图解低通抽样定理

通原软件实验一：抽样定理的验证

北京邮电大学通原软件实验实验一：抽样定理的验证专业：信息工程学生姓名：×××指导教师：××完成时间：×××××一、实验目的1、熟悉SystemView软件的操作。

2、通过分析验证低通抽样定理。

二、实验原理抽样定理实质上研究的是随时间连续变化的模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列值重建原始模拟信号的问题。

对上限频率为f H的低通型信号，低通抽样定理要求抽样频率应满足：f S≥2f H 三、实验内容按照低通抽样定理，对构造的低通型信号，抽样后的信号及滤波重建信号进行时域和频域观察，形象地给出低通抽样定理。

四、实验结果1、电路框图图1：电路框图2、元件参数编号属性类型参数设置0 Source Sinusoid Amplitude=1V,Frequency=10Hz1 Source Sinusoid Amplitude=1V,Frequency=12Hz2 Source Sinusoid Amplitude=1V,Frequency=14Hz3 Adder ————4 Sink Analysis 显示波形5 Sink Analysis 显示波形6 Sink Analysis 显示波形7 Sink Analysis 显示波形8 Multiplier ————9 Source Pulse Train 产生抽样脉冲,Frequence=50Hz,Amplitude=1V,Pluse Width=0.0001s10 Sink Analysis 显示波形11 Operator Linear Sys Butterworth, 10 Poles, Low Fc = 25Hz,12 Sink Analysis 显示波形图2：元件参数列表3、仿真波形①正常情况图3：三个输入正弦波的时域波形图4：合成波形、抽样波形、恢复波形图5：源正弦波、合成正弦波、采样后信后、恢复信号分别对应的频域波形②抽样不足图6：抽样频率为10Hz时各信号频域波形③截止错误图7：巴特沃夫低通滤波器截止频率为40Hz时各信号频域波形五、实验分析1、延时即使在正常的采样频率和截止频率的情况之下，恢复后的信后相对于原信号还是有一定的延时，这是由滤波器自身的延时特性所决定的，不能够消除。

即采样频率至少是基带信号最高频率的2倍，这就是低通抽样定理
f
低通信号抽样定理图解：
m(t)
M( f )
t
fH
fH
f
T (t )
T
t
卷积
T( f )
fs
f
t
f
第9章模拟信号的数字传输
我们假设信号m(t)的最高频率小于fH，所以若频率间隔fs 2fH，则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f) 之间互不重叠。这样就能够从Ms(f)中用一个低通滤波器分离出信号m(t)的频谱M(f)，也就是能从抽样信号中恢复原信号。
这里，恢复原信号的条件是：
fs 2 fH
即抽样频率fs应不小于fH的两倍。这一最低抽样速率2fH称为奈奎斯特速率。与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔。
M( f )
如果f s 2 f H T ???
fH
T( f )
fs
fH 混叠，无法提取出纯净的 M(f)信号了
如果即采样频率至少是基带信号最高频率的2倍这就是低通抽样定理卷积信号频谱发生混叠无法提取出纯净的mf信号了
第9章模拟信号的数字传输
9.2.1 低通模拟信号的抽样定理

抽样定理：设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率 ≤ fH，则以间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激脉冲对它抽样时，m(t)将被这些抽样值所完全确定。

抽样定理

第一章信源编码技术实验一抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性。

2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法。

3、理解低通采样定理的原理。

4、理解实际的抽样系统。

5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响。

6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响。

7、理解带通采样定理的原理。

二、实验器材1、主控&信号源、3号模块各一块2、双踪示波器一台3、连接线若干三、实验原理1、实验原理框图图1-1 抽样定理实验框图2、实验框图说明抽样信号由抽样电路产生。

将输入的被抽样信号与抽样脉冲相乘就可以得到自然抽样信号，自然抽样的信号经过保持电路得到平顶抽样信号。

平顶抽样和自然抽样信号是通过开关S1切换输出的。

抽样信号的恢复是将抽样信号经过低通滤波器，即可得到恢复的信号。

这里滤波器可以选用抗混叠滤波器（8阶3.4kHz的巴特沃斯低通滤波器）或FPGA数字滤波器（有FIR、IIR两种）。

反sinc滤波器不是用来恢复抽样信号的，而是用来应对孔径失真现象。

要注意，这里的数字滤波器是借用的信源编译码部分的端口。

在做本实验时与信源编译码的内容没有联系。

四、实验步骤实验项目一抽样信号观测及抽样定理验证概述：通过不同频率的抽样时钟，从时域和频域两方面观测自然抽样和平顶抽样的输出波形，以及信号恢复的混叠情况，从而了解不同抽样方式的输出差异和联系，验证抽样定理。

1、关电，按表格所示进行连线。

2、开电，设置主控菜单，选择【主菜单】→【通信原理】→【抽样定理】。

调节主控模块的W1使A-out输出峰峰值为3V。

3、此时实验系统初始状态为：被抽样信号MUSIC为幅度4V、频率3K+1K正弦合成波。

抽样脉冲A-OUT为幅度3V、频率9KHz、占空比20%的方波。

4、实验操作及波形观测。

（1）观测并记录自然抽样前后的信号波形：设置开关S13#为“自然抽样”档位，用示波器分别观测MUSIC主控&信号源和抽样输出3#。

带通采样定理和低通采样定理

带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。

一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。

首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。

@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采样频率，谱结构如下：结论：（1）低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。

（2）低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。

二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。

通信原理第5章

(2)
三、实际抽样 ------自然抽样
自然抽样的特点
平顶抽样：
5.2 脉冲编码调制（PCM）
脉冲编码调制(PCM)简称脉码调制，它是一种用一组二进制数字代码来代替连续信号的抽样值，从而实现通信的方式。由于这种通信方式抗干扰能力强，它在光纤通信、数字微波通信、卫星通信中均获得了极为广泛的应用。 PCM是一种最典型的语音信号数字化的波形编码方式。首先，在发送端进行波形编码(主要包括抽样、量化和编码三个过程)，把模拟信号变换为二进制码组。编码后的PCM码组的数字传输方式可以是直接的基带传输，也可以是对微波、光波等载波调制后的调制传输。在接收端，二进制码组经译码后还原为量化后的样值脉冲序列，然后经低通滤波器滤除高频分量，便可得到重建信号 x(t ) 。
1 Ts= 是最大允许抽样间隔，它被称为奈奎斯特间隔，相对 2 fH 应的最低抽样速率fs=2fH称为奈奎斯特速率。
混叠现象
信号的重建
该式是重建信号的时域表达式，称为内插公式。它说明以奈奎斯特速率抽样的带限信号x(t)可以由其样值利用内
插公式重建。这等效为将抽样后信号通过一个冲激响应为
际标准中取μ=255。另外，需要指出的是μ律压缩特性曲线是以原点奇对称的，图中只画出了正向部分。
2、A律压扩特性
Ax 1 ln A ,0 x 1 / A z 1 ln( Ax) ,1 / A x 1 1 ln A
• • •
x——压缩器归一化输入电压 z——压缩器归一化输出电压 μ ——压缩器参数
量化的物理过程
q7
x q x q x (t)
q
信号的实际值
6
量化误差
6
信号的量化值

低通信号的抽样定理

实验一抽样定理一．概述抽样的分类：(1) 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理。

(2) 根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样。

(3) 根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。

二．实验原理及其框图抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。

低通型连续信号的抽样定理一个频带限制在内的时间连续信号，若以的间隔对它进行等间隔抽样，则将被所得到的抽样值完全确定。

原理框图图1 抽样说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM系统应无失真。

这一点与量化过程有本质区别。

量化是有失真的,只不过失真的大小可以控制。

三．实验步骤1、根据抽样原理，用Systemview 软件建立一个仿真电路，如下图所示：图2 仿真电路元件参数配制Token 0: 被采样的模拟信号—正弦波（频率=100Hz，电平=1V，相位=0）Token 2: 乘法器Token 5 抽样脉冲——窄脉宽矩形脉冲（脉宽=1us ）Token1，3: 模拟低通滤波器（截止频率=100 Hz ）Token 4,6,7: 观察点—分析窗（6频率=100Hz 电压=-1V）2、运行时间设置运行时间=0.3 秒采样频率=10,00 赫兹3、运行系统在Systemview 系统窗内运行该系统后，转到分析窗观察Token 5,6,8三个点的波形。

4、功率谱在分析窗绘出该系统调制后的功率谱。

四、实验报告1）观察实验波形：Token 0－被采样的模拟信号波形；Token 2－采样后波形；Token 3－恢复信号的波形。

2）整理波形，存入文档。

3）观察采样前后各信号的功率谱，结果存入文档，进行比较。

4）分析说明实验结果与理论值之间的差别。

5）改变参数配置，将所得不同结果存档后，与实验结果进行比较，说明参数改变对结果的影响。

抽样信号的量化-副本

22
第9章模拟信号的数字传输
量化一般公式
设：m(kT)表示模拟信号抽样值，mq(kT)表示量化后的量化信号值，q1, q2,…,qi, …, q6是量化后信号的6个可能输出电平，m1, m2, …,mi, …, m5为量化区间的端点。则可以写出一般公式：
mq (kT ) qi , 当mi1 m(kT ) mi 按照上式作变换，就把模拟抽样信号m(kT)变换成了量化后的离散抽样信号，即量化信号。
fs 4B
3B
2B
B
0
B
2B 3B 4B 5B 6B
12
fL
第9章模拟信号的数字传输
由上图可见，当fL = 0时，fs ＝2B，就是低通模拟信号的抽样情况；当fL很大时，fs趋近于2B。fL很大意味着这个信号是一个窄带信号。许多无线电信号，例如在无线电接收机的高频和中频系统中的信号，都是这种窄带信号。所以对于这种信号抽样，无论fH是否为B的整数倍，在理论上，都可以近似地将fs取为略大于2B。图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs，但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。
21
第9章模拟信号的数字传输
量化过程图
信号实际值
q6
信号量化值
•
m5 q5
•
•
量化误差
m4 q4
m(t) •
m(6T)
mq(6T)
m3
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T t
q3
m2 q2
• •
m1
q1
• －信号实际值
－信号量化值
M个抽样值区间是等间隔划分的，称为均匀量化。M个抽样值区间也可以不均匀划分，称为非均匀量化。

《数字信号处理教学课件》3.10 抽样定理

c2
1
1
2 1
1
0
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15
0.25
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
2 1 1
0
1
1
1
0
0.15
2 1
0.25
例3-10-1
BACK 例如音频信号：0～3.4KHz，
fs 2 fm
信号无失真恢复
抽样频谱连续信号：
恢复
在满足时域抽样定理条件下使 T s s 2 F Fs H , 其中H 0 s 2 矩形函数H(w)与Fs(w)相乘。即将f (t )的抽样f s t 施于“理想低通滤波器”H ,
可从f s t 的频谱Fs 无失真地选出f (t )的F ，再由滤波器输出端恢复f(t)。
二、频域抽样定理
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
c f (t ) f (nTs ) Sa[ c (t nTs )] n

偶函数

变量置换
时分复用
n n F ( ) F Sa t ( ) m t tm n m
若信号 f (t ) 为时限信号，它集中在 tm tm 的时间范围内，若在频域中，以不大于 1 2tm 的频率间隔对 f (t ) 的频谱 F ( ) 进行抽样，则抽样后的频谱 F1 ( )可以唯一地表示原信号。
f (t ) d t
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为

带通采样定理和低通采样定理

带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。

一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。

首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。

@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采样频率，谱结构如下：结论：（1）低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。

（2）低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。

二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。

信号与系统§3.06 信号抽样与抽样定理_ppt课件

信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
假设连续频谱函数为F(ω) ，抽样频谱函数为FS(ω) ,即在频域抽样有
F ( ) F ( ) ( n ) F ( n ) ( n ) s s s s
n n

f( t n T)

T (t )
抽样信号
p ( t ) ( t n T ) ( n ) s s s
n

fs (t )
抽样脉冲
f ( t ) ft ( ) p ( t ) fn (T )( t n T ) s s s
n

0 Ts
t
s
m
0
m
s
f s (t )
(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱

Fs ( )
0
Ts
t
s
0
m s

(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠
信号与系统
三、连续时间信号的重建
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为的理想低通滤 c m
波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
信号与系统
信号与系统§3.06 信号抽样与抽样定理
信号与系统
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号
f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t )
o
t
p(t )
o
TS
t

信息光学07-抽样定理

g(x)
comb(x/X)
gs(x)x0.源自0x =x
0 #
§1.4 抽样定理
1、函数的抽样：二维情形
§1.4 抽样定理抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
§1.4 抽样定理二、函数的抽样
抽样后函数gs(x,y)的频谱
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m 如果G (fx, fy)频带无限制, 则这
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
但是,实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
n m
g s x, y hx, y g x, y
f y fx rect hx,y F rect 2B 2 B x y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc2 By y g nX,m Yδx nX,y m Y
第一章复习二、基本技能
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单缝、多缝、线光栅、位相板等；脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表示；常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶变换，图解表示。

0501_低通型抽样定理小结

1、样值序列的频谱可以视作原始信号频谱的周期延拓，延拓的周期为采样速率s s f 1=，其中s T 为采样间隔。

2、为了避免混叠失真，不论何种采样方式都必须满足m s f f 2≥（或m s f T 21≤），其中m f 为原始信号最高截至频率；对于频率限制在300~3400Hz 的语音信号而言，采样速率限定为8000Hz 。

3、对于理想采样而言，样值序列频谱各次谐波分量的增益全都相同（均为s f ），故理想采样样值序列的带宽为无限宽；另一方面各次谐波分量的频谱结构与原始信号的频谱结构完全一致，因而可以直接采用最高截至频率为m f 的理想低通滤波器提取基波分量不失真的恢复原始信号。

4、对于自然采样（或曲顶采样）而言，样值序列频谱各次谐波分量的增益不尽相同（按照()τπτssfkSaf的规律衰减，其中τ为采样脉冲的宽度，k为各次谐波分量的阶数），故自然采样（或曲顶采样）样值序列的带宽为τ1；另一方面各次谐波分量的频谱结构与原始信号的频谱结构完全一致，因而可以直接采用最高截至频率为m f的理想低通滤波器提取基波分量不失真的恢复原始信号。

5、对于瞬时采样（或平顶采样）而言，样值序列频谱各次谐波分量的增益不尽相同（按照()τπfSa的规律衰减，其中τ为采样脉冲的宽度），故瞬时采样（或平顶采样）样值序列的带宽为τ1；另一方面各次谐波分量的频谱结构与原始信号的频谱结构均不相同，若直接采用最高截至频率为m f的理想低通滤波器提取基波分量将不可避免的引入孔径失真，必须通过传输特性为()mfffSa≤,1τπ的滤波器加以修正方能不失真的恢复原始信号。

6、对于自然采样和瞬时采样而言，采样脉冲还可以选择三角脉冲、钟型脉冲等其他脉冲形式，将对样值序列的带宽和各次谐波分量的增益产生直接影响；为了克服瞬时采样恢复信号时的孔径失真，补偿滤波器的传输特性为()mHωωω≤,1，其中()ωH为采样脉冲的频谱特性。

实验一低通采样定理和内插与抽取实现

实验一：低通采样定理和内插与抽取实现一.实验目的1.连续信号和系统的表示方法，以及坊真方法。

2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，3.采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。

4.用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。

5.用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。

二.原理1、时域抽样定理令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(ji」),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为Pj」),抽样后的信号x A(t)的傅里叶变换为XV1)若采用均匀抽样,抽样周期Ts, 抽样频率为门s=2二fs,由前面分析可知：抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t) 与连续信号xa(t)相乘来完成，即满足:xA(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为：mI'lf ( i) / = 二心可\( Wfjn= — -oa故可以推得p(t)的傅里叶变换为：P( 5^) = 2n c- " d HJ>=- —其中：p n=月z p D l at根据卷积定理可知：X(g = p(jo)得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为：严WX(j Q) = 。

一«Q j /n= — e其表明:信号在时域被抽样后，他的频谱X(j门)是连续信号频谱X(j门)的形状以抽样频率门为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn 加权。

因为Pn只是n的函数，所以Xj」)在重复的过程中不会使其形状发生变化。

假定信号x(t)的频谱限制在亠m~+「m的范围内,若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X A(t)的频谱XW")是以门s为周期重复。

显然，若在抽样的过程中门s<2i m,则XT门)将发生频谱混叠现象，只有在抽样的过程中满足11 s>=2「m条件,XW 门)才不会产生频谱的混叠，接收端完全可以由x A(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。

抽样定理说明介绍

演示
n
抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻上。就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不产生“串扰” 。
退出
当s 2m时，只要选择m c s m 即可正确恢
复f t波形。
当s
2
时
m
，不
满
足
抽
样定理，f
s
t
的
频
谱
出
现
混叠
，
在时域图形中，因Ts过大使冲激响应Sa函数的各波形在时
间轴上相隔较远，无论如何选择c都不可能使迭加后的波
1
2
F
n
P
1 TS
F
n
n s
理想低通滤波器：
频域：H T0s
c c
时域：ht
Ts
c
Sa c
t
f t
f s (t) ht
f (nTs ) (t nTs ) Ts
n
c Βιβλιοθήκη Sa ctTs
c
f (nTs )Sa c
n
t nTs
退出
f t
上式表明：
T 1 0 11 0
2T t1 t0
若脉码速率f 1 ，相应的 T
单个Sa波形表达式为
Sa π t ，它的频谱函数 T
为矩形,频带B 1 。 2T
所占带宽减半。
在T的整数倍各时刻其抽样值为零，因而接收端以此处为抽样判决点，保证不会出现误判。
退出
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
1
抽样间隔必须不大于 2 f,m 即
或者说最低抽样频率为
2
f
。
m
Ts

抽样定理

E Fs ( ) Ts 上式表明:
n s Sa( ) F ( n s ) 2 抽样性周期性 n

信号在时域被抽样后，它的频谱 Fs () 是连续信号的频谱 F () 以取样角频率 s 为间隔周期地重复而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。 (p152 图3－50)
F ()
1
Fs ()
Es
－m
m
w
抽样后频谱

抽样前频谱
m
s
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律变化。从 Fs ()的频谱图可见抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所以其频谱所占的频带几乎是无限宽。
§3.10~3.11 抽样与抽样定理
本次课讨论的内容为 :
一、信号的时域抽样二、抽样定理三、连续信号的恢复(内插公式) 四、时域抽样和频域抽样的类比
一. 取样的目的及所遇到的问题
模拟信号输入
模拟
抽样
量化
数字信号处理器
信号输出
A/ D 转换器
D/ A 转换器
数字信号处理系统简单框图
E n s dt Sa Ts 2
1 p( ) 2 Pn ( n s ) Fs ( ) F ( ) * p ( ) 2 n
E Fs ( ) Ts
理想取样
n s Sa F ( n s ) 2 n

上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数，所以 F () 是以 s 为周期等幅地重复，如下图所示：