同角三角函数基本关系式与诱导公式教案
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
高考数学一轮复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式教案 理 教案
某某省东北师X 大学附属中学2015届高考数学一轮复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式教案 理知识梳理：(阅读教材必修4第18页—第28页) 1．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==；（3）平方关系：22sin cos 1αα+=．2、诱导公式公式1： sin(k )=sin , k ; cos(k )=cos , k ;tan(k )=tan, k ;公式2：sin()=-sin cos() =- costan() =tan 公式3：sin(-) =-sin cos(-) =cos tan(-) =-tan 公式4：sin()= sin cos() =- cos tan() =-tan 公式5：sin )= cos cos )= sin公式6：sin )= cos cos )= -sin规律：奇变偶不变，符号看象限一、 [题型探究]：[探究一]：同角三角函数关系例1：已知是第四象限，tan=，则sin=例2：已知：tan=2，求的值[探究二]、诱导公式：例3：求下列三角函数值（1）、（2）sin（3）、sin（- ）例4：化简：例5：已知：cos= ,求cos—si的值；例6：已知sin()-cso()=弦切互化：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==和积转化：(sin =1=1sin2 巧用“1”的变换:22sincos 1αα+=四、反思感悟：五、课时作业：1、【高考题】sin21=( ) A B 、— C 、 D 、— 2、下列四个等式中，正确的等式共有（）个(1) sin(36+30)= sin30 (2)cos(18+30)= cos30(3) sin(18+30)= -sin30 (4)cos(30)= cos30A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、若是第三象限角，且 =cos +sin ，则 是（ ）A 、第二、四角限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4、设是第二象限角，则下列三角函数值为正数的是（）A、cos(3)B、sin(4)C、cos(-2)D、-sin(6)5、若cos+2 sin=，则tan=（）A、 B、2 C、— D、-26、如果cos(+A)= — ,那么sin (+A)=A、—B、C、—D、7、si()=-cos()+1= ( )A、1B、2siC、0D、28、已知A是三角形内角，若sinA+ cosA=则tanA= ；9、【师大校本教材】若A、B、C是ABC的内角，则下列五个结论中正确序号是：（1）、si()+ cosC=1 （2）、sin(A+B)（3）、cos(A+B)（4）、sin=cos（5）、tan=1 (6)、tanAtanBtanC=110、若sin(,其中是第二象限角，则)= ; tan()= ;)=.11、化简根式12、已知tan α＝2，则(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝_____；(2)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝_____；(3)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝_____.解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sin α、cos α的一次齐次式，将分子、分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)注意到分子、分母都是关于sin α、cos α的二次齐次式，∵cos 2α≠0，分子、分母同除以cos 2α，有2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57.∴应填57. (3)要注意到sin 2α＋cos 2α＝1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.应填1. 答案：(1)－1 (2)57(3)1 13、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 14．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15， (1)求sin A ·cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．分析：可先把sin A ＋cos A ＝15两边平方得出sin A ·cos A ，然后借助于A ∈(0，π)及三角函数符号法则可得sin A 与cos A 的符号，从而进一步构造sin A －cos A 的方程，最后联立求解．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A ·cos A ＝－1225. (2)由(1)sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．。
高中数学第12讲 同角三角函数关系及诱导公式(教案)新人教版必修1
第十二讲同角三角函数关系及诱导公式知识要点：1.同角三角函数基本关系： 〔1〕基本关系：①平方关系:sin 2α＋cos 2α＝12211tan cos αα+=②商数关系:tan α＝sin αcos α〔α≠k π＋π2，k ∈Z 〕；cot α＝cos αsin α〔α≠k π，k ∈Z 〕．③倒数关系: 1tan cot αα=〔12k απ≠〕 〔2〕常用变换形式:〔1〕根据这三大关系，假设一个角α的位置，及其一个三角函数值，那么一定能求出其余的三角函数值． 〔2〕几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式： 〔〔①六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈〞，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，表达了化归思想。
(1)利用诱导公式〔三〕将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式〔一〕化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习1.化简1－sin 24 的结果为－cos42.化简sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ= 13.tan θ＝2aa 2－1 (其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，那么cos θ的值是a 2－1a ＋14.化简：2－sin 221°－cos 221°＋sin 417°＋sin 217°·cos 217°＋cos 217°解：原式＝2－〔sin 221°＋cos 221°〕＋sin 217°〔sin 217°＋cos 217°〕＋cos 217°＝2－1＋sin 217°＋cos 217°＝1＋1＝25．sin 〔π－α〕＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，那么tan α的值是－56．︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ的值是.－37.求值：23456tantantan tan tan tan tan 777777πππππππ++++++8.设002900,3cos 2sin 3≤≤=-βαβα，，求βα与。
(经典整理)同角三角函数的基本关系及诱导公式与两角和差
（一）同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式中“1”的作用。
2.掌握诱导公式，并能进行化简求值。
二、【知识回顾】1．同角三角函数关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商的关系：sin tan cos ααα=（3）sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间，知一可求二，关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2．诱导公式诱导公式一：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，k Z ∈诱导公式二：sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ， 诱导公式三：sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ， 诱导公式四：sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ， 诱导公式五：sin()2πα+= ，cos()2πα+= ， 诱导公式六：sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
形式：将角的形式化为：()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大，统统看成锐角，诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为：31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角，化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一：同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ （2）2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--，求下列各式的值：（1）213sin cos 3cos ααα-+ （2）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二：三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----（1） 若1860α=-，求()f α （2） 若33cos()25πα-=，求()f α的值。
同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案
同角三角函数的基本关系与诱导公式复习教案教学目标：1.掌握同角三角函数的基本定义及其性质；2.理解同角三角函数之间的基本关系；3.利用同角三角函数的基本关系和诱导公式解决实际问题。
教学重点：1.同角三角函数的基本定义的理解与应用；2.同角三角函数之间的基本关系的掌握与应用。
教学难点：1.同角三角函数的基本关系的推导过程；2.同角三角函数的应用问题的解决。
教学过程：一、复习1.让学生回顾三角函数的基本定义及其性质。
二、引入1.提问：在之前的学习中，我们已经学习了不同角度上的三角函数，那么，如果两个角度相等，它们的三角函数是否相等呢？2.引导学生思考：同角三角函数指的是角度相同的两个三角函数。
根据角度相等，我们可以猜测同角三角函数之间可能存在一些关系。
三、同角三角函数的基本关系1.讲解：让我们回忆一下，三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、余切这七个函数，它们分别由一个角所决定，对应在单位圆上的点的坐标值。
2.补充：这七个函数之间存在一些基本关系。
让我们来总结一下：- 正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)；- 余切函数：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)；- 正割函数：sec(θ) = 1 / cos(θ)；- 余割函数：csc(θ) = 1 / sin(θ)；- 隐含关系：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1；- 隐含关系：1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)；- 隐含关系：1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)。
四、同角三角函数的诱导公式1.引导学生思考：从上述的基本关系中，我们是否可以得到其他同角三角函数之间的关系呢？2.讲解：根据角度和三角函数的性质，我们可以推导出同角三角函数的诱导公式。
- sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)- cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)- tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)3.通过推导一些简单的例子，进一步巩固同角三角函数的诱导公式。
高考数学复习知识点讲解教案第22讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
（2）
5
−
π
1
[2023·全国乙卷] 若 ∈ 0, ,tan = ,则sin − cos =_______.
5
2
2
sin
1
[解析] 方法一：因为tan =
= ，所以cos = 2sin ，
cos
2
1
2
2
2
代入sin + cos = 1得sin = ，
5
π
5
2 5
5
因为 ∈ 0, ，所以sin = ，则cos =
，所以sin − cos = − .
2
5
5
5
2sin cos
2tan
2
方法二： sin − cos = 1 − 2sin cos = 1 − 2
=1−
2
sin +cos
1+tan2
1
π
π
cos
−cos
sin
−sin
_________
正切
tan
tan
_______
−tan
−tan
续表
公式一
口诀
记忆规
律
公式二
公式三
公式四
函数名不变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
公式五
公式六
函数名改变，符号
看象限
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
2
2
（1）sin = 1 − cos = 1 + cos 1 − cos ;
3
π
2
+ = −cos =
同角关系式及诱导公式
学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式。
2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（απαπ±±,2的正余弦和正切）学习过程：一． 知识梳理： 1． 同角三角函数基本关系式：平方关系 ；商数关系 。
2．诱导公式：有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z)，你认为正确吗？ 二． 问题探究：1．（教材习题） 已知：54cos -=α且α为第三象限角，求αsin ，αtan 的值。
2．（教材习题） 求证：① ααααcos sin 1sin 1cos +=- ② 1cos cos sin sin 2224=++αααα3．（教材习题）化简 ① αα22sin 211cos 2-- ② αα22cos )tan 1(+4．求值 ①=-)420cos(0②=-)67sin(π③=-)679cos(π ④=π311sin5.（教材习题）化简 )29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-----++-三．拓展升华1. 求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°.2（教材习题）已知3tan =α计算：①ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- ②ααcos sin ③2)cos (sin αα+3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0.则f (－43)的值为________．4．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值为________．5.已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15，(1)求sin A cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．四．规律总结。
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式核心素养立意下的命题导向1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α正切 tan αtan_α－tan_α－tan_α[澄清盲点误点]一、关键点练明 1．(平方关系)若sin α＝55，π2<α<π，则cos α等于( ) A.55B ．－55 C ．－255 D.255答案：C2．(商数关系)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．答案：33．(诱导公式)化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________． 答案：－sin 2α 二、易错点练清1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213答案：A2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3 3．(忽视对k 的讨论)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．解析：当k 为奇数时：A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 当k 为偶数时：A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：{－2,2}考点一 同角三角函数的基本关系 考法(一) 知弦求弦、切或知切求弦[例1] (1)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k1－k 2D ．－k1－k 2(2)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512D ．－512[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .故选B.(2)法一：因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513， 所以可在α的终边上取一点P (12，－5)， 则tan α＝y x ＝－512.故选D.[答案] (1)B (2)D [方法技巧]考法(二) 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (1)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2 (2)已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α的值为________．[解析] (1)∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3， ∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35，∴tan α＝43.∴sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫432＋2×432－⎝⎛⎭⎫432＝169＋832－169＝16＋2418－16＝402＝20.[答案] (1)B (2)20 [方法技巧]“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．[提醒] 知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法(三) sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论正确的是( )A ．sin θ＝45B ．cos θ＝－35C ．tan θ＝－34D ．sin θ－cos θ＝75[解析] (1)∵sin αcos α＝38，∴(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α， 即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－12.(2)由题意知sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425<0，又∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－2425＝4925＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴A 、B 、D 正确．[答案] (1)D (2)ABD [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[针对训练]1．已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34B ．－34 C.43 D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D. 2．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：选A tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 3．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( ) A.56 B ．－56C.43D.34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.考点二 三角函数的诱导公式[典例] (1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． [解析] (1)因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. [答案] (1)3 (2)0 [方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错． [针对训练]1．sin 570°的值是( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2021·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D.3．已知f (α)＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ⎝⎛⎭⎫7π2＋α＋cos (3π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为⎝⎛⎭⎫－π6，π3.创新思维角度——融会贯通学妙法勾股数与同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，2)，(1，3，2)，(1,2，5)，(1,3，10)等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题． 1．已知tan α＝34，sin α<0，则cos α＝( )A.35 B ．－35C.45D ．－45解析：选D 由tan α＝34，想到勾股数(3,4,5)，结合sin α<0，得cos α＝－45.2．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513B.513 C ．－125D.125解析：选C 由α是第四象限角，且sin α＝－1213，所以tan α＝－125.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，∴sin α＝－32. 又∵|α|<π2，∴－π2<α<0，∴cos α>0，tan α<0，∴tan α＝－ 3. [课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B.2．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12， 所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3. 3．若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B.15C.35D ．－35解析：选D ∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α－11＋tan 2α＝－35.故选D. 4．(多选)在△ABC 中，下列关系恒成立的是( ) A ．tan(A ＋B )＝tan C B ．cos(2A ＋2B )＝cos 2C C ．sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝sin C 2D ．sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝cos C2解析：选BD tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，A 不正确；cos(2A ＋2B )＝cos [2(π－C )]＝cos(－2C )＝cos 2C ，B 正确；sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π－C 2＝cos C2，C 不正确，D 正确．5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值是( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13.故选A. 6．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－43，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝( ) A.15 B ．－15C.75D ．－75解析：选C 由题意得，tan θ＝sin θcos θ＝－43，θ∈(0，π)，故sin θ>0，cos θ<0.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.因此，sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos θ＋sin θ＝75. 二、综合练——练思维敏锐度1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎣⎡⎦⎤3π2＋⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A.2．若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ等于( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ) D ．sin θ＋cos θ解析：选A 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.故选A. 3．已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝( ) A.1517 B.1517 C ．－817D.817解析：选D sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－1517，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， 即sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D. 4．已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125C.35D.125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A.5．(2021·潍坊一模)在平面坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP ―→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ ―→，则点Q 的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－1，2) C ．(－3，1)D ．(－1，3)解析：选D 设以射线OP 为终边的角为α，以射线OQ 为终边的角为β，且β＝α＋π2，由题意可得sin α＝12，cos α＝32，结合三角函数的定义与诱导公式可得x Q ＝2cos β＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝－1，y Q ＝2sin β＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α＝3，即点Q 的坐标为(－1，3)．故选D.6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.7．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155解析：选AC ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，cos α＝±154，∴若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A 符合条件；若B 符合，则cos(π＋β)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－14，与cos(π＋β)＝14矛盾，故B 不符合条件；对于C ，tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±64，故D 不符合条件．9．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 解析：因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角， 由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求得sin A ＝2211. 答案：221110．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0， 所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0， 即原式等于0. 答案：011．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝(－cos α)·(－sin α) ＝sin αcos α＝1225. ∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.联立⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4512．已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. (1)求sin αcos α的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338. (2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.。
同角三角函数的基本关系与诱导公式教案
《同角三角函数的基本关系与诱导公式》复习课教案 课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式出课人：周顺鹏 课型： 复习课时间：2008年10月29日 班级： 三年四班一、教学目标：1、知识和能力：掌握同角三角函数的基本关系及诱导公式；运用同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行求值、化简证明。
2、过程与方法：启发探究、讲练结合3、情感态度与价值观：注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．二、教学重点：同角三角函数关系式、诱导公式三、教学难点：诱导公式的灵活运用四．教学过程：一、复习回顾：（一）．同角三角函数的基本关系式： 2、商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== ．（二）三角函数的诱导公式1、 απαπααπ-±-∈+2,,),(2Z k k 的三角函数等于 α的同名三角函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值所在象限的符号. 1sec cos 1csc sin 1cot tan =⋅=⋅=⋅αααααα倒数关系3、αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin 、=+=+=+平方关系1二、一层练习三、二层练习四、三层练习例4：已知))απβ-=+且0,0απβπ<<<<求α和β的值 。
五、小结：六、作业布置。
ααααααcos sin csc sec cot tan :3-=+-证明、.)2006(,1)2005(,,,,),cos()sin()(2的值求若实数均为非零其中已知f f b a x b x a x f 、-=-++=βαβπαπ.cos 11sin 1121cos sin 1的值求且是锐角已知ααααα+++=，，、1sin cos ,,cos sin 842ππααααα⋅=<<-且则22-34)3cos()2tan()23cot()sin(:1θπθππθπθ--⋅++化简、απαπ±±23,22、 的三角函数等于 的互余三角函数 αα看成锐角时原函数值所在 值，前面加上一个把 象限的符号.助记法：奇变偶不变，符号看象限， 当作锐角看. α2、已知 的值为( )A 、B 、、 D 、 34-3sin （3）cos （）2ππαβ-=+。
诱导公式教案
1.2.2同角三角函数的基本关系教学目的：知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
过程与方法：通过三角函数的定义，让学生探索发现三角函数基本关系式。
能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 课时安排：1课时 授课类型：新授课 教学过程： 一、复习引入：1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边与单位圆的交点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan y x α=，2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？3．背景：如果53sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值；4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课：（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系：αααcon sin tan =（2）平方关系：1sin 22=+ααcon说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α=， 22sin 1cos αα=-，s i n c o s t a n ααα=等。
2．例题分析： 一、求值问题例1．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-= 又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==-（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=， 又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角。
同角三角函数基本关系式与诱导公式 教案
【解析】
（1）sin(π+α)=﹣sinα=﹣ ，所以sinα= 且α是第一象限角
所以cosα= =
（2）tan（π+α）cos（π﹣α）﹣sin（ +α）=-tanαcosα﹣sin（ +α）=﹣tanαcosα﹣cosα=﹣sinα﹣cosα= = ．
1.若 ，且 为第二象限角， （）
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cosα
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tanα
tan_α
－tan_α
－tan_α
[方法技巧]
诱导公式记忆口诀
对于角“ ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.
(1)当cosA＝ 时，cosB＝ ，又A、B是三角形的内角，
∴A＝ ，B＝ ，∴C＝π－(A＋B)＝ π.
(2)当cosA＝－ 时，cosB＝－ .又A、B是三角形的内角，
∴A＝ π，B＝ π，不合题意．综上知，A＝ ，B＝ ，C＝ π.
同角三角函数基本关系式与诱导公式
适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
同角三角函数的基本关系
六组诱导公式
教学目标
1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1， ＝tanx
同角三角函数的基本关系及诱导公式
1
上海中小学课外辅导专家
10 ) _____________； cos 2490 ______________。 3 sin 2 2.若 tan 3, 则 的值等于（ ） cos 2
1. sin( A.2 3.已知 cos( B.3 C.4 D.6
3 3 ) , 且 ( , ), 则 tan （ ） 2 5 2 2 4 3 3 3 A. B. C. D. 3 4 4 4 5 4.已知 是第四象限角， tan , 则 sin 等于（ ） 12 1 1 5 5 A. B. C. D. 5 13 5 13
重点、难点、考点
学习目标
1.同角三角函数基本关系式 （1）平方关系： sin cos 1
2 2
（2）商数关系： tan 2.角的对称 相关角的终边
sin cos
对称性 关于原点对称 关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y x 对称
与 与 与 与
1 1 ,则 _______________。 2 5 cos sin 2
泽仕学堂教务处
3
上海中小学课外辅导专家 配套习题 1. cos2 600 等于___________。 2.下列各数中与 sin 2015 的值最接近的是（ A. ）
1 2
B.
3 2
C.
1 2
D.
3 2
） D.以上都不对
3. 1 2 sin( 3) cos( 3) 化简的结果是（ A. sin 3 cos 3 B. cos 3 sin 3
C. (sin 3 cos3)
1 sin 1 cos 3 sin ( ) 得（ ） 1 sin 1 cos 2 A. sin cos 2 B. 2 sin cos C. sin cos 5.记 cos(80) k , 那么 tan 100 （ ）
同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案 人教版
同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案【复习目标】1. 掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；2. 能运用这些公式进行求值、化简与证明．【双基诊断】1、已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ= （ ）()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-2、化简sin tan tan (cos sin )cot s c c ααααααα+-++3、化简8sin 1-=_________.4、若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是_______.5、已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．6、设cos α=t ，则tan （π－α）等于A.tt 21-B.－t t 21-C.±tt 21-D.±21tt -7、已知cos α=31，且－2π＜α＜0， 求ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）（）（的值.8、若tan α=，求值①ααcos ,sin ； ②cos sin cos sin αααα+-；③ 222sin sin cos cos αααα-+； ④ααcos sin +。
9、已知α是三角形的内角，且137cos sin -=+αα ，则tan α= ．10、已知sin α+cos α=51，那么角α是第______象限的角.11、已知x 是锐角，求函数)cos 34)(sin 34(x x y --=的最小值。
12、若cos130a =，则tan 50= （ ）()A()B ()C ()D13、设)cos()sin()(βπαπ+++=x b x a x f ，如果0)2007(=f ，则=)2008(f 。
14、已知1cos(75)3α+=，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值．15、已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值．16、若(cos )cos 2f x x =，(sin15)f = （ ）()A 12 ()B 12- ()C ()D17、已知sin β=31，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值.【深化拓展】1．()z n n n ∈⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简2．已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-βπαπ23cos 23sin 和()()βπα+-=-cos 2cos 3，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式示范课教学设计
第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲点击：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2.理解同角三角函数的基本关系式：高考分析：高考对本节的考查主要集中在利用诱导公式或同角三角函数基本关系式求值上，题型多为选择题、填空题，主要考查学生运算能力和逻辑推理能力，由于本节知识的基础性，试题难度不大，属于易得分题．教学过程：一、基础知识梳理1. 同角三角函数的基本关系式2.诱导公式师生活动：学生课前自主完成，生生相互订正，教师强调各知识点的应用。
xcos xsin x tan 1x cos x sin 22==+x cos xsin x tan 21x cos x sin )1(22==+）商数关系：（平方关系：二、基础自测())(()()())A 23cos(21)A sin()(5cos ,0tan ,54sin )(423D 23C 21B 21A cos ,21)sin()(322D 22C 42B 42A tan 0,2,31cos 2012233D 33C 3B 3A 330tan 20121=-π=+π=θ>θ-=θ±±=α=α+π--=α⎪⎭⎫⎝⎛π-∈α=α--=︒，那么如果教材改编则若教材改编则已知教材改编则若陕西咸阳模拟浙江台州第一模拟考试 设计意图及师生活动：设计了5个小题帮助生回顾基础知识和方法。
让学生给出答案，如有问题师生共同订正答案。
学生出错的题目由生自主订正，不会的题目教师讲解。
三、聚焦考向透析考向一：同角三角函数关系及应用[例1] （2013·枣庄月考）已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 〔思路点拨〕（1）由已知式和平方关系式求出sin α和cos α，再利用商数关系求出tan α。
同角的三角函数基本关系及正、余弦诱导公式
同角的三角函数基本关系及正、余弦诱导公式命题人: 南昌二中李天寿 2005. 3一、知识要点1. 掌握八个同角三角函数关系式2. 能正确合理选用同角三角函数关系式解决“知一求五”问题3. 诱导公式: (一) 关于形如角“n π±α”, “函数名不变, 符号看象限”;(二)关于形如角“212+n π±α”, “函数名余变, 符号看象限”.(三) “纵变横不变, 符号看象限”.4. 方法及技巧: 切割化弦; 齐次式化为f(tan α);“sin α±cos α与sin αcos α”中知一求二; 1的变换; 特殊方程|sin α·sin β|=1的解.二、题型 (一) 选择题1. 化简:)3tan()cot()cot()tan()2sin(απαπαπαπαπ----+-, 其值为( ) A.－1 B. 1 C. －cos α D. sin α 2. sin(π+6π)·sin(2π+6π)·sin(3π+6π)·…·sin(102π+6π)的值等于( ) A.10221 B. －10221 C. 1025123 D. －1025123 3. 如果|cosx|=cos(π－x), 则x 的取值范围是( ) A. 2k π－2π≤x ≤2k π+2π B. 2k π+2π≤x ≤2k π+23π C.(2k+1)π≤ x ≤2(k+1)π D. 2k π+2π<x<2k π+23π(k ∈Z)4. 在△ABC 中, 给出下列四个式子: (1)sin(A+B)+sinC; (2)cos(A+B)+cosC; (3)sin(2A+2B)+sin2C; (4)cos(2A+2B)+cos2C. 其中为常数的是( ) A. (1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D. 以上都不对5. sin[k π+(－1)1-k α]cos[k π+(－1)k α]·tan[k π+(－1)1+k α](k ∈Z)的化简结果是( ) A. sin 2α B. －sin 2α C. ±sin 2α D. k 为奇数时是sin 2α; k 为偶数时是－sin 2α.6. 若sin(π－α)=log 841, 且α∈(－2π, 0), 则cot(2π－α)的值是( ) A. －25 B. 25 C. ±25D. －527. 已知cos(α+β)=－1, 且tan α=2, 则tan β的值等于( ) A. 2 B.21 C. －2 D. －218. 已知sin α·sin β=1, 则cos(α+β)=( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. ±19. 1cos 4sin 2++θθ=2, 则(cos θ+3)(sin θ+1)的值为( ) A. 4 B.0 C. 2 D. 0或4 10. 若x xsin 1sin 1+-=tanx －secx, 则角x 的取值范围是( ) A.2π+2kπ<x<π+2k π(k ∈Z) B.2π+2k π<x<23π+2k π(k ∈Z) C. π+2k π<x<23π+2k π(k ∈Z)D.－2π+2k π<x<2π+2k π(k ∈Z) 11. 已知sinx+cosx=137 (0<x<π), 那么tanx=( ) A. －512B.－125C.512D. 12512. 已知sin θ, cos θ是关于x 的方程4x 2+2mx+m=0的两个根, 则m 的值为( ) A. m ∈[－34, 0) B. m=1－5 C. m=1±5 D. m=1+5(二) 填空题 13. sin 629π+cos(－329π)－tan 425π的值为_____________14. 若f(cosx)=cos2x, 则f(sin 125π)=____________.15. 已知tan θ=－34, 则7cos 158sin 5-+θθ的值为_______________16. 给出下列等式: (1)cos(π－α)=cos(－α); (2)tan(－623π)=3; (3)sin 57π=sin(－53π); (4)sin(－10650)=cos 1219π. 其中恒成立的等式是______________________(三) 解答题17. 若(－4, 3)是角α终边上的一点, 则)5cos()3sin()4tan()3sin(πααπαππα+-+--.18. 已知lgtanx －lgsinx=lgcosx －lgcotx+2lg3－23lg2, 求sinx －cosx 的值.19. 已知sin(α－5π)=a, (a ≠±1, 且a ≠0), 求cos(α+514π)·tan(α－511π)+)526cos()59tan(αππα-+的值. .20. 求证: )1cos )(sin 1cos (sin cos sin 2+--+x x x x xx =x x sin cos 1+21. 已知BA 22sin sin +cos 2A ·cos 2C=1, 求证: tan 2A=tan 2B ·sin 2C.22. 若f(x)=1－2a －2acosx －2sin 2x 的最小值为g(a) . (1) 求g(a); (2)当g(a)=21时, 求a 的值, 并求此时f(x)的最大值参考答案:一、DBBBA BCAAB AB 二、填空题: 13. 0; 14.23; 15. 2或－43; 16. (3)、(4).三、解答题: 17.解:sinα=53, cos α=－54. 原式=)cos (sin tan )sin (ααα-⋅⋅-a =αα2cos sin =161518.解: lgx x x x cos sin cot tan =lg 229, lg x x cos sin 1= lg 229,sinxcosx=922, 故sinx －cosx=±2)cos (sin x x -=±x x cos sin 21-=±9241-=±3122-.19. 解: 原式=cos[3π+(α－5π)]tan[－2π+(α－5π)]+)]5(5cos[)]5(2tan[παππαπ---+=[－cos(α－5π)]tan(α－5π)+)5cos()5tan(παπα---=－sin(α－5π)－)5(cos )5sin(2παπα--=－a －21a a -=2312aaa --. 20.左边=22)1(cos sin cos sin 2--x x x x =x x x x cos 2cos 2cos sin 22+-=xx cos 1sin -=xx xsin )cos 1(sin 2-=x x x x sin )cos 1()cos 1)(cos 1(-+-=x x sin cos 1+=右边. 故原等式成立21. 证明: 已知等式变形为: sin 2A+cos 2Acos 2Csin 2B=sin 2B, 两边同除以cos2A, 得到tan2A+ cos2Csin2B=sin2B(1+tan2A);tan 2A=BC B 222sin 1)cos 1(sin --= tan 2B ·sin 2C. 故等式成立.22. 解: f(x)=2cos 2x －2acosx －2a －1=2(cosx －2a )2－22a －2a －1(1) －1≤cosx ≤1, 2a∈R. ①2a<－1时, cosx=－1, g(a)=1 ② 2a>1时, cosx=1, g(a)=1－4a③ －1≤2a ≤1时, cosx=2a , g(a)= －22a －2a －1.综上所述: g(a)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<2,41;22,122;2,12a a a a aa (2)由(1)及g(a)=21, 可求得a=－1,f(x)=2cos 2x+2cosx+1=2(cosx+21)2+21故cosx=1, 即x=2k π(k ∈Z)时, [f(x)]max =5.。
高考数学一轮复习教学案同角三角函数的基本关系与
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[知识能否忆起]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式 角 函数 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[小题能否全取]1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22C ．－32D.32解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45° ＝－22. 2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．(教材习题改编)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案：125．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1， tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.答案：－255应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．同角三角函数的基本关系式典题导入[例1] (1)(·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________. [自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4， ∴sin 2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2. 原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.法二：由已知得sin α＝2cos α. 原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.[答案] (1)D (2)－16在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________. 解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.答案：85由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.以题试法1．(1)(·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0， 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案：(1)B (2)±64三角函数的诱导公式典题导入[例2] (1)tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[自主解答] (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.[答案] (1)－1 (2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k ·360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法2．(1)(·滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B.32C.3－12D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. (2)由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：(1)B (2)1诱导公式在三角形中的应用典题导入[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，则A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 故cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0， 则(－sin A )(－cos B )tan C <0， 即sin A cos B tan C <0，∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π，∴sin A >0，⎩⎨⎧cos B <0，tan C >0或⎩⎪⎨⎪⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.3．(·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43解析：选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.4．(·淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0， 所以sin α＋cos α＝15.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 7．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是________． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 28．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcosθ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 答案：3109．(·中山模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 答案：－2310．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32； (2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α ＝－2cos α＝－4.12．(·信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是( ) A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3 解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，求tan B . 解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.①又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32， 则A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立， 故A ＝π3. (2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0，∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去，故tan B ＝2.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．mB ．－m C.1－m 2 D ．－1－m 2解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.证明：左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79. 又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227.。
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第11讲同角三角函数基本关系式与诱导公式<■概述理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学重点C0S X式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断I I理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+ cos2x= 1, 沁二tan x；应用诱导公教学难点C0s x式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断!■■■■■■ ■■■■■■■【教学建议】本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三角函数线，三角函数值在各象限的符号等知识点的基础上进行的•同角三角函数的基本关系式是三角函数的模块的重点之一也是历年高考考查的热点，为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了知识基础，同时也初步向学生渗透三角函数与代数结合辩证分析的基本思想和方法•【知识导图】1—1 求値问题■教学过程一、导入［考情展望］1•利用同角三角函数的基本关系求三角函数值•2•借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值、知识讲解知识点1 •同角三角函数关系1 .平方关系：Sin2a+ COS2a= 1sin a n2.商数关系：tan a= COS—(a亏+ k n k€ Z) cos a 2知识点2诱导公式［方法技巧］诱导公式记忆口诀对于角k n±a^ k^ Z)的三角函数记忆口诀奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变”是指当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变” •符号看象限”是指在a的三角函数值前面加上当a 为锐角时，原函数值的符号”.二、例题精析例题1UKC0S-^-【题干】 的值为( )诟 _ 1 V3 1A. —B. - C •— D.-【答案】D 【解析】化简=' ■ -=■'=例题234_ ■ ■ 5 5C .【答案】 【解析】是角终边上的一点,-叹｝=5i —-故选A .【题干】已知点'：是角汝边上的一点，则s )就尺-cr)=.()A .B .例题3【答案】D 【解析】si™ 57J 心 竝，故选.例题 4【题干】化简 "=()A . sin 2+cos2B . sin 2-cos2C . cos2-si n2D . 土(cos2-si n2)【答案】A【解析】根据诱导公式，化简/l--2—2}=十2J ［歸址。
生2sin2> 0.同書用2| > |cos2| = J(sin2T~cos7)^ =sin2+ c os2又因为•所以选A例题5【题干】已知Sin (( n + a) =-*，且a 是第一象限角 (1 )求cos a 的值(2)求 tan ( n + a ) cos ( n- a) — sin ( + a)的值.【题干】 已知'是第二象限的角，且sinaA .1277B .a.•••是第二象限的角，且siw=htana【答案】(1) —； (2)—【解析】所以cos a 寸1 -吕i 朋Q =_学| 5(1) sin( n a =所以 sin =5且a 是第一象限角cos a—sin111=-tan a cos — sin (——+ a(2=—tan a cos — cos—sin a —四、课堂运用基础【答案】B【解析】4因为」一，且'为第二象限角,s H HS g=--g °,故选B.5in(-100a0) c 05(-2200°) tan(-lO) 心2.给出下列各函数值：①：②：③；④. 其中符号为负的是( )A. ① B .② C. ③ D .④【答案】C【解析】sin (- 1000 ° =si n (—2 >360 °- 280 ° = - sin280 °cos10 °> 0,cos (- 2200 °=cos (- 6 X360 °-40 °=cos40 °> 0,tan (- 10 ) = - tan (3 n+0.58) = - tan (0.58 ) v 0故选：C.41.若’：，且•为第二象限角, £ ana =(3-4D4-3Q3-■3 勲口口 w - 所以：viacosa -—即■-，（舍负），巩固0+ cos 0=，贝U sin 0— cos 0 的值为(5 炳 0 + CQS B = -1 +2 5 in3 cosd =-由：可得—< 6<0— cos9 =— JCsOid — 尸则故选3.已知 a t am =—3是第四象限角，且 “s 饥口 =，则cosa【答案】 —【解析】 v'101~10~ 是第四象限角，且 tana. =—3sina =— 3c osa ，即 将其代入恒等式宀®=1可得航故答案为-v Tsvl7 ~T~ ~T~cTA .B .C.D【答案】D【解析】/17~T- vlit5i na=t O wsi™r ^-3x —=-3\1D 104.已知sintamr =2 n.cofa +5 inStr =5.已知，贝U【答案】1【解析】taivx =2?故答案为：1.功X30”卄眄二*6.已知，则cos (60 —的值为A.C.【答案】【解析】涇cos (60 °-a) =sin[90 — 60 °a) ]=sin (30 ° a) /，故选C.拔高2i ajia • s ma= 3：< tr < 0 5 incr7.已知?，则等于()v-3 1 1Y _T Z 2A.B. C. D .【答案】B2t a7ia ■ s ina= 3ar a a a【解析】由整理可得：2sin2 =3cos ,即：(2cos -1) (cos +2) =0, :c:七十冷itxc&sa原式AHAcarfE-l11-2x2 .—=1 B.-—< 05 二一莒■/ -1 v cosA v 1，解得：cosA=-，由题-，贝U■故选B.8.已知一 「，且’ 一4CQ JK -1 討———rnirif-H 2£(1 )求的值;(2 )求4^inirosx — cos :x的值.7&4【答案】(1) ：; (2)'：【解析】SIJ1X+；(1 )••• :25 inxcosx31 35x e (― rr.O)?(jiwt-cojx)2 =1-25 injcco5x= £/• sinx v 0, cosx > 0,二 sinx - cosx v 0,-(2 )由(1)知,5inx+C05T=右7S ITUi — C 吵耳=—-*s;nx =-，解得4 x3COSX= T t (rnx=--? ?£ UTJt+jt ■血*课堂小结P1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围.2•注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号•注意“ 1的灵活代换.3•应用诱导公式，重点是函数名称”与正负号的勺正确判断.基础自讯（一 2055°）=（）v'6->,r 24小44A .B .C .D .【答案】C【解析】H 琐-2055°) = -5in20SS c =-sirt(Sx36O fl + 2S5°) =-sin2SS° =-sin(180o + 7S G ) = 5fn7S p^Jinf45fl + 30J )=5故选C.iff 3；ere (-J.0) suwt =-- cosa=2•已知，，贝U ____________【解析】住色（一?0） sirur =—-由题「，'tan( 4- a) = t a nr = 结PMIE 44【答案】： 4 即答案为（1）.- (2).3.已知a€ 3n n2 ,tan a= 2,贝V COS a= _______ sin a= ________【答案】cos a=—sin2”5 5课后作业fem 仗 +<r)二?ccj£i=Vl - nM-n =-则【解析】依题意得ta n a=sin aCOSasin2a+ COS2a= 1 ,由此解得cos2a= 5；又妖(n予,因此cos—尊Sin 2.55 巩固4.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin =—，贝V sin = ____________ .31【答案】丄3【解析】因为与关于y轴对称，则2k ，所以sin 2k1 sin —35.已知【答案】【解析】五严丽平方可得:sm()C 0^(- )+ t an{ )6•计算：^ _【答案】0【解析】4 cos( -y +:an(yff) -s+r tjn-^ - i + ( - +拔高7. 已知COS(75 °+ a= 一，a是第三象限角，(1) 求sin(75 °+ a 的值.(2) 求COS(a—15 ° 的值.⑶求sin(195 —a+cos(105O—a的值.12 12 10【答案】(1)—：；(2)—：; (3):【解析】(1) v COS(75 °+o)=…>0, a是第三象限角, 二75°+ a是第四象限角，-^1—^05^(75* + ct)=——且sin(75°a = Li12(2) cos a—15°)= cos[90 —(75 °+ "]= sin(75 ° a= —■(3) sin(195。
一a +cos(105O— a=sin[180 0+ (15。
一a]+cos[180O0—(75 ° "]=—si n(15 — a —cos(75 + a=—sin[90 —(75 + 咖一cos(75 °+ ain=—2cos(75 °+M= ：18. 已知a是三角形的内角，且sin a+ cos a= 5.(1) 求tan a的值；(2) 把厂」厂用tan a表示出来，并求其值.cos1 2 3 4 5a—sin2a1【解析】(1)联立方程sin a+ cos a= 7", ① sin2a+ cos2a= 1 , ②51由①得cos a=- —sin a将其代入②，整理得25sin2a—5sin a—12= 0.[2分] 5sin a= 4 cos a= — 6 , ［4 分］5 5••• tan a= — 4.［6 分］・2 i 2sin a+ cos asin 7 a+ cos 2 a cos 2 a tan 2 a+ 1 2 cos 2 a 2 tan a+ 19. 在A ABC 中，若 sin(2 — A)——Q 2sin( sin A — V 2si n B , 由已知得 ■y 3cos A —寸 2cos B ,①2 + ② 2 得 2cos 2A — 1,即 cos A — ±22.(1)当cos A —子时，cos B —于，又A 、B 是三角形的内角,n n7…A —4, B —6，…c —冗一(A + B) —12n .⑵当cos A — —孑时，cos B ——于.又A 、B 是三角形的内角，3 5n n 7•-A — 4n B — 6n 不合题意•综上知，A — 4,B — 6，C — 12冗.a 10 分］7—厂［8分］cos a — sin a 1 — tan a4 2 2+ 1 3 +1 1 - -32275.［12分］a 是三角形的内角，.cos 2 a 2 - 2 COS a — Sin a •/ tan a= — 3, 3 ____12 ・ 2 — 2 cos a — sin a 1 — tan —B), Q3cos A =—{2cos( — B)，求△ABC 的三个内角. ①【解析】■I教学反思B。