专升本-一元函数积分学

第四章 一元函数积分学

不定积分部分

一．原函数的概念

例1.下列等式成立色是（ ）

()()().;A f x dx f x '=⎰ ()()().;B df x dx f x =⎰

()()().

;d

C f x dx f x dx

=⎰ ()()()..D d f x dx f x =⎰ 例2．下列写法是否有误，为什么？

()1

.ln c dx e e x

x +=⎰（c 为任意正常数）

()2 ).0(1

3

3

2

≠+=⎰c c

dx x

x ()3 .arccos arcsin 12

c x c x dx dx x

+-=+=-⎰

例3.下列积分结果正确吗？

()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+⎰√ ()21

2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+⎰√

()1

3sin .cos cos 2.2

x xdx x C =-+⎰√

例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法

利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3

1111113

2

2

24

2

4

c x x dx

dx dx dx x

x

x x

x x

x ++-=

+

+-=

++-=

+⎰⎰⎰⎰

例5．求.sin 21

2cos 212cos 12sin

2

c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=⎰⎰⎰⎰ 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2

222c x c xdx x dx x

x dx +-===⎰⎰⎰ 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2

π=x 时，这函数值为2，求

此函数.

解：因为()

.sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=

又因为1212=⇒=+=⎪⎭

⎫

⎝⎛c c f π.

所以，().1sin cos ++-=x x x f 例8．设())0.(12/

>=x x

x f

，求()x f .

解：

()())0(1

1

/

2

2

/

>=

⇒

=

x x

x f x

x f ， ()).0(2121

>+===⎰⎰

-

x c x dx dx x

x f x 二．不定积分的第一换元法

利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数 的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公 式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式. 若已知()()C u F du u f +=⎰，()x u ϕ=可微，则有换元公式： ()[]()()[]./

C x F dx x x f +=⎰

ϕϕϕ

例9.求()c x x x d x dx ++=++=+⎰⎰

|23|ln 3

1

23233123. 例10.求()

c x

d x dx x x

e x e e +-=--=---⎰⎰222

2

1212

.

例11．求()()()()c x d dx x x x x +==⎰⎰ln ln ln 3

2

2

3

1ln . 例12．求()()

()()

()()c x f x f x f d dx x f x f +==

⎰⎰

||ln /

.

例13．求()c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰

|cos |ln cos cos cos sin tan . 例14．求()c x x x d dx x x xdx c +===⎰⎰⎰|sin |ln sin sin sin cos tan . 例15．c a x a a x ad dx dx a x a a x a a x +=+⎪

⎭⎫

⎝⎛=+=+⎰⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛arctan 11111112

22222.

例16．求c a

x

a x ad a dx a dx

a x a x x

a

+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=

-=-⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎰

⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛arcsin 11112

2

2

2

.

例17.()()

2

2

1

1111ln ||.22dx

x a

dx dx C x a x a a x a x a a x a x

a

-⎡⎤==-=+⎢⎥-+-++⎣⎦

-⎰

⎰

⎰

例18．c a

x a

x a dx x

a +-+=-⎰

||ln 211

2

2

. 2

2212sec cos 21222

sec cos sec

x

dx dx

xdx dx x x

x ===--⎰⎰⎰⎰ 22tan tan 1

22ln ||1tan 1

22

tan x x d c x

x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭==+--⎰. 注意：进一步化简可得到c x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec . 例19．⎰+-=c x c x xdx |tan csc |ln csc 。————（26）

例20．c x x dx x xdx ++=+=⎰

⎰2sin 41

222cos 1cos 2

。 例21．c x x dx x x xdx +-=-=⎰⎰3cos 1214sin 343cos cos 3cos 3

另解：()

()c x x x d x xdx x xdx +-

=-==⎰⎰⎰sin sin cos cos 3

2

2

3

3

1sin sin 1cos 。 例22 .

[]...22cos 2141cos 22cos 1cos 2

2

4

=+

+==⎰⎰⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎰dx x x dx xdx x 例23．()c x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰sin 2

1105sin cos 5cos 21

2cos 3cos 。 例24.()()()x d x xd xdx x x x sec 2

sec 1sec sec

tan sec tan 2

2

43

5

⎰

-⎰⎰===...

例25．()

()

c d xdx x x x x

+=

+

=+⎰

⎰

2

2

2

4

arctan 2

12

1211