cos(2))(4cos(2(21-=++++ππx a x a 成立.不妨设11)(0,4k a x a π=+∈则22)[4k a x a π=+∈因此222120()2,12,1,1 1.k k a a a a <-≤-≤-≤-≤≤ 4.已知函数e ()ln ,()e x xf x mx a x mg x =--=,其中m ,a 均为实数．(1)求()g x 的极值；(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求a 的最小值；(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围．【答案】(1)极大值为1,无极小值；(2) 3 -22e 3；(3) 3[,)e 1+∞-．(2)当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分设1e ()()e x h x g x x ==,∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立,∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分设21x x >,则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-,即2211()()()()f x h x f x h x -<-．。