矩阵相似的性质及应用开题报告
矩阵相似性质与应用研究报告
矩阵相似的性质与应用的研究1 引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教案中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。
矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。
本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。
2矩阵相似的定义与基本性质2.1矩阵相似的定义令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即将式代入上式，即有或令或，则式可以写作比较和两式可知，矩阵A和具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。
由于矩阵和的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。
于是：设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使，则称是的相似矩阵。
或者说矩阵与相似。
对进行运算称为对进行相似变换。
可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。
2.2矩阵相似的一些基本性质：自反性：。
对称性：则。
传递性：及可得：。
如果阶矩阵,相似，则它们有相同的特征值。
但逆命题不成立。
相似矩阵另外的一些特性：1>相似矩阵有相同的秩。
2>相似矩阵的行列式相等。
3>相似矩阵或都可逆，或都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆也相似。
4>则，、、<若，均可逆）、从而，有相同的特征值。
3 相似对角矩阵的有关性质3.1矩阵可相似对角化的引入与定义设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。
又与是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。
则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵呢？我们逐步解决这个问题。
矩阵相似成立条件
矩阵相似成立条件矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种特殊关系。
矩阵相似在许多领域中都有重要的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
在本文中，我们将探讨矩阵相似的定义、性质和成立条件。
让我们来定义什么是矩阵相似。
设A、B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得\[P^{-1}AP = B\]，那么就称矩阵A和B是相似的，记作\[A \sim B\]。
这个定义告诉我们，如果两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得\[P^{-1}AP = B\]，那么它们就是相似的。
接下来，我们来探讨矩阵相似的一些性质。
我们知道矩阵相似是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
具体来说，任意矩阵A，它自身是相似的；如果A相似于B，那么B也相似于A；如果A相似于B，B相似于C，那么A也相似于C。
我们知道相似矩阵具有相同的特征值。
也就是说，如果A和B是相似的，那么它们的特征值是相同的。
这一性质在分析矩阵相似时非常有用。
矩阵相似还保持了矩阵的性质，例如行列式、迹、秩等都是保持不变的。
那么，矩阵相似成立的条件是什么呢？要回答这个问题，我们需要从线性代数的角度来进行讨论。
我们知道，矩阵相似实际上是对矩阵进行相似对角化的一个表述。
也就是说，如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，那么存在一个可逆矩阵P，使得\[P^{-1}AP = D\]。
这意味着，矩阵相似的一个重要条件是可对角化。
我们可以得出矩阵相似成立的一个重要条件：矩阵必须是可对角化的。
那么，什么样的矩阵是可对角化的呢？我们知道，一个矩阵A是可对角化的，当且仅当它有n个线性无关的特征向量。
这就引出了矩阵相似成立的另一个重要条件：矩阵A的n 个线性无关的特征向量。
也就是说，当一个矩阵A有n个线性无关的特征向量时，它是可对角化的，从而可以和对角矩阵相似。
除了可对角化和特征向量的条件外，矩阵相似还有一个重要的条件是特征多项式相等。
特征多项式是矩阵的一个重要性质，它与矩阵的特征值有着密切的联系。
矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用Һ许伟志㊀蒋凌云㊀（湖北经济学院，湖北㊀武汉㊀４３０２０５）㊀㊀ʌ摘要ɔ线性代数是大学数学教育中的重要组成部分，是考研数学中的核心板块之一．该学科抽象，概念多，定理多，性质多，这使得对基础概念与解题方法不熟练的学生无从下手．近年来，线性代数考研题的跨度比较大，一个题目在解答时可能涉及多个章节的知识点，这给考生复习带来了困难和阻力．但是，线性代数的题型和解题方法相对固定，有规律可循．为此，本文统计分析了近十年（２０１０ ２０２０）全国考研数学三中关于求相似变换矩阵的相关考题，分析总结了三类典型的出题模式及不同的解题方法与相应注意事项，以期对考研中教师辅导和学生复习应考有所帮助．ʌ关键词ɔ考研数学；相似矩阵；特征值与特征向量；可逆矩阵；正交矩阵矩阵相似与矩阵对角化［１］一直是考研的重要考点，其中求相似变换矩阵一直备受出题人的青睐［２］．本人对近十年（２０１０ ２０２０）全国研究生入学考试数学三试题中关于此知识点的出题情况及相关题型进行了分析和归类，给出了解题的应对方法和思路，以方便教师辅导和学生备考时更好地掌握和渗透此知识点．一㊁求相似变换矩阵的题型总体可以分为三类第一类为已知矩阵Ａ，Ｂ相似，且Ａ，Ｂ都为一般型矩阵（非对角阵，非对称矩阵），求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ为对角矩阵，即为表１中的（１）类，属于常规题型．第二类为已知矩阵Ａ，Ｂ相似，且Ａ，Ｂ都为一般型矩阵，求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ，这类题型计算量一般会大于第一类，表１中记为（２）类．第三类为用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的题型，这是考研的重点题型，出题频率很高，因为二次型的矩阵为实对称矩阵，所以这类题型就演变成了用正交变换化二次型为标准型的问题，表１中归为（３）类．求相似变换矩阵一般以大题形式出现，分值都为１１分，学生备考时应加以重视．表１㊀２０１０ ２０２０年出题情况２０１０２０１２２０１５２０１７２０１９２０２０（３）（２）（１）（３）（２）（２）（３）二㊁常见题型分析例１㊀（２０１５年，２１题，１１分）设矩阵Ａ＝０－２－３－１３－３１－２ａæèççöø÷÷与Ｂ＝１－２００ｂ００３１æèççöø÷÷相似．（１）求ａ，ｂ的值；（２）求可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ－１ＡＰ为对角阵．分析㊀相似矩阵有５个共同点：特征多项式㊁特征值㊁行列式的值㊁迹和秩．本题可通过行列式和迹相等求出ａ，ｂ，然后求出特征值和特征向量，最后利用特征向量组合出可逆矩阵Ｐ．解题过程㊀（１）因为Ａ，Ｂ相似，所以有ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ），Ａ＝Ｂ{⇒３＋ａ＝ｂ＋１＋１，２ａ－３＝ｂ{⇒ａ＝４，ｂ＝５．{（２）由λＥ－Ｂ＝λ－１２００λ－５００－３λ－１＝（λ－１）２（λ－５）＝０求得Ｂ的特征值为λ１＝λ２＝１，λ３＝５，则Ａ的特征值也为λ１＝λ２＝１，λ３＝５．当λ１＝λ２＝１时，由Ｅ－Ａ()ｘ＝０可得对应的两个线性无关的特征向量为ξ１＝２１０æèççöø÷÷，ξ２＝－３０１æèççöø÷÷．当λ３＝５时，由５Ｅ－Ａ()ｘ＝０可得对应的一个特征向量为ξ３＝－１－１１æèççöø÷÷．令Ｐ＝ξ１，ξ２，ξ３()＝２－３－１１０－１０１１æèççöø÷÷，则Ｐ可逆且Ｐ－１ＡＰ＝１１５æèççöø÷÷．点评㊀此类考题为常规题型，其应用了三个基本知识点：相似矩阵的共同点㊁特征值与特征向量的求法㊁相似变换矩阵Ｐ和对角阵Ａ的结构．考生在平时的备考中应常常训练到相关习题，得分的差异就在于学生对行列式和线性方程组的计算能力，所以希望学生在备考的过程中多增加计算能力的训练，多动手运算，避免眼高手低的情况出现．例２㊀（２０１９年，２１题，１１分）已知矩阵Ａ＝－２－２１２ｘ２００－２æèççöø÷÷与Ｂ＝２１００－１０００ｙæèççöø÷÷相似．（１）求ｘ，ｙ；（２）求可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ．分析㊀本题与２０１５年的考题不同的是第（２）问，因为Ｂ并不是对角矩阵，解题思路为找到将Ａ，Ｂ相似对角化的变换矩阵Ｐ１，Ｐ２，然后找到Ａ，Ｂ相似变换的可逆矩阵Ｐ．解题过程㊀（１）Ａ，Ｂ相似⇒ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ），Ａ＝Ｂ{⇒－４＋ｘ＝ｙ＋１，－２（－２ｘ＋４）＝－２ｙ{⇒ｘ＝３，ｙ＝－２．{（２）由（λＥ－Ｂ）＝０易得Ａ，Ｂ的特征值为λ１＝－２，λ２＝２，λ３＝－１．当λ１＝－２时，由（－２Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α１＝－１２４æèççöø÷÷；由（－２Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β１＝００１æèççöø÷÷．当λ２＝２时，由（２Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α２＝－１２０æèççöø÷÷；. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３由（２Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β２＝１１０æèççöø÷÷．当λ３＝－１时，由（－Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α３＝－２１０æèççöø÷÷；由（－Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β３＝－１３０æèççöø÷÷．令Ｐ１＝（α１，α２，α３），则Ｐ－１１ＡＰ１＝－２２－１æèççöø÷÷．令Ｐ２＝（β１，β２，β３），则Ｐ－１２ＢＰ２＝－２２－１æèççöø÷÷．所以Ｐ－１１ＡＰ１＝Ｐ－１２ＢＰ２，则Ｂ＝（Ｐ１Ｐ－１２）－１Ａ（Ｐ１Ｐ－１２）．令Ｐ＝Ｐ１Ｐ－１２＝－１－１－２２２１４００æèççöø÷÷０１－１０１３１００æèççöø÷÷－１＝－１－１－１２１２００４æèççöø÷÷，则Ｐ可逆且Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ．点评㊀此类考题是在常规的相似对角化的基础上求解两个非对角相似矩阵的可逆矩阵．此类题型只需弄清楚Ｐ－１１ＡＰ１＝λ１λ２λ２æèççöø÷÷＝Ｐ－１２ＢＰ２，则Ｂ＝（Ｐ１Ｐ－１２）－１Ａ（Ｐ１Ｐ－１２），从而求得相似中的可逆矩阵Ｐ＝Ｐ１Ｐ－１２．此类题型往往会涉及参数，需要利用相似矩阵的关系求得，还需要求得两个矩阵的相似对角化时的可逆矩阵，同时，对求矩阵的逆矩阵的乘法运算都要求熟练㊁准确．此类题型计算量大，综合性强，是近几年考此知识点的热门题型，学生备考时需多加训练．例３㊀（２０２０年，２０题，１１分）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２）＝ｘ２１－４ｘ１ｘ２＋４ｘ２２，经正交变换ｘ１ｘ２æèçöø÷＝Ｑｙ１ｙ２æèçöø÷化为二次型ｇ（ｙ１，ｙ２）＝ａｙ２１＋４ｙ１ｙ２＋ｂｙ２２，其中ａȡｂ．（１）求ａ，ｂ的值；（２）求正交变换矩阵Ｑ．分析㊀由ｆ＝ｘＴＡｘ＝（Ｑｙ）ＴＡ（Ｑｙ）＝ｙＴ（ＱＴＡＱ）ｙ＝ｙＴＢｙ知ＱＴＡＱ＝Ｑ－１ＡＱ＝Ｂ，问题就转化为由矩阵相似求参数，以及如何求得两个实对称相似矩阵变换的正交矩阵．解题过程㊀（１）设ｆ＝ｘＴＡｘ，ｇ＝ｙＴＢｙ，其中Ａ＝１－２－２４()，Ｂ＝ａ２２ｂ()．经正交变换ｘ＝Ｑｙ，ｆ＝ｘＴＡｘ＝（Ｑｙ）ＴＡ（Ｑｙ）＝ｙＴ（ＱＴＡＱ）ｙ＝ｙＴＢｙ，得ＱＴＡＱ＝Ｑ－１ＡＱ＝Ｂ，即Ａ，Ｂ相似，则㊀ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ），Ａ＝Ｂ{⇒ａ＝４，ｂ＝１．{（２）由（λＥ－Ａ）＝０，易得Ａ，Ｂ的特征值为λ１＝０，λ２＝５．当λ１＝０时，由（０Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α１＝２１()；由（０Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β１＝１－２()．当λ２＝５时，由（５Ｅ－Ａ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为α２＝１－２()；由（５Ｅ－Ｂ）ｘ＝０可得对应的一个特征向量为β２＝２１()．令Ｐ１＝α１（α１），α２（α２）æèçöø÷＝１５２１１－２()，Ｐ２＝β１（β１），β２（β２）æèçöø÷＝１５１２－２１()．则Ｐ１，Ｐ２为正交矩阵且Ｐ－１１ＡＰ１＝０５()＝Ｐ－１２ＢＰ２，可得Ｂ＝（Ｐ１Ｐ－１２）－１Ａ（Ｐ１Ｐ－１２）．令Ｑ＝Ｐ１Ｐ－１２＝１５４－３－３４()，则Ｑ为正交矩阵且ＱＴＡＱ＝Ｑ－１ＡＱ＝Ｂ．点评㊀用正交变换化二次型为标准型，这是考研的重点，几乎每年都考．当写出二次型的矩阵Ａ时，便成了 将实对称矩阵Ａ用正交矩阵相似对角化 的问题了．由于实对称矩阵的特征向量的特殊性质，用于相似变换的矩阵可以化为正交矩阵，所以近几年来有关二次型的许多考题其实质都是实对称矩阵的相似对角化的问题．这类题型一般计算量大，综合性强，融合了例２与例３的相关知识点以及所有相关计算，考生在考场上很容易因为思路不清晰，计算条理不顺畅而出错或放弃，所以对学生在备考阶段能自行整合知识点㊁自主归纳分析各类题型提出了要求．三㊁几点建议１．从近十年数学三考研真题来看，矩阵相似以及相似对角化出题比较频繁，有大题也有小题，但对于求相似变换可逆矩阵Ｐ的题型一般以大题形式出现，综合性强．这就要求学生对于基础知识中的相似矩阵的性质㊁求特征值㊁求特征向量㊁特征值与特征向量所具有的性质，以及相似的过程变换都需要熟练地掌握，并理解透彻．因此，笔者建议同学们首先要打牢基础，对于基本题型要多加练习，只有做到熟练掌握相关公式㊁性质和方法，对基础题型训练有素，才能很好地应对各种题型的变化．２．求相似变换矩阵的题型中，一般计算量都比较大，要求学生在掌握方法技巧的基础上，准确㊁迅速地运算出每一步的结果．所以，笔者希望同学们在平时的学习中要养成动手计算的习惯，不能盲目地追求方法技巧而忽视运算能力．复杂的运算能力是考研大纲中对考生的基本要求，这种能力的提升只有靠平时多加练习才能获得．３．学会知识的融会贯通．以２０２０年的第２０题为例，很多同学考完试后就感叹这一年的线性代数出题不常规．其实在老师看来，这题再常规不过了，只要你平时对每一个知识点的基础题型训练到位，同时在做题后能养成一个归纳分析的习惯，那么像这类既涉及二次型，又需要对相似的两个矩阵对角化的综合题，解决起来思路自然会很清晰，并且在出题人将矩阵降到了二维的基础上，计算也自然会很顺畅．所以，笔者建议考生在备考的强化阶段一定要自主归纳知识体系，在掌握基础知识点㊁基础题型后要学会思考每一章节知识点间的联系，对考试大纲进行分析，梳理知识点，归纳重要考点的典型考题的多种解题思路与方法，形成自己的数学思想方法，这样不仅能应付各类题型的变换，而且可以简化计算，提高速度．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学数学系．线性代数：第六版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［２］李永乐．线性代数辅导讲义［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，２０１０．. All Rights Reserved.。
矩阵相似的几何意义
矩阵相似的几何意义
矩阵是线性代数中的重要概念，它在多个领域有广泛应用。
当两个矩阵具有相同的特征值和特征向量时，可以说它们是相似的。
那么，矩阵相似有什么几何意义呢？下面我们来详细探讨。
相似矩阵的定义
设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么称A与B相似。
相似矩阵满足以下性质：
•相似矩阵具有相同的特征值。
•相似矩阵对应的特征向量具有一一对应的关系。
•相似矩阵具有相同的行列式和迹。
相似矩阵的几何意义
在几何学中，矩阵相似有着重要的几何意义。
具体来说，矩阵相似可以表示以下几个几何变换：
1.平移：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
平移部分。
这意味着它们将向量按照相同的方向和距离进行平移。
2.旋转：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
旋转部分。
这意味着它们将向量按照相同的角度进行旋转。
3.伸缩：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
伸缩部分。
这意味着它们将向量按照相同的比例进行伸缩。
结论
矩阵相似在几何学中有着重要的意义，它能够描述线性变换的平移、旋转和伸缩等几何特征。
研究矩阵相似可以帮助我们更好地理解线性代数和几何学的关系，并应用到实际问题中。
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。
本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。
矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。
两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。
具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.相似矩阵具有相同的特征值。
3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。
矩阵相似在实际应用中具有重要意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。
矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。
与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。
对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。
例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。
相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。
这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。
然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。
换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。
这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。
相似矩阵的定义及性质
,
2
则有
P 1 AP
1
1
.
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
13
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
即 A 与 B 相似。
25
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
2 3
1 1,2 2. A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为 A E x 0
系数矩阵
A
E
5 2
5 1
2
0
1
0
1
x1 x2
令x2 1得基础解系:
p1
矩阵相似成立条件
矩阵相似成立条件矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。
相似矩阵的概念源自于矩阵变换的相似性，两个矩阵如果相似，则它们表示着相同的线性变换，只是在不同的坐标系下进行表示。
本文将围绕着矩阵相似的定义、性质和成立条件展开详细的阐述。
一、矩阵相似的定义矩阵A和B是n阶的方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B成立，那么矩阵A和B就称为相似矩阵。
可以直观地解释为，如果存在一个可逆矩阵P，对矩阵A进行线性变换后得到的结果与矩阵B相同，那么这两个矩阵就是相似矩阵。
相似矩阵的概念使得我们可以在不同的坐标系下进行对同一线性变换的表示，从而对矩阵的特征值、特征向量等性质进行更深入的研究。
二、矩阵相似的性质1. 相似关系是一个等价关系相似矩阵的定义满足等价关系的三个条件，即自反性、对称性和传递性。
自反性是指矩阵A和自己相似，即存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=A成立。
对称性是指如果矩阵A和B相似，则矩阵B和A也相似。
传递性是指如果矩阵A和B相似，矩阵B和C相似，那么矩阵A和C也相似。
矩阵相似关系满足等价关系的性质。
2. 相似矩阵的特征值性质相同如果矩阵A和B相似，那么它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值。
矩阵相似关系保持了矩阵特征值的性质，这一性质在矩阵的特征值分解、对角化等问题中具有重要的意义。
3. 相似矩阵的特征向量关系相似矩阵具有相同的特征向量，即如果矩阵A和B相似，它们的特征向量可以通过相同的线性变换关系得到。
这一性质在矩阵对角化和特征值问题的研究中有着重要的应用。
三、矩阵相似的成立条件1. 充分条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，即A∼B，则A与B有相同的特征值。
证明：设A与B相似，即存在非奇异矩阵P，使得P^{-1}AP=B，设x是A的一个特征向量，那么Px是B的一个特征向量。
A与B有相同的特征值。
2. 必要条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B有相同的特征值，即A与B有相同的特征值。
相似矩阵的有关性质及其应用
相似矩阵的有关性质及其应用作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。
相似矩阵有很多应用。
例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。
本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。
关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we candiscuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector1 相似矩阵有关定义定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似.定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使),,(2,11n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.2 相似矩阵有关性质a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |.b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i λ的特征向量.d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.e. 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.f. 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.g. 任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. h. 对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且∀r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.3 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.3.1 将常系数线性微分方程组⎝⎛+++=+++=+++=.;;22112222121212121111n nn n n n n n n n u a u a u a dtduu a u a u a dt du u a u a u a dt du (3-1)写成矩阵形式为Au dtdu= (3-2)其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (3-3)即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ. 将(3-3)式代入（3-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,化简得X AX λ=,即(3-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(3-2)式的n 个线性无关的特解.u 1=111x e t λ, u 2=22x e t λ,, u n =n t x e n λ.它们的线性组合 =u c 1111x e t λ+c222x e t λ+…+cnn t x e n λ,(3-4)(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21n x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ttt n e e e λλλ 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n e e e λλλ,,,21 ) p=),,,(21n x x x ,则(3-1)式或(3-2)式有一般解c pe u t ∆=(3-5) 对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=00,u t u u dt du(3-6) 解为01u p pe u t -∆=(3-7)因为t=0代入(3-5)式得 c=01u p -. 例3.1 解线性常系数微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+=.2;54;313212211x x dt dx x x dt dx x x dt dx 已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x解 本题的初始值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-===Tx x Axdt dx)2,1,1()0(0其中 110450102A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可得A 的约当标准形,即有可逆矩阵 P =012025111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3001300021J AP P . 由(3-7)式,该初值问题的解为01x P Pe X tJ -=(3-8)其中 ,!)(!2)(2 +++++=n tJ tJ tJ I e ntJ(3-9)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n n n nn C J 30033000230013000211 (3-10)将(3-10)式代入(3-9)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tJ e te e e e 333200000(3-11)再将(3-11)式及1,-P P 代入(3-8)式得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tt t t t te t e e t e t e te e et x t x t x x 32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()( 例3.2 解线性微分方程组11111221221122221122..............................n n n n n n n nn n dx a x a x a x dt dx a x a x a x dtdx a x a x a xdt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩(3-12)解 令12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12n dx dt dx dX dt dt dx dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组(3-12)可表示成矩阵形式 dXAX dt= (3-13)假设A 可以相似对角化,即存在可逆矩阵P ,使得112(,,,)n P AP diag λλλ-=其中12,,,n λλλ为A 的全部特征值.于是令X PY=(3-14) 其中12(,,,)T n Y y y y =,将式(3-14)代入式(3-13)，得()d PY APY dt= 即dYPAPY dt=(3-15)在上式两端同时左乘1P -,得112(,,)n dYP APY diag Y dtλλλ-==即111222n n n dy y dt dy y dtdy ydtλλλ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 将上式积分,得121122,,,n tt t n n y C e y C e y C e λλλ===(3-16) 其中1C ,2C ,,n C 为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得121122n t tt n n X C Pe C P e C P e λλλ=+++其中i P 为矩阵P 的第i 列,也是A 的对应于特征值i λ的特征向量,1,2,,i n =.3.2 对于n 阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0n n n n n n d x t d x t dx t a a a x t dt dtdt---++++=(3-17) 可令2112321,,,,n n n dx d xd xx x x x x dt dtdt--==== 于是可得与方程(3-17)同解的方程组12231121n n n ndx x dt dx x dt dx a x a x a x dt-⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩(3-18)式(3-18)可写成矩阵形式dXAX dt=(3-19) 其中12(,,)T n X x x x =,12(,,,)T n dx dx dx dXdt dt dt dt=, 11010000001n n A a a a -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例3.3 求解微分方程323234120d x d x dx x dt dt dt--+=(3-20)解 令21232,,x x dx d xx x dt dt===于是(3-20)式可变成等价的方程组122331231243dx x dt dx x dt dx x x x dt ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-++⎪⎩即dXAX dt= 其中 123(,,)T X x x x =,312(,,)T dx dx dx dX dt dt dt dt=,010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可求得A 的特征值为1233,2,2λλλ===-，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)T T T X X X ===-于是由上例知,312112233t tt X C C C X eX e X e λλλ=++322123111322944t t t C C C e e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而3221123t t t C C C x x e e e -==++ 其中(1,2,3)i C i =为任意常数.4 相似矩阵在现实生活中的应用例4.1 污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:解 设x 0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y 0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为x t 和y t ,它们之间的关系是：1111322t t t t t t x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩t=1,2,…(4-1)记 A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2213 , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t y x α , 则(4-1)的矩阵形式为 ,1-=t t A αα t=1,2,… (4-2)如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0α=[],00Ty x 利用(4-2)就可以预测第k 个期间该地区的污染和工业发展水平k α,这是因为由(4-2)可得.,,,0021201αααααααk k A A A A ====这表明k α可通过k A 求得,为此考察A 能否对角化,计算出A 的特征多项式.()f λ=|A E -λ|=)4)(1(2213--=----λλλλ由A 有2个相异的特征值1和4知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11=λ,解,0)(=-X A E 可得A 属于1的一个特征向量[].211T=ξ对于,42=λ解,0)4(=-X A E 可得A 属于4的一个特征向量[].112T=ξ令[],21ξξ=P 有A=[].411-P Pdiag[],424*22414*213112113140011211411⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-k k k k k kkPPdiag A 所以 k α=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+-++=00000)42()4*22()41()4*21(31y x y x A kk kk kα (4-3)(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0α值代入(4-3)即可求得k α.例如：若[]T110=α，有[]Tk kk 44=α,(实际上此时0α就是属于4的特征向量,所以[]);44400Tk kk k k A ===ααα若[],210T=α有[].42413111Tk k k +++-+-=α这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.例 4.2 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为k x ,k y ,据题意有11110.90.20.10.8k k k kk k x x y y x y ----=+⎧⎨=+⎩ 即0.90.20.10.8A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ k k k x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 110()k k k k A A A A αααα--====为计算k A ,仍考察A 能否对角化.计算出A 的特征多项式0.90.2()(1)(0.7)0.10.8f E A λλλλλλ--=-==----由于A 有2个相异的特征值1和0.7知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11λ=解()0E A X -=可得A 属于1的一个特征向量[]121Tξ=; 对于20.7λ=解(0.7)0E A X -=可得A 属于0.7的一个特征向量[]211Tξ=-. 令[]12P ξξ=,有1[10.7]A Pdiag P -=,11(0.7)k k A Pdiag P -⎡⎤=⎣⎦1021112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)12*(0.7)k k k k k ⎡⎤+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用 00x y m +=,可得00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)k kkk k k kk x A y m x y m x y αα⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦从而有000021(2)(0.7)3311(2)(0.7)33kk k k x m x y y m x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩数列{}{},k k x y 的极限为21lim ,lim 33k k k k x m y m →∞→∞== 这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有23为城镇人口,13为农村人口. 例4.3 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新非熟练工补齐,新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ,记成向量n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a)求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的关系式,并写成矩阵形式n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=A n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(b)验证14=1η⎛⎫ ⎪⎝⎭,2-1=1η⎛⎫⎪⎝⎭,是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;(c)当111x 2=y 12⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求n+1n+1x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【思路】本题的关键在于读懂题意,写出n+1x 与n+1y ,用n x ,n y 来表达的关系式:第n 年初熟练工与非熟练工所占百分比为n x 和n y ,第n+1年初的熟练工所占的百分比n+1x 由两部分构成。
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
矩阵相似的性质
1 矩阵的相似1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质（1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=.（2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。
（3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。
已知有,X Y 使1B X AX -=，C 1Y BY -=。
令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。
1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ⨯∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =；引理：A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是一个s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩（B ）=秩（1B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ）（2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即11()()P AP B P f A P f B --=⇒=证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1110()n n n n f B a B a B a B a E --=+++由于A 相似于B ，则kA 相似与kB ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得1k k B X A X -=，因此 ()()111110n n n n X f A X X a A a A a A a E X ----=+++1111110n n n n a X A X a X A X a X AX a E -----=++++1110n n n n a B a B a B a E --=+++()f B = 所以()f A 相似于()f B 。
矩阵相似条件
矩阵相似条件
矩阵相似条件
一、定义：
矩阵相似是指两个矩阵A和B可以相互转换，即存在一个非奇异矩阵P使得$PA=B$，这两个矩阵A和B称为相似矩阵。
二、矩阵相似的几何意义：
矩阵相似的几何意义是指两个相似矩阵A和B之间存在着一定的几何变换，即存在一个变换矩阵P，使得$PA=B$，这个变换矩阵P可以是一个旋转矩阵，也可以是一个拉伸矩阵，可以是一个缩放矩阵，还可以是一个平移矩阵等。
三、矩阵相似的数学意义：
矩阵相似的数学意义是指两个相似矩阵A和B之间存在着一定的数学变换，即存在一个变换矩阵P，使得$PA=B$，这个变换矩阵P可以是一个矩阵乘法的运算，也可以是一个矩阵的行列式的变换，也可以是一个矩阵的逆矩阵等。
四、矩阵相似的调整条件：
1. 两个相似矩阵A和B之间的行列式必须相等，即
$det(A)=det(B)$；
2. 矩阵A和矩阵B的特征向量必须相同，即$A^*v_i=B^*v_i$；
3. 矩阵A和矩阵B之间的迹必须相等，即$tr(A)=tr(B)$；
4. 矩阵A和矩阵B之间的本征值必须相等，即
$lambda_i(A)=lambda_i(B)$；
5. 矩阵A和矩阵B之间的本征空间必须相同，即$E_i(A)=E_i(B)$。
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
矩阵相似的性质及应用开题报告
2013年12月17日——2013年12月27日
学生（签字）_________________
指导教师（签字）_________________
系主任（签字）_________________
[2]陈志杰,陈咸平,瞿森荣等编.高等代数与解析几何习题精解.北京：科学出版社, 2002. 2
[3]刘丁酉.高等代数习题精解.合肥:中国科学技术出版社, 2004. 9
[4]戴华.矩阵论.南京：南京航空航天大学出版社[M].2001.8
六、毕业论文进度安排：
1．选题
2013年06月10日——2013年09月01日
本文的创新点：本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，由浅入深，添加相似矩阵的应用突出矩阵相似性质的实用性。
三、主要研究内容及提纲：
主要研究内容：相似矩阵的有关性质及一些应用。
提纲拟定如下：
2．开题报告
2013年09月03日——2013年09月09日
3．收集资料及实施研究
2013年09月10日——2013年10月07日
4．完成初稿
2013年10月08日——2013年11月15日
5．完成修改稿
2013年11月16日——2013年12月05日
6．完成定稿
2013年12月06日——2013年12月16日
一、引言
二、矩阵相似的定义与基本性质
三、相似矩阵的有关性质研究
四、矩阵相似的应用
五、总结
四、研究的方法与手段：
1、通过互联网收集资料和参考书目；
2、利用图书馆来收集信息；
3、运用比较、归纳的方法，总结出相关结论。
矩阵相似的充分条件
矩阵相似的充分条件矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵在某种意义下具有相同的性质。
在实际应用中，矩阵相似性质的研究对于矩阵的特征值、特征向量、对角化等问题都有着重要的作用。
本文将从矩阵相似的定义、性质和充分条件三个方面来探讨矩阵相似的相关知识。
一、矩阵相似的定义矩阵相似是指两个矩阵在某种意义下具有相同的性质。
具体来说，设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A和B相似，P为相似变换矩阵。
其中，P-1表示P 的逆矩阵。
二、矩阵相似的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值设A和B是两个n阶矩阵，且A和B相似，则A和B具有相同的特征值。
证明如下：设λ是A的一个特征值，x是对应的特征向量，则有Ax=λx。
由于A和B相似，存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B。
因此，有B(Px)=P-1AP(Px)=P-1A(x)=P-1(λx)=λ(Px)。
这说明λ也是B的一个特征值，且对应的特征向量为Px。
同理，B的任意特征值也是A的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式设A和B是两个n阶矩阵，且A和B相似，则A和B具有相同的特征多项式。
证明如下：设f(x)是A的特征多项式，则有f(x)=det(xI-A)，其中I是n阶单位矩阵。
由于A和B相似，存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B。
因此，有det(xI-B)=det(xI-P-1AP)=det(PxI-P-1AP)=det(P(xI-A)P-1)=det(xI-A)。
这说明f(x)也是B的特征多项式。
3. 相似矩阵具有相同的迹设A和B是两个n阶矩阵，且A和B相似，则A和B具有相同的迹。
证明如下：由于A和B相似，存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B。
因此，有tr(A)=tr(P-1AP)=tr(B)。
1. 相似矩阵具有相同的特征向量设A和B是两个n阶矩阵，且A和B具有相同的n个线性无关的特征向量，则A和B相似。
证明如下：设P=[x1,x2,...,xn]，其中xi是A的第i个特征向量，则有AP=[Ax1,Ax2,...,Axn]=[λ1x1,λ2x2,...,λnxn]=P[λ1,λ2,...,λn]，其中λi是A的第i个特征值。
相似矩阵的性质及应用 论文
相似矩阵的性质及应用论文相似矩阵的性质及应用学院:电力学院专业:电子科学与技术小组人员:韩燕军 201009931 高向红201009929 高亚伟 201009930 靳佳奇 201009932 一定义-1设A,B为n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则称矩阵A和B相似，记为A~B 。
211,111,,,,,,例:设A=,B=,P= ,,,,,,,,,,,,01,12,10,,,,,,211,1,,,,1,1,,,,,,-1,,,,因为PAP=-1 ,,,12,10,,,,,,,12,,100111,,,,,, =,,==B ,,,,,,,,,,1101,11,,,,,,所以A~B二矩阵的相似关系具有的性质-11 自反性 A~A 因为A=EAE2对称性如果A~B，则B~A-1-1如果设A~B，则有可逆矩阵P,使B=PAP,令C=P,-1- 1 -1-1因为A=(P)B P=CBC,则B~A3传递性如果A~B，B~C,则A~C-1-1如果设A~B，B~C，则存在可逆矩阵M,N,使B= MAM,C= NAN,-1-1-1故C= N M AMN= (MN) A(MN),所以A~C 三. 矩阵的其它性质1.若A~B，则A与B的行列式相等2. 若A~B，则A可逆的充要条件是B可逆3. 若A~B，且A可逆，则A与B的逆矩阵也相似4. 若A~B，则A与B有相同的特征多项式，但特征多项式相等的矩阵并不一定相似5. 若A~B，则r(A)= r(B)TT 例:证明若A~B，则A~B-1T-1TTT-1T-1T 证:因为B=PA P,所以B=(PAP)=PA(P)=CACT-1TT 其中P= C ,于是A~B四求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);解故A的特征值为1(三重)对于特征值1 由T得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.(2);解故A的特征值为10 21 39对于特征值10 由T得方程Ax0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21, 由T得方程(AE)x0的基础解系p2(1 1 0) 向量p2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39 由T得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/2 1/2 1) 向量p3就是对应于特征值39的特征值向量. (3)解故A的特征值为121 341对于特征值121 由TT得方程(AE)x0的基础解系p1(1 0 0 1) p2(0 1 1 0) 向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量对于特征值341 由TT得方程(AE)x0的基础解系p3(1 0 0 1) p4(0 1 1 0) 向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量。
数学系毕业论文开题报告
数学系毕业论文开题报告数学系毕业论文开题报告1一、选题的依据及课题的意义1、选题的依据：数学在现在科学发展中起着很重要的作用，矩阵是数学的一个分支，通过本专业开的《高等代数》这门课程的学习，对矩阵有了一定的了解。
在课余时间对矩阵理论与矩阵分析等相关书籍的阅读，了解到矩阵对于分析问题解决问题有很大的帮助。
矩阵理论也在很多领域里有所应用，可以说矩阵对于现代科学具有不可替代的作用。
为此我们需要深入了解矩阵的一些性质及其关系。
矩阵的等价、相似、合同是矩阵很重要的性质，这些性质对于解决问题有很大的帮助。
2、课题的意义：通过对矩阵等价、相似、合同的探讨加深对矩阵的了解。
也通过本次研究更深入的理解并运用矩阵理论的性质特别是矩阵的等价、相似、合同这三大性质来解决社会活动的所会遇到的问题。
通过对矩阵等价、相似、合同这三大关系的探讨，能够了解它们的标准形的应用有助于提高学生利用矩阵等价、相似、合同这三大关系来分析问题和解决问题的能力。
二、研究动态及创新点1、研究动态：目前已经有许多国内外的知名学者对矩阵进行研究，矩阵理论对于问题的解决有着很重要的作用。
就我阅读一些参考文献：《矩阵分析与应用》张贤达著、《矩阵理论及其应用》将正新，施国梁著、《矩阵论》戴华著等了解到现在已经有很多学者对矩阵有了一定的研究。
这些文献对矩阵的一些理论及其性质都做了较深入的阐述，对于矩阵的等价、相似、合同一些相关的理论证明和应用都有了相关说明。
2、创新点：通过对矩阵论及矩阵分析的学习，熟练掌握矩阵的等价、相似、合同的相关性质和判别。
并且对这三者的区别与联系做了相关阐述。
同时通过对矩阵的这些理论研究，总结了矩阵在等价变换，合同变换，相似变换下的标准形及其在矩阵的分解，矩阵的秩和矩阵的特征值等方面的应用。
同时还运用对矩阵的等价、相似、合同的性质对一些相关问题的简化及解决。
三、研究内容及实验方案研究内容：1、矩阵的概念及其一般特性。
2、矩阵等价、相似、合同三大关系的性质、判别。
矩阵相似的若干判别法及应用知识讲解
矩阵相似的若干判别法及应用本科生毕业论文矩阵相似的若干判别法及应用学号： 2011562010姓名：邵坷年级： 2011级本科班系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：由金玲完成日期： 2015 年4月30日承诺书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任.毕业论文（设计）作者签名：日期：年月日目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (1)第一章基本概念 (2)1.1 矩阵 (2)1.1.1 矩阵的概念 (2)1.1.2 矩阵的性质 (2)1.2 矩阵相似 (3)1.2.1矩阵相似的概念 (3)1.2.2 矩阵相似的性质 (4)第二章矩阵相似的判别 (5)2.1 特征值与特征向量法判定 (5)2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 ............................................. 错误!未定义书签。
2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5)2.2用初等变法换判定 (8)2.3 应用分块矩阵相似判定 (11)第三章矩阵相似的应用 (14)3.1 利用相似变换把方阵对角化 (14)3.2 矩阵相似性质的简单应用 (15)3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (15)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned matrix前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念定义1.1 由t ⨯s 个数),2,1,,,2,1(n j m i a ij ==排成的s 行t 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 我们把它称为s 行t 列矩阵,简t s ⨯阵矩,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素;如果矩阵A 的行数和列数相等,则我们也把矩阵A 叫做方阵A .定义1.2 如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mn O ,我们也可以简单的记为O .定义1.3 如果方阵A 中的元素能够满足条件)(0j i a ij ≠=,则我们就把方阵叫做对角阵.定义1.4 如果一个n n ⨯矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 我们把它称之为n 级单位矩阵,记作n I ,一般情况下简写为I .1.1.2 矩阵的性质定义1.5 设ms ik a A )(=,sn kj b B )(=,那么矩阵mn ij c C )(=,其中∑==++++=sk kj ik sj is j i j i j i ij b a b a b a b a b a c 1332211 (1-1)我们将其称之为A 与B 的乘积,记为AB C =.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义1.6 由方阵A 中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A 的行列式,记作A 或A det .定义1.7 对于数域P 上的n 阶方阵A ,如果满足0≠A ,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.定义1.8 对于n 级方阵A ,如果有一个n 级方阵B ,使得I BA AB == (1-2)成立,我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.定义1.9 如果有n 级方阵B 适合（1-2）,那么我们就把方阵B 叫做方阵A 的逆矩阵,记作1-A .引理1.1 0≠A 是n 阶方阵可逆的充要条件.定义1.10 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式,则矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 就是矩阵A 的伴随矩阵.定理1.1 如果A 方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵A 可逆,则它也一定是非退化的有 *11A dA =- (0≠=A d ). (1-3)定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩.定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等.因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵A 的秩记为)(A R .1.2 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与A 相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道A 的性质.1.2.1 矩阵相似的概念定义1.12[1] 有A ,B 方阵在数域F 上,若是F 上有n 阶可逆方阵T 使等式：AT T B 1-=成立,那么就说B 与A 相似,并且写作.~B A定义1.13[1] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域F 上的多项式,以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A称为λ矩阵.记[]()(n m P A ⨯∈λλ[]nm P ⨯λ表示数域∈P 的λ矩阵的全体）.定义1.14 方阵上的相似关系~与数域K 上的n 阶方阵之间的关系是互推的,对任何n n K A ⨯∈,存在集合[]{}B A K B B A n n ~,|~⨯∈=则我们可称矩阵A 形成的相似(~)等价类. 1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于AI I A 1-=所以每一个n 级方阵都是和自己相似的.即A A ~.性质1.2 对称性：如果B A ~,那么 A B ~ ;如果B A ~ ,那么 有X ,使TX X B 1-=令1-=X Y就有BY Y XBX A 11--==所以A B ~.性质1.3 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.事实上,由AT T B 1-=和BU U C 1-=得)()(111TU A TU ATU T U C ---== （2-1） 由等式AT T B 1-=可知,对于n 维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质.（1）相似矩阵的行列式相等;（2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似;（4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一.定义2.1[1] 我们假设A 为n 阶方阵,如果有复数λ及n 维非零列向量，x 得x Ax λ= (1-1) 或者0)(=-x A E λ(1-2)那么把λ看作是A 的特征向量,而x 则是λ的特征向量.求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量有一般如下步骤：第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式||E A λ-;第二步： 那么接下来我们应需要知道||A E -λ0=的所有根值n λλλ,,,21 并且n λλλ,,,21 便是矩阵的所有特征值;假如i λ是特征方程的单根,则称i λ为A 的单特征值;若是j λ是特征方程的k 重根,那么A 的k 重特征值是j λ,并且j λ的重数是k .第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,再求得齐次线性方程组0)(=-A E i λ(1-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ,则有j ik i i ξξξ,,,21 即为对应于特征值i λ的特征空间的一个基,则有A 的属于i λ的全部特征向量为j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211其中j k c c c ,,,21 是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ,则存在着||,21121A a n ni ii n ==+++∑=λλλλλλ在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质2.2 如果λ是方阵A 的特征值,x 是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数k ,有x 是k A 的特征值的特征向量且特征值为k λ.性质2.3 假使λ是可逆矩阵A 的一个特征值,若λλ1,0≠为1-A 的一个特征值,且λ||A 为*A 的一个特征值.性质2.4 如果有i x ),,2,1(m i =是方阵A 的相互存在差别的特征值m λλλ,,,21 的特征向量,那么存在着线性无关的向量组m x x x ,,,21 .并且,如果i λ的线性无关特征向量为i ik i i x x x ,,,21 ),,2,1(m i =,那么向量组,,,,11211i k x x x m mk m m k x x x x x x ,,,,,,,,21222212为线性无关.性质2.5 假使0λ是方阵A 的k 重特征值,那么0λ有不多过k 的个数的性无关的特征向量.定理2.1[6] 设存在着两个n 阶的方阵A 与B ,它们有n 个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵A 与矩阵B 相似.证明 假使n λλλ，，， 21是A 的n 个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵1P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AP P λλλ 21111 又因为方阵B 的特征值也是n λλλ，，， 21,那么则会有2P 可逆矩阵,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n BP P λλλ 21212 所以212111BP P AP P --=.而()()1211121121112-----=P P A P P P AP P P ,即存在可逆矩阵P P P =-121,使得B AP P =-1,而矩阵A 与矩阵B 相似.定理2.2 存在着n 阶方阵A ,且它的每一个i S 重特征值i λ,能使得秩()i i S n A E -=-λ那么A 相似于对角矩阵,否则不相似.例2.1 证明矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122212221A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=30241112065B 相似.解 A 的特征多项式为()()()311122212221--+=------=-λλλλλλλA E所以A 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλA 的属于特征值3,1,1-的全部特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103α.若令(123,,)P ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300011001,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011AP P ,而B 的特征值为 ()()()311--==-λλλλB E所以B 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλB 的属于特征值3,1,1-的特征向量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1433β 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1114232321Q ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011BQ Q .显然 BQ Q AP P 11--=,()()11111-----==QP B QP BQP PQ A 记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1011111231QP U ,有BU U A 1-=,所以A 与B 相似.例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16-3-05-3-064A (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B解 （1）由于()()()212+-=λλλA f ,所以A 的特征值是11=λ（重数1S 2=),22-=λ(重数12=S ).又由()1231S n A E r -=-==-,()==--22A E r 113S n -=-可知矩阵A 相似于对角矩阵.（2）因为()()33-=λλB f ,所以B 的特征值是3=λ（重数3=S ）,又由于()03323=-=-≠==-S n r A E r ,故B 不相似于对角阵.2.2 用初等变换法判定引理2.1 如果)(λA 是数域P 上的一个λ方阵,那么有数域P 上的可逆λ方阵)(λV ,使得)(λA )(λV 为上三角方阵.引理2.2 如果A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么A 与B 相似的充要条件是数域P 上会有两个可逆的λ方阵)(),(λλV U ,能让A E VB E U -=-λλλλ)())(( （1-1）并且A 与B 相似时有B AT T =-1,使得)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 定理2.3[12] 假使A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么方阵A 与B 相似的充要条件是在数域P 上有可逆的λ矩阵)(),(),(21λλλV V U ,成立12()()()()()U E B V E A V λλλλλ-=- （1-2）有方阵A 与B 相似时有B AT T =-1,并且)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 证明 充分性：当存在)(),(),(21λλλV V U ,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上12)(-λV 有,)()())((121A E V V B E U -=--λλλλλ令121)()()(-=λλλV V V ,那么)(λV 可逆,且A E VB E U -=-λλλλ)())((,由引理2.2可知,A 与B 相似.必要性：可在（1-1）式中让E V V V ==)(),()(21λλλ那么可得（1-2）式.在A 与B 相似时,我们可以通过引理2.2得出B AT T =-1,那么)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理2.4[6] 如果有两个n 阶矩阵A ,B 存在于数域P 上,则存在可逆的λ方阵)(),(),(),(2121λλλλV V U U 在数域P 上,他们是矩阵A 与B 相似的充分必要条件 可以使得：)())(()())((2211λλλλλλV A E U V B E U -=- （1-3）当方阵A 与B 相似时会有有B AT T =-1,同时有)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.证明 充分性：假使)(),(),()(2121λλλλV V U U 可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上12)(-λU 得到)()()())(()(21112λλλλλλV A E V B E U U -=--令)()()(112λλλU U U -=则)(λU 可逆,并且有)()()())((21λλλλλV A E V B E U -=-由定理2.3得A 与B 相似.必要性: 可以在(1-2)式中让E U U U ==)(),()(21λλλ那么可得(1-3)式.在A 与B 相似时,通过引理2.2得B AT T =-1,那么)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.例题2.3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011121111,211111110B A .判断A 与B 两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=--++-+++10011023133001101231330011123100*********112121111111223223)](23[2)]1(32[2)](31[)]2(31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-+-+-+1000010112212001111000010101110011110011010121001111)|(22)]1(12[2)](31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλE B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+--+--+-−−−−→−--++-++-+10010011111012243423133100001111011122434133231000010110111224341332310000101101012243413323222223222232)]1(2[222232)]1(32[222232)]12(31[)]24(21[22λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以,A 与B 相似.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+-=000111122434)(222λλλλλλλU则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100111123000000244000000111)(2λλλU 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==011111101100111123000000244211111110000000111423212322100111123000000244000000111)(2A A A U P l 则 ⎢⎢⎢⎣⎡-011111101 ⎥⎥⎥⎦⎤100010001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--101011001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--110011001 ⎢⎢⎢⎣⎡→100010001⎥⎥⎥⎦⎤----110211111 故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1102111111P 所以B AP P =-12.3 分块矩阵相似判定在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,在著名的Roth （罗斯）定理中表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似的一个充要条件是方阵方程C XB AX =- (1-1) 有解．定理2.5[10] 如果已知有A ,B 两个矩阵,并且有2A A =与B B =2,那么B AC +C C =则是分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似的充分必要条件.证明 必要性 已知分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,要是它中的A 和B 两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0也是幂等方阵的,也就是20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0 把两边矩阵分别展开得到C CB AC =+.充分性 已知A 和B 这两个幂等方阵,因此它们可以分解为11000,000--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q IQ Q B P IP P A (1-2) 把它们代入（1-1）式中,得知PCQ IQ PXQ PXQ IP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000 (1-3)我们让⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321Y Y Y Y PXQ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321F F F F PCQ (1-4)通过（1-4）式可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321323121000000F F F F Y Y Y Y Y Y (1-5)那么01=F 和04=F 是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于0=ACB 和0)()(=--B I C A I n m所以这两个方程也等价于C CB AC =+.由此可知,在C CB AC =+条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵0A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,证明完毕. 例题2.4 设存在两矩阵C 和D ,并且D C ~其中B A ~,求证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 00~00. 证 因为B A ~,且矩阵.~D C 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C A Y X Y E E X C O A E X Y E 00000000000001111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-D B YCY AX X Y X 0000001又由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----Y E E X Y E E X E X Y E 0000000000001111111 故.00~00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化定义3.1 相对应n 阶方阵A ,假使存在可逆矩阵P ,让B AP P =-1变为对角矩阵,那么我们就称矩阵A 可对角化，且可对角化为B . 定理3.1 如果n 阶矩阵A 可对角化,那么它对角矩阵相似. ⇔A 中存在着n 个线性无关的特征向量.推论3.1 如果n 阶矩阵A 存在n 个不同的特征值,那么矩阵A 与对角矩阵相似.例题3.1 利用相似变换将矩阵A 对角化..2-4242-2-22-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A解λλλλ-------=-242422221E A()()0722=+--=λλ得.7,2321-===λλλ当221==λλ时,齐次线性方程组()20A E X -=的基础解系为121,0P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当37λ=-时,齐次线性方程组()70A E X +=的基础解系为3122P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭因为，02-10201122-≠所以321,,P P P 线性无关,即A 有3个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换221102012P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,可将矩阵A 对角化为200020007⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭,即矩阵A 与矩阵Λ相似.3.2 矩阵相似性质的简单应用应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们.例3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2-020021A ,求证100A .解（1）先算出A 方阵特征值与特征向量.由)2)(1)(1(112020021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A所以,A 的3个互异特征值为,2,1,1321==-=λλλ故A 可以对角化,对每个(),3,2,1=i i λ求得分别属于211-321===λλλ，，的特征向量为.35121-01100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα，，（2） 令=P 1(α,2α,,3511100210)3⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α 有.2000100011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-AP P （3） 因为11001100100100()010002P A P P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以100110010011110001210030100010101100025002010113A P P -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10110113100100100100012111220002120020.501051120(12)033-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.3 矩阵相似在实际生活中的应用矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算.例 3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把61熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有52成为熟练的工人.假使过了n 年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之n x 与百分之n y ,我们把它写为向量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x（1）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成方阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n y x A （2）求证A 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-1421ηη，这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值;解 （1）根据上述已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511 化简得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++n n n n n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为,531015210911⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x y x 于是 .5310152109⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A （2） 令，），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡==111-421ηηP 则由05≠=P 知,21ηη，这两个特征向量线性无关.因.1411ηη=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 所以这个特征向量1η属于矩阵A .并且相应的11=λ为特征值. 因22212121ηη=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A 故2η为A 的特征向量,且相应的特征值.212=λ结论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献[1] 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等代数出版社,2007:327-328.[2] 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解[J].西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.[3] 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Linear Algebra［J］.USA:Create Space.2008,（124-205）.致谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！。
矩阵相似知识点总结
矩阵相似知识点总结一、矩阵相似的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是数学中的一种重要的数据结构，它是由若干行和若干列组成的矩形阵列。
一般地，如果一个矩阵有m行n列，我们通常将其记作m×n矩阵。
矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他数据类型。
2. 矩阵相似的定义设A，B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称A与B相似，记作A∽B。
3. 矩阵相似的几何解释矩阵相似的几何解释是指当一个矩阵通过一个可逆矩阵进行相似变换时，矩阵所代表的线性变换的本质并没有改变，只是坐标系发生了变换。
也就是说，相似矩阵表示的是同一个线性变换在不同基底下的表示。
4. 矩阵相似的意义矩阵相似的意义在于它能够将一个矩阵的性质转化为另一个相似矩阵的性质，从而简化矩阵的运算和研究。
二、矩阵相似的性质1. 矩阵相似的传递性如果A∽B，B∽C，则A∽C。
2. 矩阵相似的反身性任意矩阵A都与自身相似，即A∽A。
3. 矩阵相似与相似对角化如果A∽B，则A和B有相同的特征值和特征向量。
这意味着，相似矩阵具有相同的特征值分解，即A和B都可以对角化为对角矩阵。
4. 矩阵相似的不变性矩阵相似是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
5. 矩阵相似的性质推论矩阵相似对矩阵的运算有着重要的影响，比如特征值和特征向量的性质，相似矩阵的秩和行列式等。
三、矩阵相似的判定方法1. 特征值和特征向量判定两个矩阵A和B相似，当且仅当它们有相同的特征值和特征向量。
2. 秩和行列式判定两个矩阵A和B相似，当且仅当它们的秩和行列式相同。
3. 称为相似矩阵的几何判定两个矩阵A和B相似，当且仅当它们所表示的线性变换在某一组基底下具有相同的矩阵表示。
4. 特征多项式判定两个矩阵A和B相似，当且仅当它们的特征多项式相同。
四、矩阵相似的实际应用1. 线性代数的研究矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，在矩阵的对角化、相似变换、特征值分解等方面具有广泛的应用。
两矩阵相似得出的结论总
两矩阵相似得出的结论总
相似矩阵是指两个矩阵有相同的特征值，但特征向量可能不同的矩阵。
两个矩阵相似可以得出以下结论：
1. 相似矩阵的行列式相等。
2. 相似矩阵的迹（矩阵对角线上元素之和）相等。
3. 相似矩阵的秩（矩阵的非零特征值的个数）相等。
4. 相似矩阵的行和列的线性无关性质相同。
5. 相似矩阵有相同的特征多项式和最小多项式。
6. 相似矩阵有相同的Jordan标准形。
7. 对于一些矩阵函数，相似矩阵的函数值一样，如指数函数、对数函数等。
相似矩阵之间的相似关系是一种等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
相似矩阵
x1 即 x2 =0 = x3
=0 =0
基础解系可取为
2 -1 0 1 0 1 0 1 1
x1 2 X 1 = x2 = 1 x 0 3
x1 - 1 X 2 = x2 = 0 x 1 3
(3I - A) X = 0 (2)当 l3 = 3 时 解齐次线性方程组
例4 解
2 n 求A 其中 A = - 1 1 l -2 0 l -2 | lI - A |= 1 -1 -2
0 2 - 1 2 - 1 0 1 = (l - 2)(l - 1)l = 0 l 1 0
1 0 - 2 0 0 由（0 I - A) = 1 - 2 1 0 1 -1 - 2 1 0 0 =0 x1 得 1 基础解系可取为 x = x 2 3 2
1 x1 x3 - 2 得 x2 - 2 x3 0
x1 - 1 X 1 = x2 = 2 x 1 3
=0 =0
例4 解
2 n 求A 其中 A = - 1 1 l -2 0 l -2 | lI - A |= 1 -1 -2
1 - 2 1 0 0 0 由（I - A) = 2 - 4 2 0 0 0 得x1 - 2x2 x3 = 0 0 0 0 2 - 4 2
( I - A) X = 0 (1)当 l1 = l2 = 1 时 解齐次线性方程组
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三、主要研究内容及提纲：
主要研究内容：相似矩阵的有关性质及一些应用。
提纲拟定如下：
实践意义：计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景，而相似矩阵的性质及应用在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。比如其在微分方程、自动控制理论基础等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来，更有利于学习者的掌握和应用。
二、研究方向的动态及本文创新点：
研究方向：由于矩阵相似的应用范围相当广泛。主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究。
[2]陈志杰,陈咸平,瞿森荣等编.高等代数与解析几何习题精解.北京：科学出版社, 2002. 2
[3]刘丁酉.高等代数习题精解.合肥:中国科学技术出版社, 2004. 9
[4]戴华.矩阵论.南京：南京航空航天大学出版社[M].2001.8
六、毕业论文进度安排：
1．选题
2013年06月10日——2013年09月01日
一、引言
二、矩阵相似的定义与基本性质
三、相似矩阵的有关性质研究
四、矩阵相似的应用
五、总结
四、研究的方法与手段：
1、通过互联网收集资料和参考书目；
2、利用图书馆来收集信息；
3、运用比较、归纳的方法，总结出相关结论。
五、应收集的资料及主要参考文献：
[1]许以超。线性代数与矩阵论[M].北京：高等教育出版社.
7．答辩
2013年12月17日——2013年12月27日
学生（签字）_________________
指导教师（签字）_________________
系主任（签字）_________________
2．开题报告
2013年09月03日——2013年09月09日
3．收集资料及实施研究
2013年09月10日——2013年10月07日
4．完成初稿
2013年10月08日——2013年11月15日
5．完成修改稿
2013年11月16日——2013年12月05日
6．完成定稿
2013年12月06日——2013年12月16日
山西师范大学现代文理学院
毕业论文(毕业设计)开题报告
论文题目：相似矩阵的性质及应用
系别：数计系
专业：数学与应用数学
班级：1102
姓名：郑丽鹏
学号：1190110204
指导教师：陈翠芳
二〇一四年九月十一日Βιβλιοθήκη 一、选题的理论意义与实践意义：
理论意义：矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相,那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。通过对相似矩阵的有关性质进行研究总结，提高对相似矩阵深入的研究。