解逻辑斯蒂曲线微分方程dN
逻辑斯蒂公式计算拐点
逻辑斯蒂公式计算拐点
逻辑斯蒂函数（Logistic function）也称为Sigmoid函数，其公式表示如下：
f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
其中，e表示自然对数的底 (约等于2.71828)。
拐点（Inflection point）是指函数曲线上由凹转凸或由凸转凹的点。
在逻辑斯蒂函数中，拐点就是函数曲线从增长趋势到减少趋势或从减少趋势到增长趋势的位置。
为了找到逻辑斯蒂函数的拐点，我们需要解方程 f''(x) = 0，即求逻辑斯蒂函数的二阶导数关于x的解。
首先，我们计算逻辑斯蒂函数的一阶导数f'(x) 和二阶导数f''(x)：
f'(x) = (e^(-x)) / (1 + e^(-x))^2 f''(x) = (e^(-x))/(1 + e^(-x))^2 - 2(e^(-x))^2/(1 + e^(-x))^3
将 f''(x) = 0 代入上述方程，并进行简化运算，可得：
(e^(-x)) - 2(e^(-x))^2 = 0
然后，将 (e^(-x)) 因式分解为公因式，得到：
(e^(-x))(1 - 2e^(-x)) = 0
由于 (e^(-x)) 不可能为零，因此我们解方程 1 - 2e^(-x) = 0，得到：
e^(-x) = 1/2
取对数，得到：
-x = ln(1/2)
最后，解方程得到：
x = ln(2)
所以逻辑斯蒂函数的拐点为 x = ln(2)。
关于逻辑斯谛方程
关于逻辑斯谛方程关于逻辑斯谛方程000摘要：逻辑斯谛方程即微分方程：dN/dt=rN（K-N）/K。
当一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。
假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量，则数量会增长。
该物种在此生态系统中有天敌、食物、空间等资源也不足（非理想环境），则增长函数满足逻辑斯谛方程，图像呈S形，此方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。
在以下内容中将具体介绍逻辑斯谛方程的原理、生态学意义及其应用。
关键词：逻辑斯谛方程；原理；生态学意义；应用1 前言1938年一位比利时的数学家Verhulst首先将营养关系反映到种群数学模型方面，是它首先导出了后来被广泛称为逻辑斯谛的方程。
但在当时并没有引起大家的注意，直到1920年两位美国人口学家Pearl和Reed在研究美国人口问题时，再次提出这个方程，才开始流行，故现在文献中通常称之为Verhulst-Pearl阻碍方程。
其所以又称为逻辑斯谛方程是因为其有某种逻辑推理的含义。
按现在的用语来说，它是一个说理模型，实际上是反映营养对种群增长的一种线性限制关系的说理模型。
1963年，洛伦兹发现确定性系统的随机性为，并且发现了这种随机行为对初值的敏感性。
1975年，美籍华人学者李天岩和数学家约克发表“周期中蕴含着混沌”的著名文章，揭示从有序到混沌的演化过程。
这些内容都包含在逻辑斯谛差分方程中。
1976年R.梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯谛方程的成果—《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》，引起学术界极大关注，内容已远远超越了生态学领域，揭示出逻辑斯谛方程深处蕴藏的丰富内涵。
2 逻辑斯谛方程的原理在种群增长早期阶段，种群大小N很小，N/K值也很小，因此1-N/K接近于1，所以抑制效应可以忽略不计，种群增长实质上为r/N，成几何增长。
然而，当N变大时，抑制效应增加，直到当N=K时，（1-N/K）变成了（1-K/K），等于0，这时种群的增长为零，种群达到了一个稳定的大小不变的平衡状态。
逻辑斯蒂方程
在自然界来和人类社会上存在大量的S型变化的现象，逻辑斯蒂模型几乎是描述s型增长的唯一数学模型。这是一条连续的、单调递增的、但参数k为上渐近线的s型曲线，其变化速度一看是增长较慢，中间段增长速度加快，以后增长速度下降并且趋于稳定。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物的增长过程，同时也作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型。
二、逻辑斯蒂方程的产生和发展
在提出逻辑斯蒂模型之前，最早给出种群生态学经典数学模型是Malthus模型，由英国统计学家Malthus（1766-1834）在1798《人口原理》一书中，提出了闻名于世的Malthus人口模型。设t0时刻的人口总数为N0，t时刻人口总数为N(t)，则：
但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素。实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，实践证明Malthus人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。比利时数学家P.F.Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设修改为
解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。
3.商品销售预测问题
例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
逻辑斯蒂方程
出自MBA智库百科(/)
逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）
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逻辑斯蒂方程的推导
当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？
逻辑斯蒂曲线
逻辑斯蒂曲线
逻辑斯蒂曲线，也称贝叶斯决策曲线，是统计学中一种用于衡量诊断准确率的度量方法，它用来评估诊断的敏感性和特异性，以确定诊断结果是否可靠。
这种曲线常被用来衡量医学诊断的效果，通过两个不同的条件来衡量，即某种疾病真实存在时它预测出疾病的概率，以及某种疾病并不存在时它也预测出疾病的概率。
诊断准确率的衡量有时也称为“诊断测试”，而逻辑斯蒂曲线用于衡量这种状态，它将曲线上的点作为诊断准确率的指标。
逻辑斯蒂曲线是一线性回归模型，由于它不受观察到的结果影响，它可以更准确地表示实际数据，并且为诊断决策提供一个可靠的框架。
逻辑斯蒂曲线可以用来评估诊断效果或决策后果，以帮助医疗专业人员更好地决定是否采用某种诊断或治疗方法，同时减少诊断错误的发生率。
它可用于帮助医疗机构更好地评估某种疾病的发病率、特征以及发展趋势，以便妥善处理患者的诊断和治疗。
此外，逻辑斯蒂曲线也可以用来确定某些模式的有效性，这样可以帮助临床人员更精准地识别病情，及早采取治疗药物。
例如，针对艾滋病检测，可以通过逻辑斯蒂曲线来确定检测实验中可能存在的假阳性（负面结果却是阳性）或假阴性（正面结果却是阴性），并采取相应措施，实现更精准的诊断结果。
总而言之，逻辑斯蒂曲线是一种有用的技术，它可以有效地衡量诊断准确率，帮助医疗机构减少诊断失误，同时提高应用的有效性。
逻辑斯蒂曲线的应用潜力已被证明，它可以帮助临床医疗机构更好地
满足患者的需求，同时提高治疗效果。
高等数学秘诀利用微分方程解决实际问题
高等数学秘诀利用微分方程解决实际问题在我们的日常生活和科学研究中，常常会遇到各种各样的变化和动态过程。
而高等数学中的微分方程，就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开这些复杂现象背后的秘密，为解决实际问题提供有力的工具。
微分方程，简单来说，就是包含未知函数及其导数的方程。
它描述了某个物理量或现象随时间或空间的变化规律。
通过建立合适的微分方程模型，并求解这个方程，我们就能够预测事物的发展趋势，理解其内在机制。
让我们先来看看一个常见的例子——物体的冷却问题。
假设我们有一杯热咖啡，它的初始温度为一定值，然后放置在室温环境中慢慢冷却。
我们知道，物体的冷却速度与其温度和周围环境的温度差成正比。
那么，我们就可以用微分方程来描述这个冷却过程。
设咖啡的温度为＼（T(t)＼），时间为＼（t\），周围环境温度为常数＼（T_{0}＼），比例系数为＼（k\），则冷却过程的微分方程可以表示为：＼＼frac{dT}｛dt} ＝ k(T T_{0}）＼通过求解这个微分方程，我们就能得到咖啡温度随时间变化的函数＼（T(t)＼），从而预测在任意时刻咖啡的温度。
再比如，在经济学中，我们常常关心商品的价格变化。
假设某种商品的需求量＼（D\）与价格＼（p\）之间存在一定的关系，同时商品的供给量＼（S\）也与价格有关。
当市场达到平衡时，需求量等于供给量，即＼（D(p) ＝ S(p)＼）。
如果我们进一步假设需求量和供给量关于价格的变化率可以用微分方程来表示，那么通过建立和求解这些微分方程，就能够研究价格的波动和稳定情况，为制定经济政策提供理论依据。
在物理学中，微分方程更是无处不在。
比如，描述弹簧振子运动的方程，考虑一个质量为＼（m\）的物体连接在一个弹性系数为＼（k\）的弹簧上，在没有阻尼的情况下，它的运动可以用以下微分方程描述：＼m\frac{d^｛2}x}｛dt^｛2}｝＝ kx＼其中＼（x\）是物体的位移，＼（＼frac{d^｛2}x}｛dt^｛2}｝＼）是位移对时间的二阶导数。
简述种群增长的逻辑斯谛模型及其主要参数的生物学意义
简述种群增长的逻辑斯谛模型及其主要参数的生物学意义在一定条件下，生物种群增长并不是按几何级数无限增长的。
即开始增长速度快，随后速度慢直至停止增长（只是就某一值产生波动），这种增长曲线大致呈“S”型，这就是统称的逻辑斯谛（Logistic）增长模型。
意义当一个物种迁入到一个新生态系统中后,其数量会发生变化.假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量,则数量会增长.增长方式有以下两种：（1） J型增长若该物种在此生态系统中无天敌,且食物空间等资源充足(理想环境),则增长函数为N(t)=n(p^t).其中,N(t)为第t年的种群数量,t为时间,p为每年的增长率(大于1).图象形似J形。
（2） S型增长若该物种在此生态系统中有天敌,食物空间等资源也不充足(非理想环境),则增长函数满足逻辑斯谛方程。
图象形似S形.逻辑斯谛增长模型的生物学意义和局限性逻辑斯谛增长模型考虑了环境阻力，但在种群数量较小时未考虑随机事件的影响。
比较种群指数增长模型和逻辑斯谛增长模型指数型就是通常所说的J型增长，是指在理想条件下，一个物种种群数目所呈现的趋势模型，但其要求食物充足，空间丰富，无中间斗争的情况，通常是在自然界中不存在的，当然，科学家为了模拟生物的J型增长，会在实验室中模拟理想环境，不过仅限于较为简单的种群（如细菌等）逻辑斯谛型是指通常所说的S型曲线，其增长通常分为五个时期1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢。
2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。
3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。
4.减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。
5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和自然界中大部分种群符合这个规律，刚开始，由于种群密度小，增长会较为缓慢，而后由于种群数量增多而环境适宜，会呈现J型的趋势，但随着熟练进一步增多，聚会出现种类斗争种间竞争的现象，死亡率会加大，出生率会逐渐与死亡率趋于相等，种群增长率会趋于0，此时达到环境最大限度，即K值，会以此形式达到动态平衡而持续下去。
二元逻辑斯蒂模型
二元逻辑斯蒂模型二元逻辑斯蒂模型是一种经典的机器学习算法，常用于二分类问题的建模和预测。
它的原理基于逻辑斯蒂回归，通过对输入特征进行线性组合和非线性变换，得到一个概率分布模型，从而实现对样本分类的预测。
在二元逻辑斯蒂模型中，我们首先需要确定要预测的目标变量，通常用0和1来表示两个类别。
然后，我们需要选择合适的特征来描述样本，并对这些特征进行预处理和转换。
这些特征可以是连续的数值型特征，也可以是离散的类别型特征。
接下来，我们使用逻辑斯蒂函数（或称为sigmoid函数）对特征进行加权求和，并将结果映射到0到1的概率范围内。
逻辑斯蒂函数的公式为：P(y=1|x) = 1 / (1 + exp(-wx))其中，P(y=1|x)表示在给定输入特征x的情况下，预测目标变量y 为1的概率；w表示特征的权重向量；exp()表示指数函数。
为了求解逻辑斯蒂模型中的权重向量w，我们需要使用最大似然估计方法。
最大似然估计的目标是使得观测样本的预测概率最大化。
通过最大化似然函数，我们可以得到最优的权重向量w。
在实际应用中，我们可以使用梯度下降等优化算法来求解最优的权重向量w。
梯度下降的思想是通过迭代的方式，不断调整权重向量w，使得似然函数逐渐收敛到最大值。
二元逻辑斯蒂模型具有很好的灵活性和解释性。
它可以处理线性可分和线性不可分的问题，并且可以通过引入多项式特征和交互特征来处理非线性关系。
此外，逻辑斯蒂模型还可以通过调整阈值来控制分类的精度和召回率。
然而，二元逻辑斯蒂模型也存在一些限制。
首先，它假设特征之间是独立的，这在某些实际情况下可能不成立。
其次，逻辑斯蒂模型对异常值比较敏感，可能会导致模型的性能下降。
此外，逻辑斯蒂模型对于高维稀疏特征的处理较为困难。
为了克服这些限制，人们提出了许多改进的二元逻辑斯蒂模型。
例如，可以引入正则化项来防止过拟合，可以使用核函数进行非线性映射，还可以使用集成学习方法来提高模型的性能。
二元逻辑斯蒂模型是一种强大而灵活的机器学习算法，可以用于二分类问题的建模和预测。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
逻辑斯蒂方程研究及应用_徐荣辉
(
)
= kdt，
K dy = kdt。 y（ K － y） 对上式两边同时积分可得 ：
∫ y（ KK－ y） dy = k∫dt， ∫( 1 y
+ 1 dy = k dt。 K－y
dy 和人口数量 y（ t） 成正比， dt
并且处于理想状态（ 如没有天敌、 免于疾病等） 下， 而且只考 虑出生率和死亡率， 没有考虑环境因素。 事实上， 更有实际意 这是由于很多种群开 义的模型应该能反映限定环境的情况 ， 但数量接近 K（ K 为环境容纳量， 也称 始时是呈指数增长的， 为承载能力） 时增长率逐渐下降。 显然方程 （ 2 ） 只能反映第 一种趋势， 而方程（ 1 ） 则考虑了上述两个趋势 ， 因此逻辑斯 一般而言， 如果客观事物的数量 蒂方程的应用就更加广泛 。 特征是： 在时间 t 很小时， 事物呈指数型增长， 而当 t 增大时， 增长速度逐渐下降， 且越来越接近于一个确定的值 （ 即承载 能力 K） ， 此类问题可用逻辑斯蒂方程加以解决 。 2 逻辑斯蒂方程求解 从而
Research and Application of the Logistic Equation
XU Rong － hui （ Shanxi Vocational and Technical College of biological applications， Taiyuan 030031 ， China） Abstract ： The logistic equation is famous model of population growth raised by mathematical biologist raised by Pierre － Francois Verhulst’ s about Malthus population model of promotion． Since its inception， its application to exmedicine， science and other aspects of pand from a population growth model to many fields，widely used in biology， economic management． By population growth problem and the problem of spread of infectious diseases to discuss the two cases described in logistic equation in biology and medicine practice． Discussion by the two cases concluded： Logistic equation as empirical equation， without strict interpretation and reasoning premise， it has very simple and practical value in many fields． Key words： Logistic equation； differential equations； model； application
逻辑斯蒂增长模型微积分
逻辑斯蒂增长模型微积分一、逻辑斯蒂增长模型简介逻辑斯蒂增长模型（Logistic growth model）是一种常见的生物学模型，用于描述生物种群在资源有限的环境中的增长情况。
该模型是对自然增长模型的改进，考虑了资源的影响。
二、逻辑斯蒂增长模型的数学表达式逻辑斯蒂增长模型的数学表达式如下：dy dt =r⋅y⋅(1−yK)其中，y表示种群的大小，t表示时间，r表示种群的增长率，K表示环境的容量。
三、逻辑斯蒂增长模型的微积分推导为了推导逻辑斯蒂增长模型，我们从离散的角度来考虑种群的增长情况。
假设在时间间隔Δt内，种群大小从y增加到y+Δy。
那么，我们可以得到以下式子：Δy=r⋅y⋅Δt⋅(1−y K )将Δt模拟趋向于0的极限，我们可以得到微分方程：dy dt =r⋅y⋅(1−yK)这就是逻辑斯蒂增长模型的微分方程。
四、逻辑斯蒂增长模型的特点逻辑斯蒂增长模型具有以下特点：1.当种群大小y达到环境容量K时，种群的增长停止。
2.种群增长速率与种群大小成正比，但随着种群大小趋近于环境容量，增长速率逐渐减小。
3.当种群大小接近于0或者接近于环境容量时，增长速率接近于0。
五、逻辑斯蒂增长模型的应用逻辑斯蒂增长模型在生态学和人口学领域有着广泛的应用。
1.生态学中，逻辑斯蒂增长模型可以用来描述物种在特定环境中的生长情况。
通过估计模型参数，可以推断物种的生长率以及环境的容量。
2.人口学中，逻辑斯蒂增长模型可以用来预测人口的增长趋势。
通过对历史数据的拟合，可以预测未来的人口数量，并且评估资源的可持续利用能力。
六、逻辑斯蒂增长模型与其他模型的比较逻辑斯蒂增长模型与其他常见的增长模型相比具有一定的优势。
1.与自然增长模型相比，逻辑斯蒂增长模型考虑了环境的影响，更符合实际情况。
2.与指数增长模型相比，逻辑斯蒂增长模型可以描述增长速率逐渐减小的情况，更贴近真实生态和人口系统。
七、结论逻辑斯蒂增长模型是一种常见的生物学模型，用于描述种群在资源有限的环境中的增长情况。
逻辑斯谛（Logistic）映射
逻辑斯谛（Logistic）映射§4 从倍周期分定⾛向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以⼀个⾮常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定⾛向混沌现象。
该模型称为有限环境中⽆世代交替昆⾍⽣息繁衍模型。
若昆⾍不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将⼀年作为⼀代，把第⼏代的⾍⽇记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发⽣“⾍⼝爆炸”，但⾍⼝太多则会由于争夺有限⾷物和⽣存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使⾍⼝数⽬减少，它正⽐于，假定⾍⼝环境允许的最⼤⾍⼝为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由⼀个迭代⽅程表⽰： 21i i i N N N λλ?=+即为：)1(1i i i x x x ?=+λ（4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧⾛向混沌借助于对这⼀⾮线性迭代⽅程进⾏迭代计算，我们可以清楚地看到⾮线性系统通过倍周期分岔进⼊混沌状态的途径。
（⼀）迭代过程迭代过程可以⽤图解来表⽰。
图4-1中的⽔平轴表⽰，竖直轴表⽰，抛物线表⽰（4-2）式右端的迭代函数。
45o线表⽰n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由⽔平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作⽔平直线，求它与45o线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，⼀般有个暂态过程。
但我们关⼼的不是暂态过程，⽽是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很⼤关系。
增加λ值就意味着增加系统的⾮线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，⽽且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和⼤⼩，⽽且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
逻辑斯蒂增长模型微积分
逻辑斯蒂增长模型微积分逻辑斯蒂增长模型微积分一、逻辑斯蒂增长模型简介逻辑斯蒂增长模型是一种描述生物种群生长的数学模型，它可以用来预测种群数量的变化。
该模型由比利时数学家皮埃尔-弗朗索瓦·鲁吉·阿德里安·德洛兹（Pierre-Francois Verhulst）于1838年提出，是对Malthusian population growth model的改进和扩展。
二、逻辑斯蒂增长模型公式逻辑斯蒂增长模型可以用以下公式表示：dN/dt = rN(1-N/K)其中，N表示种群数量，t表示时间，r表示固定的增长率，K为环境容纳量。
该公式描述了一个基于密度的生态系统中种群数量随时间的变化。
三、逻辑斯蒂增长模型微积分微积分是研究函数和它们之间关系的数学分支。
在逻辑斯蒂增长模型中，微积分可以用来计算种群数量随时间的变化率。
首先，我们需要对公式进行求导：dN/dt = rN(1-N/K)dN/dt = rN - rN^2/K接下来，我们可以使用微积分的链式法则来计算种群数量随时间的变化率：dN/dt = dN/dx * dx/dt其中，dx/dt表示时间的变化率，即1。
因此，我们可以将上述公式简化为：dN/dt = dN/dx接下来，我们需要计算dN/dx。
根据链式法则，我们可以将其表示为：dN/dx = dN/dt * dt/dx因为dt/dx=1，所以我们可以将其简化为：dN/dx = dN/dt最后，我们可以将求导结果带回原公式中得到：dN/dt = rN - rN^2/K这个方程描述了种群数量随时间的变化率。
如果r和K是固定的，则可以使用微积分来预测未来的种群数量。
四、逻辑斯蒂增长模型应用逻辑斯蒂增长模型被广泛应用于生态学、流行病学和经济学等领域。
例如，在生态学中，该模型可以用来预测不同物种在不同环境中的生长趋势；在流行病学中，该模型可以用来预测疾病传播速度；在经济学中，该模型可以用来预测市场需求和供应。
逻辑斯蒂4参数求导
逻辑斯蒂4参数求导1. 引言逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）是一种常用的分类算法，其通过对数据进行建模，预测样本所属的类别。
逻辑斯蒂回归的模型参数可以通过最大似然估计来求解，其中包括4个参数：截距项（intercept）、斜率项（slope）、方差项（variance）和偏差项（bias）。
本文将详细介绍逻辑斯蒂回归的4个参数求导过程。
2. 逻辑斯蒂回归模型逻辑斯蒂回归模型是一种广义线性模型（Generalized Linear Model），用于解决二分类问题。
模型的输出是一个概率值，表示样本属于某一类别的概率。
该概率值通过逻辑斯蒂函数（Logistic Function）进行转换，公式如下：P(y=1|x)=11+e−(β0+β1x)其中，P(y=1|x)表示样本属于类别1的概率，β0表示截距项，β1表示斜率项，x 表示样本的特征。
3. 模型参数求解逻辑斯蒂回归模型的参数可以通过最大似然估计来求解。
最大似然估计的目标是找到一组参数，使得样本观测到的概率最大。
对于逻辑斯蒂回归模型，最大似然函数可以表示为：L(β0,β1)=∏Pni=1(y i=1|x i)y i⋅(1−P(y i=1|x i))1−y i其中，n表示样本的数量，y i表示样本的真实类别，x i表示样本的特征。
为了方便计算，通常对上述最大似然函数取对数，得到对数似然函数：logL(β0,β1)=∑(y i logP(y i=1|x i)+(1−y i)log(1−P(y i=1|x i)))ni=1最大似然估计的目标是最大化对数似然函数，即求解下面的优化问题：maxβ0,β1logL(β0,β1)为了求解上述优化问题，需要对对数似然函数求导。
4. 参数求导过程4.1. 对截距项求导对于截距项β0，我们需要求解∂logL∂β0。
首先，我们可以计算∂P(y=1|x)∂β0：∂P(y=1|x)∂β0=∂∂β0(11+e−(β0+β1x))=−e−(β0+β1x)(1+e−(β0+β1x))2接下来，我们可以计算∂logL∂β0：∂logL∂β0=∑(y i1P(y i=1|x i)∂P(y i=1|x i)∂β0−(1−y i)11−P(y i=1|x i)∂P(y i=1|x i)∂β0)ni=1将上述两个式子代入，可得：∂logL∂β0=∑(y i1P(y i=1|x i)(−e−(β0+β1x i)(1+e−(β0+β1x i))2)n i=1−(1−y i)11−P(y i=1|x i)(e−(β0+β1x i)(1+e−(β0+β1x i))2))化简上述式子，可以得到对截距项求导的表达式。
高等数学秘诀运用微分方程解决实际问题
高等数学秘诀运用微分方程解决实际问题高等数学秘诀：运用微分方程解决实际问题在我们的日常生活和科学研究中，经常会遇到各种各样的变化现象，而这些变化往往可以用数学模型来描述和分析。
微分方程就是一种强大的工具，它能够帮助我们理解和预测这些变化过程，从而解决许多实际问题。
首先，让我们来了解一下什么是微分方程。
简单地说，微分方程就是包含未知函数及其导数的方程。
比如，形如＼（y' ＋ 2y ＝ 3x\）就是一个一阶线性微分方程，其中＼（y'＼）表示＼（y\）对＼（x\）的导数。
那么，微分方程是如何与实际问题联系起来的呢？我们以物体的冷却问题为例。
假设一个热的物体放置在温度较低的环境中，它的温度会随着时间逐渐降低。
根据物理学原理，物体的冷却速率与物体和环境的温度差成正比。
如果用＼（T(t)＼）表示物体在时刻＼（t\）的温度，周围环境的温度为常数＼（T_{0}＼），那么可以建立如下的微分方程：＼＼frac{dT}｛dt} ＝ k(T T_{0}）＼其中＼（k\）是一个比例常数。
通过求解这个微分方程，我们就能够得到物体温度随时间的变化规律。
再来看一个经济领域的例子。
考虑一个市场中某种商品的价格变化。
假设价格的变化率与供求差额成正比。
设＼（p(t)＼）表示时刻＼（t\）的商品价格，供求差额为＼（S D\），其中＼（S\）表示供给量，＼（D\）表示需求量。
那么可以建立微分方程：＼＼frac{dp}｛dt} ＝ k(S D)＼求解这个微分方程，就能够对商品价格的走势进行预测，为企业的生产和销售决策提供依据。
在生物领域，微分方程也有着广泛的应用。
比如，研究种群的增长问题。
如果假设种群的增长率与当前种群数量成正比，同时考虑到环境的最大容纳量，那么可以建立一个逻辑斯蒂方程：＼＼frac{dN}｛dt} ＝ rN(1 ＼frac{N}｛K}）＼其中＼（N(t)＼）表示时刻＼（t\）的种群数量，＼（r\）是内禀增长率，＼（K\）是环境容纳量。
逻辑斯谛增长曲线的形成过程及各阶段的特征
逻辑斯蒂增长模型
逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。用植物群体中发 病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳 量k定为1(100%)。
具体来说就是：
1.指数增长是在无限环境中表现 出来的。 2.指数增长只能在短期内表现出 来。 3.在自然界空间和资源都是有限 的，种群的增长表现为S型，称
之为逻斯谛增长。
（1）逻辑斯谛增长的条件和模型： 条件（假定）：
种群增长有一个环境条件所允许的最大值，称 为环境容量或承载力,记作K。当种群大小增至 K时，种群不再增长。
随着种群密度上升，种群增长率逐渐按比例降 低，即每增加一个个体的影响是1/K（种群增 长受密度的制约）。
dN rN ( K N )
返回
加速期：随个体数增加，密度增长加快。
经历过开始期后，生物种群对所处的生态环境有了 一定的适应后，各方面的条件都比刚开始的时候优 越了很多，于是生物种群的生长会进入一个加速期。 而随着加速期生物个体数量的增加，其密度增长也 会随之加快。
转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快
当生物个体数达到饱和密度一半（K/2)时，表明生物种群 已经充分利用生态资源进行自我生长，这时生物种群发展 到转折期，这个时期也是生物种群密度增长最快的时期。
饱和期，种群个体数达到K值而饱和。
当种群的增长达到环境条件所允许的最大值时， 即达到了饱和期，种群个体数达到K值而饱和， 种群数量很难再有所增长了。
dt
K
Nt
1
K e
-rt
1
K e-r(t-/r)
逻辑斯蒂曲线的各个阶段和特征：
减速期
逻辑斯蒂方程
姓名 班级 学号 同组者 科目 生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 *****种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长【实验目的】1. 认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。
2. 加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性参数r 与环境因子参数——生态学特性参数K 的重要作用。
3. 学会如何通过实验估计出r 、K 两个参数和进行曲线拟合的方法。
【实验原理】逻辑斯蒂方程增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单形式，又称为阻滞增长。
种群在有限环境下的增长曲线是S 型的，它具有两个特点：（1）S 型增长曲线有一个上渐近线，即S 型增长曲线逐渐接近于某一个特定的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大环境容纳量，通常用K 表示。
当种群大小达到K 值的时候，将不再增长。
（2）S 型曲线是逐渐变化的，平滑的，不是骤然变化的。
逻辑斯蒂增长的数学模型：)(K N K rN dt dN -= 或 )1(K NrN dt dN -= 式中：dtdN——种群在单位时间内的增长率；N ——种群大小； t ——时间；r ——种群的瞬间增长率； K ——环境容纳量； （KN-1)——“剩余空间”，即种群还可以继续利用的增长空间。
逻辑斯蒂增长模型的积分式：rta e KN -+=1式中：a ——常数；e ——常数，自然对数的底。
【实验器材】 坐标纸、笔 【操作步骤】1.老师给出草履虫培养的种群数目，将下面的表格填好。
姓名 班级 学号 同组者 科目 生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 *****2.将7天内的草履虫种群大小数据，标定在以时间为横坐标、草履虫种群数量为纵坐标的平面坐标系中，从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律，还可以得到此环境下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K 。
通常从平衡点以后，选取最大的一个N ，以防止在计算)(NNK In -的过程中真数出现负值。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题
（原创版）
目录
1.引言：介绍 Logistic 模型微分方程
2.Logistic 模型微分方程的基本形式
3.Logistic 模型微分方程的例题解析
4.结论：总结 Logistic 模型微分方程的特点和应用
正文
一、引言：
Logistic 模型微分方程是一种描述生物种群数量随时间变化的数学模型，常用于研究生物学、环境科学等领域的问题。
本文将通过一个例题，介绍 Logistic 模型微分方程的基本概念和求解方法。
二、Logistic 模型微分方程的基本形式：
Logistic 模型微分方程的一般形式为：
dX/dt = rX(1 - X/K)
其中，X 表示种群数量，r 表示种群增长率，K 表示环境容纳量。
三、Logistic 模型微分方程的例题解析：
假设有一个物种在某一特定环境下的种群数量随时间变化的
Logistic 模型微分方程为：
dX/dt = 0.1X(1 - X/100)
其中，0.1 表示种群增长率，100 表示环境容纳量。
为了求解这个微分方程，我们可以采用如下步骤：
1.确定初始条件：假设初始时刻种群数量为 X0，则初始条件为 X(0)
= X0。
2.对微分方程进行积分：对 dX/dt = 0.1X(1 - X/100)进行积分，得到X(t)的表达式。
3.求解积分方程：根据初始条件，求解积分方程，得到种群数量随时间变化的函数。
四、结论：
Logistic 模型微分方程是一种描述生物种群数量随时间变化的重要数学模型，具有一定的现实意义。
逻辑斯蒂方程
逻辑斯蒂方程逻辑斯蒂方程的推导当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。
他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。
怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？首先要考虑社会的需求量．社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定：1、对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；2、假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t)，需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k ；根据上述实际背景的两个特征，可建立如下微分方程： (1)分离变量，得：两边积分，得：其中：从而，通解为： (2)其中，B和b为正常数，可由初始条件确定。
式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。
逻辑斯蒂方程的基本性质1、当t=O时，x(t)的值为：；2、x(t)的增长率,因此，x(t)是增函数；3、当B值较大而t较小时，将很大，，于是x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；4、当t增大以后，越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。
逻辑斯蒂方程的应用1、人口限制增长问题人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。
实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
2、信息传播问题所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。
若以t表示从信息产生算起的时间，P表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为： (3)例如，当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25%的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间。
走近逻辑斯蒂差分方程
走近逻辑斯蒂差分方程——高中数学新课标学习札记舒昌勇 （江西省上犹县教师进修学校 341200）教育部新颁布的普通高中《数学课程标准》（实验）的“内容标准 ”中选修课系列4的“数列与差分”专题“内容与要求”第4点为“通过具体实例（如种群增长等），体会方程x n+1 =kx n (1-x n )是十分有用的数学模型．借助计算工具,用迭代法分别对k 取一些特殊值﹝如0＜k ≤1,1＜k ≤3,k=3.4,k=3.55,k=3.7﹞的情形，讨论x n 的变化，初步了解非线性问题的复杂性”．笔者近期在高中数学新课标学习中，对简单差分方程x n+1=kx n (1-x n )这一高中数学新内容作了较详细的学习笔记，现整理如下：1方程的背景——马尔萨斯人口方程与虫口模型1798年，英国经济学家马尔萨斯发表了著名的《人口论》[1]，提出了人口增长模型，它用一个线性迭代方程描述：X n+1=（1+r ）X n ① 式中X n 是第n 代人口,X n+1是第n+1代人口，由式①得： r=nnn X X X -+1为人口增长率,利用e r=1+ r + !22r +!33r + …… ②根据本模型的实际背景，略去式②中的2次以上各项，整理得：r= e r–1 ③③式代入 ①式得： X n+1= e rX n ④ 设 X 0是第0代人口,则各代人口数依次为 X 1= e r X 0 ，X 2= e 2r X 0 ， X 3= e 3rX 0 ， …… 人口按指数规律增长．按照式④计算，公元2635年世界人口将达到1.8×1015．地球总表面积（包括陆地和海洋）为5.1×1014平方米，届时人均只能占有0.3平方米．这个模型没有考虑食物来源、疾病、战争等生存环境因素的影响，因此后来的学者对它进行了修正，其方法是在式①的右方加上一个修正项，变为：X n+1=（1+r ）X n –bX n 2⑤bX n 2是反应环境限制因素引起的非线性项，表明这种制约导致X n+1的减少．在式⑤中，当人口较少即Xn 较小时，非线性项bX n 2影响很小而可以忽略，则⑤式又回到马尔萨斯人口模型式①．令K=1+ r ⑥代入⑤则得： X n+1=KX n –bX n 2⑦对⑦式进行适当变换，令 x=k bX ， 则X =bkx⑦式变为：b kx n 1+=k ·b kx n -b ·(bkx n )2即 x n+1=kx n (1- x n ) [2]⑧ 在这个方程中,x n 增大时,1- x n 减小,所以同时考虑了鼓励和抑制两种因素,而自然界和人类社会的大部分系统在其变化的过程中,都会受到这样正负两方面因素的影响,因此这个差分方程具有普遍的意义和用途[3]．生态学家将它应用于研究种群数量的变化,探索物种兴衰的规律．20世纪70年代,美国普林斯顿大学数学生态学家R · 梅在研究昆虫群体繁殖规律时的模型就是这个著名的差分方程x n+1=kx n (1- x n ),因此它被人们称为“虫口模型”（虫口即昆虫的数目,语法上与人口用法相同）．数学上,它是逻辑斯蒂（Logistic ）映射f 的离散形式[4],[5], [6]．1976年，R ·梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯蒂方程的成果——《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》[7] , [8]，论文引起学术界的极大关注，它的内容已远远超越了生态学的畛域，揭示出逻辑斯蒂方程深处蕴藏的丰富内涵，把人们的研究热情引向了一个科学尚涉足未深的崭新的混沌世界．2 方程的内涵—— 一个系统怎样走向混沌R ·梅其实是对这个简单的差分方程进行了大量的数值计算，试图通过所得数据的分析，弄清方程所表示的昆虫种群数变化系统的全部情况．他对参数K 试用了不同的取值，发现随K 值的增大，相应于K 值的迭代运算结果趋向于不同的状态： （1）K=0.8，方程为x n+1=0.8x n (1- x n )，取x 0=0.5代入，在十位计算器中，得到如下一组数据： 0.200000000 0.128000000 0.089292800 0.065055676 0.048658748 0.037032859 0.028529141 0.022172183 0.017344461 0.013634904 0.010759194 0.008514746 0.006753796 0.005366545 0.004270196 0.003401569 0.002711998 0.002163714 0.001727225 0.001379393 0.001101992 0.000880622 0.000703877 0.000562705 0.000449910 0.000359766 0.000287709 0.000230100 0.000184037 0.000147202 0.000117744 0.000094184 0.000075340 0.000060267 0.000048210 0.000038566 0.000030851 0.000024680 0.000019743 0.000015794 0.000012635 0.000010107 0.000008085 0.000006467 0.000005173 0.000004138 0.000003310 0.000002647 0.000002117 0.000001693 0.000001354 0.000001083 0.000000866 0.000000692 0.000000553 0.000000442 0.000000353 0.000000282 0.000000225 0.000000179 0.000000143 0.000000114 0.000000091 0.000000072 0.000000057 0.000000045 0.000000035 0.000000027 0.000000021 0.000000016 0.000000012 0.000000009 0.000000007 0.000000005 0.000000003 0.000000002 0.000000001 0.000000000 可以看到，整个迭代过程中x n+1的值不断减小，在迭代开始阶段，数值减小得较快，随迭代次数增加，数值减小的幅度变得越来越慢．迭代进行到第78次时，显示的数值为0．这就是说，参数K=0.8时，迭代运算所得数据趋向于0．在实际问题中是昆虫种群趋于灭绝．下图1或许能帮助我们直观地理解迭代的几何意义．对于迭代方程y= α x(1-x),在笛卡尔坐标系中作出它和y=x 的图象，它们分别是一条抛物线和一条直线．从x 轴上X 0点出发作与纵轴平行的射线交抛物线于M 1点，它的纵坐标值为 y 1=αx 0(1-x 0)，这是第一步迭代．再自M 1 作与横轴平行的直线交y=x 于M 1 ，显然M 1 横坐标x 1与M 1的纵坐标y 1相等，即x 1 = y 1 = αx 0(1-x 0)，自M 1 出发作与纵轴平行的射线交抛物线于M 2，则M 2的纵坐标y 2=αx 1(1-x 1)，这就完成了第二步迭代[9].显然，随着这样的过程一直继续下去，后续各步迭代相继完成．对方程x n+1=0.8x n (1- x n )来说，其图形是一条与第一象限角平分线 x n+1 = x n 除原点外无其他交点的抛物线（图2），从区间（0，1）上任意一点x 0（此处取为0.5）出发作与纵轴平行的射线与抛物线相交，则交点M 1的纵坐标即为x 1（此处为0.2），过 点M 1作与横轴平行的射线和x n+1 = x n 相交，过交点M 1 作与纵轴平行的射线又与抛物线相交，则交点M 2的纵坐标为x 2，显然，x 2﹤x 1﹤x 0，……．我们会看到，抛物线上横坐标为x 0 ,x 1 ,x 2 ，……的点M 1 ,M 2 ,M 3……在迭代的过程中逐步趋向并最终到达原点．这就从几何角度直观地说明了当K=0.8时，方程 x n+1=kx n (1- x n )的值趋向于0，意味着昆虫种群趋于灭绝． （2）K=1,方程为x n+1=x n (1-x n ),取x 0=0.5代入,在十位计算器中得到一些数据为：x 1=0.250000000 x 2=0.187500000 x 3=0.152343750 x 4=0.129135132 x 5=0.112459250 x 6=0.099812167 x 7=0.089849698 x 9=0.075089296 x 10=0.069450894 x 13=0.056796464 x 16=0.048130241 x 20=0.038451772 x 29=0.029164798 x 45=0.019730249 x 94=0.009962952 x 992=0.000999325 x 9990=0.000099990 x 99992-100001=0.000009999 x 1000484-1001486=0.000000999 x 10050239-10152272=0.000000099 可见，随着迭代次数的增加,迭代结果和K=0.8一样,逐渐减小而趋向于0，昆虫种群趋于灭绝．但不同的是，当迭代结果趋向于0而未到达0时，迭代次数n 已经大于1000万．事实上，根据前面式⑥ K=1+ r ,当K ≤1时，增长率r ≤0,即昆虫种群处于负增长或零增长状态,趋于灭绝是势在必然的．图1图2（3） K=2.7 ,方程为x n+1=2.7x n (1- x n ), 取x 0=0.2代入，迭代的一些结果为： x 1=0.432000008 x 2=0.662515215 x 3=0.603689784 x 4=0.645970769 x 5=0.617469855 x 6=0.637742261 x 7=0.623773099 x 8=0.633636605 x 15=0.629296522 x 16=0.629862517 x 23=0.629610447 x 24=0.629643068 x 35=0.629629371 x 36=0.629629822 x 41=0.629629605 x 42=0.629629658 x 47=0.629629632 x 48=0.629629639 x 52=0.629629637 x 53=0.629629636 继续迭代下去，十位计算器显示的数值0.629629636保持不变．与前面K=0.8,K=1不同的是，K=2.7时迭代结果不是逐渐减小趋向于0，而是交替为一大一小振荡着趋向于同一个非零数值0.629629636．在实际意义中，昆虫种群数呈大年小年交替最终达到一个定态时稳定下来． （4） K=3,方程为x n+1=3x n (1- x n ), 取x 0=0.05代入，则： x 1=0.142500000 x 2=0.366581250 x 3=0.696598311 x 4=0.634047312 x 41=0.689970018 x 42=0.641734177 x 245=0.679984417 x 246=0.652816829 x 4991=0.669999816 x 4992=0.663300817x 499437=0.666999999 x 499438=0.666333001x 3123707～3123751的单数项计23项=0.666799999x 3123708～3123752的双数项计23项=0.666533281可见K=3时，迭代结果也是交替为一大一小振荡着趋于同一个非零数值，意味着昆虫种群数呈大年小年到达定态稳定下来．并且与前面K 为整数1时一样，结果接近最终稳定数值时的迭代次数n 也超过1000万． （5） K=3.4,方程为x n+1=3.4x n (1- x n ), 取x 0=0.02代入，则x 1～x 14依次为： 0.066640002 0.211476987 0.566965217 0.834753267 0.468996865 0.846731963 0.441241629 0.8382613660.844820520 0.445735692 0.8399884320.456986758 0.843709551其他部分数据为：x 47=0.451917528 x 48x 77=0.451963969 x 78=0.842154659 x 113=0.451963229 x 114=0.842154417 x 141=0.451963224 x 142=0.852154415 继续下去,迭代结果重复出现x 141与x 142． 可见K=3.4时与前面三种情况迭代结果趋于同一数值都不同，它是趋于两个不同的数值，每一个数值在迭代过程中都是从比它大和比它小的两个方向去逼近它．在昆虫种群变化的实际背景中，种群数是各自呈大年和小年交替，分别趋向两个稳定值． （6） K=3.5,方程为x n+1=3.5x n (1- x n ), 取x 0=0.03代入，则x 9～x 24依次为：0.836250476 0.479274661 0.873496611 0.386750985 0.830111312 0.493592825 0.874856318 0.383189592 0.827243650 0.500190577 0.874999873 0.382812834 0.826935088 0.500897068 0.874997183 0.382819893 x 33～x 36为： 0.826940707 0.500884210 0.874997264 0.382819683 迭代继续下去，x 33～x 36四个数值重复出现．就是说,K=3.5时迭代结果趋向于4个不同的数值．与前面K=3.4的情况一样,每一个数值都是从比它大和比它小的两个方向逼近它．昆虫种群数在四个稳定值之间循环．（7）K=3.55,方程为x n+1=3.55x n (1- x n )， 取x 0=0.01， 迭代结果趋于与x 149～x 156相同的8个数值： 0.506030582 0.887370882 0.354800484 0.812655697 0.540474767 0.881684354 0.370325536 0.827805083 并且也都是从大、小两个方向逼近每个数值，即昆虫种群数目在八个稳定值之间循环． 象上面方程x n+1=Kx n (1- x n )在K=0.8,1，2.7,3,3.4,3.5,3.55时的迭代过程中，迭代结果分别趋向于1,1,1,1,2,4,8个稳定的数值，在数学上就称它分别有1,1,1,1,2,4,8周期．经过大量的数值实验,科学家发现上方程迭[10]确定的方程进行迭代时，选取了不同的x 0值，这并不影响相应K 值的周期数和进入周期循环的数值,只会使进入周期循环的迭代次数n 不同．例如K=0.8时，对方程x n+1=0.8x n (1-x n )进行迭代，x 0取0.01，0.02，0.03，0.1．0.2，0.3，0.5，迭代结果达到0并进行1周期循环的迭代次数分别为76，79，80，84，86，87，87；K=3.4时，对方程x n+1=3.4x n (1- x n )进行迭代，x 0取与前面相同的数值，迭代结果达到0.841254415， 0.451963225而进行2周期 循环的迭代次数分别为132，140，143，144，128，145，139． 在表1中，周期从1→2→4→8→16，呈现出一种有趣的“周期倍化”现象，随K 值的继续增大,这种“周期倍化”将继续延续下去，出现32，64，128, (2)…周期．对于每一种周期,都对应K 值的一个区间﹝K n ，K n ＋1]，随着K 值的增大，周期数越来越大，而区间长度却越来越小．当K 值一旦超过3.569945972时，周期数变为无穷大，也就是迭代结果没有周期，科学家们称这种现象为混沌[11]．以下K=3.7就属于这种情况：（8）K=3.7,方程为x n+1=3.7x n (1- x n ),取x 0=0.02，迭代结果x 1～x 24为：0.072520001 0.248865150 0.691645771 0.789106035 0.615745500 0.875431034 0.403490697 0.890538043 0.360676141 0.853178802 0.463479521 0.920065154 0.272117489 0.732857386 0.724376529 0.738724151 0.714139894 0.7553332010.683778348 0.800034430 0.5919235690.893735224 0.351398527 0.843295139x 10000001～x 1000024为:0.578704116 0.902080961 0.3268243360.814037712 0.560107175 0.911632384 0.298067493 0.774126081 0.6469631070.845086838 0.484385782 0.9240979380.259221478 0.711029307 0.760226547 0.674443943 0.812406460 0.5638881610.909897732 0.303340245 0.7819022920.630965071 0.861538167 0.441373574 两组数据迭代次数相隔了1000万，将它们小数点后第1位数字分别排列进行比较： 026768483849277777685838 593859276849277685937684显然它们不同,因而上面两组数据也不同．可见K=3.7时迭代所得数据变化无任何规律，乱七八糟，方程x n+1=3.7x n (1-x n )进入混沌状态．科学家发现，K=3.569945972是混沌的入口处，跳过这一点到K=4的一个区间(3.569945972，4]上，方程x n+1=Kx n (1-x n )处于包含有许多“窗口”的混沌区中（图3），在这些3，5，7……周期“窗口”中，方程迭代的结果又处于周期状态[12]．从这里可以看到方程所代表的系统的复杂性：要注意的是，系统在处于混沌状态时，对初值的选取十分敏感，这一点与前面（4）、（5）、（6）、（7）中所说的系统在处于周期状态的情况完全不同．以下是处于混沌状态的x n+1=4x nn [13]nX n0 0.100000000 0.100000100 0.100000010 1 0.360000000 0.360000320 0.360000032 2 0.921600000 0.921600358 0.921600036 3 0.289013760 0.289012551 0.289013639 … …… …… …… 51 0.999936410 0.714829836 0.42791372152 0.000254344 0.815392566 0.97921427453 0.001017117 0.602110117 0.081414720……… …… …… 我们看到，初始输入的三个x 0仅仅相差了千万分之一和亿分之一，当迭代进行到第53次时结果却相差592倍和7.4倍.图4是被誉为“混沌学之父”的美国气象学家洛伦兹1961年在计算机上模拟天气变化的一个打印结果[14]，它表明了天气变化对初始值的极端敏感性：图3图4混沌系统对初始值的这种极端敏感性被称为“蝴蝶效应”，名称来源于洛伦兹1972年在华盛顿美国科学发展协会的一次讲演“在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能够在美国德克萨斯州产生一个陆龙卷吗？”[15]它被认为是混沌的一种重要特征．3方程的意义——混沌研究的一个经典模型1963年，洛伦兹首先发现了确定性系统会表现出随机行为，并且发现了这种随机行为对初值的敏感性．1975年，美籍华人学者李天岩和美国数学家约克发表了“周期3蕴涵着混沌”的著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演化过程[16]．从前面可以看到，洛伦兹和李天岩、约克等人发现的混沌这些丰富的内容，都包含在逻辑斯蒂差分方程中．只要通过简单的数值计算，人们会看到一个不含任何随机因素的确定性方程会产生随机行为，会看到一个确定性系统经由周期倍化的道路进入混沌状态，会看到系统处于混沌状态时“差之毫厘，失之千里”的“蝴蝶效应”．而这个方程与洛伦兹在1963年发现的存在这种内在随机性（混沌）的包含三个方程、有三个参数的三阶常微分方程组相比较是如此简单[17]．随着研究的进一步深入，人们发现这些规律竟还是其它不同形式的一维单峰映射（比如x n+1=rsinπx n等）的共性．当R·梅将他的研究结果画成一张草图，把倍周期分岔序列和混沌、周期窗口都直观地表示了出来，又启发美国物理学家费根鲍姆据其发现了与π、e 等一样重要的费根鲍姆常数，建立了混沌的普适理论．所以1976年，R·梅的论文《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》发表后，这个差分方程成为研究混沌的经典模型，在20世纪70年代混沌研究热潮中对混沌学的创立起了巨大的作用[18]．更由于它同时考虑了鼓励和抑制两种因素，符合自然界和人类社会许多系统动力学过程的实际，因而成为科学研究中一个十分有价值的模型．世界在本质上是非线性的，当代科学研究正从线性阶段向非线性阶段迈进．高中新课标让学生接触非线性系统的这个经典模型，初步体会非线性问题的复杂性，正体现了高中新课程亮丽的时代特色，对培养学生关注科技发展前沿意识，让学生走近科学有独特的作用．参考文献[1] 林夏水等著．分形的哲学漫步[M]．北京：首都师范大学出版社，1999．5．[2] ，[6]，[7]，[13] ，[14]林鸿溢，李映雪编著．分形论——奇异性探索[M]．北京：北京理工大学出版社，1992．138～141，113．[3]，[5] 郝柏林著．从抛物线谈起——混沌动力学引论[M]．上海：上海科技教育出版社，1993． 10～11．[4]，[10]齐东旭著．分形及其计算机生成[M]．北京：科学出版社,1994．20．[8],[11],[18] 李浙生编著．倏忽之间——混沌与认识[M]．北京：冶金工业出版社,2002．55，61，63．[9] 吴振奎．混沌平话（续文）[J]．数学通讯，1999，（3）：42．[12] 方兆本著．走出混沌[M]．长沙：湖南教育出版社，1995．69～70．[15]（美）洛伦兹著．刘式达，刘式适，严中伟译．混沌的本质[M]．北京：气象出版社,1997．171～172．[16]，[17] 黄润生编著．混沌及其应用[M]．武汉：武汉大学出版社，2000．131，1，6．（本文刊于数学通报(北京)，2005，4．）。