初中数学.圆的概念及性质.教师版

中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题中考内容与要求圆的概念及性质弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定 义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 由圆的定义可知：⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆O半径圆心AO表示为“O ⊙”圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．等圆O‘O同心圆O知识互联网模块一 圆的基本概念知识导航弦和弧：1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的弧记作AB ，读作弧AB ． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． Cm劣弧优弧弦BAO表示：劣弧AB优弧ACB 或AmB圆心角和圆周角：1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．O DC BA 圆周角圆心角下面这些都不是圆周角：【例1】 如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=︒，则ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______． （西城区教研）【解析】 OA OB OC ，，；AB BC AC ，，；AC ；AB BC ，；AC ABC ，；40︒；50︒；90︒夯实基础O CBAOEDCB A A B CDEO【例2】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．【解析】 连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒，【解析】 ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．定 理示例剖析1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦E DCBAO1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； AC AD =；BC BD =．能力提升知识导航模块二 垂直于弦的直径【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．【解析】 连结OM ON 、、OB 、OD ．∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点，∴OM AB ON CD ⊥⊥，∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△∴OM ON =∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠． 2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ． (2012辽宁锦州)【解析】6 FE ADOB CP H FE ADO B CP3．如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 41=，则OC 的长为（ ）（2012山东淄博）A ．B ．C ．D ． 【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 AD =BD ．∵32=AB ，AB AC 41=， ∴3==BD AD ，23=CD ．又∵⊙O 的半径为2，即OB =2，∴122=-=BD OB OD ．∴2722=+=OD CD OC ．故选D ．ONMD C BA BCAODBCAOOD C BA MO D C B A DCBA N M OA OCBA OH DE CB AO【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与C 之间的距离．(2012黑龙江牡丹江)【解析】1 cm 或7 cm ．F E AC D BOFEACDBO【备选】1． 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =． 【解析】 作OM AB ⊥，垂足为M ，大圆中，∵OM AB ⊥，∴AM BM =小圆中，∵OM CD ⊥，∴CM DM =∴AM CM BM DM -=- 即AC BD =．2． 如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点． 求证：AMN CNM ∠=∠．【解析】 连结OM ON 、、OB 、OD ．∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点， ∴OM AB ON CD ⊥⊥，∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△ ∴OM ON =∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠．【备选】已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最短弦的长度． 【解析】 连结OA ，过A 点作OA 的垂线交O ⊙于B C 、两点，则弦BC 即为所求．连结OB ，由垂径定理得12AB BC =．在Rt AOB △中，90OAB ∠=︒，53OB OA ==，，∴224AB OB OA =-=， ∴28BC AB ==．【点评】 此题是经典的垂径定理的应用，也是一个十分有用的结论．当然，在使用前需要证明一下．这里编辑给出一种常规证法，如果各位老师有更好的证法，希望能提供分享． 证明：过A 点再任意作一条与BC 不同的弦DE ， 过O 点作OH DE ⊥于H ．在Rt AOC △和Rt EOH △中，显然OE OC =，又AOH △是直角三角形，∴OH OA <，则222222OE OH EH AC OC OA -=>=- 能力提升ON M DC BA∴DE BC>．定理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．ODCBA如图，由定理可知：若AOB COD∠=∠，则AB CD=、AB CD=；若AB CD=，则AOB COD∠=∠、AB CD=；若AB CD=，则AB CD=、AOB COD∠=∠．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．CBAO2AOB ACB∠=∠EODCBA若ACB AED∠=∠，则AB AD=直角直径OCBA圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补．如图，A B C D、、、四点都在圆上，ODCBA则180A C∠+∠=︒，180B D∠+∠=︒知识导航模块三弧、弦、圆心角和圆周角、【例5】 ⑴ 已知，A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点，请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB∠的大小关系．O OO根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑵ 若点D 是优弧AB 上任意一点，试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系． 根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑶ 如果点D 在劣弧AB 上，此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗？可 以得到什么结论？【解析】 ⑴应分为三种情况：图3图2图1D A BCOOCBA OCBA辅助线如图所示，证明过程不再赘述．可以发现：同弧所对圆周角是圆心角的一半．⑵ 由⑴可知，ADB ACB ∠=∠，可以发现：同弧所对的圆周角相等．⑶ 如图，ADB ∠与ACB ∠互补．可以得到：圆内接四边形的对角互补．夯实基础ODCAO D C AE O B DFCA【例6】 ⑴ 如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则∠ADC +∠AEB +∠BAC =（2012黑龙江大庆）⑵ 在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ， 且CF ⊥AD ．则∠D = ．（2012宁夏）⑶ 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD = °．（2012安徽）(2013东城期末)⑷ 如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知57C ∠=︒，45D ∠=︒，则CEB ∠=________．（北大附中练习）⑸ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 ．【解析】 ⑴︒60；⑵︒60；⑶ 102︒；⑷ 22；⑸ 30︒或150︒．【例7】 已知：在半径为52的⊙O 内，有互相垂直的两条弦AB ，CD ，它们相交于P 点． （1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；（2）设BC 的中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ； （3）如果AB =8，CD =6，求O 、P 两点之间的距离．（2013大兴期末）【解析】（1）证明：∵∠A ，∠C 所对的圆弧相同，∴∠A =∠C ∵AB ⊥CD,∴Rt △APD ∽Rt △CPB ． ∴AP PD C P PB=． ∴PA ·PB =PC ·PD ．（2）证明：∵F 为BC 的中点，△CPB 为直角三角形， 能力提升探索创新NM P EDOBFCA PEDOBFCA EDCBA OCBADCB ED A∴PF=FC，∠CPF =∠C．又∵∠A =∠C，∠DPE =∠CPF，∴∠A =∠DPE．∵∠A +∠D=90°，∴∠DPE +∠D=90°．∴EF⊥AD．（3）解：作OM⊥AB于M, ON⊥CD于N, ∴OMPN为矩形．连接OB，OD，OP，由垂径定理，得AM=BM=4,CN=DN=3．由勾股定理，得222O N=-=．(25)311(25)44O M=-=，222∴2215N=+=．MOP OO判断正误⑴半圆是弧⑵半径相等的两个圆是等圆⑶过圆心的线段是直径⑷两个端点能够重合的弧是等弧⑸圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分⑹长度相等的弧是等弧⑺直径是最大的弦⑻半圆所对的弦是直径⑼两个劣弧的和是半圆⑽圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R【解析】正确的是⑴⑵⑺⑻⑽不理解圆中相关的概念和定义，或产生概念上的混淆。