微分方程知识题及答案解析

微分方程习题
§1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.
（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22
（2）⎰'=''=+y 0 22
2t -)(,1e y y y x dt
2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-；
（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3）
23xy xy dx
dy
=-；
（4）0)22()22
(=++-++dy dx y y x x y
x .
2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y
e y ；
（2）2
1 ,12=
=+'=x y
y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln
+='x
y
y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）
1 ,0
22=-==x y y
x xy dx dy ；
（2）1 ,02)3(0
22==+-=x y
xydx dy x y .
5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2
)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11
+-=
'y
x y （4）0)1()1(2
2
=++++dy y x xy x dx xy y
6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .
7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.
8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，
现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？
9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解 （1）2x x
y
y =-
'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ； （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； （4）)
(ln 2x y y
y -=
'；
（5）
1sin 4-=-x e dx
dy
y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0
==-'=x y
x x y y ；
(2)1|,sin 0==+
'=x y x
x x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x ϕ满足方程
⎰+=+ x
1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ.
5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62y x x
y
y =+
' （2）x y x y y tan cos 4+=' （3）0ln 2=-+y x x dy
dx
y
（4）2
12
1
xy x xy y +
-='
§4 可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。

(1)y y x '''=+；（2）1
22+'=
''x y x y ；2
(3)20yy y '''-=()3
41y y ''=
()2
002.1,0,1
x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解
（2）0 ,0 ,20
2
='
=='+''==-x x x y y
e y x y
3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12
+=
x
y 相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：
0,0(,)
1(2
32=≠='+''K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负
5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？
§5 高阶线性微分方程
1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证
)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解
2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===，试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.
3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.
§6 二阶常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解 （1）02=-'+''y y y ； （2）0136=+'+''y y y ；
（3）044=+'+''y y y ； （4）02)4(=+''+y y y .
2．求下列微分方程的特解 （1）10y ,6 ,0340
x 0
='
==+'-''==x y y y y
（2）5y ,2 ,0250
x 0
='
==+''==x y
y y
（3）3y ,2 ,01340
x 0
='==+'-''==x y y y y
3.设单摆摆长为l ，质量为m ，开始时偏移一个小角度0θ，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移θ随时间t 变化的规律.
4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s
，求
浮筒质量.。

5
.长为6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为
1m ，问需多少时间链条全部滑过桌面.
§7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解 （1）x xe y y y -=+'+''323； （2）x y y y 2345-=+'+''；
（3）x x y y cos 4='+''；
（4）x y y 2sin =-''；
（5）)4(2+='-''+'''x e x y y y . 2．求下列微分方程的特解
（1）2(0)y ,6)0( ,523='==+'-''y y y y ；
（2）1)(y ,1)( ,02sin ='==++''ππy x y y
3.设连续函数)(x f 满足 ⎰-+=x
x dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f .
4.一质量为m 的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k ）
，求此物体之运动规律.
5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.
6.大炮以仰角α、初速0v 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.
§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组
1.求下列微分方程的通解
（1）32322x y y x y x y x =-'+''-'''； （2）x
x y x y y 22=+'-
''.
2．求下列微分方程组的通解
（1）⎪⎩⎪⎨⎧-+=-++-=+33y x dt
dy dt dx y x dt dy
dt dx
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--00432
222y x dt y d y x dt x
d
自测题
1.求下列微分方程的解。

（1）x
y
x y y tan +=
'； （2）0)2(2=-+dy x y x ydx ；
.
（3）x
xy y y y -+='22
2；
（4）x x y y 2sin ='-''.
2．求连续函数)(x ϕ，使得0>x 时有⎰=1
0 )(2)( x dt xt ϕϕ. 3．求以x e x x C C y 2221)(-++=为通解的二阶微分方程.
4．某个三阶常系数微分方程 0=+'+''+'''cy y b y a y 有两个解x e 和x ，求c b a , ,.
5．设)()(x f y x p y ='+''有一个解为x
1
，对应齐次方程有一特解2x ，试求： （1）)( ),(x f x p 的表达式； （2）该微分方程的通解.
6．已知可导函数)(x f 满足关系式： 1)(1
)()
( 1 2
-=+⎰x f dt t f t f x
求)(x f .
7．已知曲线)(x y y =上原点处的切线垂直于直线012=-+y x ，且)(x y 满足微分方程
x e y y y x 2cos 52=+'-''，求此曲线方程.
微分方程习题答案
§1 基本概念
1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22
y
x y y x y y y x y x -='-='+'--2)2(:0
22::移项求导解
故所给出的隐函数是微分方程的解
（2）⎰'=''=+y
0 22
2t -)(,1e y y y x dt .
解：隐函数方程两边对x 求导
012
2=+'-
y e
y
方程两边再对x 求导
()0][2
2=''+''--
y y y y e
y
指数函数非零，即有
2)(y y y '=''
故所给出的隐函数是微分方程的解
2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）
（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ；
()1
02)(2:222=+''
-=+='++y y y y y c x y y c x 代入原方程得解出求导得
（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.
4:,2cos 42sin 4:)2sin (22cos 2:212121=+''--=''-+='y y c c x c x c y x c x c y 得消去再求导得求导得
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

解：设曲线为 y = y ( x )则曲线上的点()y x ,处的切线斜率为y '，由题意知所求方程为
2x y ='
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

解：曲线上的点()y x ,处法线方程：()1
Y y X x y
-=-
-'。

故法线x 轴的交点为Q 坐标应为(),0yy x '+，又PQ 为y 轴平分，故()1
02
yy x x '++=⎡⎤⎣⎦， 便得曲线所满足的微分方程：
02=+'x y y
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

解：点P ()y x ,处切线方程：()Y y y X x '-=- 故Q 坐标为()0,y y x '-，则有
2PQ =
=
则得初值问题为： 22
2(1)4
x x y y ='⎧+=⎪⎨=⎪⎩
§2可分离变量与齐次方程
1．求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； 解:分离变量
c
x y x dx y dy x dx y dy +=-=--=
-⎰
⎰
arcsin arcsin 11,1122
2
2
得两边积分
（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； 解:分离变量
22sec sec tan tan xdx ydy
x y =-⇒(tan )(tan )
tan tan d x d y x y =-⇒
⎰⎰1ln tan ln tan x y C =-+⇒
1ln tan tan x y C =
1ln tan tan x y
C e
e =⇒
1tan tan C x y e =⇒1tan tan C x y e =±⇒
tan tan x y C =其中1
C C e =±
（3）23xy xy dx
dy
=-； 解
:
23dy
xy xy dx
-=⇒(3)dy
xy y dx
=+分离变量得
(3)dy xdx y y =⇒+(3)
dy
xdx y y =⇒
+(3)dy
xdx y y =+⎰
⎰
133dy dy xdx y y ⎡⎤
-=⇒⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰2
111ln ln 332
y y x C ⎡-+⎤=+⇒⎣⎦213
ln
332
y x C y =+⇒+ 2
13ln
33
2
y x C y e e
++=⇒
213323x C y e e y =±⇒+2323
x y Ce y =+其中1
3C C e =± （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y
x .
解
：
分
离
变
量
得
222121
y x
y x dy dx =-⇒-+222121y x
y x dy dx =-⇒
-+⎰⎰()()212121
21
y x y x d d --=-⇒-+⎰
⎰
1ln 21ln 21y
x
C -=-++⇒()()1ln 2121y
x
C -+=⇒
()()
1ln 2121
y x C e
e -+=⇒
()()1ln 2121C y x e -+=⇒()()1
2121C y x e -+=±⇒
()()2
121y
x C
-+=其中1
C C e =±
2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y
e y ；
)
1(2
1
21021
20222+==
=+====⎰⎰x y x x y x y
x y e e c y c
e e dx
e dy e
dx
e dy e 所以特解为：解得由解：
（2）2
1 ,12=
=+'=x y
y y y x 解：分离变量得
2dy dx y y x =⇒-⎰
⎰11()1dx dy y y x -=⇒-⎰⎰ 11
ln ln y x C y
-=+
1
1ln
ln y x C y
e
e
-+=⇒
1
1C y e x y
-=⇒11C y e x y -=±⇒ 1
y Cx y
-=，其中1C C e =±，
由1
1
2
x y
==
得1C =-，故特解为1y xy =-
3．求下列微分方程的通解 （1）)1(ln
+='x
y
y y x ； 解：方程变形为齐次方程
(ln 1)dy y y dx x x =+，y u x =令，则dy du u x dx dx
=+，故原方程变为(ln 1)dy u x u u dx +=+，分离变量得ln du dx u u x =，两边积分ln du dx
u u x
=⎰⎰
，即ln ln d u u ⎰dx
x
=⎰，故1
ln ln ln u x C =+，得1
ln ln ln u x C e e
+=⇒
1
ln C u e
x =⇒1
ln C u e x =±⇒ln y
Cx x
=，其中1
C C e
=±
（2）03)(233=-+dy xy dx y x .
解：方程变形为齐次方程3
2
13y dy x
dx y x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭=⎛⎫
⎪⎝⎭，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为3
2
13du u u x dx u
++=，分离变量得 2
3312u du dx u x =-，两边积分2
3312u du dx u x =-⎰⎰，即()3
3
112212d u dx u x
--=-⎰⎰，即()33
12212d u dx
u x
-=--⎰
⎰
， 得
31ln 122ln u x C -=-+⇒31ln 122ln u x C -+=⇒
()321ln 12u x C -=⇒
()
32
1ln 12u x C e
e -=⇒
()132
12C u x e -=⇒13212C y x e x ⎡⎤⎛⎫-=±⇒⎢
⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13
212C y x e x ⎡⎤⎛⎫-=±⇒⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦332x y Cx -=其中1C C e =±
4． 求下列微分方程的特解 （1）
1 ,0
2
2=-==x y y x xy
dx dy ；
解：原方程化为21y
dy x dx y x =⎛⎫
- ⎪⎝⎭，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为2
1du u
u x dx u
+=-，分离变量得231u dx du u x -= 两
边
积
分
231u dx du u x
-=⎰⎰，即
311dx du u u x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
⎰⎰，得
211ln ln 2u u x C --⋅-=+⇒211
ln ln 2
u u x C --⋅=++⇒ 211ln 2
u ux C --⋅=+⇒211ln 2u y C e e --⋅+=⇒2
11
2u C e e y --⋅=⇒ 2
112x y C e
e y ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭
=±⇒2
12x y e
Cy ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭
=其中1
C C e =±1
C C e =±，由0
1x y
==得1C =，故
特解为2
12x y e y ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭
=
（2）1 ,02)3(0
2
2==+-=x y
xydx dy x y .
解：原方程可化为,322
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
x y x y dx dy 令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为
,322--=+u u
dx du x
u 分离变量得23
3,u dx du u u x
-=-两边积分233u dx
du u u x -=-⎰⎰，即
11311dx du u u u x ⎛⎫+-= ⎪-+⎝⎭⎰⎰得23
3
1ln ln 1ln 1ln ln ln u u u u x C u
--++-=+即23
1ln ln u Cx u -=得231u Cx u -=，即2
31y x Cx y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫
⎪⎝⎭
，又01x y ==得特解为
.2
23x y y -=
5． 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2
)(y x y +='； 解：令u x y
=+则
1dy du dx dx =+，原方程变为21du u dx -=，分离变量并积分21
du
dx
u =+⎰⎰得arctan u x C =+
故方程通解为arctan()x y x c +=+ （2）)ln (ln y x y y y x +=+' 解：,
x y u ⋅=令则dy du x
y dx dx +=，原方程变为ln du u
u dx x
=，分离变量并积分
ln du dx u u x =⎰⎰，即ln ln d u dx
u x =⎰⎰
得1ln ln ln u x C =+，得ln u Cx =，即ln xy Cx =，其中1C
C e =±故方程通解为c x
xy e = （1
1ln ln ln ln ln u
x C C e
e
u e x u Cx +=⇒=⇒=，其中1
C C e =±）
（3）11
+-=
'y
x y 解：x y u -=令，则1dy du dx dx -
=，原方程变为1
11du dx u
-=+，分离变量并积分
udu dx -=⎰⎰得
22u x C -=+故方程通解为2
()2
x y x C --=+ （4）0)1()1(2
2
=++++dy y x xy x dx xy y
解：,
x y u ⋅=令则dy du
x y dx dx
+=，原方程变为221du u u x u dx u u +=-++，分离变量并积分231u u dx
du u x ++=⎰⎰，
得2
111ln ln 2
u
u u x C ----+=+，即()23212x y C xy =+其中1C
C e =±
（分析原方程可变形为()()
2
2
1xy xy dy x x y xy dx xy xy +⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭++，故令,x y u ⋅=令）
（
32111dx du u u
u x ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭⎰⎰，
2111ln ln 2
u u u x C ----+=+⇒2111ln 2u C u u x --=++⇒，2111ln 2
u
C u u x
e e --++=⇒ ()1
2
112C y e xy xy ⎛⎫
=±+⇒ ⎪ ⎪⎝⎭
()23212x y C xy =+其中1C C e =±） 2
2222
3222222212ln 2:ln 21
1ln :11)1
1()1(1
1,1,)1()1(:
y cx xy y y x c x u u u x dx du u u u u u x u x u u u x u x u x y u x y u xy xy dx
dy y x xy y x =--+=--=++--='+-++'+-='==+-=++⎰⎰得通解解得代入上式
令解 6． 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等
于常数2a .
解：曲线点P （x , y ）的切线方程为： )(x X y y Y -'=-
该曲线与x 轴交点记为B ，则B 坐标为,0y x y ⎛⎫-
⎪'⎝⎭
， 过点P （x , y ）平行于y 轴的直线和x 轴交点记为A ，则A 坐标为(),0x 故三角形面积为
212y AB AP x x y a y ⎛⎫
=--= ⎪'⎝
⎭ 即有微分方程2
2
2dy
y a dx
=± 当2
2
2dy y a
dx
=时用分离变量法解得2
()2y C x a -= 当222dy y a dx
=-时用分离变量法解得2()2y C x a +=
7． 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度
为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.
).
1()
ln(0)ln(0
.).(,||00
|t m
k t t e k mg v mg k
m
c v c kv mg k m
t kv
mg mdv dt v dt
dv m kv mg v k kv mg F dt
dv
m ma F -==-===+--
=-=
==--===所以得：解得由积分得：求解方程：
及初始条件：满足微分方程：便得为比例常数而解：根据
8． 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉
%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色
后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 解: t 以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得
p dt dp
4.0-=
通解为: c t p +-=ln 25
加以初始 p(0)=0.3, 便可求出 p(t)=0.3e
t
4.0-及p(30)=0.3e
12
-
然后与实测比较知,此人胰脏不正常.
9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
解：设t 时刻容器内含盐)(t P ，10)0(=P ，由于t 时刻容器内液体为：100+t ，因此t 时刻容器内浓度为：t
t P t Q +=100)
()(.于是在t 时刻盐的流失速度为：)(2t Q ，从而有)(t P 满足的方
程为：
t t
t P t dP 2100)
()(+-
=
初始化条件为:
)
(9.325600
100000
60.
)100(100000
100000,10)100()100(ln ln )100ln(2ln 100210602
02
2
0kg p ，
t t P c P t c P t c c t P dt t
p dp P t t t ≈==+=
==+=
+==+-=+-=====分钟时当于是求得由
§3 一阶线性方程与贝努利方程
1．求下列微分方程的通解 （1）2x x
y
y =-
'； 解：法一：常系数变易法：解齐次方程0y
y x
'-
=，分离变量得dy dx y x =， 积分得1ln ln y x C =+，即y Cx =，其中1C C e =±（注：在常系数变易法时求解齐次方
程通解时写成显式解；
1ln ln y x C =+⇒1
ln ln y
x C e
e
+=⇒1C y e x =⇒y Cx =其中1C C e =±。

设非齐次方程有解()y u x x =，代入非齐次方程有()()()2
u x x u x u x x '+-=，即
()u x x '=，
故()2
12u x x C =+，非齐次微分方程的通解22x y x C ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
法二（公式法）
112
dx dx x x y e x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭
⎰()
ln 2ln x
x
e x e
dx C -=+⎰
()x
xdx C =+⎰
22x x C ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；
22
2cos 11
x x
y y x x '+
=--解： 故
2222112cos []1
x
x
dx
dx
x x x y e
e dx C x -
--⎰⎰=+-⎰ 21[cos ]1xdx C x =
+-⎰2sin 1
x C
x +=- （()22212)11
d x x
dx x x -=--⎰⎰
（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； 解：方程变形为
11
ln dx x dy y y y
+= 故1
ln ln 11dy dy
y y y y x e e dy C y -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰ln ln ln ln 11y y y e e dy C -⎡⎤=+⎣⎦⎰ 1
11ln ln y ydy C y
⎡⎤=
+⎣⎦⎰ ()2111ln ln 2y C y ⎡⎤
=
+⎢⎥⎣⎦
即2
2ln ln x y y C =+，其中12C C =
（4）)
(ln 2x y y
y -=
'；
解：方程变形为
22
ln dx x y dy y y
+=，
.
故22
2ln dy dy y y x e y e dy C y -
⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰2ln 2ln 2ln y y
e y e dy C y -⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 2
212ln y y dy C y y ⎡⎤=
⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(
)
212ln y ydy C y
=+⎰22
1
1ln 2y y C y ⎡⎤
⎛⎫=
-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
即2
2
1ln 2xy y y C ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
（
分
部
积
分
法：
2
2ln ln y ydy ydy =⎰⎰2
2
ln ln y y y d y =-⎰2
ln y y yd y =-⎰2
2
ln 2y y y C =-+）
（5）
1sin 4-=-x e dx
dy
y 解：两边同乘y
e 得4sin y
y
dy e x e dx
=-，即4sin y y de x e dx =-， 故令y
u e =，则原方程变为
4sin du
u x dx
+= 故(4sin )dx dx
u e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰，即(4sin )x x u e x e dx C -=⋅+⎰
得[2(sin cos )]x
x
x
u e x e x e C -=⋅-⋅+
即原方程通解为2(sin cos )y
x
e x x Ce -=-+
（sin x x e dx ⋅⎰
用分部积分法积分）
2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0
==-'=x y
x x y y ；
解：tan tan [sec ]xdx xdx y e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰sin sin cos cos [sec ]x
x
dx dx x x e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰
cos cos cos cos [sec ]d x
d x x
x
e x e dx C -
⎰
⎰
=⋅+⎰lncos lncos [sec ]x x e x e dx C -=⋅+⎰()1cos dx C x
=
+⎰
(0)00y c =⇒=代:cos x y x
=
特解 (2)1|,sin 0==+
'=x y x
x x y y 解：11
sin []dx dx x x x y e e dx C x -
⎰⎰=⋅+⎰ln ln sin []x x x e e dx C x
-=⋅+⎰
()11y c ππ=⇒=-代1
[sin ]xdx C x
=+⎰1(cos )x C x =-+
1
:(cos 1)y x x
π=--特解
3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.
解：由题意可得：0
2,0x y x y
y ='=+⎧⎪⎨
=⎪⎩
于是：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰+⎰-⎰=C dx dx xe dx e y 22x x e xe dx C -⎡⎤=+⎰⎢⎥⎣⎦
[2()]x x e xd e C -=-+⎰{}
2x x x
e xe e dx C --⎡⎤=--+⎣⎦
⎰(22)x x x e xe e C --=--+ 由00x y ==得2C =，故曲线方程为2(1)x
y e x =-- 4．设可导函数)(x ϕ满足方程
⎰+=+ x
1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ.
解：问题为初值问题()()()()cos sin 2sin 1
01
x x x x x x ϕϕϕϕ'-+=⎧⎪⎨=⎪⎩
该微分方程为线性微分方程故()tan tan sec xdx
xdx x e xe dx C ϕ-⎡⎤⎰
⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎰
2cos sec x xdx C ⎡⎤=+⎣⎦
⎰()cos tan x x C =+
又()01ϕ=得1C =，故()sin cos x x x ϕ=+
5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.
解：由dt di L Ri E +=及可得：问题为初值问题0510sin 50
t di
i t
dt i =⎧+=⎪⎨⎪=⎩
该微分方程为线性微分方程故
5510sin 5dt dt i e te dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪
⎝⎭
⎰ ()
5510sin 5t
t
e te
dt C -=+⎰
5sin5cos5t t t Ce -=-+
又0
0t i
==得1C =，故5sin 5cos5t i t t e -=-+
（分部积分法积5sin5t te dt ⎰
）
6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62y x x
y
y =+
' 解：原方程变形为-6
-521dy y
y x dx x +=，令5z y -=，则6
5dz dy
y dx dx
-=-， 故原方程变为线性微分方程25
5dz z x dx x
-=-
故55
2[(5)]dx dx
x x z e e x dx C -⎰⎰=-+⎰
5ln 5ln 2[(5)]x x e e x dx C -=-+⎰552[(5)]x x x dx C -=-+⎰3
552
x Cx =
+ 贝努利方程的通解为5
3
552
y
x Cx -=
+ （2）x y x y y tan cos 4+='
原方程变形为4
3tan cos dy y
x y x dx ---⋅=，令3z y -=，则4
3dz dy
y dx dx
-=- 故原方程变为线性微分方程3tan 3cos dz
x z x dx
+⋅=-
故3tan 3tan 3cos xdx xdx
z e x e dx C -⎛⎫⎰⎰=-⋅+ ⎪⎝⎭
⎰
()
3lncos 3lncos 3cos x
x
e x e
dx C -=-⋅+⎰()
32
cos 3sec
x
xdx C =-+⎰3cos (3tan )x x C =-+
贝努利方程的通解为3
3cos (3tan )y x x C -=-+
（3）0ln 2=-+y x x dy
dx
y
解：方程变形为2
111ln dx x
x y dy y y --+=，令1z x -=，则2dz dx x dy dy
-=-
故原方程变为线性微分方程
ln dz z y dy y y
-=- 故11
ln dy dy
y y y z e e dy C y -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰2ln y y dy C y ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰1ln y ydy C -⎡⎤=+⎣⎦⎰ 12ln y y y y dy C --⎡⎤=-+⎣⎦
⎰ln 1y Cy =++
贝努利方程的通解为1
ln 1x
y Cy -=++，即()ln 11x y Cy ++=
（4）2
1
2
1
xy x xy y +
-=
'
解：方程变形为1
12
221x y y y x x -
'-=-，，令1
2z y =，则121
2dz dy y dx dx
-= 故原方程变为线性微分方程21212
dz x x
z dx x -⋅=- 故2211221
112x
x dx dx x x z e
xe dx C ---⎛⎫⎰
⎰=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰()1
2
2
411(1)3
x C x =-+- 贝努利方程的通解为()1
1
22
2
411(1)3
y x C x =-+-
§4 可降阶的高阶方程
1． 求下列方程通解。

2． (1)y y x '''=+
解：令dy p dx =，则22d y dp dx dx =，原方程变为线性微分方程
dp
p x dx
=+ 故1dx
dx
p e xe dx C -⎛
⎫⎰⎰
=+ ⎪⎝⎭
⎰
()
1x x x
e xe e C --=--+
故()1x x
x y e
xe
e C dx --=--+⎰
即2
122
x
x y C e x C =--+
（2）1
22
+'=
''x y x y ；
解：令dy p dx =，则22d y dp dx dx =，原方程变为可分离变量的微分方程221
dp xp
dx x =
+， 分离变量积分得
221dp x dx p x =+⎰⎰，得()211p C x =+
故(
)
2
11y C x dx =+⎰，即3
1123
C y x C x C =
++ 2(3)20yy y '''-=
解：令dy
p dx
=，则22d y dp dp dy dp p dx dx dy dx dy =
==，原方程变为可分离变量的微分方程220dp
yp
p dy
-= 若0p =，即0y '=，故y D = 若0p ≠，分离变量积分
2dp p dy y
=⎰⎰，得2
1p C y =， 即
21dp
C y dx
=，分离变量积分12dy C dx y -=⎰⎰，得121C x C y -=+
()341y y ''=
解：令dy
p dx
=，则22d y dp dp dy dp p dx dx dy dx dy =
==，原方程变为可分离变量的微分方程31dp
y p
dy
= 分离变量积分3
pdp y dy -=
⎰⎰，得221p y C -=-+
，即
dy
dx
=
变形得dy dx =
，分离变量积分dx ±=⎰
即
()211
1C y dx
±-=⎰
得(2
1
1
2x C C ±
=+，
即
12C x C =+
即()2
2
1121C y C x C -=+
()2002.1,0,1
x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解
解：令dy
p dx
=，则22d y dp dp dy dp p dx dx dy dx dy =
==，原方程变为可分离变量的微分方程2dp
p
p dy
= 由01x y ='=-，知0,p ≠分离变量积分
dp
dy
p =⎰⎰得1y
p C e =，000,1
x x y y =='==-得11C =- 即
y dy
e dx
=-，分离变量积分y e dy dx --=⎰⎰得2y e x C --=+，由00x y ==得21C =- 故特解1y
e
x -=+
（2）0 ,0 ,20
2
='
=='+''==-x x x y y e y x y
解：令dy p dx =，则22d y dp dx dx =，原方程变为线性微分方程22x dp
xp e dx
-+=
故2222211
xdx xdx x x x p e e e dx C xe C e ----⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭
⎰
由00 0, 0x x y
y
=='==得10C =，即
2x dy
xe dx
-= 故2
2
212x x y xe dx e C ---==⋅+⎰，由0
0x y
==得21
2
C =，
故特解为()
2
112
x y e -=-
3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12
+=
x
y 相切的积分曲线. 解：由题意，原方程可化为：00
''1
',12x x y x y y ===⎧⎪
⎨==⎪⎩
2
1,102322031'211
',,
2211',
22
1,
621,1,
11
162
x x y x C y C y x x
y x C y C y x x ==∴=
+===+=++==∴=
++ 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：
0,0(,)1(2
32=≠='+''K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负）
用y 作自变量，令y p '=得：
Kdy p pdp =+2
32)
1(，
12
12)1(1C Ky p +=+-，
从而 2
121)()(1C Ky C Ky p ++-=，
dx C Ky dy C Ky =+-+2
11)
(1)(，
再积分：
221)(1C Kx C Ky +=+-，
1)()(2221=+++C Ky C Ky ，
222211)()(K
K C x K C y =+++
.
5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？
解：由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=a
v kv
dt dv
m )0(，
可得 t m
k
ae
v -=，
再从 ⎪⎩
⎪⎨⎧==-0)0(s ae dt ds
t m
k ，
得到 )()(t m k
ae a k
m
t s --=，
根据 b t v t s ==)(,)(00δ，
可得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==-)
(0b a m k b
ae t m k δ，b a b a t ln 0-=δ
§5 高阶线性微分方程
1．已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证
)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解
的解
是故代入方程的左边
将所以其满足方程的解是解)()()()(0
)()())()(())()(())(())(()()()()(,:21222111
2121212121x f y x q y x p y y y x f x f y x q y x p y y x q y x p y y y x q y y x p y y y y ，，x f y x q y x p y y y =+'+''-=-=+'+''-+'+''=-+'-+''--∴=+'+''
3． 已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解
x e y x y x y 33221 , ,===，试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.
解：212y y x x -=-；2323x
y y x e -=-是齐次微分方程的解，
且2122323x y y x x y y x e
--=≠--常数，故原方程通解为22312()()x y C x x C x e x =-+-+ 由(0)0, (0)3y y '==得2102C C ==，，即特解为2
32y x x =-
3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.
1
)(111)1(,110,1:213
22
13221322
2
111
++-=≠--=--=-==++--=''='=++-=''='x c e x c y 。

，y y y y 。

x y y ，e x y y ，
y 。

y ，e xe e x e y e y 。

y ，x x y y x x x x x x x 故通解为故线性无关常数个解也是齐次微分方程的一解是齐次微分方程的一个也是微分方程的解易观察得是解故满足方程代入微分方程是解故满足方程代入微分方程解
§6 二阶常系数齐次线性微分方程
1． 求下列微分方程的通解 （1）02=-'+''y y y ；
x
x
e
c e
c y r ，r r r r r 22121212,0)1)(2(,02:+==-==-+=-+-通解解得特征方程解
（2）0136=+'+''y y y ；
)2sin 2cos (232
16
6,0136:2132x c x c e y i r r r x +=±-=-±-=
=++-通解特征方程解 （3）044=+'+''y y y ；
x
e
x c c y r r r r r 2212122)(2,0)2(,044:-+=-===+=++通解特征方程解
（4）02)4(=+''+y y y .
解：特征方程为4
2
210r r ++=，即(
)
2
2
10r +=得()2
0r i ±=
即特征方程为有二重共轭复根r i =±
故方程通解为()()1234cos sin y C C x x C C x x =+++
2．求下列微分方程的特解 （1）10y ,6 ,0340
x 0
='
==+'-''==x y
y y y
x x x
x x x e e y c c c c c c y y e c e c y e c e c y r r r r r r 3212121321321212242
4
103610
)0(,6)0(3,3,1,0)3)(1(,034:+=⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+='=+='+====--=+-特解代通解解
（2）5y ,2 ,0250
x 0
='
==+''==x y
y y
x
x y c c y y x
c x c y i r i r r 5sin 5cos 2,1,25)0(,2)0(5sin 5cos 5,5,025:2121212+===='=+=-===+特解解出代通解解
（3）3y ,2 ,01340
x 0
='
==+'-''==x y
y y y
())
3sin 3
1
3cos 2(3
1
,23)0(,2)0(3sin 3cos 322
52
164,0134:2212122,12x x e y c c y y x c x c e y i
r r r x x -=-
==='=+=±=-±=
=+-特解解出由通解解
3.设单摆摆长为l ，质量为m ，开始时偏移一个小角度0θ，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移θ随时间t 变化的规律.
解：在t 时刻，P 点受力mg 中垂直于摆的分量为： θθmg mg F ≈=sin ，如图：
此为造成运动之力.而此时线加速度a 为2
2dt
d l
θ，故有
θθmg dt
d
ml
-=2
2.
从而方程为：
02
2=+
θθl
g
dt d ， 初始条件：0)0(θθ=，0)0(='θ， 解得通解为：=)(t θx l
g c x l g c sin cos
21+ 特解为：=)(t θx l
g cos
0θ 4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下震动，周期为2s ，求浮筒质量.
解：建立如图所示的坐标系，
取圆筒在平衡时（此时重力与浮力相等）筒上一点为坐标原点，设筒在上下振动时该点位移为)(t x ，则有)()(x F t x m =''.其中)(t F 为由于筒离开平衡位置后产生的浮力：
g x R t F 1000)(2⋅⋅-=π.
由此可得振动方程：22
21(0.5)1000,2
d x m gx dt π=-⨯⋅
该方程的通解为
12(),x t C C =+
根据周期为s T 2=
2,=
解出 1000195()16g
m kg π
==.
5.长为6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m ，问需多少时间链条全部滑过桌面.
解：坐标系如图，原点于链尾点P ，链条滑过的方向为x 轴的正方向建立坐标系，
于是0)0(,0)0(='=x x , 由 g x t x m ρ)1()(+=''， ρ6=m
观察得一特解：1-=x ， 于是通解为：
12x C C e
=+
求0t ，由5)(0=t x ， 得：0t ＝）
（356ln 6
+g
§7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1． 求下列微分方程的通解 （1）x xe y y y -=+'+''323；
解：特征方程为2
320r r ++=，特征根为122,
1r r =-=-，
故对应齐次方程通解为212x
x y C e
C e --=+
本题中1λ=-是特征方程的单根，故可设原方程有特解
*()x y xe Ax B -=+
代入原方程有[]()[]()123()3x Ax B x Ax B x '''++-⨯++=
得3
,32
A B ==-
故原方程通解为2123
(3)2
x x x y C e C e xe x ---=++-
（2）x y y y 2345-=+'+''；
解：特征方程为2
540r r ++=，特征根为121,4r r =-=-，
故对应齐次方程通解为412x
x y C e
C e --=+
本题中0λ=不是特征方程的根，故可设原方程有特解
*y Ax B =+
代入原方程有()()025()4()32Ax B Ax B Ax B x '''++⨯++++=-
得111
,28
A B =-=
故原方程通解为412111
28
x x y C e C e x --=+-+
（3）x x y y cos 4='+''；
解：特征方程为2
40r r +=，特征根为120,4r r ==-，
故对应齐次方程通解为412x
y C C e -=+
构造复方程4ix
y y xe '''+=
复方程中i λ=不是特征方程的根，故可设复方程有特解
*()ix y e Ax B =+
代入复方程得
()()()224()4()Ax B i Ax B i i Ax B x '''+++++++=
得76224
,28914i i A B i
-+==
- 故复方程有特解41762*()17289ix i i y x e +-=-+41762()(cos sin )17289i i
x x i x +-=-++
故复方程特解的实部17642
cos cos sin sin 1728917289x x x x x x -+++为原方程的
一个特解，
故原方程的通解为41217642
cos cos sin sin 1728917289
x y C C e x x x x x x -=+-
+++
（4）x y y 2sin =-''；
解：原方程即为 11
cos 222
y y x ''-=
-
特征方程为2
10r -=，特征根为121,1r r ==-， 故对应齐次方程通解为12x x
y C e C e -=+
显然12y y ''-=
有特解112y =- 对1cos 22y y x ''-=-构造复方程2142
ix
y y e '''+=-
设复方程有特解22ix
y ae =，代入复方程有()()2
1
40212
a i a i a ''⎡⎤'+++-=-
⎣⎦
得110a =
，即复方程有特解22111
cos 2sin 210
1010
ix y e x i x ==+ 故1cos 22y y x ''-=-有特解21cos 210
y x *
==，
所以原方程有特解11cos 2102
y x *
=-
故原方程有通解1211cos 2102x x
y C e C e x -=++-
（5）)4(2+='-''+'''x e x y y y .
解：特征方程为32
20r r r +-=，特征根为1230,2,1r r r ==-= 故对应齐次方程通解为2123x x
y c c e c e -=++
对()21x
y y y xe
''''''+-=，
1λ=是()1特征方程的单根，可设()1有特解1()x y x Ax B e =+
解得114()69
x
y x x e =- 对()242y y y x
''''''+-=，
0λ=是()2特征方程的单根，可设()2有特解2()y x Cx D =+
解得2(1)y x x =--
故14()(1)69
x
y x x e x x *
=-+--是原方程的一个特解 故原方程通解为212314
()(1)69
x
x
x y C C e c e x x e x x -=+++-+--
2．求下列微分方程的特解
（1）2(0)y ,6)0( ,523='==+'-''y y y y ；
2
5
52352
32
525*21;0)2)(1(023:221221221212+
+-==-
=++==
=+====--=+-x x x x x x e e y c c e c e c y A A y e c e c y r r r r r r 特解代初始条件解出通解代入方程确定设
齐次的通解特征方程解
（2）1)(y ,1)( ,02sin ='==++''ππy x y y
解法一：原方程即为sin 2y y x ''+=-
特征方程为2
10r +=，特征根为12,r i r i ==-，
故对应齐次方程通解为12cos sin y C x C x =+ 构造复方程24ix
y y e
'''+=-
复方程中2i λ=不是特征方程的根，故可设复方程有特解
*ix y Ae =
代入复方程得
()()2
220211A i A i A ''⎡⎤'+⨯+++=-⎣⎦
得1
3
A =
故复方程有特解2111
*cos 2sin 2333ix y e x i x ==+
故复方程特解的虚部1
sin 23
x 为原方程的一个特解，
故原方程的通解为121
cos sin sin 23y C x C x x =++
由()1, y ()1y ππ'==得特解11
cos sin sin 233
y x x x =--+
2． 设连续函数)(x f 满足 ⎰-+=x
x dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f .
解:由题意有()
(0)1,(0)1
x f e f x f f ''⎧=-⎨
'==⎩
特征方程为2
10r +=，特征根为12,r i r i ==-
故对应齐次方程通解为12cos sin y C x C x =+
1λ=不是特征方程的根，故可设原方程有特解
()x f x Ae *=
解得
()1
2x f x e *=
故原方程的通解为()121
cos sin 2x f x C x C x e =++
由(0)1,(0)1f f '==得本题解为()111
cos sin 222
x f x x x e =++
（注 0
() ()()x
x
f x e t x f t dt =+
-⇔⎰
() () ()x x
x
f x e tf t dt xf t dt =+-⇔⎰⎰
() () ()x x
x f x e tf t dt x f t dt =+-⇒⎰⎰ 0
()() ()()x
x f x e xf x f t dt xf x '=+--⇒⎰
()() ()()x x f x e xf x f t dt xf x '=+--⇒⎰ 0
() ()x
x f x e f t dt '=-⇒⎰()()x f x e f x ''=-
4.一质量为m 的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k ），求此物体之运动规律. 解：取坐标系如图：
设t 时刻该质点离水平面为)(t x ，其加速度为2
2dt x d ，所受的力为dt
dx
k
mg -，便得)(t x 满足的微分方程为：。