2017_2018学年高中数学2_2几种常见的平面变换2_2_3变换的复合与矩阵的乘法反射变换教学案苏教版选修4_2
最新2.2几种常见的平面变换汇总
2.2几种常见的平面变换仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//yy x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。
2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1y y k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。
(3)几种常见的平面变换
1 0 x x1 x T2 : , M 2 0 1 y y y 1 1 0 x x1 x T3 : , M 3 0 1 y y y 1
链接
0 1 例 4 求直线 y = 4 x 在矩阵 作用下变换所 得的图像. 1 0
思考 : 直线 A x + B y + C = 0 经过二阶矩阵变换 后其图像是什么图形 ？
矩阵是研究图形（向量）变换的基本工 具，在军事密码学、信息安全的加密、大 型工程的计算、线性方程组的求解等问题 中都有着广泛的应用，许多数学模型都可 以用矩阵来表示.因此学好矩阵、掌握矩阵、 用好矩阵，可以使我们的生活变得更加美 好与和谐！ 学法提示：多探索、多阅读、多交流、 多思考、多创新！
x 事实上,对于平面上任意一点 ( 向量 ) , y 1 0 x x 都有 恒等变换 . 0 1 y y 1 0 对于平面上任意一点 ( 向量 )施以矩阵 0 1 对应的变换,都把自己变成自己.
x 1 T : . y y1
一般地,对于平面向量的变换 T , 如果变换规则为
x1 ax by x T : , y y1 cx dy
坐标变 换形式
那么, 根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以 改写为 a b x 矩阵乘 x1 x
2 . 伸压变换 若矩阵 M 将平面图形作沿 y 和 x 轴方向伸长或 压缩的变换,则称矩阵 M 为 沿 y 和 x 轴的垂直伸压 变换矩阵, 对应的变换称为 垂直伸压变换 . 简称 伸压变换. 从图中可以看出在矩阵 M 对应的变换 T 1 作 用下,几何图形沿 y 轴负方向被纵向压扁了. 思考 :在矩阵 M 对应的压缩变 换 T 1 作用下,平面上的点 ( 向 量 )一定是向下压吗 ?
高中数学2.2几种常见的平面变换3恒等变换伸压变换反射变换学业分层测评苏教版选修
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 3 恒等变换、伸压变换、反射变换学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.试讨论矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换将直线y ＝3x ＋2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】 设直线y ＝3x ＋2上的任意一点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换作用下变成点(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′， 将其代入y ＝3x ＋2中， 得y ′＝3x ′＋2，从而可知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换将直线y ＝3x ＋2仍变成了同一条直线.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换是恒等变换. 2.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.【导学号：30650014】【解】 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.又4x 2＋y 2＝1， 所以x ′2＋y ′2＝1.所以曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 3.求曲线C ：x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的反射变换作用下得到的图形的周长. 【解】 设曲线C ：x 2＋y 2＝9上任意一点P (x ，y )在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的反射变换作用下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ′，x ＝y ′，将其代入x 2＋y 2＝9中，得x ′＋y ′＝9，从而可知曲线C 在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6π.4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (k ＞0).【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 2y ； (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 2； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky (k ＞0). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 12对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半. 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k 倍.当k ＞1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的伸长变换；当0＜k ＜1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的压缩变换；当k ＝1时，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的是恒等变换.5.设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1b 把直线l ：y ＝2x －4变换为直线l ′：y ＝x －12，求a ，b 的值.【解】 在直线l 上取两点(2，0)，(0，－4)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－4b . 由题意，知点(2a ，－2)，(0，－4b )在直线l ′上，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2a －12，－4b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.6.已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a ，b 的值.【解】 在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ， 所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1， ∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.7.已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.【导学号：30650015】【解】 由题意，即求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，点P 在矩阵M 3对应的变换作用下，得点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′，代入x 2＋y 2＝1， 得x ′24＋4y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋4y 2＝1.能力提升]8.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值.【解】 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2，0)，B (0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b ). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8， 所以B ′的坐标为(－2a ，－8).由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）－（－2b ）－4＝0，（－2a ）－（－8）－4＝0，解得a ＝2，b ＝3.。
(苏教版)2017-2018学年高中2.2几种常见的平面变换2.2.6切变变换课件选修4-2(数学)
2．2.6
切变变换
1．由矩阵
1 M＝ 0
k 或 1
1 0 k 1 确定的变换称为切变变 N＝_______
换，矩阵 M，N 称为切变变换矩阵．
1 2． 矩阵 0
求切变变换矩阵
[例 2]
如图，在切变变换下，平行四边形 ABCD 变换为平
行四边形 A′B′C′D′， 试写出这个切变变换的变换矩阵， 指 出其中的不变线段．
[思路点拨]
易知是何种 观察各点变换前后坐标变化特点，
切变变换，确定 k 值． [精解详析] 显然 A，B，C，D 各点的横坐标不变，纵坐 0 ，这 1
解决此类问题的关键是确定变换前后点的坐标 之间的关系，此关系的确定可通过矩阵与向量的乘法 规则完成．
1．求直线 x＝1 在矩阵
1 M＝ 0
－1 所确定的变换作用下的象． 1
－1 x x－y y ＝ ， 1 y 1 在矩阵 0
1 标各自加上了－x，故这个切变变换的变换矩阵是 －1
个变换中只有平行四边形中与 y 轴相交部分的线段是不变量．
这类试题既可以通过观察，找到 k 值，也可以根据待定系 数的方法确定 k 值，如例 2 根据点 A(－3，－2)变换前后的坐标 可得 1＝k(－3)＋(－2)，即得 k＝－1.根据两类切变变换的变换 公式，平行于 x 轴的切变变换 x 轴上的点是不动点，平行于 y 轴的切变变换 y 轴上的点是不动点．
3．如图已知正方形 ABCD 在矩阵 M 对应的线性变换的作用下 变成▱A′B′C′D′，求矩阵 M.
解： 由图知， A(0,0)变换为 A′(0,0)， B(1,0)变换为 B′(1,1)， C(1,1)变换为 C′(1,2)，D(0,1)变换为 D′(0,1)，从而可知 变换 T 是沿 y 轴正方向平移 1 个单位的切变变换，在此变 换下，y 轴上的点为不动点，故可得
高中数学2.2几种常见的平面变换1恒等变换2伸压变换3反射变换课件苏教版选修4_2
2.伸压变换
1 0
矩阵
M1
＝
0
1把平面上每一个点 P 都沿 y轴 2
方向 垂直压缩
的一半 ，只有 x轴 上的点没变；
为原来
矩阵 M2＝20 01把平面上每一个点 P 都沿 x轴 方向伸长 为原来的 2倍 ，只 有 y轴 上的点没变.
1 像矩阵0
012，20
01这种将平面图形作沿 y 轴方向伸长 或压缩 ，或作沿 x
轴方向伸长 或压缩 的变换矩阵，通常称为沿 y 轴或 x 轴的垂直伸压变换矩阵，对
应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换 .
3.反射变换 (1)反射变换的概念 像10 －01，－01 10，－01 －01这样将一个平面图形 F 变为关于定直线 或 定点 对称的平面图形 F′的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换.关于定直线 或 定点 对称的反射又分别称为轴反射 和中心反射，其中 定直线 称为反射轴，定点 称做反射点.
3.反射变换的作用是什么？
【提示】 根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形 变为它的轴对称或中心对称图形.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
2017-2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修4-2
(2)由(1)知曲线 C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为 y＝
±x.
4．求直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程． 解：直线 y＝ 3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得 的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为 x＝0.
5．将抛物线 E：y2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转 60°，得到曲线
x′＝12，
将
x＝1，y＝0
代入(1)式得 y′＝
3 2.
由(1)消去 y，并将 x＝－1 代入，得 x′＋ 3y′＝－2.
∴曲线 E′仍为抛物线，它的焦点坐标 F′12， 23，准线方程 l′：x＋ 3y＋2＝0.
6．已知椭圆x42＋y32＝1 经过矩阵 M 对应的变换作用下变为椭圆x32 ＋y42＝1，求变换矩阵 M. 解：将椭圆x42＋y32＝1 变换为椭圆x32＋y42＝1，可以伸压变换，
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变
(教师用书)高中数学 2.2 几种常见的平面变换章末归纳提升课件 苏教版选修4-2
a c a c
b 0 0 1＝1， d 0 0 b ＝ －1 －1， d b＝0， d＝1，
－2a＋b＝－2， 即 －2c＋d＝－3，
∴x1＝0，y1＝2x＋y. 又由 y＝－2x＋6 得 2x＋y＝6， ∴A1(0,6)为定点． 通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换．
4 如图所示， 对反比例函数图象 C： y＝ 经过旋转 x 变换将其方程改写为标准形式．
【解】 设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，它在变换 T 作用下的象 P′(x′，y′)， 其中变换矩阵为 π π cos 4 －sin 4 ＝ π π sin cos 4 4 2 2 － 2 2 ， 2 2 2 2 x＝x′＋y′ 2， 解得 y′－x′ y＝ ， 2
＝
x′＝x， y′＝－y， x＝x′， ∴ y＝－y′，
代入 y＝2x＋2，
得－y′＝2x′＋2，即直线 y＝2x＋2 经过变换得到的图 形为直线 y＝－2x－2，如图所示，此变换为关于 x 轴的反射 变换．
二、求变换矩阵 根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的 坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵．
x1 ∴2x＝x1，y＝y1，即 x＝ ，y＝y1 2
2 x 1 将其代入 x2＋y2＝4 可得到方程 4 ＋y2 此方程表示椭 1＝4，
圆． 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．
(2)所给方程表示的是一条直线．设 A(x，y)为直线上的任 意一点，经过变换后的点为 A1(x1，y1)．
0 ∵ 2 0 x 0 x1 ＝ ＝ ， 1y 2x＋y y1
2019-2020学年高中数学2.2几种常见的平面变换3恒等变换伸压变换反射变换学业分层测评苏教版
2019-2020学年高中数学2.2几种常见的平面变换3恒等变换伸压变换反射变换学业分层测评苏教版1.试讨论矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换将直线y ＝3x ＋2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】 设直线y ＝3x ＋2上的任意一点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换作用下变成点(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′， 将其代入y ＝3x ＋2中，得y ′＝3x ′＋2，从而可知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换将直线y ＝3x ＋2仍变成了同一条直线.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换是恒等变换. 2.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.【导学号：30650014】【解】 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.又4x 2＋y 2＝1， 所以x ′2＋y ′2＝1.所以曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 3.求曲线C ：x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的反射变换作用下得到的图形的周长.【解】 设曲线C ：x 2＋y 2＝9上任意一点P (x ，y )在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0对应的反射变换作用下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ′，x ＝y ′，将其代入x 2＋y 2＝9中，得x ′＋y ′＝9，从而可知曲线C 在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6π.4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (k ＞0).【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 2y ； (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 2； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky (k ＞0). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 12对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半. 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k ＞0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k 倍.当k ＞1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的伸长变换；当0＜k ＜1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的压缩变换；当k ＝1时，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的是恒等变换.5.设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0－1b 把直线l ：y ＝2x －4变换为直线l ′：y ＝x －12，求a ，b 的值.【解】 在直线l 上取两点(2，0)，(0，－4)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－4b .由题意，知点(2a ，－2)，(0，－4b )在直线l ′上，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2a －12，－4b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.6.已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a ，b 的值.【解】 在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ， 所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1， ∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.7.已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.【导学号：30650015】【解】 由题意，即求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，点P 在矩阵M 3对应的变换作用下，得点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 0012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′，代入x 2＋y 2＝1， 得x ′24＋4y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋4y 2＝1.能力提升]8.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值.【解】 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2，0)，B (0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b ). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8， 所以B ′的坐标为(－2a ，－8).由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）－（－2b ）－4＝0，（－2a ）－（－8）－4＝0，解得a ＝2，b ＝3.。
2.2几种常见的平面变换
2.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义 二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程]一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？ 看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//y y x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x 汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。
2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1yy k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k 称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。
2016-2017学年高中数学2.2几种常见的平面变换章末综合检测苏教版选修
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换章末综合检测 苏教版选修4-21.当k >0时，你能猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k 表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】 猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 表示的变换是将平面图形作沿y 轴方向伸长(k >1)或压缩(0<k <1)或恒等(k ＝1)变换，证明如下：对于平面上任意一点P (x ，y )，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 的作用下，⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ， 横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍.2.若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到点为B (1，0)，求α的值.【导学号：30650022】【解】 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝22，sin α＝－22，从而可知，α＝2k π－π4，(k ∈Z ).3.已知直线l 与直线3x ＋5y ＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15将直线l 变成了什么图形？并写出方程.【解】 由已知得直线l 的方程为3x ＋5y －45＝0，设P (x ，y )为l 上的任意一点，点P 在矩阵对应的变换下对应点P ′(x ′，y ′).则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 15y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝15y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝5y ′.代入3x ＋5y －45＝0， 得3x ′＋25y ′－45＝0，∴直线l 变换成直线3x ＋25y －45＝0.4.求直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的图形的表达式.【解】 设点(x ，y )为直线y ＝2x 上的任意一点，其在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301确定的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋3y y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－3y ′，y ＝y ′，将其代入y ＝2x ，并整理得2x ′－7y ′＝0，所以直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x －7y ＝0.5.切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把直线x ＋y ＝1变成什么几何图形？【解】 设P (x ，y )在该变换下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝y ，所以切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1把直线x ＋y ＝1变成与y 轴平行的直线x ＝1.6.若曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换成曲线x 2－2y 2＝1，求a ，b 的值.【解】 设(x ，y )为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上的任意一点，其在矩阵M 的作用下变换成点(x ′，y ′)，则(x ′，y ′)在曲线x 2－2y 2＝1上，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y ，将其代入x 2－2y 2＝1，并整理，得(1－2b 2)x 2＋(2a －4b )·xy ＋(a 2－2)y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.7.点(2，2x )在旋转变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12m 32 n 的作用下得到点(y ，4)，求x ，y ，m ，n .【导学号：30650023】【解】 因为矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 是旋转变换矩阵，所以m ＝－32，n ＝12. 由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 4， 所以⎩⎨⎧1－3x ＝y ，3＋x ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4－3，y ＝4－4 3 .8.二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1). (1)求矩阵M ；(2)直线l ：2x ＋3y ＋1＝0在变换T 作用下得到什么图形？说明理由.【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝1，－2a ＋b ＝1，－2c ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，c ＝－2，d ＝－3.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3.(2)设P (x ，y )是l ：2x ＋3y ＋1＝0上任一点P ′(x ′，y ′)是对应的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －3y －2x －3y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x －3y ，y ′＝－2x －3y ，即2x ＋3y ＝－x ′＝－y ′. 又2x ＋3y ＋1＝0，所以x ′＝y ′＝1.故在l 在变换T 作用下变为点(1，1).9.求直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程. 【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22. 设直线y ＝－2x ＋1上任意一点为(x 0，y 0)，其在旋转变换作用下得到点(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝22（x 0－y 0），y ′0＝22（x 0＋y 0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22（x ′0＋y ′0），y 0＝－22（x ′0－y ′0）.因为点(x 0，y 0)在直线y ＝－2x ＋1上，所以2x 0＋y 0－1＝0，所以2×22(x ′0＋y ′0)－22(x ′0－y ′0)－1＝0，整理得22x ′0＋322y ′0－1＝0. 所以直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是22x ＋322y －1＝0.10.如图1所示的是一个含有60°角的菱形ABCD ，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M .该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.【导学号：30650024】图1【解】 由题设知AC ∶BD ＝3∶1.若只变换A ，C 两个顶点，则应把A ，C 两个顶点的横坐标压缩为原来的33，纵坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 0 0 1；若只变换B ，D 两个顶点，则应把B ，D 两个顶点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，于是变换矩阵为M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.所以满足条件的变换矩阵M 为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.。
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2．2.3 反射变换1．反射变换矩阵和反射变换像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．2．线性变换二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．[对应学生用书P11]点在反射变换作用下的象[例1] (1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换．(2)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换． [思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换． [精解详析](1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 5， 即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称， 所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称，所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)．(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1表示关于原点对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01表示关于y 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵．1．计算下列各式，并说明其几何意义．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35.三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x 轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y ＝x 的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．2．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)．解：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1,2)； 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(2,0)，C →C ″(1，－2)； 在M 3下，A →A (0,0)，B →B (－2,0)，C →C (－1，－2)．图形分别为曲线在反射变换作用下的象[例2] 椭圆x 29＋y 2＝1在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换后所得的曲线是什么图形？[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．[精解详析] 任取椭圆x 29＋y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)．则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x ′x 0＝y ′0.因为点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，所以x 209＋y 20＝1，∴y ′209＋x ′ 20＝1；因此x ′ 20＋y ′209＝1.从而所求曲线方程为x 2＋y 29＝1，是椭圆．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．3．求曲线y ＝1x (x >0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下得到的曲线．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y ＝1x (x <0)． 4．求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形．解：任取直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形上的一点P (x ，y )，一定存在变换前的点P ′(x ′，y ′)与它对应，使得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ′，y ＝－x ′.(*)又点P ′(x ′，y ′)在直线y ＝4x 上，所以y ′＝4x ′，从而有y ＝14x ，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换成直线y ＝14x .根据(*)，它们关于直线y ＝－x 对称．如图所示．[对应学生用书P13]1．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，并说明其几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －x ，其几何意义是：由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0确定的变换是关于直线y ＝－x 的轴反射变换，将点(x ，y )变换为点(－y ，－x )．2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO 变成了△A ′B ′O ，其中点A 的象为点A ′，点B 的象为点B ′，试判断相应的几何变换是什么？解：(1)对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.(2)对应的是关于y 轴的轴反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01. 3．求△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换后所得图形的面积，其中A (1,0)，B (－2,0)，C (5,4)．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1确定的变换是关于y 轴的轴反射变换，它将点(x ，y )变换为点(－x ，y )．所以平面△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求出△ABC 的面积即可．所以所求图形的面积为6.4．求出曲线y ＝e x先在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换，后在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换后对应的是什么变换？解：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换是关于y 轴的轴反射变换，变换后曲线为y ＝e －x.又因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点O 的中心反射变换，变换后曲线为－y ＝e x，即y＝－e x.两次变换对应的变换是关于x 轴的轴反射变换．5．变换T 使图形F ：y ＝x 2－1变为F ′：y ＝|x 2－1|，试求变换T 对应的变换矩阵A .解：当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1；当x ∈[－1,1]时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1.6．若曲线x 24＋y 22＝1经过反射变换T 变成曲线x 22＋y 24＝1，求变换T 对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)解：T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0或T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0. 7．求关于直线y ＝3x 对称的反射变换所对应的矩阵A .解：在平面上任取一点P (x ，y )，令点P 关于y ＝3x 的对称点为P ′(x ′，y ′)．则⎩⎪⎨⎪⎧ y －y ′x －x ′×3＝－1，y ＋y ′2＝3×x ＋x ′2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－45x ＋35y ，y ′＝35x ＋45y .∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－45 3535 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .∴关于直线y ＝3x 对称的反射变换对应的矩阵为 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4535 35 45. 8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在变换T M ，T N 先后作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．解：∵T M 是关于直线y ＝x 对称的反射变换， ∴直线2x －y ＋1＝0在T M 的作用下得到直线F ′： 2y －x ＋1＝0.设P (x 0，y 0)为F ′上的任意一点，它在T N 的作用下变为P ′(x ′，y ′)，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′，y 0＝－x ′.∵点P 在直线F ′上， ∴2y 0－x 0＋1＝0， 即－2x ′－y ′＋1＝0.∴所求曲线F 的方程为2x ＋y －1＝0.。