高等代数专题研究形成性考核册作业答案

《高等代数专题研究》作业参考答案高等代数专题研究作业1 一、 单项选择题: 1-5: BCBDB二、 填空题1、 交换。

2、 不等价、 等价。

3、 1212()()a a a a σσσ()=⊕, 且σ是A 到B 的双射。

4、 具有下面性质的自然数的任何集合M 满足: :1;:i M ii ∈如果a M ∈, 则'a M ∈。

则M 含有一切自然数, 即M N =。

5、 对于一个与自然数有关的命题T, 若i: 若n=1时命题T 正确; ii: 假设命题T 对n<k 正确, 就能推出命题T 对n=k 正确。

则命题T 对一切自然数正确。

三、 计算题1、 解: {},A a b =到{},A a b =的映射一共有224=个, 它们是::,a a b a σ1→→, 2:,a a b b σ→→, 34:,,:,a b b a a b b a σσ→→→→2、 解: ()(32)3(32)197fg x f x x x =+=++=+,()(31)3(31)295gf x g x x x =+=++=+3、 解: 1) 在G 中, 14,41→→, 而且26,65,52→→→, σ可表为两个不相交的轮换的乘积: ()()14265σ=。

2) 123456123456326145365412στ123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪463125⎝⎭⎝⎭⎝⎭,123456123456123456326145463125156324τσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3) 123456463125123456463125123456453162σ-1⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、 证明题 1、 证明:()()()()()()A C B C A C C B C C A C C C B C C C ⋃=⋃⇒⋃⋂=⋃⋂⇒⋂⋃⋂=⋂⋃⋂()()()()()()A C B C A C B C A C A C B C B C ⇒⋂⋃∅=⋂⋃∅⇒⋂=⋂⇒⋂⋃⋂=⋂⋃⋂()()A C C B C C A B A B ⇒⋃⋂=⋃⋂⇒⋃∅=⋃∅⇒=2、 证明: 则于a b a b +-⨯是由a 与b 惟一确定的( 即a b a b +-⨯不会得出以上不同的结果) , 且为实数, 因此””是一个代数运算。

()()()()a b c a b a b c a b a b c a b a b c a b c a b a c b c a b c=+-⨯=+-⨯+-+-⨯⨯=++=⨯-⨯-⨯+⨯⨯,()()()()a b c a b c b c a b c b c a b c b c a b c a b a c b c a b c=+-⨯=++-⨯-⨯+-⨯=++-⨯-⨯-⨯+⨯⨯, 因此()()a b c a b c =, 即””满足结合律。

3、 证明: 当n=2时,122x x +≥因此命题对n=2正确。

当n=4时, 224341234121234()()()224x x x x x x x xx x x x +++++≤⋅≤, 因此命题对n=4正确。

同理可推出命题对3428,2,,2,s n n n ====, 都正确( s 为任意自然数) , 因此命题对无穷多个自然数成立。

设命题对n=k 正确, 令121211,1kk k k x x x x x x S S kk --++++++==-, 则1211k kk x x x x S k --++++=, 由归纳假设命题对n=k 正确, 因此12111211()k k k kk k k x x x x S x x x S k----++++=≥, 所发11121k k k S x x x ---≥,即1211k x x x k -+++≥-, 命题对n=k-1也正确, 由反归纳法原理知,命题对一切自然数成立。

4、 当n=2时, 上述不等式成立, 假设2221111123k k+++<-,则22222222211111111111123(1)(1)(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k +++++++<-+=-<-=-+++++ 于是对一切2n ≥的自然数n 来说, 22211111123n n+++<-<。

五、 简述题 1、 答:21,0()2,0n n f n n n +≥⎧=⎨<⎩, 给予证明如下: 任取12,n n Z ∈, 且12n n ≠, 则12()(),f n f n ≠()f n 是单射。

任取()f n N ∈, 若()f n 为奇数, 则有0n ≥, 使()21f n n =+与之对应; 若()f n 为偶数, 则有0n <, 使()2f n n =与之对应, 因此有()f n 是满射。

因此()f n 是从Z 到N 的双射。

2、 答: 空集合的幂集不是空集合。

应为{}()P ∅=∅。

高等代数专题研究作业2 一、 单项选择题: 1-5: DACCB 二、 填空题: 1、 222111()nnni i iii i i a a a b ===≤∑∑∑ 2、 ()0a b b -≤ 3、 11221122()()()f q x q x q f x qf x +≥+4、 134P5、 134P 三、 计算题1、 解:232(1)(2)00(1)(2)(5)055x x x x x x x x x -+-->⇒>⇒--+>++ 因此原不等式的解集为(5,1)(2,)-⋃+∞。

2、 解:222(,,)(365)[1(3)))]f x y z x y z x =++=+222222[1](9125)x y z ≤++++2229(9125)9981x y z =++=⨯=, 即2(,,)81f x y z≤。

其中当且仅当3x k====,且22222291259()))93kx y z++=++=成立,解得1k=, 因此当11,,132x y z===时, f取极大值,11max(,,1)32(365)1359f x y z=++=++=。

3、解: 这是一个求具有约束条件1a b c++=的极值问题, 由于它有三个变量,,a b c, 因而不能用消元法来解, 但2222221111()3933a b ca b c++≥=≥==++, 只有当a b c==时等式成立。

因此只有当13a b c===时,222111a b c++取最小值27。

四、证明题1、证明: 22211212231231()()n nn nnx xx xx x x x x x xx x x x-=+++=++++右2222112231231()()n nnnx xx xx x x xx x x x-≤++++++++,因12,,,nx x x都是正数, 上式变为2221212231nnxx xx x xx x x+++≤+++, 得证。

2、证明: 令2cos cos cos2cos sin12sin222A B C CA B C t-++=+-=,再令sin02Cu=>, 得u的一元二次方程: 222cos102A Bu u t--++-=, 由于u R∈,因此24cos8(1)02A Bt-∆=+-≥, 因此2113cos112222A Bt-≤+≤+=, 即3cos cos cos2A B C++≤。

3、证明: 因为12,,,na a a是等差数列, 则112()2nnn a aa a a++++=, 则均值不等式, 得112122nn na ana a a a an n+++++≤==,又:121n na a a a-<, 132n na a a a-<, , 1122n n na a aa+<,因此21121()nn n na a a a a a-<, <, 故结论得证。

五、简述题1、答: 设函数()f x在某区间上定义, 对于区间上的任意两点12,x x, 都有11221122()()()f q x q x q f x q f x+≤+, 其中1212,0,1q q q q>+=, 则称()f x在该区间上是下凸函数。

2、答: 比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。

高等代数专题研究作业3一、单项选择题: 1-5: BDDAC二、填空题1、 1, 3, 5, 72、如果d是a与b的公因式, 且有,c a c b, 均有c d。

3、代数4、 15、 -4, 2( 重根)三、计算题1、证: 1) 若1212,22m mk kR∈, 则21121212121212121222,2222222m mm m m m m m m mk k k k k k k kR R+--=∈⋅=∈,且112R=∈, 故R是有单位元素1的数环, 因而是整环。

2) 2()n n Z±∈为R中全部可逆元素。

2(,n p n Z p±∈为奇素) 为R中全部不可约元素。

2、 解: Z a bi =+是[]Z i 的可逆元素。

2222211[],1110,10,1Z Z i Z Z Z a b a b b a ⇒∈=⇒=⇒=+=⇒==±==±1有使ZZ 或,1,,Z i i ⇒=±±±±反之,1,是[]Z i 的可逆元素。

因此, i ±±1,是[]Z i 的全部可逆元素。

四、 证明题1、 证明: 首先[]Q x 是整环, 零理想是主理想, 设I 是[]Q x 的任一非零理想,()p x 是[]Q x 中次数最低的多项式, 则对任意()f x I∈有(),()[]q x r x Q x ∈, 使()()()()f x p x q x r x =+, 其中()0r x =或()r x 的次数<()p x 的次数, 由(),()f x p x I∈知()r x I ∈, 若()0r x ≠则()r x 的次数<()p x 的次数, 这与()p x 是[]Q x 中次数最低的多项式矛盾, 故必有()0r x =, 从而()()()f x p x q x =, 这就证明了I 是由()p x 生成的主理想。

2、 证: 若,,a b c 之中有零或单位, 易见结论成立。

不妨设,,a b c 都既非零也非单位, 因为a bc , 因此有,d R ∈使bc=ad , 将,,b c a 都分解为不可约元素的乘积, 若d 非单位也将其分解:1111,,,s t k lb b bc c c a a ad d d ====, 则1111s t k l b b c c a a d d =, 由因式分解的惟一性, 每个i a 都与等式左边的一个因子相伴, 因为(,)1a b , 因此i a 不与任何一个j b 相伴, 适当调整因子的次序, 不妨设1,,k a a 分别与1,,t c c 相伴, 于是可知a c 。