2012-2013第二学期期末试卷及答案(高一数学)
海南中学2012-2013学年第二学期期末考试(数学答案)
海南中学2012—2013学年第二学期期末考试高一数学试题（参考答案）（考试时间：2013年7月；总分：150分；总时量：120分钟）（2—21班使用）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13、 ② 14、 0222=--+y x y x 15、 16、 2三、解答题（本大题共6道小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、 （本小题满分10分）如图，在圆锥PO 中，AB 为底面圆O 的一条弦，AB 不是圆O 的直径，M 为AB 的中点，求证：平面POM ⊥平面PAB .解：连接,OA OB ，因为OA OC =,M 为的AB 中点，所以AB OM ⊥.又,,.PO O AB O AB PO⊥⊂⊥底面底面所以因为,OM PO 是平面POM 内的两条相交直线，所以AB POM ⊥平面.而AB PAB ⊂平面，所以平面POM ⊥平面PAB .注：也可由PA PB =得AB PM ⊥，同样证得AB POM ⊥平面.18、 （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，M N 、分别是AB PC 、的中点，求证：//MN 平面PAD .证明1：连接CM 延长交DA 的延长线与点E ，要证//MN PE . 证明2：如图，取PD 中点为E ，连接,AE EN,E N 分别是,PD PC 的中点 12E N D C ∴// M 是AB 的中点 12A M D C ∴//EN AM ∴// ∴四边形AMNE 为平行四边形AE MN ∴//又AE APD ⊂面MN APD ⊄面∴MN PAD //平面证明3：取CD 的中点G ，先证平面//MNG 平面PAD .19、 （本小题满分12分）已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线)4(3:-=-x k y l ． （1）证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；（2）当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度． 解：（1）由题意，直线)4(3:-=-x k y l 过定点)3,4(M ， 022********2<-=+⨯-⨯-+)4,3(M ∴在圆内 ∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. （2）圆心坐标为)4,3(C ,半径为2=r 当l MC ⊥时所求弦长最短.11=-=∴MCk k 最短弦长为22||222=-MC r20、 （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在直线l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2).∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k 解得： 0=k 或43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或343+-=x y (2)∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以设圆心C 为(),24a a -，则圆C 的方程为[]1)42()(22=--+-a y a x .设),(y x M ，由||2||MO MA =得22222)3(y x y x +=-+ 整理得4)1(22=++y x ，设为圆D .由题意点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,021、 （本题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，//AB DC ． （1）求证：11DC AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1//D E 平面1A BD ，并说明理由．解：（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，连结1C D ，1DC DD =，∴四边形11DCC D 是正方形．11DC DC ∴⊥．又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥，AD ∴⊥平面11DCC D ，BCDA1A1D1C1BBCD A1A1D1C1B又1D C ⊂平面11DCC D ，1AD DC ∴⊥．1AD DC ⊂，平面1ADC ，AD DC D =⊥， 1D C ∴⊥平面1ADC .又1AC ⊂平面1ADC ，1DC AC ∴1⊥． （2）连结1AD ，连结AE ， 设11AD A D M =，BDAE N =，连结MN ，平面1AD E 平面1A BD MN =，要使1D E ∥平面1A BD ，须使1MN D E ∥. 又M 是1AD 的中点，N ∴是AE 的中点． 又易知ABN EDN △≌△， AB DE ∴=．即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．22、 （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AD PD ==. （1）证明：PQ ⊥平面DCQ ； （2）求二面角C PQ D --的正切值. 解：（1）QA ABCD DC ABCD QA DC ⊥⊂∴⊥平面且平面又四边形ABCD 为正方形，DC AD ⊥∴QA AD A QA AD PDAQ =⊂且、平面∴⊥DC 平面PDAQPQ PDAQ ⊂平面∴PQ DC ⊥QA ABCD QA AD ⊥∴⊥平面∴PDAQ 为直角梯形BCD A1A1D1C1BME在直角梯形PDAQ 中，PD PQ DQ 22==则QD PQ ⊥ DC QD D DC QD DCQ =⊂且、平面⊥∴PQ 平面DCQ（2）由（1）知PQ ⊥平面DCQ ，所以,PQ CQ PQ DQ ⊥⊥. 所以CQD ∠是二面角C PQ D --的平面角. 又由（1）知⊥DC 平面PDAQ ，故DC DQ ⊥.Rt CQD ∆中，QD ==，故tan 2CD CQD DQ ∠==.故二面角C PQ D --的正切值是2.。
2012-2013学年第二学期期末考试高一数学试卷
2012-2013学年第二学期期末考试高一数学一、选择题（本题共12小题，每小题 5分，共60分）1.sin 480︒等于 （ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A 43- B 34- C 43 D 343. 下列各式中，其值为23的是 （ ）A ．2sin15cos15B ．22sin 15cos 15+C ．22sin 151-D ．22cos 15sin 15- 4. 把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为 ( ) A ．34π B.π4 C.-34πD ．－π45.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A.=a (0,0), =b (1,-2) B.=a (-1,2), =b (2,-4) C.=a (3,5), =b (6,10) D.=a (2,-3), =b (6, 9)6.设βα,为钝角，=+-==βαβα,10103cos ,55sin （ ） A ．π43 B ．π45 C ．π47 D ．π45或π477.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）A.1sin 2y x =B.1sin()26y x π=-C.1sin()22y x π=-D.sin(2)6y x π=-8.已知a = (0,1)，b = (33，x )，向量a 与b 的夹角为π3，则x 的值为 ( )A ．±3B ．± 3C ．±9D ．39.已知向量a ＝(2,sin θ），b ＝（１，θcos ）且a ⊥b ，其中),2(ππθ∈，则θθcos sin -等于 （ ）A ．55-B ．5C ． 5D ．510. 若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD a = ,BE b = ，则BC为( )A. 2433a b +B. 4233a b +C. 2233a b - D ．2233a b -+11. 已知函数()sin()(f x A x A ωϕωπϕπ=+>0,>0,-<<)的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A ．1()2sin()24f x x π=+B ．13()2sin()24f x x π=+ C ．1()2sin()24f x x π=- D ．13()2sin()24f x x π=-12. 已知||2||,||0a b b =≠ ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A. [,]3ππ B. [,]6ππ C.2[,]33ππD. [0,6π] 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是________．14. 设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos ________．15. 上的最小值为 ． 16. 给出下列六个命题，其中正确的命题是______．（填写正确命题前面的序号） ①存在α满足sin α＋cos α＝32. ②y ＝sin(32π－2x)是偶函数.③0,0,0a b a b ≠≠≠ 若则. ④22a b a b = 与是两个单位向量，则.⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β. ⑥若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈.三、解答题（本题共6小题，共70分） 17．(10分)已知角α的终边与单位圆交于点P （45，35）. （I ）求tan α值； （II ）求sin()2sin()22cos()ππααπα++--的值.18. (12分)已知函数()f x ＝3sin2x －2sin 2x .(1)求函数()f x )的最大值； (2)求函数()f x 的零点的集合．19.设21,e e 是两个不共线的向量，12122,3,AB e ke CB e e =+=+ 122CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值. (12分)20. (12分)的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间21. (12分) 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP OA t AB =+,试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．22. (12分)已知)3),4((cos 2x -=，)).2214cos(,2(xk -+=π()1f x a b =⋅- 且函数，（,k Z x R ∈∈）.（1）求函数)(x f 在),0(π上的值域； （2）若=+)6(παf 554，)2,0(πα∈，求)42tan(πα+的值.。
惠州市高一第二学期数学期末考试试题及答案
惠州市2012-2013学年第二学期基础测试及期末考试高一数学试题说明：1、全卷分为两部分，基础测试和期末考试，满分150分，时间120分钟；2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上；3、考试结束后，考生将答题卷交回。
第一部分 基础测试（100分）一、选择题（每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
） 1、已知{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的公比q 等于（ ）．A 、2±B 、2CD、2、已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（ ）． A 、a //b B 、a 与b 异面C 、a 与b 相交D 、a 与b 无公共点3、如图所示的空心圆柱体的正视图是（ ）．4、正方体各棱长为1，它的表面积与体积的数值之比为（ ）．A 、6:1B 、1:6C 、1:4D 、4:1 5、在直角坐标系中，直线1y =+的倾斜角为（ ）．A 、π6-B 、π3-C 、2π3D 、5π66、不等式2340x x -++>的解集为（ ）．A 、()1,4-B 、()(),14,-∞-+∞C 、()4,1-D 、()(),41,-∞-+∞7、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，a ＝4，b ＝A ＝30°，则角B 等于 ( )．A 、30°B 、30°或150°C 、60°D 、60°或120°8、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1AD 与1BA 所成的角为（ ）．A 30︒、B 45︒、C 60︒、D 90︒、ABCD1A 1B 1C 1D9、已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A 、[]1,5-B 、()1,5-C 、(][)15,-∞-+∞ ，D 、()1(5,)-∞-+∞ ， 二、填空题：(本大题共3题，每小题5分，共15分．请将答案填写在横线上．) 10、点(2,1)A 到直线10x y -+=的距离为 ．11、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若B ＝60°，a ＝1，S △ABC，则边b ＝ ． 12、过两点(2,4),(1,3)A B --的直线斜截式方程为 ．三、解答题：(本大题共3题，满分40．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 13、（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知172,7a S =-=， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ． 14、（本小题满分14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）求证：直线1111AC BDD B ⊥面；（2）若12AA =，求四棱锥1D ABCD -的体积．ABCD1A 1B 1C 1D15、（本小题满分14分）已知直线:120l kx y k -++=（R k ∈），（1）求直线l 经过的定点坐标；（2）若直线l 交x 负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标系原点，AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．第二部分 期末考试（共50分）四、期末考试部分包括一道选择题（满分5分），一道填空题（满分5分）和三道解答题（满分40分），解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
数学卷·2015届河南省商丘一高(商丘市)高一下学期期末考试(2013.07)
商丘市2012－2013学年度第二学期期末考试参考答案高一数学三、解答题（17）解：（Ⅰ）215a -== 分分（Ⅱ）()a b b -⊥，2()1cos 10a b b a b b θ∴-⋅=⋅-=⨯-= ， …………………………8分cos )θθπ∴=≤≤，4πθ∴=．……………………………………10分 （18）解：（Ⅰ）22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒222211cos 30sin 2103sin 305=-+-︒-︒=-+︒ 分分12=． ……………………………………6分=8分10cos10sin10112sin10cos10︒-︒==-︒-︒分分（19）解：（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的高一男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=， ……………………………………6分 则估计从我市高一年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． …………………………………………………………………………8分（Ⅲ）设事件A ：从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[)2,4有2人，记为,a b ；在[10,12]有4人，记为,,,A B C D ． 从这6人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD ，共15种情况．事件A 包括,,,,,,,,aA aB aC aDbA bB bC bD 共8种情况．…………………10分所以8()15P A =． 答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为815． ………………………………12分 （20）（Ⅰ）解：211()sin 22sin 222cos 22f x x x x x x =+-+sin 2cos 2122144x x x π=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 分分， 由3222,242k x k k z πππππ+≤+≤+∈得5,88k x k k z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调减区间为5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． …………………7分 （Ⅱ）作出函数()y f x =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下： 函数()g x 无零点，即方程()0f x m -=无解，亦即：函数()y f x =与y m =在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上无交点． 11 4π-4π8π 1从图象可看出()y f x =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤+⎣⎦， ………………10分∴1m >+或0m <． ……………………………………12分（21）解：（Ⅰ）满足条件的不等式组共有25个，方程()0f x =无实根的条件是240a b -<，…………………………………2分2a =-时2b =； 1a =-时1,2b =；0a =时1,2b =；1a =时1,2b = 2a =时2b =， ……………………………………………………4分 所以满足240a b -<的不等式有8个，故方程()0f x =无实根的概率是825． ……………………………………6分(Ⅱ)设Ω满足条件11,a -≤≤11b -≤≤，其构成的区域面积为4，…………………8分211()44f x b b =+-无实根的条件是221a b +<，其构成的区域面积为π. ……10分 故211()44f x b b =+-无实根的概率为4P π= (12)分（22）解：(Ⅰ)221()2sin 4cos 4sin cos 422x x f x x x ⎡⎤⎛⎫=--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦………………2分222sin cos 1sin sin 2sin x x x x x =----=-． …………………4分(Ⅱ) （ⅰ）设函数()y g x =的图像上任一点(,)M x y 关于原点的对称点11(,)N x y ，则11,y x x y =-=-． …………………………………………………6分 由已知点11(,)N x y 在函数()f x 的图象上，得2sin ()2sin(x)y x -=---，即2sin 2sin y x x =--，因而函数()g x 的解析式为2()sin 2sin g x x x =--．………………8分 （ⅱ）()2()1sin 2(1)sin 1h x x x λλ=-+--+，设()sin 11x tt =-≤≤，则()()()()2121111t t t t φλλ=-+--+-≤≤．………………10分 当1λ=-时，()41t t φ=-+在[]1,1-是减函数；当1λ<-时，()10λ-+>，()t φ为开口向上抛物线，其对称轴方程为直线1221110,0111t λλλλλ-⎛⎫==->+<-> ⎪+++⎝⎭，()t φ在[]1,1-是减函数；当10λ-<≤时，()10λ-+<，()t φ为开口向下抛物线，其对称轴方程为直线12211011,2111t λλλλλ-⎛⎫==-<-<+<-<- ⎪+++⎝⎭，()t φ在[]1,1-是减函数．综上所述当0λ≤时()t φ在[]1,1-是减函数，所以()()max min 123,12y y φλφλ=-=-==-．…………………………12分。
2012-2013年7月西城区高一下期末数学试题
北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第二学期学业测试高一数学 2013.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．在数列{}n a 中，12n n a a +=+，且11=a ，则4a 等于 ( ) A. 8B. 6C. 9D. 72．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是( ) A.14B.13C.12D.233．在ABC ∆中，若222a b c +<，则ABC ∆的形状是( ) A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4．若0a b <<，则下列不等式成立的是( ) A. 33a b >B. a b <C.11a b> D.11a b< 5．若实数,x y 满足1000x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，，，则2z x y =+的最小值是( )A. 21-B. 0C. 1D. 1-6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A. 2B. 12-C. 3D. 237．已知在100件产品有5件次品，从中任意取出3件产品，设A 表示事件“3件产品全不是次品”，B 表示事件“3件产品全是次品”，C 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( ) A. B 与C 互斥 B. A 与C 互斥C. 任意两个事件均互斥D. 任意两个事件均不互斥8．口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球. 现从袋中随机取球，每次取一个球，确定 编号后放回，连续取球两次. 则“两次取球中有3号球”的概率为（ ） A.59B.49C.25D.129．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB ∆中OBAB的最大值为（ ） A.43B.53C.54D. 4510. 对于项数为m 的数列{}n a 和{}n b ，记k b 为12,,,(1,2,,)k a a a k m =中的最小值.给出下列判断:①若数列{}n b 的前5项是5,5,3,3,1，则43a =；②若数列{}n b 是递减数列，则数列{}n a 也一定是递减数列； ③数列{}n b 可能是先减后增数列； ④若1+=(1,2,,)k m k b a C k m -+=，C 为常数，则(1,2,,)i i a b i m ==.其中，正确判断的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②10.略解：关于④.由已知+1k k b b ≥，所以1m k m k C a C a -+--≥-，1m k m k a a -+-≤， 即{}n a 为不严格减数列， 所以(1,2,,)i i a b i m ==.2013,7北京西城区高一数学试卷 第 3 页 共 10 页二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 不等式220x x -<的解集为_______.12. 在ABC ∆中，2,150b c A ==，则a =_______.13. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如右表所示.已知在全年级学生中随机抽取1名，抽到二班 女生的概率是0.2.则x =_______；现用分层抽 样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班 抽取的学生人数为_______.14. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图.已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m =_______；乙得分 的方差等于_______.15. 已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项的和.且53a =-，327S =-，则1a =_______；当n S 取得最小值时，n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，已知126a a +=，2312a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且22b a =，44b a =，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.18.（本小题满分13分）某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下:61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（Ⅰ）完成右面的频率分布表；（Ⅱ）完成右面的频率分布直方图，并写出频Array率分布直方图中a的值；（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率.2013,7北京西城区高一数学试卷 第 5 页 共 10 页19.（本小题满分13分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知3c =，3C π=. （Ⅰ）若sin 2sin B A =，求,a b 的值； （Ⅱ）求22a b +的最大值.20.（本小题满分14分）已知函数()(1)(1)f x ax x =-+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[1,2]-上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）解关于x 的不等式()0f x <.21.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112()2n n S -=-，*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设数列(215)n n b n a =-，（ⅰ）求数列{}n b 的前n 项和为n T ； （ⅱ）求n b 的最大值.22.（本小题满分13分）对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-. 这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.（Ⅰ）写出数列:2,6,4A 经过5次“T 变换”后得到的数列；（Ⅱ）若123,,a a a 不全相等，试问数列123:,,A a a a 经过不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（Ⅲ）设数列:400,2,403A 经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值.2013,7北京西城区高一数学试卷 第 7 页 共 10 页北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第二学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2013.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. B3. C4. C5. A6. D7. B8. A9. B 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. {x 10}2x <<12.13. 24，914. 6，8.4 15. 11-，6 16. (,13]-∞ 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分； 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17. 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知116a a q +=，21112a q a q +=， …………………2分 两式相除，得2q =. …………………4分 所以12a =， …………………6分 所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. …………………7分 （Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则14b d +=，1316b d +=， …………………9分 解得12b =-，6d =， …………………11分1234100123499100()()()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- ………………12分50300d =-=-. …………………13分18. 解：（Ⅰ）如下图所示. ……………………4分 （Ⅱ）如下图所示. ……………………6分由已知，空气质量指数在区间[71,81)的频率为630，所以0.02a =.………………8分（Ⅲ）设A 表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”，由已知，质量指数在区间[91,101)内的有3天， 记这三天分别为,,a b c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天， 记这两天分别为,d e ， 则选取的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e b c b d b e (,),(,),(,)c d c e d e .基本事件数为10. …………………10分 事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a d a e b d b e (,),(,),(,)c d c e d e .基本事件数为7， …………………12分 所以7()0.710P A ==. …………………13分 19. 解：（Ⅰ）因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2b a =， …………………3分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， …………………5分 得222942a a a =+-， …………………7分 解得23a =， …………………8分所以a =2b a ==. …………………9分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得229ab a b =+-， …………………10分又222a b ab +≥， …………………11分所以2218a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立. …………………12分所以22a b +的最大值为18. …………………13分20. 解：（Ⅰ）当1a =时，2()1f x x =-，函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，在区间[0,)+∞上单调递增，所以，()f x 在区间[1,2]-上的最小值为(0)1f =-， …………………2分 又(2)(1)f f >-，所以()f x 在区间[1,2]-上的最大值为(2)3f =. …………………3分()f x 在区间[1,2]-上的值域为[1,3]-. …………………4分（Ⅱ）当0a =时，()1f x x =--，在区间[1,)-+∞上是减函数，符合题意. …………5分当0a ≠时，若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是减函数，则0a <，且11a≤-， …………………7分 所以10a -≤<， …………………9分所以a 的取值范围是[1,0]-.2013,7北京西城区高一数学试卷 第 9 页 共 10 页（Ⅲ）由已知，解不等式(1)(1)0ax x -+<.当0a =时，1x >-. …………………10分 当0a >时，1()(1)0x x a -+<，解得11x a-<<. …………………11分 当0a <时，1()(1)0x x a-+>， 若11a=-，即1a =-时，1x ≠-； …………………12分 若11a >-，即1a <-时，1x <-或1x a >； …………………13分 若11a <-，即10a -<<时，1x a<或1x >-. …………………14分 综上，当0a >时，不等式的解集为1{1}x x a-<<； 当0a =时，不等式的解集为{1}x x >-； 当10a -<<时，不等式的解集为1{1}x x x a<>-或,； 当1a =-时，不等式的解集为{1}x x ≠-； 当1a <-时，不等式的解集为1{1,}x x x a<->或.21. 解：（Ⅰ）由已知，当1n =时，111a S ==. …………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- …………………2分1211112()[2()]()222n n n ---=---=， …………………3分综上，11()2n n a -=，*n ∈N . …………………4分（Ⅱ）（ⅰ）11(215)()2n n b n -=-， 所以2111113(11)(9)()(215)()222n n T n -=-+-+-++-， …………………5分2111111(13)(11)()(217)()+(215)()22222n n n T n n -=-+-++--， ……6分两式相减，得21111111322()2()(215)()22222n nn T n -=-+⨯+⨯++⨯-- ……8分211111132[()()](215)()2222n nn -=-++++--2111132()(215)()(112)()11222n n nn n -=-+---=--.所以11(112)()222n n T n -=--. …………………10分（ⅱ）因为11111(213)()(215)()(172)()222nn n n n b b n n n -+-=---=-.………………11分令10n n b b +->，得172n <. …………………12分 所以129b b b <<<，且910b b >>，即9b 最大， …………………13分 又8991333()2256b a ==⨯=.所以，n b 的最大值为3256. …………………14分22. 解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2； ………3分所以，数列:2,6,4A 经过5次“T 变换”后得到的数列为2,0,2， …………………4分 （Ⅱ）数列A 经过不断的“T 变换”不可能结束. …………………5分设数列123:,,D d d d ，123:,,E e e e ，:0,0,0F ，且()T D E =，()T E F =. 依题意，120e e -=，230e e -=，310e e -=，所以123e e e ==.即非零常数列才能通过“T 变换”结束. …………① …………………6分 设123e e e e ===（e 为非零自然数）.为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111:,,2D d d e d e ++；111:,,D d d e d +；111:,,D d d e d -；111:,,2D d d e d e --.而任何一种可能中，数列E 的第三项是0或2e .即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”成为非零常数列. …………②……………8分 由①②得，数列A 经过不断的“T 变换”不可能结束.（Ⅲ）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:398,401,3B ，其结构为,3,3a a +.数列B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：3,,3a a -；3,3,6a a --；6,9,3a a --；3,12,9a a --；15,3,12a a --；18,15,3a a --．所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,3,3a a +”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18． …………………10分因为39818222=⨯+，所以，数列B 经过622132⨯=次“T 变换”后得到的数列为2,5,3．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：3,2,1；1,1,2；0,1,1；1,0,1；1,1,0；0,1,1；1,0,1，…….至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．………12分 所以经过11323136++=次“T 变换”得到的数列各项和达到最小.即k 的最小值为136. …………………13分。
北京市西城区2012年7月高一数学期末试卷
北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高一数学 2012.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知等差数列5,7,9,11，，则下列哪个数是这个数列中的项 ( ) A. 3B. 6C. 10D. 15 2．在某一项篮球赛事中，甲、乙两名运动员都参加了5场比赛，他们各场比赛得分的情况如茎叶图所示，则甲得分的中位数．．．和乙得分的平均数．．．分别为( ) A. 18,14B. 18,12C. 16,14D. 16,123．已知0αβ<<<π，则αβ-的取值范围是 ( ) A. (,)-ππB. (,)-π0C. (,0)2π-D. (0,)π4．若非零实数,,a b c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是( ) A. ac bc >B. ab ac >C. a c b c ->-D.111a b c<< 5．由直线10x y +-=，10x y -+=和10y +=所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为( )A. 10,10,1.x y x y y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥-⎩B. 10,10,1.x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥-⎩C. 10,10,1.x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩D. 10,10,1.x y x y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤-⎩6．已知变量b a ,已被赋值，要交换b a ,的值，应采用下面哪种算法（ ） A. b a =，a b = B. c a =，a b =，b c = C.c a =，a b =，a c = D.a c =，b a =，c b =7．在ABC ∆中,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2cos b c A =，则ABC ∆一定是 ( ) A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球9．若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则{}n a 的公比为（ ） A. 4B. 6C. 8D. 1610. 已知函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N .若给定1a 的值，使得到的无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（ ）A. (,1)(1,)-∞-+∞B. (,0)(1,)-∞+∞C. (1,)+∞D. (1,0)-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 某单位有职工800人，其中青年职工400人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本． 若样本中青年职工的人数为8，则样本容量为_______. 12. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若562a a +=，则10S =_______.13. 执行右图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =______； 若输出的14S =，则整数=M _______. 14. 函数41y x x =+-(1)x >的最小值是________； 此时x =_________. 15. 已知正方形ABCD .（1）在,,,A B C D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是______； （2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB ∆的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是_______.16. 已知当实数,x y 满足12211x y x y x y +≤⎧⎪-⎨⎪-⎩≥-≤时，1ax by +≤恒成立. 给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3； ②22x y +的最大值等于2；③以,a b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5； ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-. 其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知C 为锐角，且2sin a c A =. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若1c =，且ABC ∆的面积为4，求,a b 的值.18.（本小题满分13分）在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数；（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率.19.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84a =，1314a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n S 的最小值及相应的n 的值；（Ⅲ）在公比为q 的等比数列{}n b 中，28b a =，12313b b b a ++=，求4734n q q q q +++++.20.（本小题满分14分）已知函数2()(1)f x kx k x =++.（Ⅰ）当1k =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）当0k ≠时，二次函数()f x 的对称轴在直线1x =的左侧，求k 的取值范围；（Ⅲ）解关于x 的不等式()0f x <.21.（本小题满分13分）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，60A =. （Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）设点,D E 分别是AB 、AC 边上的点，记AD x =，DE y =. 若ADE ∆的面积总保持是ABC ∆面积的一半，求y 关于x 的函数解析式及y 的最小值.22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是各项均为正数有穷数列，数列{}n b 满足12k kkb a a a =+++（1,2,,k n =）.（Ⅰ）若数列{}n b 的通项公式n b n =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）若数列{}n a 为递增数列，试判断数列{}n b 是否为递增数列？如果是，请加以证明；如果不是，说明理由.（ⅱ）若数列{}n b 为递增数列，试判断数列{}n a 是否为递增数列？如果是，请加以证明；如果不是，说明理由.（Ⅲ）设数列{}n C 、{}n D 满足：2221122()()()n n n C a b a b a b =-+-++-， 22212()()()n n n n n D a b a b a b =-+-++-，求证：n n C D ≤.ABC D E北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2012.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. A3. B4. C5. C6. D7. C8. C9. A 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 16 12. 10 13. 2，3 14. 5，3 15.13，1216. ②③④ 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分；16题选出错误选项即得0分. 漏选正确选项得2分，全部选出正确选项得5分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17. 解：（Ⅰ）由2sin a c A =及正弦定理得，sin 2sin sin A C A =，………………3分因为sin 0A ≠，所以1sin 2C =， 因为C 为锐角，所以30C =o. …………………5分 （Ⅱ）因为1,30.c C ==o由面积公式得1sin 302ab =o …………………7分即ab =…………① …………………8分 由余弦定理得222cos301a b ab +-=o， …………………9分所以221a b +=， 即224a b +=，…………② …………………10分联立①、②得224,a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ …………………11分解得1,a b ==或1a b ==. …………………13分18. 解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[60,70)的频率为1(0.00520.0100.0150.030)100.35-⨯+++⨯=， …………………3分所以0.035a =. …………………4分 由已知，成绩在区间[80,90)的频率为0.15，所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.156⨯=（人）.…………………6分（Ⅱ）设A 表示事件“在成绩小于60分的学生中随机选两名学生，最多有一名学生成绩在区间[50,60)内”，由已知，成绩在区间[50,60)内的学生有4人， 记这四个人分别为,,,a b c d ，成绩在区间[40,50]内的学生有2人， …………………8分 记这两个人分别为,e f ， 则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f (,),(,),(,)c d c e c f ， (,),(,),(,)d e d f e f .基本事件数为15. …………………10分事件“最多一人成绩在区间[50,60)之间”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),c e c f (,),(,),(,)d e d f e f .基本事件数为9， …………………12分 所以9()0.615P A ==. …………………13分 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得174a d +=，11214a d +=， …………………2分 解得2d =，110a =-. …………………4分 所以102(1)212n a n n =-+-=-. …………………5分 （Ⅱ）令0n a ≤，即2120n -≤，解得6n ≤， …………………7分所以，当1,2,3,4,5n =时，0n a <；60a =；7,8,n =时0n a >.所以，当5n =或6n =时，n S 最小， …………………8分561555()(102)3022S S a a ==+=⨯--=-. …………………9分 （Ⅲ）依题意，14b q =，211114b b q b q ++=，即14b q =，1410b q +=，消去1b ，得22520q q -+=， 解得2q =或12q =， …………………11分 当1q ≠时，3647343(1)1n n q q q q q qq ++-++++=-. …………………12分 当2q =时，4734362(21)7n n q q q q ++++++=-； …………………13分当12q =时，47343641(1)72n n q q q q ++++++=-. …………………14分 20. 解：（Ⅰ）当1k =时，不等式为220x x +<， …………………2分即(2)0x x +<，解得20x -<<，所以不等式的解集为{20}x x -<<. …………………4分 （Ⅱ）依题意，112k k+-<， …………………6分 整理的2(31)0k k +>， …………………7分解得13k <-或0k >.所以k 的取值范围是1(,)(0,)3-∞-+∞. …………………8分（Ⅲ）当0k =时，不等式的解集为{0}x x <； …………………9分当0k >时，1()0k x x k ++<，解得10k x k +-<<； …………………10分 当0k <时，1()0k x x k++>， 若10k k +=，即1k =-时，0x ≠； …………………11分 若10k k +->，即10k -<<时，0x <或1k x k +>-； …………………13分 若10k k +-<，即1k <-时，1k x k+<-或0x >. …………………14分 综上， 当0k >时，不等式的解集为1{0}k x x k+-<<； 当0k =时，不等式的解集为{0}x x <；当10k -<<时，不等式的解集为1{0,}k x x x k+<>-或； 当1k =-时，不等式的解集为{0}x x ≠； 当1k <-时，不等式的解集为1{,0}k x x x k+<->或.21.解：（Ⅰ）因为1sin 2ABC S bc A ∆=， 所以143sin 60332ABC S ∆=⨯⨯⨯=…………………3分 （Ⅱ）设AE m =，则1sin 602ADE S xm ∆=,所以133sin 602xm =，6xm =，……① ……6分AD Em xy在ABC ∆中，2222cos60y x m xm =+-，即222y x m xm =+-，……② …………………9分 由①②消去m ，得222366y x x =+-，所以y =， …………………10分 依题意[2,4]x ∈， …………………11分y =≥当且仅当2236x x=，即x ==”成立. …………………12分所以y …………………13分22. （Ⅰ）解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由已知n n nb S =，即2n S n =，当1n =时，111a S ==； …………………1分当2n ≥时，221(121n n n a S S n n n =-=-=---）.综上，21n a n =-. …………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）由已知，1211211k kk k a a a a a a b b k k++++++++-=-+12112()(1)()(1)k k k a a a k a a a k k ++++-++++=+112()(1)k k ka a a a k k +-+++=+. …………………5分因为数列{}n a 为单调递增数列，所以121k k a a a a +>>>>，所以112()0k k ka a a a +-+++>，所以10k k b b +->，即1k k b b +>，1,2,3,,1k n =-.即数列{}n b 是单调递增数列. …………………6分 （ⅱ）当{}n b 为1,5,6时，{}n a 中的三项为1,9,8.所以，若数列{}n b 为单调递增数列，数列{}n a 不一定为单调递增数列.…………………8分（Ⅲ）证明:n n D C -221()()n n n a b a b =-++-2211()()n n a b a b -----2211()()n n n a b a b -=-++-221111()()n n a b a b -------. 由12k k kb a a a =+++，可知11(1)k k k a k b kb ++=+-，11a b =， ……………10分利用上式，将n n D C -表达式展开，将i a 用n b {}中的项替换，得n nD C -2222212311223135(23)(1)242(1)n n n n b b b n b n b bb b b n b b --=++++-+------22212231()2()(1)()0n n b b b b n b b -=-+-++--≥.所以n n C D . …………………13分。
江苏省盐城市2012-2013学年高一下学期期末数学试题含答案
4 ．第 19 、 20 题，请四星级高中学生选做（ A），三星级高中与普通高中学生选做（ B ），否则不给分 .
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上 .
1 ．已知集合 P 1,2,3 ， Q a,4 ，若 P Q 1 ，则 a = ▲ ．
由 b8 ai b9 ，得 26 3i 2 27 ，解得 22 i 43，
所以满足 b8 ai b9 的所有项 ai 为 a22 , a23 , , a43 ，这是首项为 a22
22 21
共 43 － 22+1=22 项，故其和为 64 22
3 2101 .
2
（ 3 ）由题意，得 cn an bn [1 ( n 1)d ] 2n 2 ，
………… 6 分 ………… 7 分
1
12
（ 2 ）因为 S OPQ
PQ
2
5
，所以 PQ 5
4.
①当直线 l 与 x 轴垂直时，由坐标原点
O 到直线 l 的距离为
1
知，直线
l 的方程为
x
1
5
5
1
或x
，经验证，此时 PQ 4 ，不适合题意；
5
………… 9 分
②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y kx b ，
（ 2 ）设直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点，坐标原点 直线 l 的方程 .
O 到直线 l 的距离为
1
，且
5
y
2 POQ 的面积为 ，求
5
·B
O
x
·A
18 ．（本小题满分 16 分）
根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线
2012-2013第一学期期末试卷及答案(高一数学)
石家庄市2012～2013学年度第一学期期末考试试卷高一数学答案（时间120分钟，满分150分）一、选择题1-5 ACBCC 6-10 ABDBB 11 【普通高中】C 【示范高中】D 12 B 二、填空题 13. 9 14. 2115. （-1,2） 16.-1【示范高中】 1677 三、解答题17.解：（Ⅰ）解：2(x)=1+2sinxcosx+2cos =sin 2+cos2x+2f x x(2x+)+24π………………3分 由3-+22++2242k x k πππππ≤≤，k Z ∈， 得3-++88k x k ππππ≤≤，k Z ∈ 所以函数的单调递增区间为3[,],88k k k ππ-+π+π∈Z ……………5分（Ⅱ）解：∵]2,0[π∈x ，∴52+[,]444x πππ∈………………7分故2+=42x ππ时，)(x f 的最大值为2+2， 此时， 8x π=.…………………10分18. 解：（Ⅰ）解：依题意 ∴()=0+⋅a b b ,即2+=0⋅a b b 又2||||cos +||=0θa b b ，……………3分 即222||cos +||=0θb b 解得1cos =-2θ，∴2=3θπ.…………6分 （Ⅱ）∵B （1,0），||2||=a b ，∴||1OB =，||=2OA ，可得A （-1），…………8分∴=(-1,OA，1=(1,0),=(2OB OM ， 又1212(,)OM λλλλ=+∈R a b∴121(((1,0)2λλ-+……………10分∴1211=-+2λλ⎧⎪⎪解得125=64=3λλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴1213+=6λλ.……………12分 19.证明：任取1x 、2(0,+)x ∈∞，且12<x x ，…………3分 又231()=+21+1x f x x x +=+ 所以21121212-11(x )-f(x )=-=+1+1(+1)(x +1)x x f x x x ……………6分∵1x 、2(0,+)x ∈∞，且12<x x ∴21-0x x >，1+1>0x ，2+1>0x ，…………9分 ∴12(x )-f(x )>0f ，即12(x )>f(x )f ∴132)(++=x x x f 在（0，+∞）上是减函数.…………12分 20. 解：（Ⅰ）由题意可知-1>04-2>0x x ⎧⎨⎩,解得1<<2x ，∴函数()-(x)f x g 的定义域（1,2） .…………4分（Ⅱ）当a >1时，满足-1>4-21<<2x x x ⎧⎨⎩，解得235<<x ，…………7分当0<a <1时，满足-1<4-21<<2x x x ⎧⎨⎩解得351<<x ，…………10分所以当a >1时，5(,2)3x ∈；当0<a <1时，5(1,)3x ∈.…………12分 21.解：（Ⅰ）解：(法一)如图，以摩天轮最低点为原点，最低点的 切线为x其纵坐标为y ，转过的角为θ，由题意可知 ∴40cos 40+-=θy ，…………3分所以小朋友离地面距离41cos 40+-=θh ，由每分钟转过的角为6122ππ=，∴t 6πθ=，所以41)6cos(40+-=t h π， )0(≥t (法二)由题意可设b t A h ++=)sin(ϕω（,0>A ω小朋友的最高距地面81m ，最低距地面1m ∴⎩⎨⎧=+-=+181b A b A ，得A=40，b=41，又函数周期为12，∴6122ππω==， 所以41)6sin(40++=ϕπt h （0≥t ）， 又t=0时，h=1，∴141)06sin(40=++⨯ϕπ，即1sin -=ϕ，ϕ可取2π-,∴41)6cos(4041)26sin(40+-=+-=t t h πππ（0≥t ） .（Ⅱ）依题意可知40cos()41616t π-+≥，…………9分即1cos()62t π≤-，不妨取第一圈，可得24363t πππ≤≤，48t ≤≤， 所以持续时间为4分钟.………………12分 22.解（Ⅰ）∵(x)f 为奇函数，且定义域为R ，∴(0)0f = ， 即0(1)=0a k a --，解得k=2；……………4分 （Ⅱ）∵23)1(=f ，所以1-13=2a a -，解得a=2或a=21-（舍） ∴22()222(22)xx x x g x m --=+--…………6分2(22)2(22)2x x x x m --=---+令22xxt -=-，∵x ≥1，∴t ≥23)1(=f ， 令h(t)=222322()2,()2t mt t m m t -+=-+-≥……………9分若23≥m ，当t=m 时，h(t)min =2-m 2=-2，解得m=2或m=-2（舍），∴m=2； 若m ＜23，当t=23时，h(t)min =m 3417-=-2，解得m=1225＞23，舍去；综上可知m=2.………………12分。
高一数学期末考试试卷及答案
第二学期期末考试高一数学试卷（理科）温馨提示：请将所作答案准确填写在答题卡的相应位置。
在试卷上作答，答案无效！考试结束后，本试卷随答题卡一并上交。
满分：150分 时间：120分钟第I 卷（选择题 共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1.下列说法正确的是A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为S ， 另一条侧棱到这个侧面的距离为a , 则这个三棱柱的体积是A. Sa 31B. Sa 41C. Sa 21D. Sa 323.过点P (5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 A. 2x+y －12=0 B. 2x +y －12=0或2x －5y =0 C. x +2y －9=0 D. x +2y －9=0或2x －5y =04.在ABC ∆中， 90=∠ACB ，2=BC ，3=AC ，点D 在斜边AB 上， 以CD 为棱把它折成直二面角B CD A --，折叠后AB 的最小值为 A.6 B.7 C.22 D.35.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 6A78的A1A第二1m1m1则1的（（设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b R ∈，当0≠+b a 时，都有0)()(>++ba b f a f .（1）若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小关系；（2）若0)92()329(>-⋅+⋅-k f f xxx对任意),0[+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <． （1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由． 21.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．2014——2015学年度第二学期期末考试高一数学（理科）试卷参考答案第I 卷（选择题 共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）第II 卷（非选择题 共100分）二.填空题（本大题共411. 4 12.13.1256π14. 三.解答题（本大题共7小文字说明、证明过程或演15.（本小题满分9分）（2）????等价于??????????18、解：由题意，∴3-2x ＞0，即x ＜，所以函数f （x ）的定义域为（-∞，）；（2）令u=3-ax ，则u=3-ax 在[1，2]上恒正，∵a>0，a ≠1，∴u=3-ax 在[1，2]上单调递减，∴3-a ·2＞0，即a ∈（0，1）∪（1，）又函数f （x ）在[1，2]递减，∵u=3-ax 在[1，2]上单调递减，∴a>1，即a ∈（1，）又∵函数f （x ）在[1，2]的最大值为1，∴f （1）=1即f （x ）=∴a=∵a=与a ∈（1，）矛盾，∴a 不存在。
乌海市第十中学高一试卷修改 4
乌海市第十中学2013—2014年度第二学期期末考试高一数学试卷命题人：王祥一、 选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ）A ． 12-=n a nB ．)21()1(n a nn --= C ． )12()1(--=n a nn D ． )12()1(+-=n a nn 2.不等式210x y +->表示的平面区域在直线210x y +-=的( ) A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．234.向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于 A ．2- B ．2 C ．21D ．12-5.不等式12--x x ≥0的解集是 ( ) A ．［2,+∞） B ． (－∞,1)∪［2,+∞) C ．(－∞,1)D ．(]1,∞-∪(2,+∞）6.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n S n 22+=，则=9a （ ）A ．20B ．17C ．18D ．197.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =， 若1234,2,a a a 成等差数列，则4S =( ) A ． 7 B ． 8 C ． 16 D ．158．已知等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，若5101,4S S ==，则15S 的值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 99．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值10.已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，则AC ·AE 等于 （ ） A ．-6 B ．6 C ．8 D ．-811.二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( )A ．{x |x ＞3或x ＜－2}B ．{x |x ＞2或x ＜－3}C ．{x |－2＜x ＜3}D ．{x |－3＜ x ＜2} 12．设s 、t 为非零实数，a 与b 均为单位向量时，若|s a ＋t b |＝|t a －s b |，则a 与b 的夹角θ 的大小为（ ）．（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°乌海市第十中学2013-2014年度第二学期期末考试高一数学试卷答题卡命题人：王祥（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 若A(-1,-2),B(4,8),C(x,10),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝ 14.若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
郑州市2012-2013学年下期期末高一数学试题(含答案)(高清扫描版)
高中一年级数学参考答案
一、选择题:(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
D
C
A
A
D
D
D
A
D
二、填空题：(每小题5分,共20分)
13.5 14. 15. 1 6.①②③⑤
三、解答题
17．解:因为 与 的夹角为钝角,所以 ,……………………2分
若点 在第二象限，则 ，解得
所以，当 时，点 在第二象限。………………………12分
22．解：（Ⅰ）
又 从而 ………………………5分
（Ⅱ）
………………………………7分
由于 故
1当 时，当且仅当 时，
取得最小值 ，这与题设矛盾； 得 ；
3当 时，当且仅当 时，
20.解:设其中的两条线段的长度分别为 ,则第三条线段的长度为 ,则全部结果所构成的区域为 这个区域是坐标平面内以点O(0,0),A(6,0),B(0,6)为顶点的三角形,
其面积为 .………………………………………………………4分
若三条线段能够成三角形,需满足 ,这个区域是以D(0,3),E(3,0),F(3,3)为顶点的三角形,其面积是 ………………………8分
……………………………………………………………………………10分
所以P(A)= ……………………………………………………12分
19.解(Ⅰ)图略………………………………2分
(Ⅱ)
，
，…………………………8分
，
； ………………10分
高一【解析版】连云港市2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
2012－2013学年度第二学期期末调研考试高一数学试题（四星）本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知角α的终边过点-(4,3)P ，则2sin cos αα+的值是 ．2．某校高一（1）班共有44人，学号依次为01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，28，39的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对100辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 辆．解：由所给的频率分布的直方图可得，汽车被处罚的频率为 0.02×10=0.2， 故被处罚的汽车大约有100×0.2=20（辆），故答案为 20．4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ．5．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是 ．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，则a b > 的概率为 ．解：根据题意，用数组（a ，b ）表示抽取的情况，则有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3），（6，1）、（6，2）、（6，3），共18种情况，其中a ＞b 的情况有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3），共12种情况，7．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，则|a +b |= ．↓ 开始 结束a ←1a ←a 2+1 a <10 输出a YN ↓ ↓8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为 ．089102259．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<<）在512x π=处取得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，则()f x 的解析式为 ．10．正三棱锥的底面边长为1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．11．函数()f x =ax ，x [0,]π∈，且()f x ≤1＋sin x ，则a 的取值范围是 ．12．已知|a |1=，若非零向量b 满足b ⋅(b －a )0=，则|b |的取值范围为 ．13．若A ，B ，C (0,)2π∈，且sin A －sin C =sin B ，cos A ＋cos C =cos B ，则B －A = ．14．已知函数22|log|,04,()2708, 4.33x xf xx x x<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,,a b c d互不相同，且()()()()f a f b f c f d===，则abcd的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a，b的夹角为60︒，且|a|1=，|2a－b |=23．（1）求|b|；（2）求b 与2a －b 的夹角．解：（1）将|2a －b |=23两边平方得42a +2b -4|a ||b |cos ,a b <>=12，…………4分即2b -2|b |-8=0，解得|b |=4． …………7分（2） b ⋅（2a －b ）=2ab - 2b =12142⨯⨯⨯=12-，又|b ||2a -b |=423⨯=83， ………10分 由夹角公式得b 与2a －b 夹角的余弦值为123283-=-，∴夹角为150︒．………14分 16．（本小题满分14分）某企业生产A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件． （1）求x 的值；（2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；（3）用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．A B C M 200 300 240 N200700x解：（1）产品A 的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1∶40的比例抽取， 同理产品B 的产量为1000，按1∶40的比例抽取，从中抽取样本容量为25， 所以产品C 应抽取件数为15，故11540240x=+，解得360x =； …………4分 （2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，则M 型号有2件，N 型号有3件，从中任取两件所有的情况有：（M 1，M 2），（N 1，N 2），（N 1，N 3），（N 2，N 3），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共10种.故至少有一件是M 型号的有（M 1，M 2），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共有7种，所以至少有一件是M 型号的概率1710P =；……9分 （3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，则与9差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率22184P ==…14分17．（本小题满分14分）如图，在半径为R 、圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设BOP ∠θ=，矩形PNMQ 的面积记为S ． （1）求S 与θ之间的函数关系式；（2）求矩形PNMQ 面积的最大值及相应的θ值．解：（1）在Rt PON ∆中，sin ,cos .PN R ON R θθ==四边形PNMQ 为矩形，sin MQ PN R θ∴==. …………2分故在Rt OMQ ∆中，3sin tan 603MQ OM R θ==︒，所以3cos sin 3MN ON OM R R θθ=-=-. …………4分 则3sin (cos sin )3S PN MN R R R θθθ=⋅=-. …………6分 2223131cos2(sin cos sin )(sin 2)3232R R θθθθθ-=-=-2233sin(230)36R R θ=+︒-…11分 （2）因为当23090θ+︒=︒时，max sin(230)1θ+︒=，所以当30θ=︒时，22max 3336S R R =-，所以矩形PNMQ 面积的最大值为236R ，30BOP ∠=︒. …………14分 18．（本小题满分16分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求tan tan AB的值； （2）求tan B 的值．解：（1）53sin cos cos sin )sin(=+=+B A B A B A ① …………2分 51sin cos cos sin )sin(=-=-B A B A B A ② …………4分 ①+②得54cos sin 2=B A ，52cos sin =∴B A ③ 51sin cos =B A ④③/④得：2tan tan =B A． …………7分APBOQ M N（2）ABC ∆ 是锐角三角形，又20,ππ<<-=+C C B A ，ππ<+<∴B A 2，53)sin(=+B A ， 43)tan(-=+∴B A ，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．…………10分 由（1）B A tan 2tan =，43tan 21tan 32-=-∴BB ， 即01tan 4tan 22=--B B ，4244tan ±=B ． …………14分B 是锐角，261tan +=∴B ． …………16分 19．（本小题满分16分）已知函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求()f x 在[,]36x ππ∈-上的最大值()m a ． 解：（1）当0a =时，21()cos 1(cos21)2f x x x =-=-．易得周期T π=,单调增区间为[,]()2k k k Z ππππ++∈． …………5分 （2）将函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-变形为 2()sin 2sin f x x a x a =--+，[,]36x ππ∈-． 设sin ,t x =则31[,]22t ∈-， 即求函数2()2h t t at a =--+在31[,]22t ∈-上的最大值()m a ．…………8分 ①当-≤-32a 时，()h t 在-31[,]22上单调递减， ∴=-=-++33()()(31)24m a h a ． …………10分 ②当-≥12a 时，()h t 在-31[,]22上单调增，∴==-11()()24m a h ………12分 ③当-<-<3122a 时，∴=+2()m a a a ． …………14分 综上所述，233(31),,4211(),,4213,.22a a m a a a a a ⎧-++≥⎪⎪⎪=-≤-⎨⎪⎪+-<<⎪⎩…………16分20．（本小题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y -+=，直线l 的方程为2y x =，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；（2）求PA PB ⋅的最小值；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：（1）设(,2)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解之得40,5m m ==．故所求点P 的坐标为(0,0)P 或48(,)55P ． ………4分 （2）设(,2)P m m ，则2||cos PA PB PA PAB ⋅=∠．又22||1PA PM =- ,222cos 12sin 12PAB PAB PM∠∠=-=-， 2222222||cos (1)(1)3PA PB PA PAB PM PM PM PM ∴⋅=∠=--=+- ．………7分 又222216(2)(2)544[,)5PM m m m m =-+=-+∈+∞，22222233||cos 3()1[,)40PA PB PA PAB PM PM PM PM ∴⋅=∠=+-=--∈+∞ ，故PA PB ⋅ 的最小值3340． …………10分（3）设(,2)P m m ，MP 的中点(1,)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线， 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为2222(1)()(1)22m mx y m m --+-=+-， 化简得222(22)0x y x m x y +-+--+=， …………13分故2220,220x y x x y ⎧+-=⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或2,54.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(2,0)和24(,)55． …………16分。
【首发】浙江省宁波市2012-2013学年高一下学期期末数学试卷Word版含答案
宁波市2012学年第二学期期末考试高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等比数列{}n a 中，已知54=a ，则53a a = (A) 10(B) 25(C) 50(D) 752．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若︒===120,4,6C b a ，则A B C ∆ 的面积是 (A)12(B) 6(C) 312(D) 363．一个球的外切正方体的全面积为26cm ，则此球的体积为(A)334cm π (B)386cm π (C) 361cm π (D)366cm π 4．已知{}n a 为等比数列，则下列结论中正确的是Ks5u(A)2221322a a a +≥(B)1322a a a +≥ (C)若13a a =，则12a a =(D)若31a a >，则42a a >参考公式：圆柱的表面积公式：rl r S ππ222+=（其中r 表示圆柱的底面半径，l 表示圆柱的母线长）圆锥的表面积公式：rl r S ππ+=2（其中r 表示圆锥的底面半径，l 表示圆锥的母线长）圆台的表面积公式：)('22'rl l r r r S +++=π（其中r r ,'分别表示圆台的上、下底面半径，l 表示圆台的母线长）5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若aAb B cos cos =，则ABC ∆的形状 一定是 (A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰Rt A B O '''∆， 若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是(A) (C)2 (D) 127．若∈c b a ,,R ，且0<<a b ，则下列四个不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4()3()2()1(<+>+><+；；；．其中正确的是(A) (1) (2) (B) (2) (3) (C) (1) (3) (D) (3) (4)8．下列命题正确的是(A) 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行(B) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 (C) 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行(D) 若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足10n n S S +⋅<的正整数n的值为(A)10 (B)11 (C)12 (D)13 10．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：（1）AC EP ⊥； （2）//EP BD ； （3）SBD EP 面//；（4）SAC EP 面⊥．中恒成立的个数为 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个（第6题图）ABDCSNME. （第10题图）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．Ks5u11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =()n *∈N ，则2a = ▲ .12．在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++= ▲ ． 13．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2,60,45=︒=︒=a B A ，则b = ▲ ．14．已知正数,x y 满足：220x y +=，则xy 的最大值为 ▲ ． 15．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， 侧视图为直角三角形，则该几何体的表面积是 ▲ ．16．已知正方形ABCD 的边长为1，沿对角线AC 把ACD ∆折起,，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 ▲ ． 17．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a a =，21a =，211n na a +=+， 则109a a += ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数1)(2+++=a ax x x f ()R a ∈．（Ⅰ）当5=a 时，解不等式：0)(<x f ；Ks5u（Ⅱ）若不等式0)(>x f 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．正视图俯视图侧视图（第15题图）19．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．(Ⅰ) 求证:平面⊥11B BDD 平面OC C 1； (Ⅱ) 求二面角1C BD C --的正切值． Ks5u20．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足222c ab b a =++． (Ⅰ) 求角C 的度数； (Ⅱ) 若10=+b a ，求ABC ∆周长的最小值． 21．（本小题满分15分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AB BC ⊥， 且26AP AB AD BC ====，M 在棱PA 上， 满足2AM MP =．（Ⅰ）求三棱锥M BCD -的体积；（Ⅱ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）证明：//PC 面MBD ．Ks5u22．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足11121n n a a a +==+，()n *∈N ． （Ⅰ）求证：数列{}1+n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列}{n c 的通项公式为n c n 2=，求数列}{n n c a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅲ）若数列{}n b 满足12111444(1)()n n b b b b n a n ---*=+∈N …，且42=b ．证明： 数列{}n b 是等差数列，并求出其通项公式．宁波市2012学年第二学期期末考试高一数学参考答案ABDCPM（第21题图）1A1B1C1DABCDO（第19题图）一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A A B C D C B二．填空题11．2 12．42 13．6 14．50 15．323+π 16．4π17．8541+三．解答题18．（本小题14分）Ks5u解：（Ⅰ）当5=a 时065)(2<++=x x x f得23-<<-x ，所以不等式的解集为()2,3--．-------- 7分（Ⅱ）01)(2>+++=a ax x x f 的解集为R∴ 0)1(42<+-=∆a a ------------------- 10分 ∴222222+<<+-x ．------------------- 14分19、（本小题14分）解：(Ⅰ) ∵在正方体1111ABCD A B C D -中, 点O 是BD 中点 ，又11BC DC = , BC DC = ,∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥ ------------------- 2分1111,,,C O CO O C O C OC CO C OC =⊂⊂平面平面OC C BD 1平面⊥∴ ------------------ 5分∵⊂BD 平面11B BDD , ∴平面⊥11B BDD 平面OC C 1．-------------- 7分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ---------------11分 则22,11==OC C C Ks5u ∴在1Rt C OC ∆中,11tan C CC OC OC∠== 故二面角1C BD C --． ---------------14分20、（本小题14分）解：（Ⅰ）∵222c ab b a =++由余弦定理得 212cos 222-=-+=ab c b a C -------------- 5分 ∵0180C << ∴C=120° -------------- 7分（Ⅱ）∵2222()100c a b ab a b ab ab =++=+-=-------------- 9分2100()752a b +≥-= ------------- 11分∴c ≥ 当5a b ==时取等号 ------------- 13分则ABC ∆周长的最小值为10a b c ++=+ ----------- 14分21、（本小题15分） 解：（Ⅰ）由题意1123M BCD BCD V S MA -∆=⋅= ---------- 5分 （Ⅱ）取AD 中点N ，连,C NP N ，易知//AB CN ,∴PCN ∠或其补角就是PC 与AB 所成角------7分在PCN ∆中，∵PA ⊥底面ABCD ， BC ⊂底面ABCD∴PA BC ⊥ 9PC =，又∵6,CN AB PN ===∴2cos 3PCN ∠=，∴异面直线PC 与AB 所成角余弦值为23---------- 10分 （Ⅲ）连AC 交BD 于Q ，连MQ∵//AD BC ，∴2AQ ADQC BC==,Ks5u又∵2AMMP=则AQ AM QC MP = ∴//MQ PC ---------- 13分 又∵,PC MBD MQ MBD ⊄⊂面面，∴//PC 面MBD ． ---------- 15分22、（本小题15分） 解：（Ⅰ）()121*n n a a n +=+∈N ．()1+1=21n n a a ++，----------3分{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12n n a +=∴．即()21*n n a n =-∈N ． --------------4分（II ）12-=n n a ，n c n 2=，∴()122-=nn n n c a∴n n n c a c a c a c a S ++++= 332211()()[]n n n ++++-⨯++⨯+⨯+⨯= 3212232221232-----6分设 nn A 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ① 则()132********+⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n A ②①-②得 132221212121+⨯-⨯++⨯+⨯+⨯=-n nn A()1221212+⨯---=n nn ()2211-⨯-=+n n∴()2211+⨯-=+n n A∴()()14212+-+⨯-=+n n n S n n -------------- 9分 （Ⅲ）n n b n b b b a )1(44411121+=--- ， 122n n b b b nnb =(+++)-∴4，12[()]n n b b b n nb 2+++-=∴，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+．②②－①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-，--------------11分 即1(1)20n n n b nb +--+=， ③21(1)20n n nb n b ++-++=．④④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=， *211()n n n n b b b b n +++-=-∈N ∴，{}n b ∴是等差数列． --------------13分∵21=b ，42=b ， ∴n b n 2=． --------------15分Ks5u （注：没有证明数列{}n b 是等差数列，直接写出n b n 2=，给2分）。
连云港市高一年级下学期期末试卷(A)
连云港市2012－2013学年度第二学期期末调研考试高一数学试题本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知角α的终边过点-(4,3)P ，则2sin cos αα+的值是 ．2．某校高一（1）班共有44人，学号依次为01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，28，39的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对100辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 辆．4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ．5．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是 ．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，则a b > 的概率为 ．7．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，则|a +b |= ．8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为 ．089102259．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<<）在512x π=处取得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，则()f x 的解析式为 ． 10．正三棱锥的底面边长为1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．↓开始 结束输出aN ↓11．函数()f x =ax ，x [0,]π∈，且()f x ≤1＋sin x ，则a 的取值范围是 ． 12．已知|a |1=，若非零向量b 满足b ⋅(b －a )0=，则|b |的取值范围为 ． 13．若A ，B ，C (0,)2π∈，且sin A －sin C =sin B ，cos A ＋cos C =cos B ，则B －A = ．14．已知函数22|log |,04,()2708, 4.33x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a ，b 的夹角为60︒，且|a |1=，|2a －b|=． （1）求|b |；（2）求b 与2a －b 的夹角． 16．（本小题满分14分）某企业生产A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件． （1）求x 的值；（2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；（3）用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．17．（本小题满分14分）如图，在半径为R 、圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设BOP ∠θ=，矩形PNMQ 的面积记为S ．（1）求S 与θ之间的函数关系式；（2）求矩形PNMQ 面积的最大值及相应的θ值． 18．（本小题满分16分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求tan tan AB的值； （2）求tan B 的值．19．（本小题满分16分）已知函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求()f x 在[,]36x ππ∈-上的最大值()m a ． 20．（本小题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y -+=，直线l 的方程为2y x =，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；（2）求PA PB ⋅的最小值；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．2012－2013学年度第二学期高一数学期末试题（四星）答案A PBOQ M N一、填空题： 1．252．17 3．20 4．26 5．12 6．237 8．163 9．3sin(2)3y x π=- 10()6abc11．1(,]π-∞ 12．(0,1] 13．－π3 14．(32,35)(1)ab =二、解答题：15．（1）将|2a －b |=两边平方得42a +2b -4|a ||b |cos ,a b <>=12，…………4分即2b -2|b |-8=0，解得|b |=4． …………7分（2） b ⋅（2a －b ）=2ab - 2b =12142⨯⨯⨯=12-，又|b ||2a -b |=4⨯= ………10分由夹角公式得b 与2a －b=，∴夹角为150︒．………14分 16．（1）产品A 的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1∶40的比例抽取， 同理产品B 的产量为1000，按1∶40的比例抽取，从中抽取样本容量为25， 所以产品C 应抽取件数为15，故11540240x=+，解得360x =； …………4分 （2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，则M 型号有2件，N 型号有3件，从中任取两件所有的情况有：（M 1，M 2），（N 1，N 2），（N 1，N 3），（N 2，N 3），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共10种.故至少有一件是M 型号的有（M 1，M 2），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共有7种，所以至少有一件是M 型号的概率1710P =；……9分 （3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，则与9差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率22184P ==…14分17．（1）在Rt PON ∆中，sin ,cos .PN R ON R θθ==四边形PNMQ 为矩形，sin MQ PN R θ∴==. …………2分故在Rt OMQ ∆中，sin tan 60MQ OM R θ==︒，所以cos sin MN ON OM R θθ=-=. …………4分则sin (cos sin )S PN MN R R θθθ=⋅=-. …………6分2221(sin cos )(sin 22R R θθθθ=-=22sin(230)θ=+︒…11分（2）因为当23090θ+︒=︒时，max sin(230)1θ+︒=，所以当30θ=︒时，22max S =，所以矩形PNMQ 2，30BOP ∠=︒. …………14分 18．（1）53sin cos cos sin )sin(=+=+B A B A B A ① …………2分 51sin cos cos sin )sin(=-=-B A B A B A ② …………4分 ①+②得54cos sin 2=B A ，52cos sin =∴B A ③ 51s i n c o s =B A ④③/④得：2tan tan =B A． …………7分（2）ABC ∆ 是锐角三角形，又20,ππ<<-=+C C B A ，ππ<+<∴B A 2，53)sin(=+B A ， 43)tan(-=+∴B A ，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．…………10分 由（1）B A tan 2tan =，43tan 21tan 32-=-∴BB ， 即01tan 4tan 22=--B B ，4244tan ±=B ． …………14分B 是锐角，261tan +=∴B ． …………16分 19．（1）当0a =时，21()cos 1(cos21)2f x x x =-=-．易得周期T π=,单调增区间为[,]()2k k k Z ππππ++∈． …………5分 （2）将函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-变形为2()sin 2sin f x x a x a =--+，[,]36x ππ∈-． 设sin ,t x =则1[]2t ∈， 即求函数2()2h t t at a =--+在1[]2t ∈上的最大值()m a ．…………8分①当-≤-a 时，()h t在-1[,]2上单调递减，∴=-=-++3()(1)24m a h a ． …………10分 ②当-≥12a 时，()h t在-1[,]22上单调增，∴==-11()()24m a h ………12分③当-<-<122a 时，∴=+2()m a a a ． …………14分综上所述，231),411(),,421,2a a m a a a a a ⎧-++≥⎪⎪⎪=-≤-⎨⎪⎪+-<<⎪⎩…………16分 20．（1）设(,2)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解之得40,5m m ==．故所求点P 的坐标为(0,0)P 或48(,)55P ． ………4分 （2）设(,2)P m m ，则2||cos PA PB PA PAB ⋅=∠ ．又22||1PA PM =- ,222cos 12sin 12PAB PAB PM ∠∠=-=-， 2222222||cos (1)(1)3PA PB PA PAB PM PM PM PM ∴⋅=∠=--=+- ．………7分 又222216(2)(2)544[,)5PM m m m m =-+=-+∈+∞，2222233||cos 3(1[,)40PA PB PA PAB PM PM PM ∴⋅=∠=+-=-∈+∞ ，故PA PB ⋅ 的最小值3340． …………10分（3）设(,2)P m m ，MP 的中点(1,)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线， 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为2222(1)()(1)22m mx y m m --+-=+-， 化简得222(22)0x y x m x y +-+--+=， …………13分故2220,220x y x x y ⎧+-=⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或2,54.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(2,0)和24(,)55． …………16分。
2012-2013学年度高一第一学期期末考试试卷以及答案
2012-2013学年度期末考试试卷高一数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案，请把你认为正确的答案填在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．。
）1． 若{}9,6,3,1=P {}8,6,4,2,1=Q ，那么=⋂Q P （ C ）A.{1}B.{6}C. {1，6}D. 1，62．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数 （ B ）A.2)(x y =B. 33x y = C. xx y 2=D.2x y =3．图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ A ）图（1） A B C D4．下列函数中有两个不同零点的是（ D ）A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-5．函数()12f x x=-的定义域是（ A ） A ．[)()+∞⋃-,22,1 B ．[)+∞-,1 C ．()()+∞⋃∞-,22,D ． 1 22 -⋃+∞(，)(，)6．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，下面有三个命题：①//m n αβ⇒⊥；②//m n αβ⊥⇒；③//m n αβ⇒⊥；则真命题的个数为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．若10x -<<，那么下列各不等式成立的是（ D ）A ．220.2x x x -<<B ．20.22x x x -<<C ．0.222x x x -<<D ．220.2x x x -<<8. 过2 3A -(，) ，2 1B (，) 两点的直线的斜率是（ C ） A ．12B ．12-C ．2-D ．29. 已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则（ B ） A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x x B ． )1(-x f =)42(12≤≤-x x C ． )1(-x f =)20(22≤≤-x x D ． )1(-x f =)42(12≤≤+-x x10．．已知)(x f 是偶函数，当0<x 时，)1()(+=x x x f ，则当0>x 时，()f x 的值为（ A ） A ．)1(-x x B ．)1(--x x C ．)1(+x x D ．)1(+-x x第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把你认为正确的答案填在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．。
2012-2013学年北京市某校高一(下)期末数学试卷(附答案解析)
2012-2013学年北京市某校高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 直线l 经过原点和点(−√3, 1)，则它的斜率为（ ） A.−√3 B.−√33C.√33D.√32. 不等式2x 2−x −1>0的解集是（ ） A.(−12, 1)B.(1, +∞)C.(−∞, 1)∪(2, +∞)D.(−∞, −12)∪(1, +∞)3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →=2DB →，CD →=13CA →+λCB →，则实数λ=( ) A.−23 B.−13C.13D.234. 若已知A(1, 1, 1)，B(−3, −3, −3)，则线段AB 的长为（ ） A.4√3 B.2√3 C.4√2 D.3√25.sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=( )A.−√32B.−12 C.12 D.√326. 直线l:y =kx −3k 与圆C:x 2+y 2−4x =0的位置关系是（ ） A.l 与C 相交 B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能7. 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3⋅a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1＝（ ）A.12 B.√22C.√2D.28. 设sin (π4+θ)=13，则sin 2θ＝（ ）A.−79B.−19C.19D.799. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=( ) A.8 B.4C.2D.110. 设a ，b 为正实数，下列结论正确的是（ ） ①若a 2−b 2=1，则a −b <1； ②若1b −1a =1，则a −b <1； ③若|√a −√b|=1，则|a −b|<1； ④若|a 3−b 3|=1，则|a −b|<1．A.①②B.②④C.①③D.①④二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．过点(−3, −1)，且与直线x −2y =0平行的直线方程为________．若x >0，则函数y =x 2+1x的最小值是________．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=12，a 1+a 2+a 3=3，则S n =________．过点(−1, 6)与圆x 2+y 2+6x −4y +9=0相切的直线方程是________．等比数列{a n }中，a 1+a 3=5，a 2+a 4=4，则a 4+a 6=________．已知△ABC 的一个内角为120∘，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知向量a →=(1, 2)，b →=(−2, m)，m ∈R ．（1）若a → // b →，求m 的值；（2）若a →⊥b →，求m 的值．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．公司如何合理安排生产计划，可使每天生产的甲、乙两种产品，共获得最大利润？在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足sin A cos C=ac．（1）求角C 的大小；（2）求√3sin A −cos (B +π4)的最大值，并求取得最大值时角A 的大小．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(−2, 0)的直线l 与圆x 2+y 2=1交于P 、Q 两点，且OP →⋅OQ →=−12． （1）求∠PDQ 的大小；（2）求直线l 的方程．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =−n 2+20n ，n ∈N ∗． （1）求通项a n ；（2）设{b n −a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2−6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市某校高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】斜率的计算公式 【解析】把原点坐标(0, 0)和点A 的坐标(−√3, 1)一起代入两点表示的斜率公式，即可得到结果． 【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k =−√3−0=−√33故选：B ． 2.【答案】 D【考点】一元二次不等式的应用 【解析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集． 【解答】原不等式同解于 (2x +1)(x −1)>0 ∴ x >1或x <−123.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出． 【解答】解：如图所示，∵ AD →=2DB →，∴ CD →=CA →+AD →=CA →+23AB →=CA →+23(CB →−CA →)=13CA →+23CB →， 又CD →=13CA →+λCB →， ∴ λ=23．故选D ．4.【答案】 A【考点】空间两点间的距离公式 【解析】利用两点之间的距离求得AB 的长． 【解答】解：|AB|=√(1+3)2+(1+3)2+(1+3)2=4√3 故选A 5.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】将原式分子第一项中的度数47∘=17∘+30∘，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin (17∘+30∘)−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 17∘cos 30∘+cos 17∘sin 30∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 30∘=12．6. 【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系 【解析】把圆C 的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据直线过定点A ，而定点A 在圆的内部，从而可得直线和圆相交． 【解答】解：圆C:x 2+y 2−4x =0即(x −2)2+y 2=4，表示以C(2, 0)为圆心，半径等于2的圆．再由圆心到直线l:y =kx −3k =k(x −3)，经过定点A(3, 0)，而点A 显然在圆C 的内部， 故直线l:y =kx −3k 与圆C:x 2+y 2−4x =0的位置关系是相交， 故选A ． 7.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】设等比数列的公比为q ，根据等比数列的通项公式把a 3⋅a 9＝2a 52化简得到关于q 的方程，由此数列的公比为正数求出q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比q 的值和a 2＝1即可求出a 1的值． 【解答】设公比为q ，由已知得a 1q 2⋅a 1q 8＝2(a 1q 4)2， 即q 2＝2，又因为等比数列{a n }的公比为正数， 所以q =√2，故a 1=a 2q=2=√22． 8.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin 2θ的值． 【解答】由sin (π4+θ)＝sin π4cos θ+cos π4sin θ=√22(sin θ+cos θ)=13，两边平方得：1+2sin θcos θ=29，即2sin θcos θ=−79， 则sin 2θ＝2sin θcos θ=−79． 9. 【答案】 C【考点】 向量的模向量的三角形法则 【解析】先求出|BC →|＝4，又因为|AB →+AC →|=|AB →−AC →|=|BC →|＝2|AM →|=4，可得答案． 【解答】解：由|BC →|2=16，得|BC →|=4.∵ |AB →+AC →|=|AB →−AC →|=|BC →|=4， 而|AB →+AC →|=2|AM →|， ∴ |AM →|=2. 故选C .10.【答案】 D【考点】不等式的概念与应用 【解析】①将a 2−b 2=1，分解变形为(a +1)(a −1)=b 2，即可证明a −1<b ，即a −b <1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a >b ，去掉绝对值，将a 3−b 3=1分解变形为(a −1)(a 2+1+a)=b 3，即可证明a −b <1，同理当a <b 时也可证明b −a <1，从而命题④正确． 【解答】解：①若a 2−b 2=1，则a 2−1=b 2，即(a +1)(a −1)=b 2，∵ a +1>a −1，∴ a −1<b ，即a −b <1，①正确； ②若若1b −1a =1，可取a =7，b =78，则a −b >1，∴ ②错误；③若若|√a −√b|=1，则可取a =9，b =4，而|a −b|=5>1，∴ ③错误； ④由|a 3−b 3|=1，若a >b ，则a 3−b 3=1，即a 3−1=b 3，即(a −1)(a 2+1+a)=b 3， ∵ a 2+1+a >b 2，∴ a −1<b ，即a −b <1若a <b ，则b 3−a 3=1，即b 3−1=a 3，即(b −1)(b 2+1+b)=a 3， ∵ b 2+1+b >a 2，∴ b −1<a ，即b −a <1 ∴ |a −b|<1∴ ④正确； 所以正确的答案为①④． 故选D ．二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．【答案】x −2y +1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线平行，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线l 的方程． 【解答】解：直线l 经过点(−3, −1)，且与直线x −2y =0平行，直线的斜率为12 所以直线l 的方程为：y +1=12(x +3)即x −2y +1=0． 故答案为：x −2y +1=0． 【答案】 2【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x>0，∴函数y=x 2+1x=x+1x≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=x2+1x的最小值是2．故答案为2．【答案】1 4n2+14n【考点】等差数列的前n项和【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得3×12+3×22d=3，解得d的值，再由S n=na1+n(n−1)2d，运算求得结果．【解答】解：设等差数列的公差为d，由题意可得3×12+3×22d=3，解得d=12，故S n=na1+n(n−1)2d=n2+n(n−1)2×12=14n2+14n，故答案为14n2+14n．【答案】3x−4y+27=0或x=−1【考点】圆的切线方程【解析】分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可得到结论．【解答】解：圆方程可化为(x+3)2+(y−2)2=4当直线的斜率存在时，设方程为y−6=k(x+1)，即kx−y+k+6=0圆心到直线的距离为d=√k2+1=2，∴k=34当直线的斜率不存在时，方程为x=−1也满足题意综上，所求方程为3x−4y+27=0或x=−1故答案为：3x−4y+27=0或x=−1【答案】6425【考点】等比数列的性质【解析】由已知式子可得公比的值，而a4+a6=(a2+a4)⋅q2，计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则a2+a4=(a1+a3)⋅q=4，解得q=45，故a4+a6=(a2+a4)⋅q2=4×(45)2=6425故答案为：6425【答案】15√3【考点】等差中项解三角形余弦定理【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x−4，根据余弦定理表示出cos120∘的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x−4，x，x+4，则cos120∘=x2+(x−4)2−(x+4)22x(x−4)=−12，化简得：x−16=4−x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14，则△ABC的面积S=12×6×10×sin120∘=15√3．故答案为：15√3.三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解（1）因为a→ // b→，所以1⋅m−2(−2)=0，m=−4．（2）因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，所以1⋅(−2)+2m=0，m=1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）利用向量共线的坐标表示即可得出；（2）利用a→⊥b→⇔a→⋅b→=0，即可得出．【解答】解（1）因为a → // b →，所以1⋅m −2(−2)=0，m =−4． （2）因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=0， 所以1⋅(−2)+2m =0，m =1．【答案】解：设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ，则约束条件为{x +2y ≤122x +y ≤12x >0y >0，目标函数为Z =300x +400y ，可行域如图当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，联立方程组{x +2y =122x +y =12得M(4, 4)，代入目标函数得z =2800．故公司每天生产的甲、乙两种产品各4桶，可获得最大利润2800元．【考点】求线性目标函数的最值 【解析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可． 【解答】解：设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ，则约束条件为{x +2y ≤122x +y ≤12x >0y >0，目标函数为Z =300x +400y ，可行域如图当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，联立方程组{x +2y =122x +y =12得M(4, 4)，代入目标函数得z =2800．故公司每天生产的甲、乙两种产品各4桶，可获得最大利润2800元．【答案】解：（1）由正弦定理得sin A cos C=sin A sin C．因为0<A <π，0<C <π． 所以sin A >0．从而sin C =cos C ． 又cos C ≠0，所以tan C =1，则C =π4．…（2）由（1）知B =3π4−A ．于是√3sin a −cos (B +π4)=√3sin a −cos (π−A)=√3sin A +cos A =2sin (A +π6)． 因为0<A <3π4，所以π6<A +π6<11π12，所以当A +π6=π2，即A =π3时，2sin (A +π6)取最大值2．综上所述，√3sin A −cos (B +π4)的最大值为2，此时A =π3．… 【考点】 正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）利用正弦定理，结合条件，可得tan C =1，从而可求角C 的大小； （2）将√3sin A −cos (B +π4)化简，结合角的范围，即可求最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理得sin A cos C=sin A sin C．因为0<A <π，0<C <π． 所以sin A >0．从而sin C =cos C ． 又cos C ≠0，所以tan C =1，则C =π4．… （2）由（1）知B =3π4−A ．于是√3sin a −cos (B +π4)=√3sin a −cos (π−A)=√3sin A +cos A =2sin (A +π6)． 因为0<A <3π4，所以π6<A +π6<11π12，所以当A +π6=π2，即A =π3时，2sin (A +π6)取最大值2． 综上所述，√3sin A −cos (B +π4)的最大值为2，此时A =π3．…【答案】解：（1）因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以|OP →|=|OQ →|=1， 因为OP →⋅OQ →=−12，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|⋅cos ∠POQ =−12． 所以∠POQ =120∘．（2）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(−2, 0)，可设直线l:y =k(x +2)． 由（1）可知O 到直线l 的距离等于12． 所以2=12，解得k =±√1515，所以直线l 的方程为x −√15y +2=0或x +√15y +2=0． 【考点】平面向量数量积的运算 直线与圆相交的性质 【解析】（1）由点P 、Q 在圆上可知|OP →|=|OQ →|=1，由OP →⋅OQ →=−12利用向量数量积运算可得cos ∠POQ ，由此可得答案；（2）易知直线存在斜率，设直线l:y =k(x +2)．由（1）知点O 到直线l 的距离为12，根据点到直线的距离公式可得关于k 的方程，解出k 代入直线方程即可； 【解答】解：（1）因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以|OP →|=|OQ →|=1， 因为OP →⋅OQ →=−12，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|⋅cos ∠POQ =−12．所以∠POQ =120∘．（2）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(−2, 0)，可设直线l:y =k(x +2)． 由（1）可知O 到直线l 的距离等于12． 所以√k 2+1=12，解得k =±√1515， 所以直线l 的方程为x −√15y +2=0或x +√15y +2=0．【答案】解：（1）当n =1时，a 1=S 1=19；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−n 2+20n −[−(n −1)2+20(n −1)]=−2n +21，当n =1时也成立． 综上可知：a n =−2n +21，n ∈N ∗．（2）∵ {b n −a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ b n −a n =3n−1，∴ b n =3n−1−2n +21(n ∈N ∗)． ∴ T n =S n +1+3+32+⋯+3n−1 =−n 2+20n +1×(3n −1)3−1=−n 2+20n +12(3n −1)． 【考点】 数列的求和 等比关系的确定【解析】（1）当n =1时，a 1=S 1=19；当n ≥2时，a n =S n −S n−1即可得出； （2）利用等比数列的定义及其前n 项和公式即可得出．【解答】 解：（1）当n =1时，a 1=S 1=19；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−n 2+20n −[−(n −1)2+20(n −1)]=−2n +21，当n =1时也成立． 综上可知：a n =−2n +21，n ∈N ∗．（2）∵ {b n −a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ b n −a n =3n−1，∴ b n =3n−1−2n +21(n ∈N ∗)． ∴ T n =S n +1+3+32+⋯+3n−1=−n 2+20n +1×(3n −1)3−1=−n 2+20n +12(3n −1)．【答案】 解：（1）设圆C 方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0．在曲线y =x 2−6x +1中令x =0，得y =1，则点(0, 1)在圆C 上，可得1+E +F =0(∗) 再令y =0，可得方程x 2−6x +1=0与x 2+Dx +F =0是同一方程，得D =−6，F =1， 代入(∗)解出E =−2，∴ 圆C 方程为x 2+y 2−6x −2y +1=0，即(x −3)2+(y −1)2=9 （2）设斜率为1的直线方程为x −y +a =0 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，其坐标满足方程组由{x −y +a =0(x −3)2+(x −1)2=9消去y ，得方程2x 2+(2a −8)x +a 2−2a +1=0， ∴ △=56−16a −4a 2>0．利用根与系数的关系，得到x 1+x 2=4−a ，x 1x 2=12(a 2−2a +1)①， 若OA ⊥OB ，则可得x 1x 2+y 1y 2=0，结合y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，代入可得2x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2=0② 由①②联解可得a =−1，此时△=56−16a −4a 268>0．∴a=−1，得存在斜率为1的直线x−y−1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．【考点】圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】（1）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2−6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（2）设斜率为1的直线方程为x−y+a=0，圆C与直线x−y+a=0的交点于A(x1, y1)、B(x2, y2)．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=−1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．【解答】解：（1）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2−6x+1中令x=0，得y=1，则点(0, 1)在圆C上，可得1+E+F=0(∗)再令y=0，可得方程x2−6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=−6，F=1，代入(∗)解出E=−2，∴圆C方程为x2+y2−6x−2y+1=0，即(x−3)2+(y−1)2=9（2）设斜率为1的直线方程为x−y+a=0设A(x1, y1)，B(x2, y2)，其坐标满足方程组由{x−y+a=0(x−3)2+(x−1)2=9消去y，得方程2x2+(2a−8)x+a2−2a+1=0，∴△=56−16a−4a2>0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4−a，x1x2=12(a2−2a+1)①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a(x1+x2)+a2=0②由①②联解可得a=−1，此时△=56−16a−4a268>0．∴a=−1，得存在斜率为1的直线x−y−1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012-2013学年度石家庄市高一第二学期期末试卷
数学答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5：ADDBC 6-10：DACBD
11：B 12：【普通高中】D 【示范高中】A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.20
14.2
15. 1 16. 【普通高中】1(1)2n -- 【示范高中】1()2
n
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
解： （I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1(1)n a d n ∴=+- …………………………………1分
又521,,a a a 成公比不为1的等比数列，
2
215a a a = …………………………………3分
2(1)1(14)d d +=⨯+
2d =或0d =（舍） …………………………………5分 （Ⅱ）111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==--+-+ ………………………………7分 1111111111(1)(1)233557212122121
n n
S n n n n =-+-+-+-=-=
-+++ …………10分 18．（本小题满分12分） 解：第一步：在BEF ∆中，
sin sin BE EF
BFE FBE
=
∠∠, 所以sin sin()
a BE γ
αβγ=
++， …………………………………4分
第二步：在AEF ∆中, sin sin AE EF
AFE EAF
=
∠∠, 所以sin()
sin()
a AE γδβγδ+=
++， …………………………………8分
第三步：在ABE ∆
中，AB =
即AB =…………12分 19．（本小题满分12分）
解：当0m =时，两直线方程为6x =-，0x =，满足题意； ……………………………2分 当0m ≠时，直线方程为2216y x m m =--与22
33
m y x m -=-
， 由题意可知，2
123m
m m
--
= …………………………………4分 即3(2)m m =-
2230m m --=，
解得1m =-或3m =； …………………………………6分 当1m =-时，两直线方程为60x y ++=，2
03
x y ++
=，满足题意； …………………………………8分
当3m =时，两直线方程为960x y ++=，960x y ++=，两直线重合，不合题意． ……………………10分 ∴0m =，1m =-． ……………………12分 20. （本小题满分12分） 解：（I ）∵2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c ＝－＋－，
得2
2(2)(2)a b c b c b c ＝－＋－，即222
bc b c a ＝＋－，………………………………2分
∴2221
cos =
22
b c a A bc +-=， …………………………………4分 ∴60A =
. …………………………………6分
(Ⅱ)∵A B C ＋＋＝180， ∴18060120B C
＋＝－＝.
由sin sin B C +=
sin sin(120)B B +-=
，……………………………8分
∴sin sin120cos cos120sin B B B +-=
∴
3sin 2B B +=sin(30)1B += .…………………………………10分 又∵0120B
＜＜，3030150B
＜＋＜， ∴3090B
＋＝，即60B
＝. ∴60A B C ＝＝＝，
∴ABC 为正三角形． …………………………………12分
21．（本小题满分12分） 解：（I ）∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面11CDD C ，
∴点A 到面1MCC 的距离等于点A 到边CD 的距离，…………………………………2分
在菱形ABCD 中，0
60B ∠=，2AB AD ==，
所以
h = …………………………………4分
三棱锥1MCC A -
的体积
111142332MCC V S h ∆=⨯=⨯⨯⨯=. …………………………………6分 （II ）将矩形11DD C C 绕1DD 按逆时针旋转90 展开，与矩形11DD A A 共面,
此时11A M MC AC +≥当且仅当点M 是棱1DD 的中点时，1A M MC +取得最小值． ………………………………8分
在矩形11ADD A
中MA =在矩形11ABB A
中1AB =在11MB D ∆
中1MB ==，
所以在1MB A ∆中得：
222111AB MA MB MA MB =+⇔⊥ …………………………………10分
同理：11,MC MB MC MA M B M ⊥=⇒⊥ 面MAC .…………………………………12分 22. （本小题满分12分） 解: (Ⅰ) 2
10x bx b ++->
(1)(1)0x x b ++->
当11b -=-，即2b =时，解集为{|1}x x ≠-； …………………………………2分 当11b -<-，即2b <时，解集为{|1x x <-或1}x b >-；………………………………4分 当11b ->-，即2b >时，解集为{|1x x b <-或1}x >-．……………………………6分 (Ⅱ) 若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12()()4f x f x -≤， 等价于对任意
()
f x 在
[1,1]-上的最大值与最小值之差
4M ≤, …………………………………8分
据此分类讨论如下： ①当12
b
-
>，即2b <-时，(1)(1)24M f f b =--=->，与题设矛盾； ②当12
b -<-，即2b >时，(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾； ③当102b -≤-<，即02b <≤时，2(1)()(1)422b b M f f =--=+≤恒成立； ④当012b ≤-≤，即20b -≤≤时，2(1)()(1)4
22
b b M f f =---=-≤恒成立． …………………………10分
综上可知，22b -≤≤． …………………………………12分
附加题：(本小题满分10分)
设圆心为(,1)C a a -，半径为r ，
则点C 到直线2l 的距离
1|43(1)14||711|
55
a a a d +-++=
=
…………………………2分 点C 到直线3l 的距离是2|34(1)10||76|
55
a a a d +-++==
…………………………4分 由题意，得222|711|
,5
|76|()3.5a r a r +⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩
…………………………6分
解得2,5a r ==， …………………………8分
即所求圆的方程是22
(2)(1)25x y -+-= . …………………………10分。