冯西桥弹性力学07平面问题B

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弹性力学第二章平面问题的基本理论 ppt课件

4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征无限长的柱形体，横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方向变化； ♢ 体力作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2

《弹塑性力学》第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
2020/10/9
14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量 f=0 ；在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零）。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
2020/10/9
17
§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
2020/10/9

弹性力学第七章平面问题的极坐标解

第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的 Laplace 算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，且求解一些典型问题。

极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点:1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6极坐标系的LaPIaCe算符；7、应力函数。

1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD ,其由两个相距茁的圆柱面和互成d「的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用二表示径向正应力，用二表示环向正应力，「,和•二:分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，.J=.二:。

《弹性力学》第七章平面问题的差分解

4 f 1 2 2 4 [4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) ( f 5 f 6 f 7 f8 )] x y h 0 4 f 4 y 1 4 [6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 )] h 0
弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。差分法就是数值解法的一种。所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。
T (T0 Te ) x 0
其中 Te 为边界以外的介质的已知温度。应用差分公式，可得：
T1 T3 (T0 Te ) 2h
解出 T1 ，代入（1）式，即得修正的差分方程：
2h 2h 4 T0 T2 2T3 T4 Te
第七章平面问题的差分解
§7-1 差分公式的推导 §7-2 稳定温度场的差分解 §7-3 不稳定温度场的差分解 §7-4 应力函数的差分解 §7-5 应力函数差分解的实例 §7-6 温度应力问题的应力函数差分解 §7-7 位移的差分解 §7-8 位移差分解的实例 §7-9 多连体问题的位移差分解习题课
2 2 2 T h T 2 T0 TA h 2 x A x A 2 1 T 2 2 T T3 TA (1 )h (1 ) h 2 x x A 2 A
§7-2
稳定温度场的差分解
本节以无热源的、平面的、稳定的温度场为例，说明差分法的应用。在无热源的平面稳定场中，t 0, z 微分方程简化为调和方程 2T 0 ，即：

弹塑性力学第7章—平面问题

2 2 2 ε γ xy ∂ ∂ ε ∂ y 应变协调方程： x + = 2 2 ∂y ∂x ∂y∂x
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ∂2 ⎞ 1 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ⎜ ∂ 2 + ∂ 2 ⎟ (σ x + σ y ) = − − ⎜ ∂ + ∂ ⎟ x ⎠ 1 v⎝ x y ⎠ ⎝ y
本构方程：
7.1 平面问题的基本方程
7.1.1 平面应力问题
应变协调方程： ∂ ε x + 2 = 2 ∂y ∂x ∂y∂x
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ∂2 ⎞ ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟ ⎜ ∂y 2 + ∂x 2 ⎟ ⎟(σ x + σ y ) = −(1 + v )⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7.1 平面问题的基本方程
7.1.2 平面应力问题
本构方程：
1 ⎤=0 εz = ⎡ σ v σ σ − + 由 ( ) z x y ⎦ E⎣
可得
σ z = v (σ x + σ y )
代入一般情况下的广义胡克定律，得到
E v , v1 = 其中 E1 = 2 1− v 1− v
τ xy ⎫ 1 ε x = (σ x − v1σ y ) γ xy = ⎪ E1 G ⎪ ⎪ 1 ε y = (σ y − v1σ x ) γ yz = 0 ⎬ E1 ⎪ εz = 0 γ zx = 0 ⎪ ⎪ ⎭
f1 = C2 x3 + C3 x 2 + C4 x + C5
f 2 = C6 x3 + C7 x 2 + C8 x + C9

弹性力学第七章

滚柱
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z 轴。设z方向为无限长，则 σ x , ε x， u , 沿z方向都不变化，仅为x，y 的函数。（任一横截面均可视为对称面）
§7.1
平面应变问题
本节所要研究的弹性体是工程中经常会出现的等截面柱形物体。取一个直角坐标系，使z轴和柱的母线平行，则柱体所占的空间区域 V可表示成
V = {( x, y, z ) ( x, y ) ∈ A, 0 ≤ z ≤ L}
其中A为二维区域，L为柱长。柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于Oxy平面，且它们的分布沿z方向不变，在Oxy平面内构成平衡力系。暂时不管在z=0和z=L处两端面的边界条件。假定柱体内任一点的位移矢量和Oxy平面平行，且和z无关，即
(c)
由于物体的形状和外力等都关于Oxy平面对称，若不考虑刚体位移，则可取ｗ0=0，上式简化为
w = ε z ( x, y ) z
(7.15)
现在还有一个重要的问题没有解决，即按平面应力问题求解的结果是否就是本节开始所提问题的解？因为事先假定了应力状态满足条件(7.12)，故用胡克定律由这种应力求出的应变必须满足协调方程。在协调方程(3.34c)中，有两个自动满足，剩下的四个中，一个就是 (7.7)，只要位移和应变满足几何方程(7.2)，(7.7)也自动满足，另外三个是
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
从胡克定律(5.26b)可得εαβ和σαβ之间的关系如下
ε x = 1 (σ x −νσ y )

弹性力学7详细讲解

u
u
x,
y
,
v
x,
on t on u
– 位移假设
u u x, y,v x, y,0T
2020年11月25日
力学与工程科学系
2
平面应变问题的简化
• 应变场 • 应力场
x
u x
,y
v y
, xy
1
2
u y
v x
,
yz zx z 0
x x y 2 x , y x y 2 y , xy 2 xy
xy
1 2
xy
1 21
xy
E1
E 1
2
,1
1
,
1
E1 2(1 1 )
• 应力协调条件
2
x y
1
1
f x x
f y y
0,
2 2 2 x2 y2
2020年11月25日
力学与工程科学系
5
Airy应力函数
• 无体力
x,x xy, y 0 xy,x y,y 0
U x, y,
混合边界条件： xz yz 0,
z x y
w0
2020年11月25日
力学与工程科学系
4
协调条件
• 应变协调条件
2 x
y2
2 y
x2
2 2 xy
xy
• 应力应变关系
x
1 2
x
2
x y
1
E1
x 1 y
y
1 2
y
2
x y
1
E1
y 1 x
U
h2 3z2
61
2U
22U 0

弹性力学第二章平面问题的基本理论

圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布，而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$，其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构，也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学平面问题

429,0.0,0.1
430,0.0,0.1
431,0.0,0.1
432,0.0,0.1
结
433,0.0,0.1
点
434,0.0,0.1
荷
435,0.0,0.1
载
436,0.0,0.1
数
437,0.0,0.1
据
438,0.0,0.1
439,0.0,0.1
440,0.0,0.1
441,0.0,0.05
四、弹性力学平面问题的有限元分析及程序
四、弹性力学平面问题的有限元分析及程序
引
言
常应变三角形单元
矩形双线性单元
平面问题程序(一)
平面等参数单元
平面问题程序(二)
Wilson 非协调元
4.1 引
言
杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的，但对于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际结点。要将物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或面作人为地分割。实际计算时，可将连续体分成多种形状单元，为讨论简单，现暂时规定只用一种单元来分割。
4.3 矩形双线性单元
3) 位移模式
u=Niui ； v=Nivi。
4
[d]=[u，v]T
3
2
或以矩阵表示为
N N1
N 4
1
2
2
单元结点
N
i
Ni 0
0
N
i
d N d e
位移矩阵
4) 关于单元列式可以用势能原理，也可以用虚位移原理。一经建立
单元位移模式后，剩下的工作和杆系、三角形单元类似，因此这里从略。
8
y
1
6
5x 2

弹性力学第七平面问题的差分解 ppt课件

h
21!2xf2 0(xx0)2
（b）
301
节点3及1的 x 坐标： x3 x0 h
x1 x0 h
yh
将其代入式（b），有：
f3f0hfx0h222xf2
0
（c）
f f1 f3 x0 2h
（7-1）
f1f0hfx0h222xf2
0
（d）
联立求解，得：
2xf2
0
f1 f3 2f0 h2
§7-2 稳定温度场的差分解
1. 热传导方程
一般情形下，热传导方程：
Ta2T
t
t
对无热源、平面、稳定的温度场，有
其热传导方程变成二维的调和方程：
0, T 0, T 0
t
z
t
2Tx2T2
2T y2
0
（a）
2. 热传导方程的差分方程
x h 4
将温度场的域内划分网格，取任一节点，
如：节点 0，应有：
表示；把导数：
表示。由：
f y
用函数值：f0 0
f2
f10
726 10
yh
f
f0fx0(xx0)
21!2xf2
(xx0)2 0
（b）
得到：
f9f0 fx02h1 2 2 xf202h2
f1f0 fx0h1 22 xf2
h2 0
f 3f04f1f9
x0
2h
2xf2
0
f0
2f1f9 h2
（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：
f f0fx0(xx0)
略去了二次幂以上的各项，则：
x 12 845
f
x
0
f1

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解各种平面问题和空间问题，如平面应变问题、平面应力问题、弹性地基上的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问题的变分方程。

弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答

弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如边界条件的处理、应力集中现象等。

弹性力学平面问题教学课件

弹性力学平面问题教学课件
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离散化的网格、选择合适的差分格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
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2. 根据迭代公式计算新的近似值。
在此添加您的文本16字
3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返回步骤2。
在此添加您的文本16字
特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单元组成，每个单元之间没有间隙。

《弹塑性力学》第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答

2019/3/24
29
§7-2 轴对称问题
应力分量与 (r)的关系：
1 d r r dr
d 2 dr
2
r 0
自然满足平衡微分方程，则应力函数 (r)应满足的基本方程为相容方程，即
2019/3/24
30
§7-2 轴对称问题
1 d d 2 2 ( r ) ( 2 ) 0 r dr dr
（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。
2019/3/24
2
§7-1平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r, 函数。 o 体力：fr=Kr , f=K
2019/3/24
10
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
u r E E 1 u u r ( r ) ( ) 2 2 r r 1 1 r
r
E E 1 u r u u r ( ) 2(1 ) 2(1 ) r r r
2019/3/24
17
§7-2 轴对称问题
在V内
u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r),
r=r (r), = (r) 。
各待求函数为r的函数（单变量的）
2019/3/24
18
§7-2 轴对称问题
2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程（仅一个）：
2019/3/24
11
§7-1平面极坐标下的基本公式

弹性力学讲义-第2章(b)

v dy y
dy B

B
u u dy y
A
y
和PB的正应变
v y y
问题试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。
一点的应变位移关系——切应变
求线段PA与PB之间的直角的改变, 也就是切应变 xy ,用位移分
量来表示。
v v dx v v x dx x u y
xy
Q 2 3Q 2 2 2 h 4y h 4y 3 8I 2bh

§2-4 几何方程刚体位移
考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量与位移分量之间的关系式, 也就是平面问题中的几何方程。
§2-4 几何方程刚体位移
一点的变形
0
u
v
u
P
取任意一点 P
x方向线段PA=dx
求位移
u 0 x
u f1 ( y )
v u x y 0
v 0 y
v f 2 ( x)
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
§2-4 几何方程刚体位移
当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：
,
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
x yx fx 0 x y y xy fy 0 y x
h
bh 3 I 12
b
解：
弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为
x yx 0 x y
x xy dy f ( x) x M z y dy f ( x) x I
弹性力学讲义

弹性力学平面问题习题及解答

(a) x 100, y 50, xy 10 50; (b) x 200, y 0, xy 400 (c) x 2000, y 1000, xy 400 (d ) x 1000, y 1500, xy 500
2－15 设已求得一点处的应力分量，试求
y
x
3-6 图中所示的墙，高度为h，宽度为b，h>>b，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试用应力函数
Axy Bx3 y 求解应力分量。
3－7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l>>h，试用应力函数
Axy By 2 Cy 3 Dxy 3 求解应力分量。
1 x y x y 2 xy 2 2 2
2
xy tan 2 2 y
1、悬臂梁的受力情况如图1所示，写出全部边界条件（设梁固定端形心处的位移及水平微分段的转角为零。）
y 0.5vx , xy 0 式中， 2. 设 x px, p，v 为已知常数。试证明此解能满足协调方程，并求出图中所示矩形板内的体力及边界上的面力。
习题2 已知两组位移分量分别为
其中ai和bi为常数，试求应变分量，并且指出上述位移是否满足变形协调条件。解
习题2 已知两组位移分量分别为
其中ai和bi为常数，试求应变分量，并且指出上述位移是否满足变形协调条件。解
2－15 设已求得一点处的应力分量，试求
1 , 2 , 1;
3-10 如图所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l>>h，在上边界受均布荷载q，试检验应力函数
Ay Bx y Cy Dx ห้องสมุดไป่ตู้Ex y

弹性力学讲义-例题-b

su
上满足位移边界条件。上满足位移边界条件。
考虑应用圣维南原理应用圣维南原理, 本题在 x=l 的小边界上 , 已考虑应用圣维南原理 , 使三个 = 的小边界上, 积分的应力边界条件已经满足。因此, 只须校积分的应力边界条件已经满足。因此, 只须校核下列三个刚体约束条件: 体约束条件:
∂v A点（x = l及y = 0） u, v, = 0 , ∂x
例题（第2章）
例题2-2 试列出图2-1的边界条件。例题2 试列出图2 的边界条件。
解:
(a)对于图的问题, (a)对于图 2-1(a) 的问题,在主要边界 y= ±h/2
2
应精确满足下列边界条件：应精确满足下列边界条件：边界条件
h x y = − , σ y = − q , τ yx = 0 2 l h y = + , σ y = 0, τ yx = q1 2
例题2-4 在无体力情况下, 试考虑下列应力分量是否可例题2 在无体力情况下,
能在弹性体中存在能在弹性体中存在,
(a )σ x = Ax + By, σ y = Cx + Dy, τ xy = Ex + Fy (b)σ x = A( x 2 + y 2 ), σ y = B( x 2 + y 2 ), τ xy = Cxy
Fx 2 y µFy 3 Fy 3 Fl 2 Fh 2 u=− − + + 2 EI − 8IG y 2 EI 6 EI 6 IG 2 3 2 3 µFx y Fx Fl x Fl v= + − + 2 EI 6 EI 2 EI 3EI
Fy ∂ 2u =− , 2 ∂x EI

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果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律
。
d) 灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解
叠加起来去共同满足边界条件。
•
第三步的关键是要正确地给定边界条件。在
主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放
松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条
件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分
形式条件。
非轴对称问题
•q
1
•y •q
2
•x
•a
•q
•q2 •y
1
•=
•x
•a
•+
•＋
•y •q ’
•q
• •x
•a •q
’
’
•q’
•Chapter 7.7
•y •q
非轴对称问题
•q ’
’
• •x
•a •q
’
•关于 =45°的反对称问题的解
•q’
•周期函数
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•q ’
•y •q ’
非轴对称问题
•+C03 (不引起应力
)
•+C13rcos (不引起应力) •+C’13rsin (不引起应力)
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•几个典型问题
(1) 闭合圆环形域：边界： • r =常数的复连通域，周期
性 (2)曲梁：单连通域。边界： • r =常数（主要边），
• =常数（次要边）
•位移单值条件要求：B=0
•对于两端自由的轴对称问题，无论轴向有多长都属于平面应力问题。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•对于圆域，为防止圆心r=0处出现无限大应力，必须令 A=0。于是：
•这是个均匀拉压应力状态。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•对于无应力(A=B=C=0)状态, 位移分量表达式为：
冯西桥弹性力学07平面问题 B
•平面问题
平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论
•Chapter 7
平面问题的极坐标解
• 对于很多工程问题，采用极坐标进行求解更为方便：
• 例如：圆形（柱、轴、筒、盘、环）、楔形、扇形、带小圆孔的物体、一些半无限大问题，等等。
•Chapter 7
非轴对称问题
•当载荷分布与环向坐标有关时，应力函数可展成三角级数：
•其中第一项0是解的轴对称分量。
•对于环向不闭合的楔形域或扇形域，应力函数展开式中还将出现
因子的函数项
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•J.H. Michell 给出极坐标通解 (1899)
•Chapter 7.7
• •x
•a •q
’
•q’
•y
•r
•o
•
•a
•x •b
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•单向均匀拉伸0的孔板（Kirsch问题）
•q
•y
•0
•
•-
•30
0 •a
•x
•3 •
0
•Chapter 7.7
•平面问题
平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论
平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论
•Chapter 7
轴对称问题
•轴对称问题：几何形状与载荷分布都与环向坐标无
关•例1：厚壁筒受内压 pi , 外压 po
•Chapter 7.6
轴对称问题
•例2：旋转圆盘受
•离心力 fr = 2r
•
•例3：曲梁受纯弯曲:
•位移与有关，应力、应力函数与无关
•M
•
•x
• •r
•M •y
•Chapter 7.6
轴对称问题
•例4：圆盘受内、外均匀扭转 :
•应力函数与有关，应力、位移与
无关
•Mz •Mz
•r
•Chapter 7.6
轴对称问题
应力函数解法
•Chapter 7.6
轴对称问题
•协调方程简化为
•四阶欧拉型变系数常微分方程，系数均为实数。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•求解应力函数的双重调和方程
•设解具有幂函数形式： •代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程
•Chapter 7.6
轴对称问题
•其特征根： •通解： •应力表示为：
非轴对称问题
•外圆边界r＝b上的应力边界
条件：
•q
•y •-q
•
•x
•a
•q
•-q
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•在内孔处的边界条件为： •应设为： •代入协调方程得：
•y •q
•q
• •x
•a •q
•-q
•( 1)
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•其特征方程为： •通解为：
•Chapter 7.7
•e r
r
•o
•x
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
•当边界为坐标线时：
= 2: = p1, r = pr1, r = r1: r = -pr2, r = -p 2•pr1 •p1•y•p
•o
•
2
•pr2
• •r1
1
2
•x
•(n+1)连通域，位移单值性条件
•Chapter 7.5
•平面问题
•I和K分别是极坐标原点在x和y方向的刚体位移，而 H是绕z轴的刚体转动。
•Chapter 7.6
轴对称问题
•一般轴对称问题的位移是与有关的。如果限制原点的刚体位移
(I=K=0), 且考虑位移单值情况(B=0)，则位移与无关。如进一步限制刚体转动(H=0)，则只剩下径向位移：
•其中
•Chapter 7.6
• (3) 楔形体：单连通域。边界：
• =常数（主要边），
• r =常数（次要边）
•a •b
•o
•
•x
• •r
•y
•o •y
•
•r
•
•x
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•例1 小孔应力集中
•y •-q
•应力集中系数：
•
•x
•q
•a
•q
•-q
•max 为最大局部应力；0 为名义应力
。
•Chapter 7.7
• 即应力第一不变量与坐标选择无关。
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
• 位移：
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
2. 二阶张量（应力、应变）
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
• 或写成：
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
边界条件
•p
•y •e •
•p
•r
•
③ 利用边界条件定出解中所含的待定常数。
• 第一步的判断带有一定的经验性，主要方法是： a) 根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部
应力和应力函数的分布规律。 b) 把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。
•Chapter 7.8
解和解法的讨论
c) 对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
基本方程
•(1) 平衡方程
•(2) 几何方程
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
基本方程
•(3) 本构方程
•平面应力
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
➢ 平面应变：
• 轴向分量为：
•平面应力
•平面应变
•Chapter 7.5
平面问题的极坐标解
•Chapter 7.8
平面问题
•谢谢
！
•Chapter 7
•Chapter 7
解和解法的讨论
• 本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各项可以分离变量的函数组成，即令
• 然后按如下步骤求解： ① 设法判断应力函数沿主要边界的坐标方向上的函数
变化规律(例如fi(x)或gi())。
•Chapter 7.8
解和解法的讨论
② 代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向上的函数变化规律(例如gi(y)或fi(r))
轴对称问题
位移解法
限制原点的刚体位移和转动，由对称性可设：
代入几何方程、本构方程、平衡方程，得位移表示的平衡方程：
•Chapter 7.6
轴对称问题
•该欧拉方程的通解为：
•Chapter 7.6
轴对称问题
•例1 厚壁筒的 Lamé解 •边界条件为：
•利用轴对称的应力公式
，得：
•Chapter 7.6
•Chapter 7.6
轴对称问题
•应变分量：
•Chapter 7.6
轴对称问题
•于是可得位移分量
•Chapter 7.6
轴对称问题
•利用：
•＝常数
•Chapter 7.6
轴对称问题
•于是，轴对称位移分量：
•六个积分常数由边界条件确定。 •位移单值条件要求：B=0