2017_2018学年高中数学2_2几种常见的平面变换2_2_3变换的复合与矩阵的乘法反射变换教学案苏教版选修4_2
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2．2.3 反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换
像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．
2．线性变换
二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．
[对应学生用书P11]
点在反射变换作用下的象
[例1] (1)矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 0 0
1将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变
换．
(2)矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
0 11 0将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换． [思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换． [精解详析]
(1)因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2 5， 即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称， 所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．
(2)因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0
11
0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称，
所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)．
(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1 0 0 －1表示关
于原点对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－1
0 0
1表示关
于y 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
0 11
0表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵．
1．计算下列各式，并说明其几何意义．
(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
53； (2)⎣⎢
⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
53；
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11
0 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5－3；
(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－5－3；
(3)⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0 11
0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤35.
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x 轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y ＝x 的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．
2．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 －1对应的变换作用下
的几何图形，并画出示意图，其中A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)．
解：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1,2)； 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(2,0)，C →C ″(1，－2)； 在M 3下，A →A (0,0)，B →B (－2,0)，C →C (－1，－2)．
图形分别为
曲线在反射变换作用下的象
[例2] 椭圆x 2
9＋y 2
＝1在经过矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤0
11
0对应的变换后所得的曲线是什么图形？
[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．
[精解详析] 任取椭圆x 2
9＋y 2
＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤0
11
0对应的变换作用
下变为P ′(x ′0，y ′
0)．则有⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0 11
0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩
⎪⎨⎪⎧
y 0＝x ′
x 0＝y ′
0.
因为点P 在椭圆x 2
9＋y 2
＝1上，所以x 20
9
＋y 2
0＝1，
∴
y ′
209
＋x ′ 2
0＝1；因此x ′ 20
＋
y ′
209
＝1.
从而所求曲线方程为x 2
＋y 2
9
＝1，是椭圆．
矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤0 11
0把一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，反射变换对应的矩阵要
区分类型：点对称、轴对称．
3．求曲线y ＝1x (x >0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1 0 0 －1对应的变换作用下得到的曲线．
解：矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 －1对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y ＝1x (x <0)． 4．求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 －1－1 0作用下变换所得的图形．
解：任取直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 －1－1 0作用下变换所得的图形上的一点P (x ，y )，一定
存在变换前的点P ′(x ′，y ′)与它对应，使得
⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x ′y ′，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－y ′，y ＝－x ′.(*)
又点P ′(x ′，y ′)在直线y ＝4x 上，所以y ′＝4x ′，从而有y ＝
14x ，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 －1－1 0作用下变换成直线y ＝14x .根据(*)，它们关于直线y ＝－x 对称．如图所示．
[对应学生用书P13]