空间直线异面直线间的距离
10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册
【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】【答案】 【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）22a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =， 故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。
空间直线异面直线间距离的一个简明公式
异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθy x y x l +++证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .图1 图2在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得)4/()4()(2min 2a b ac GD -=])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[4222222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθθθθθθθθθθy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠==.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒=所以图3例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .由定理可得d =.77230ctg 2190sin 22R R =︒+︒两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。
异面直线之间的距离公式 解释说明以及概述
异面直线之间的距离公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在几何学中，异面直线是指位于不同平面上的两条直线。
由于它们存在于不同的平面中，因此无法以常规的方法来测量它们之间的距离。
然而，解决这个问题十分重要，因为在许多实际应用中，我们需要确定异面直线之间的距离。
1.2 文章结构本文将围绕着异面直线之间的距离公式展开讨论。
首先，我们将介绍异面直线的定义和性质，以便更好地理解这个概念。
接下来，我们将引入并推导出一种计算异面直线距离的公式，并探讨该公式的应用举例。
最后，我们将总结距离公式的重要性及适用范围，并展望进一步研究方向和应用领域。
1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的解释和说明，帮助读者理解异面直线之间距离计算的基本原理和方法，并认识到这个概念在实际生活中和各个领域中的广泛应用价值。
通过深入研究距离公式及其应用举例，我们将了解如何解决异面直线距离计算问题，并有望引发更多关于其进一步研究和应用的思考。
2. 正文:2.1 异面直线的定义与性质在几何学中，异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。
异面直线之间存在一些特定性质，例如永远不会相交、平行于同一个平面等。
了解这些性质有助于我们更好地理解异面直线之间的距离。
2.2 距离公式的引入与推导为了计算异面直线之间的距离，我们可以引入一种距离公式。
该距离公式能够准确地计算出任意两条异面直线之间的最短距离。
推导这个距离公式主要依赖于向量和点积的概念。
首先，我们需要将两条异面直线上的一点作为原点，并用向量来表示另外一个点相对于原点的位置。
然后，通过求解这两个向量之间的点积来求得最短距离。
具体而言，在三维空间中，假设有两条异面直线L1和L2。
L1可以表示为P1+r * V1（其中P1是L1上某一点，V1是L1的方向向量），L2可以表示为P2+s * V2（其中P2是L2上某一点，V2是L2的方向向量）。
我们可以通过求解r 和s 的值来确定L1 和L2 间的最短距离。
空间的平行直线与异面直线——基础知识
空间的平行直线与异面直线——基础知识
平行直线是指在同一个平面上，方向相同且不相交的直线。
异面直线是指在不同的平面上，不存在任何交点的直线。
平行直线与异面直线之间存在以下关系：
1. 平行直线与异面直线之间没有任何交点。
2. 平行直线与异面直线之间没有任何公共点，也没有任何公共平面。
3. 平行直线与异面直线之间的夹角可以为任意值，没有特定的关系。
4. 平行直线之间的距离是恒定的，而异面直线之间的距离是不恒定的。
平行直线位于同一个平面上，而异面直线位于不同的平面上，它们之间的关系可以通过它们的位置、方向和距离来进行描述。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。
假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。
则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。
2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。
3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。
根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。
需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。
如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。
这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。
通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。
求异面直线的距离的若干方法
求异面直线的距离的若干方法本文将通过一道例题的多种解法向大家介绍求异面直线的距离的若干方法，希望对同学们的学习能够有所帮助。
例1 已知正方体ABCD 1111A B C D -的棱长为1，求异面直线1A D 与AC 的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD 中点M ，连1MD 、MB 分别交1A D 、AC 于E 、F ，连1BD ，由平面几何知识，易证1ME MD =，13MF MB =，1MD MB =，则1BD EF 。
由11A D AD =，1A D AB ⊥得1A D ⊥平面1ABD ，则11A D BD ⊥，同理AC ⊥1BD ，所以，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，即EF 为异面直线与AC 的距离，故有EF=1133BD =。
评注：此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连11A C 、1C D ，则AC ∥平面11AC D 。
设AC 、BD 交于O ，11A C 、11B D 交于1O ，连1O D ，作OE ⊥1O D 于E ，由11A C ⊥平面11BB D D 知11A C OE ⊥，故OE ⊥平面11AC D 。
所以OE 为异面直线1A D 与AC 的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC 的距离为。
三、转化为面面距离求解如图3，连1AB 、1CB 、11A C 、1DC 、1BD ，易知平面11//A C D 平面ACB ，则异面直线1A D 与AC 的距离就是平面11//A C D 与平面1ACB 的距离，易证1BD ⊥平面1ACB 、1BD ⊥平面11AC D ，且1BD 被平面1ACB 和平面11AC D 三等分，又1BD。
所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
四、构造函数求解如图4，在1A D 上任取一点E ，作EM ⊥AD 于M ，再作MF ⊥AC 于F ，连EF ，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则)MF x =-所以EF ==3=，当且仅当13x =时，EF所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
求异面直线的方法
七种求异面直线距离的方法陶双喜 湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。
求这种 距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考 例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）： 如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。
故 MN 的长即为异 面直线AC 和BC 1的距离。
显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大 解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与 平面ABG 的距离。
如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。
图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。
即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。
异面直线上两点间的距离公式的应用
异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。
一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。
异面直线距离求解方法
浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。
在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。
本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。
归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。
一、利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。
然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 三、利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
求异面直线之间距离的四个技巧
异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。
空间几何体的距离问题(答案版)
专题：空间几何体的距离问题一、点到直线的距离（点线距）1、点在直线上的射影自点A向直线l引垂线，垂足A叫做点A在直线l上的射影．1点A到垂足的距离叫点到直线的距离．2、点线距的求法：点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法求解距离。
二、点到平面的距离（点面距）1、点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα⊥，垂足为A，则PA唯一，则PA是点P 到平面α的距离。
即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离）结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短2、点面距的求解问题，主要有三个方法：（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．三、异面直线的距离（线线距）1、公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.2、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.四、直线到平面的距离（线面距）直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).如果一条直线l平行与平面α,则直线l上的各点到平面的垂线段相等,即各点到α的距离相等；垂线段小于或等于l上任意一点与平面α内任一点间的距离；五、平面到平面的距离（面面距）1、两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线.（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段.（3）两个平行平面的公垂线段都相等.（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长.2、两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.题型一点到直线的距离【例1】【解析】ABC 的两条直角边3BC =，4AC =，22345AB ∴=+=.过C 作CM AB ⊥，交AB 于M ，连接PM ，因,,∩,,AB CM AB PC CM PC C CM PC ⊥⊥=⊂平面PCM ，则AB ⊥平面PCM .又PM ⊂平面PCM ，则PM AB ⊥，∴点P 到斜边AB 的距离为线段PM 的长.由1122ABC S AC BC CM =⋅=⋅△，得431255AC BC CM AB ⋅⨯===，228114432525PM PC CM =+=+=.∴点P 到斜边AB 的距离为3.故选：B.【变式1-1】【解析】将四面体SABC 补成正方体SDBG EAFC -，连接DE 交AS 于点M ，连接FG 交BC 于点N ，连接MN ，如图，则M ，N 分别为DE ，BC 的中点，因为BD CE ∥且BD CE =，故四边形BDEC 为平行四边形，则BC DE ∥且BC DE =，又因为M ，N 分别为DE ，BC 的中点，所以DM BN ∥且DM BN =，故四边形BDMN 为平行四边形，故MN BD ∥且52MN BD SG ===因为BD ⊥平面SDAE ，AS ⊂平面SDAE ，所以BD AS ⊥，即MN AS ⊥，同理可得MN BC ⊥，故P 到BC 的距离最小值为52MN =故选：C【变式1-2】【解析】因为PB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PB BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，因为PA ⊂平面PAB ，所以PA BC ⊥，取PA 的中点E ，因为PB AB =，所以PA BE ⊥，又因为BE BC B = ，且,BE BC ⊂平面BCE ，所以PA ⊥平面BCE ，因为CE ⊂平面BCE ，所以CE PA ⊥，所以CE 即为点C 到直线PA 的距离，在等腰直角PAB 中，由4PB AB ==，可得22BE=，在直角BCE 中，由2BC =，可得2223CE BC BE =+=所以点C 到直线PA 的距离为23故选：B.【变式1-3】【解析】（1）取AB 的中点E ，连接CE ，如图所示：因为AD DC ⊥，122AD DC AB ===，则四边形AECD 为正方形，所以222222AC BC =+=因为222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥.因为AD DC ⊥，AD DB ⊥，CD BD D =I ，,CD BD ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD .又因为BC ⊂平面BCD ，所以AD BC ⊥.因为BC AC ⊥，BC AD ⊥，AD AC A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC .（2）取,AC CD 的中点,F H ，连接,,EF FH HE ，因为BC ⊥平面ACD ，//EF BC ，所以EF ⊥平面ACD ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以EF CD ⊥.因为,//AD CD AD FH ⊥，所以FH CD ⊥.因为EF CD ⊥，FH CD ⊥，EF FH F ⋂=，,EF FH ⊂平面EFH ，所以CD ⊥平面EFH ，又因为EH ⊂平面EFH ，所以CD EH ⊥.因为112HF AD ==，122EF BC ==，且HF EF ⊥，所以()22123HE +=，即点E 到直线CD 3题型二直线到直线的距离【例2】【解析】如图，该四棱柱为长方体，因为11//A B D C ,所以1AD C ∠为异面直线1A B 与1AD 所成角，设底面正方形边长为a，则11,AC AD CD ===，在1AD C 中，22211121184cos 2285AD CD AC AD C AD CD a +-∠===+，解得1a =，因为该四棱柱为长方体，所以AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥,同理1AB AD ⊥,所以直线1AD 与直线1B C 的距离为1AB a ==，故选:B.【变式2-1】【解析】,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小； 四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SO AC O = ，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂ 平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴.故选：B.【变式2-2】【解析】连接1AC 交1AC 于点O ，连接OM ，∵,O M 分别为1,AC BC 的中点，则OM 1A B ，、且OM ⊂平面1AMC ，1A B ⊄平面1AMC ，∴1A B 平面1AMC ，则点P 到平面1AMC 的距离相等，设为d ，则P ，Q 两点之间距离的最小值为d ，即点1A 到平面1AMC 的距离为d ，∵1AC 的中点O 在1AC 上，则点C 到平面1AMC 的距离为d ，由题意可得为1111,AC CM C M AC AM MC ======由11C AMC C ACM V V --=，则11111113232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =故P ，Q两点之间距离的最小值为3d =.故选：A.【变式2-3】【解析】如图所示：连接EH ，且1EH =，设2HEF θ∠=，1EHG θ∠=，作GR AB⊥于,R EH的中点为O，连接OR，在Rt ROG△中，可求得2OG=，在Rt OGH中，可求得GH=由此可知121cos cos2θθ===延长EA到K使AK EA=，连接,GK GF，则易知四边形EKGF为平行四边形，∴GK EF//，且GK EF=，则KGHθ∠=就是EF与GH所成的角，连接KH与AB交于R，则KH=，在GKH△中，由余弦定理可求得1cos3θ=，则28sin9θ=，根据公式（2）得2d=，∴EF与GH间的距离是2．题型三点到平面的距离【例3】【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，1BB⊥平面1111DCBA，1B P⊂平面1111DCBA，则11BB B P⊥，由3BP=，得1B P===在11Rt B C P△中，1190B C P∠= ，则11C P==，即点P为11C D中点，又111//,AA BB BB⊂平面1BB P，1AA⊄平面1BB P，因此1//AA平面1BB P，于是点A到平面1BB P的距离等于点1A到平面1BB P的距离，同理点C到平面1BB P的距离等于点1C到平面1BB P的距离，连接1A P，过11,A C分作1B P的垂线，垂足分别为1,O O，如图，由1111111111122A PBS B P A O A BA D=⋅=⋅1122O=⨯，解得115AO=，在11Rt B C P△中，111115B CC PC OB P⋅==，则111555AO C O+=+=，所以点,A C到平面1BB P故选：B【变式3-1】【解析】1113D C BE C BEV S DC-=⋅⋅，111112122C BES C E BC=⋅⋅=⨯⨯=，2DC=，则123D C BEV-=.在BED中，由题意及图形结合勾股定理可得BE DE==，BD=则由余弦定理可得222125cos BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅，则1261255sin BED ∠=-=.则162sin BDE S BE DE BED =⋅⋅∠= .设1C 到平面EBD 的距离为d ，则113C BDE BDE V S d -=⋅ .又11D C BE C BDE V V --=，则11226333C BDE BDE BDE V S d d S -=⋅=⇒== .故选：D 【变式3-2】【解析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，又∵E 为PD 的中点，∴OE 是三角形PBD 的中位线，∴//PB OE ，又∵PB ⊂/平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）∵平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2BC AD ==，1AB =，∴222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，则222AC AB BC +=，故90ACD ∠=︒，又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PAB ，PAD ，PAC △都是直角三角形，∵1==PA AB ，∴2PB =，2PC =，5PD =，∴222PD PC CD =+，∴90PCD ∠=︒，∴52EA EC ==，因为O 是AC 的中点，所以OE AC ⊥，且1222OE PB ==，所以112632224EAC S AC OE =⋅=⨯⨯=△，11331222DAC S AC CD =⋅=⨯⨯=△，设点D 到平面AEC 的距离为h ，由12D ACE E ACD P ACD V V V ---==得：16113134232h ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得22h =.【变式3-3】【解析】（1）连接CO ，如图，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，由3AC BC =知，60CAB ∠=︒，∴ACO △为等边三角形，从而CD AO ⊥．∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，又PD AO D = ，,PD AO ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ．（2）因为2AO =，所以CD =3PD DB ==，∴1111133332322P BDC BDC V S PD DB DC PD -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=．又PB ==，PC ==，BC ==∴PBC 为等腰三角形，则12PBC S =⨯ 设点D 到平面PBC 的距离为d ，由P BDC D PBC V V --=得，132PBC S d ⋅=△，解得5d =，即点D 到平面PBC 5题型四直线到平面的距离【例4】【解析】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥ 平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.【变式4-1】【解析】因为//,BC AD AD ⊂平面PAD ，BC 不在平面PAD 内，所以//BC 平面PAD ，则BC 到平面PAD 的距离即为点B 到平面PAD 的距离，设点B 到平面PAD 的距离为d ，因为B PAD P ABD V V --=，2PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ,60BAD ∠= ，四边形ABCD 为菱形，所以11112222232322d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =即BC 到平面PAD【变式4-2】【解析】（1）因为PA ⊥平面ABC ，连接AM ，则PMA ∠即为直线PM 与平面ABC 所成的角，又3PA AB ==，4AC =，AB AC ⊥，M 为BC 中点，可得5BC =，52AM =，所以6tan 5PA PMA AM ∠==，即直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值为65.（2）由题知，//ME 平面PAB ，//MF 平面PAB ，ME MF M = ，,ME MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB .因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，又AC AB ⊥，,AB PA ⊂平面PAB ，AB PA A = ，所以AC ⊥平面PAB ，又//ME 平面PAB ，所以AE 就是直线ME 到平面PAB 的距离，又M 为BC 122AE AC ==，即直线ME 到平面PAB 的距离为2.【变式4-3】【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接FO ，∵F 为AD 的中点，O 为BD 的中点，则//OF PB ，∵PB ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，∴//PB 平面ACF .（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD .由于//PB 平面ACF ，则PB 到平面ACF 的距离，即P 到平面ACF 的距离.又因为F 为PD 的中点，点P 到平面ACF 的距离与点D 到平面ACF 的距离相等.取AD 的中点E ，连接EF ，CE，则//EF PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD ，因为CE ⊂平面ABCD ，所以EF CE ⊥，因为菱形ABCD 且60ABC ∠= ，2PA AD ==，所以3CE =，1EF =，则22132CF EF CE =+=+=，2AC =，1144222AF PD ==+=，11724222ACF S =⨯⨯-=△，设点D 到平面ACF 的距离为D h ，由D ACF F ACD V V --=得113122133772ACD ACF D ACD D ACF S EF S h S EF h S ⨯⨯⨯=⨯⇒===△△△△即直线PB 到平面ACF 的距离为2217.题型五平面到平面的距离【例5】【解析】如图，过点A 作AE β⊥，垂足为E ，过点C 作CF β⊥，垂足为F ，由题意可知，5BE =，16DF =，设AB x =，33CD x =-，则()222533256x x -=--，解得：13x =，∴平面α与平面β间的距离2213512AE =-=【变式5-1】【解析】如图所示：将鲁班锁放入正方体1111ABCD A B C D -中，则正方体的边长为222+，连接1BD ，1CD ，11D I D J =，故1D C IJ ⊥，BC ⊥平面11CDD C ，IJ ⊂平面11CDD C ，则BC ⊥IJ ，1BC D C C ⋂=，1,BC D C ⊂平面1BCD ，故IJ ⊥平面1BCD ，1D B ⊂平面1BCD ，故1IJ D B ⊥，同理可得1IH D B ⊥，HI IJ I = ，,HI IJ ⊂平面HIJ ，故1D B ⊥平面HIJ ，同理可得1BD ⊥平面EFG ，132236BD =+=，设B 到平面EFG 的距离为h ，则111122222sin 603232h ⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯，则63h =，故两个相对三角形面间的距离为1422363BD h -=.【变式5-2】【解析】分别取,BC AD 的中点,M N ，连接,,,MN MG NE EG ，根据半正多面体的性质可知，四边形EGMN 为等腰梯形；根据题意可知,BC MN BC MG ⊥⊥，而,,MN MG M MN MG =⊂ 平面EGMN ，故BC ⊥平面EGMN ，又BC ⊂平面ABCD ，故平面ABCD ⊥平面EGMN ，则平面EFGH ⊥平面EGMN ，作MS EG ⊥，垂足为S ，平面EFGH 平面EGMN EG =，MS ⊂平面EGMN ，故MS ⊥平面EFGH ，则梯形EGMN 的高即为平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离；322223212,2M G S G ====，故22243(21)228MS MG SG =-=--==，即平面ABCD 与平面EFGH 48B11【变式5-3】【解析】（1）证明：连接11,B D NF M N ，、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111,C D B C 的中点，11////MN EF B D ∴，MN ⊄ 平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，//MN ∴平面EFBD ，NF 平行且等于AB ，ABFN ∴是平行四边形，//AN BF ∴，AN ⊄ 平面EFBD ，BF ⊂平面EFBD ，//AN ∴平面EFBD ，AN MN N ⋂= ，∴平面//AMN 平面EFBD ；（2）平面AMN 与平面EFBD 的距离B =到平面AMN 的距离h ．AMN中，AM AN ==MN =12AMN S = ∴由等体积可得1112313232h ⋅=⋅⋅⋅⋅，h ∴=。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间得距离求异面直线之间得距离就是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间得距离,或转化为分别过两异面直线得平行平面间得距离,或转为求一元二次函数得最值问题,或用等体积变换得方法来解。
常用方法有: 1、 定义法2、 垂直平面法(转化为线面距)3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就就是先作出这两条异面直线得公垂线,然后求出公垂线得长,即异面直线之间得距离。
例1 已知:边长a 为得两个正方形ABCD 与CDEF 成1200得二面角,求异面直线CD 与AE 间得距离。
思路分析:由四边形ABCD 与CDEF 就是正方形,得CD ⊥AD,CD ⊥DE,即CD ⊥平面ADE,过D 作DH ⊥AE 于H,可得DH ⊥AE,DH ⊥CD,所以DH 就是异面直线AE 、CD 得公垂线。
在⊿ADE 中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。
即异面直线CD 与AE间得距离为。
2 垂直平面法:转化为线面距离,若a 、b 就是两条异面直线,过b 上一点A 作a 得平行线a /,记a /与b 确定得平面α。
从而,异面直线a 、b 间得距离等于线面a 、α间得距离。
例1 如图,BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,与棱分别成α、β角,又它们与棱得交点间得距离为d,求两条异面直线BF 、AE 间得距离。
思路分析:BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q 内,过B 作BH ‖AE,将异面直线BF 、AE 间得距离转化为AE 与平面BCD 间得距离,即为A 到平面BCD 间得距离,又因二面角P-AB-Q 就是直二面角,过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C,即AC ⊥平面ABD,过A 作AD ⊥BD 交于D,连结CD 。
异面直线上两点间的距离公式
异面直线上两点间的距离公式在三维空间中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
当这两个点在同一平面上时，我们可以使用平面上两点间的距离公式来计算它们之间的距离。
但是，当这两个点不在同一平面上时，我们需要使用异面直线上两点间的距离公式来计算它们之间的距离。
异面直线上两点间的距离公式如下：d = |(ax1 + by1 + cz1 + d) - (ax2 + by2 + cz2 + d)| / √(a^2 + b^2 + c^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是两个点的坐标，a、b、c和d是直线的方程系数，d是直线的截距，| |表示绝对值，√表示平方根。
这个公式的推导过程比较复杂，我们不在这里详细讲解。
但是，我们可以通过一个简单的例子来理解这个公式的应用。
假设我们有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，它们分别在以下两个平面上：平面1：2x + 3y - z = 4平面2：x - 2y + 3z = 5我们需要计算点A和点B之间的距离。
由于这两个点不在同一平面上，我们不能使用平面上两点间的距离公式来计算它们之间的距离。
相反，我们需要使用异面直线上两点间的距离公式。
我们需要找到这两个平面的法向量。
平面1的法向量为(2, 3, -1)，平面2的法向量为(1, -2, 3)。
这两个法向量可以通过平面的方程系数得到。
接下来，我们需要找到这两个平面的交点，也就是它们所在的直线。
我们可以通过将这两个平面的方程联立，解出它们的交点坐标。
这个过程比较繁琐，我们不在这里详细讲解。
最终，我们得到这两个平面的交点坐标为(-1, 1, 0)。
现在，我们可以得到这两个平面所在的直线的方程。
我们可以选择其中一个平面的方程作为直线的方程，例如平面1的方程2x + 3y - z = 4。
我们可以将这个方程转化为参数方程的形式：x = ty = (4 - 2t) / 3z = (2t - 4) / 3这个参数方程表示了这条直线上的所有点。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量法求异面直线的距离公式是一种用向量的方法来计算异面直线之间的距离的公式。
在三维空间中，有时候我们需要求出两条不在同一平面上的直线之间的距离，这时就可以使用向量法来解决这个问题。
下面我们将详细介绍向量法求异面直线的距离公式的推导和应用。
我们假设有两条异面直线，分别用参数方程表示为：直线1：r1(t) = a1 + tb1其中a1,a2分别为直线1和直线2的某一点，b1,b2为方向向量，t,u为参数。
我们首先要确定这两条直线之间的距离，可以通过向量的投影来实现。
假设有一条从直线1上的某一点a1到直线2上的垂足点P的向量p，则有p = a2 - a1 + s(b1 x b2)（1）其中x表示向量叉乘，s为比例因子。
p为两条直线之间的距离向量，我们需要求出它的模长作为实际距离。
为了简化运算，可以令p与b1垂直，即p·b1 = 0，代入公式(1)中得到：(a2 - a1 + s(b1 x b2)) · b1 = 0将s代入公式(1)中，即可求出向量p。
我们求出p的模长即可得到两条异面直线之间的距离。
需要注意的是，如果两条直线平行，则它们之间的距离为0；如果两条直线相交，则直线之间的距禀为0。
向量法求异面直线的距离公式在实际工程和物理问题中有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的梁之间的距离；在机械设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的零件之间的距禀。
掌握向量法求异面直线的距离公式对于解决实际问题具有重要意义。
第二篇示例：向量法求解异面直线距离的问题是解析几何中的一个重要问题。
异面直线是指两条不在同一平面内的直线，它们之间的距离是在空间几何学中一个非常基础的问题。
在实际问题中，当我们需要求解两条异面直线之间的距离时，使用向量法可以简化计算，提高效率。
首先我们来了解一下向量的相关知识。
在空间直角坐标系中，我们可以用一个有方向和大小的有向线段来表示一个向量。
空间向量法求异面直线距离
空间向量法求异面直线距离说到异面直线的距离，很多人可能会想：这是什么神秘的东西啊？它就是在空间中那两条互不相交、也不在同一平面上的直线。
想象一下，像两条在天空中飞舞的蜻蜓，虽然翅膀一样美丽，却总是保持着各自的节奏。
我们要找的，就是这两条蜻蜓之间的那段空中距离。
这种距离，听起来有点高大上，只要掌握了空间向量法，就能轻松解决。
咱们得明白，空间向量是什么。
别紧张，向量听起来很复杂，但其实就是表示方向和大小的东西。
就像你指着前方的路，那个方向就是向量。
举个例子，假如你有一条直线，咱们可以用它的起点和终点来表示这个向量。
假设这条直线的起点是A(1, 2, 3)，终点是B(4, 5, 6)，那么这条直线的向量就可以用B减去A来得到，结果是(3, 3, 3)。
这就好比你从家走到学校的路程，走了几步，就能知道你前进的方向和距离。
再说说异面直线的特点。
假设你有两条直线，分别是L1和L2，L1的向量是(1, 0, 2)，而L2的向量是(2, 3, 4)。
这里，关键就是要找到一条垂直于这两条直线的向量。
想象一下，咱们在空中拉出一根线，正好把这两条直线“夹”在中间，形成一个完美的三角形。
这个垂直向量的计算，虽然听起来像是数学老师的讲义，其实就是一些简单的计算而已。
为了找到这根垂直的线，咱们可以利用向量的叉乘。
向量A和B的叉乘，能够给我们一个新的向量，这个向量是垂直于A和B的。
说白了，它就是那根从两条直线之间冲出来的小箭头。
拿A(1, 0, 2)和B(2, 3, 4)来做例子，算出来的叉乘向量会是(6, 4, 3)。
这小家伙可真是聪明，刚好与原来的直线形成了一个完美的夹角。
就可以通过这根箭头找出异面直线的距离。
选定L1上的一个点P1，假设是(1, 2, 3)。
然后，找一个L2上的点P2，随便选个，比如(4, 5, 6)。
把P1和P2之间的向量计算出来，得出这个向量后，咱们只需要用这个向量和刚刚得出的叉乘向量进行点乘，最后把结果除以叉乘的模长。
两个面的距离公式
两个面的距离公式
一、空间中两个平行平面的距离公式。
（一）定义。
1. 在空间中，如果两个平面α∥β，那么这两个平面间的距离就是在其中一个平面α上任取一点P，点P到另一个平面β的距离。
（二）公式推导。
1. 设平面α的法向量为→n=(A,B,C)，P(x_0,y_0,z_0)是平面α上一点，平面β的方程为Ax + By+ Cz+D = 0。
- 根据点到平面的距离公式d=frac{|
Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{√(A^2)+B^{2+C^2}}。
- 因为P(x_0,y_0,z_0)在平面α上，设平面α的方程为Ax + By + Cz+D_1=0，则Ax_0+By_0+Cz_0+D_1 = 0，即Ax_0+By_0+Cz_0=-D_1。
- 那么平面α与平面β（Ax + By+ Cz+D = 0）的距离d=frac{| D -
D_1|}{√(A^2)+B^{2+C^2}}。
二、空间中异面直线间的距离公式。
（一）定义。
1. 异面直线a，b的公垂线段的长度称为异面直线a，b的距离。
（二）公式推导（向量法）
1. 设异面直线a，b的方向向量分别为→m，→n，A，B分别是直线a，b上的点。
- 向量→AB，则异面直线a，b的距离
d=frac{|(→m×→n)·→AB|}{|→m×→n|}。
- 这里→m×→n是→m和→n的向量积，其模|→m×→n|=|→m||→n|sinθ（θ为→m与→n的夹角），(→m×→n)·→AB是向量(→m×→n)与→AB的数量积。
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空间直线（四）—异面直线间的距离
一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线；（3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。
二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。
三、 教学过程：1、复习：
（1）异面直线的定
义： ；
（2）两条异面直线所成的
角： ；
⇒当两条异面直线互相垂直
时 ；
两条异面直线所成的角的范围
是 ；
2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和1
1C B 所在的直线，直线11B A
直线1AA 和11D C 直线，直线 。
3
4 练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a .
（1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为 ；它们的距离
是 ；
（2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为 ；它们的距离
是 ；
（3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为 ；它们的距离
是 ；
[思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为 ；它们的距离
是 ；
[例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15. （1） 求直线PA 、BC 间的距离；
（2） 求直线PA 、BD 间的距离； （3） 求直线AD 与PC 所成角的余切值。
[例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。
求：AB 和CD 间的距离。
A
B D
C 1
P A B C D
练习（2）1、判断题；
（1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ⇒-------------（ ）
（2）若b a ,是直线，βα,是平面，
且,,βα⊂⊂b a 则b a ,一定是异面直线（ ） （3）b c a c b a ⊥⇒⊥,//---------------------------------------------------------------（ ）
（4）b a c b c a //,⇒⊥⊥--------------------------------------------------------------（ ）
2、填空题：
（1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=⋂b a ，那么a 与b ；
（2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为030，那么b 和c 所
成的角的大小为 ；
（3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共
有 ；
（4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的
两条所确定的平面共有 个。
3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32，
高是cm 2. （1） BC 和11C A 所成的角是多少度？
（2） 1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？ 作业： P 15 7、8 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1。