逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)
22逻辑代数的基本定律和规则
A+ AB
B0 = 1A + C0，则 B0 = C 吗？ =11AC10，则00B = C00吗？
逻辑代数基础
三、重要规则
(一) 代入规则 将逻辑等式两边的某一变量均用同
一个逻辑函数替代，等式仍然成立。 AA A
A均用 代替 A均用 代替 B均用C代替
利用代入规则能扩展基本定律的应用。
逻辑代数基础
0
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 1
1
111 1
1
公式法 右式 = (A + B) (A + C)
用分配律展开
= AA + AC + BA + BC
= A + AC + AB + BC
= A (1 + C + B) + BC
= A ·1 +BC
= A + BC
逻辑代数基础
(二) 逻辑代数的特殊定理
作业题： 2. 5 2.6
(二) 反演规则 对任一个逻辑函数式 Y，将“·”换成
“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量
换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 Y 。
变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非
号保持不变。
原运算次序为 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法： 利用反演规则或摩根定律。
(三) 对偶规则
逻辑代数基础
对任一个逻辑函数式 Y，将“·”换成 “+”，“+”换成“·”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶式 Y 。
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
_ _ _
_
_ _
_
三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)
Y AB AC
①求出反函数的最简 与或表达式
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函数的最 简或与表达式
Y ( A B)( A C )
15
4、最简或非-或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。
则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对
偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y (A B)(C D E)
Y ABC DE
Y ABC DE
8
P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶 规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
0
00
1 11
0
101 101源自001 011
11
0 00
A B A+B A+B A B
0
00
1 11
0
11
0 10
1
01
0 01
1
11
0 00
A+B
1 1 1 0
A·B 1 0 0 0
2
2.3.2 逻辑代数的基本定 律
（1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 111
或运算：0 0 0 0 11 1 0 1 111
10
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。
逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。
逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。
逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。
若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。
【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。
逻辑代数的基本知识
逻辑代数的基本知识 1. 逻辑代数的基本定律根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。
①交换律： A+B = B+A ， A • B = B • A；②结合律： A+(B+C) = (A+B)+ C ， A • (B • C) = (A • B) • C；③分配律: A •(B+C) = A • B+A • C ， A+B • C=(A+B) • (A+C)；④互非定律: A+A = l ，A • A = 0 ；1=+A A ，0=•A A ； ⑤重叠定律（同一定律）：A • A=A， A+A=A ；⑥反演定律(摩根定律）：A • B=A+B 9 A+B=A • B B A B A •=+，B A B A +=•；⑦还原定律: A A = 2. 逻辑代数的基本运算规则 （1）代入规则在逻辑函数表达式中凡是出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。
例如，已知A+AB=A ，将等式中所有出现A 的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D) + (C+D)B = C+D 。
（2）反演规则对于任意的Y 逻辑式，若将其中所有的“ • ”换成“ + ”换成“ • ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y 的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。
运用反演规则时应注意两点： ① 要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。
例：CD B A Y +=应写为))((D C B A Y ++= 证： ))((D C B A CD B A CD B A Y ++=•=+=② 不属于单变量上的非号应保留不变。
例：)(E D C C B A Y•+•= 则[])()(E D C C B A Y ++•++=D C B A Y +•= 则 D C B A Y •++=（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y 中所有的算符“ • ”换成“ + ”换成“ •”，常量 “0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y 的对偶式，记为Y’。
逻辑代数的基本定理基本规则逻辑函数简化(18)
A B ，用函数Y=AC代 例如，已知等式 AB 替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC ) B AC B A B C
5
例、证明：A+C+D=A • C • D
证明： A+C+D=A • C+D 求反律A+B=A•B 用Y=C+D代替B
=A • C • D
它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和 Y2是相等的，记为Y1=Y2。
若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。
Y A B C D E
Y ( A B )( C D E )
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
A B A B A
即就是摩根定理，可以推广到多个变量
6
（ 2 ）反演 ( 求反 ) 规则：对于任何一个逻辑表达式 Y ，如果将 表达式中的所有“ ·” 换成“＋”，“＋”换成“ ·” ，“ 0” 换成 “ 1” ，“ 1” 换成“ 0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量 ，那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数Y（或称补函数）。 这个规则称为反演规则，亦称求反规则。例如：
F与/或
与非/与
反演规则
两次求反 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
18
非 运 算 ： 1 0
逻辑代数的公式与基本定理
序号
公式
序号
公式
规律
1
A·0=0
10
A+1=1
0-1律
2
A·1=A
11
A+0=A
0-1律
3
0 1； 1 0
12
4
A·A= A
13
A A
A+A=A
还原律 重叠律
5
A A 0
14
A A1
互补律
6
A·B=B·A
15
A+B=B+A
交换律
7
A·(B·C) = (A·B)·C
16 A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
AB CD ABD(E F) AB CD
被吸收
2.反变量的吸收：
证明： A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如： A ABC DC A BC DC 被吸收
3.混合变量的吸收：
证明： AB AC BC
1
AB AC ( A A)BC
2
A AB A B
3
AB AB A
4
A(A+B)= A
AB AC BC AB AC
5
AB AC BCD AB AC
6
AAB AB ； AAB A
规律 吸收律 吸收律
吸收律
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+A=BA(1+B=)A•1=A
长中含短，留下短。
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
8
A·(B+C)=A·B + A·C 17 A+B·C =(A+B) ·(A+C) 分配律
逻辑函数(布尔代数)运算规则
逻辑函数（布尔代数）运算规则根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。
一、逻辑运算基本公式1.逻辑常量运算公式·与运算：111 001 010 000=⋅=⋅=⋅=⋅·或运算：111 101 110 000=+=+=+=+ ·非运算：10 01==2.逻辑变量、常量运算公式·0-1律：⎩⎨⎧=⋅=+A A A A 10 ⎩⎨⎧=⋅=+0011A A ·互补律： 0 1=⋅=+A A A A·等幂律：A A A A A A =⋅=+ ·双重否定律：A A =3.逻辑代数的基本定律(1)与普通代数相似的定律·交换律：⎩⎨⎧+=+⋅=⋅A B B A A B B A ·结合律：⎩⎨⎧++=++⋅⋅=⋅⋅)()()()(C B A C B A C B A C B A·分配律：⎩⎨⎧+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅)()()(C A B A C B A C A B A C B A 利用真值表很容易证明这些公式的正确性。
如证明A·B=B·A ：(2)吸收律·还原律：⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+⋅AB A B A A B A B A )()( ·吸收率：⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+⋅=+⋅⎩⎨⎧=+⋅=⋅+BA B A A B A B A A A B A A A B A A )( )( ·冗余律：C A AB BC C A AB +=++(3)摩根定律反演律（摩根定律）：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++=⋅BA B A B A B A . 二、逻辑代数的三个重要规则1.代入规则：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置（包括等式两边）都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。
这个规则称为代入规则。
2.反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y 的反函数Y （或称补函数）。
逻辑代数的基本定律及规则
逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。
在实际中，可以通过列真值表来判断。
二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。
由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。
三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。
1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。
利用代入规则可以扩大定理的应用范围。
例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。
逻辑代数的基本定律和规则
（3）、对偶规则： 首先了解什么是对偶式；
对偶式：已知函数为 F ，将 F 中的所有 “·” 换为 “＋”，“＋” 换为 “·” ，0 换为 1 ，1 换为 0，变 量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式 F′。 F AB C 例： F ' A BC
F ( A B)( A C 1) F ' AB AC 0
◇与非逻辑表达式： F A B ◇与非门逻辑符号：A B& NhomakorabeaF
A B
F
A B
F
◇与非门真值表：
A B F A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
与非门运算顺序是： 有0为1,全1为0
先与后非
1 0
即：当输入A、B中，只要有一个 0,输出就是 1,只有输入全为 1时， 输出才是0。
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
F AB CD ◇工作波形图：
A B C D F
A,B为两个单刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上 220V F 面，另一个开关打在下面。两个开关 同时打在上面或者下面，则灯不亮。 假设： ★取F=1列与项逻辑式。 真值表： 开关打在上面为1 ★如果输入变量是“1”,记原 开关打在下面为0 A B F 变量。如果输入变量是“0”, 记反变量。 灯亮为1 0 0 0 灯灭为0 0 1 1 ★对任何一种输入变量组合， 异或运算特点： 1 0 1 变量之间是“与”运算。 相异为1，相同为0 1 1 0 ★各组合之间是“或”逻辑关 系。 F AB AB A B ◇由真值表写出逻辑表达式：
逻辑代数的基本运算规则有
逻辑代数的基本运算规则有逻辑代数是一门研究命题和命题之间关系的学科，它通过对命题进行逻辑运算，从而得到新的命题。
逻辑代数的基本运算规则包括与运算、或运算、非运算和异或运算。
与运算是逻辑代数中最基本的运算之一，它表示两个命题同时为真时，结果才为真。
与运算的运算规则是简单直接的，即如果两个命题都为真，则结果为真；否则，结果为假。
例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P与Q的与运算结果可以表示为P ∧ Q。
当且仅当P和Q都为真时，P ∧ Q的结果为真。
或运算是逻辑代数中另一个重要的运算，它表示两个命题中至少有一个为真时，结果为真。
或运算的运算规则是通过考虑两个命题的真值来确定的。
如果两个命题中至少有一个为真，则结果为真；否则，结果为假。
例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P和Q的或运算结果可以表示为P ∨ Q。
当且仅当P和Q中至少有一个为真时，P ∨ Q的结果为真。
非运算是逻辑代数中的一种运算，它表示对一个命题的否定。
非运算的运算规则是简单明了的，即如果一个命题为真，则其否定为假；反之，如果一个命题为假，则其否定为真。
例如，假设有一个命题P表示“今天下雨”，那么P的否定可以表示为¬P。
当且仅当P为假时，¬P的结果为真。
异或运算是逻辑代数中的一种特殊运算，它表示两个命题中只有一个为真时，结果为真。
异或运算的运算规则是通过考虑两个命题的真值来确定的。
如果两个命题中只有一个为真，则结果为真；否则，结果为假。
例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P和Q的异或运算结果可以表示为P ⊕ Q。
当且仅当P和Q中只有一个为真时，P ⊕ Q的结果为真。
以上是逻辑代数中基本运算规则的介绍。
在实际应用中，逻辑代数可以用于电路设计、计算机科学、数学推理等领域。
逻辑代数的基本运算规则是这些应用的基础，通过对命题进行与运算、或运算、非运算和异或运算，我们可以得到更复杂的命题，进而进行更深入的推理和分析。
逻辑代数基本公式
逻辑代数基本公式逻辑代数是一种用于逻辑项的数学工具。
在逻辑代数中，有许多基本公式，这些公式是我们进行逻辑运算必须掌握并灵活运用的工具。
首先，我们要介绍逻辑代数的基本运算符：与（∧）、或（∨）、非（¬）。
其中，“与”表示两个命题都成立的情况，“或”表示两个命题中至少有一个成立的情况，“非”则是指命题的否定。
接下来，我们要介绍逻辑代数的基本公式：1.德摩根定律德摩根定律是逻辑代数中最经典的公式之一。
它的形式如下：（¬A）∨（¬B）=¬（A∧B）（¬A）∧（¬B）=¬（A∨B）这个定律的意义在于，将“非”运算符从一个命题移到另一个上时，必须同时改变并置换“与”和“或”运算符。
例如：“既不是A也不是B”等价于“不是（A和B）”。
2.分配律分配律的形式如下：A∧（B∨C）=（A∧B）∨（A∧C）A∨（B∧C）=（A∨B）∧（A∨C）分配律在进行逻辑运算时非常实用。
例如，可以将一个复杂的命题转化为一个简单的命题，从而更容易理解。
3.结合律结合律的形式如下：（A∧B）∧C=A∧（B∧C）（A∨B）∨C=A∨（B∨C）结合律指的是，多个有相同运算符的命题可以成员结合在一起。
例如，（A∧B）∧C 等价于A∧（B∧C）。
4.交换律交换律的形式如下：A∧B=B∧AA∨B=B∨A交换律指的是命题中多个项之间可以交换位置，而不影响命题的结论。
例如，A∧B 等价于B∧A。
5.对偶原理对偶原理是基于真值表同构的，它用于将一个表达式的真值表中0 和 1 互换，统称为互为对偶。
其公式如下：¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B其中，左侧是原式，右侧是公式的对偶形式。
逻辑代数中的这些基本公式，可以帮助我们更加容易地进行逻辑运算，简化逻辑命题，并且在实践中具有广泛的应用。
我们应该认真学习这些公式，并对其进行灵活的运用。
第二章_逻辑代数基本原理及公式化简
逻辑变量与逻辑函数
逻辑变量：表示 逻辑值（真/假） 的变量，通常用 小写字母表示
逻辑函数：基于 逻辑变量通过逻 辑运算符进行运 算的函数，其结 果为逻辑值
逻辑运算与运算规则
逻辑代数的基本 概念
逻辑运算的符号 与表示
逻辑运算的规则 与性质
逻辑运算的化简 方法
03
逻辑代数基本原理
分配律
定义：逻辑代数中的分配律是指一个逻辑变量可以分配到任何逻辑运算中 公式表示：A(B+C)=AB+AC 应用场景：在逻辑电路设计中，分配律常用于简化逻辑表达式 实例：假设A=B=C=1，则A(B+C)=B+C=1+1=1，AB+AC=1*1+1*1=1
数字系统设计中的公式化简
公式化简在数字系统设计中 的作用
公式化简的实例分析：如计 数器、译码器等
数字系统的组成与设计流程
公式化简在数字系统设计中 的优势与局限性
06
总结与展望
逻辑代数基本原理及公式化简的重要性
逻辑代数是数字电路设计的基础 公式化简是提高设计效率的关键 逻辑代数基本原理在计算机科学中的应用 公式化简在计算机科学中的重要性
逻辑代数基本原理 及公式化简
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目录
添加目录项标题 逻辑代数基本原理 公式化简应用实例
逻辑代数基本概念 公式化简方法 总结与展望
01
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02
逻辑代数基本概念
逻辑代数定义
逻辑代数是一种用于描述离散逻辑变量的数学工具 逻辑变量只能取0或1两个值 逻辑代数的基本运算包括与、或、非三种 逻辑代数的基本定律包括交换律、结合律、分配律等
未来发展趋势与挑战
逻辑代数基本原理及公式化简
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未来发展方向与挑战
新技术与新应用
随着技术的不断发展，数字电路设计面临着 新的挑战和机遇，需要不断探索新的设计方 法和工具，以适应新的需求。
复杂系统设计
随着系统规模的扩大和复杂性的增加，需要研究更 加高效的设计方法和算法，以应对复杂系统的设计 挑战。
人工智能与自动化
人工智能和自动化技术的发展为数字电路设 计提供了新的思路和方法，可以进一步提高 设计的效率和智能化水平。
02
利用逻辑代数基本原理，可以分析组合逻辑电路的输入和输出
关系，简化电路结构。
通过公式化简，可以将复杂的逻辑表达式转换为简单的形式，
03
便于理解和应用。
时序逻辑电路的分析与设计
01
02
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时序逻辑电路由触发器 和逻辑门电路组成，具
有记忆功能。
利用逻辑代数基本原理 ，可以分析时序逻辑电 路的状态转移和输出特
分配律与结合律
分配律
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C，(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C
结合律
(A+B)+C=A+(B+C)，(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
公式化简的步骤与技巧
利用分配律和结合律化简
利用吸收律和消去律化简
利用吸收律和消去律简化表达式 ，消除冗余项。
利用分配律和结合律将表达式重 组，便于化简。
在自动化控制系统中，逻辑代数用于描述和优化控制逻辑。
逻辑代数的发展历程
起源
逻辑代数由英国数学家乔治·布尔（George Boole ）在19世纪中叶提出。
发展
随着电子技术和计算机科学的进步，逻辑代数在 20世纪得到了广泛的应用和发展。
逻辑函数代数的运算法则
逻辑函数代数的运算法则逻辑函数代数的运算法则包括以下几个方面：1. 否定律（Negation Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x')= f'(x)，即一个逻辑函数的否定等于其补函数。
2. 同一律（Identity Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x, x) = f(x)，即逻辑函数与自身进行“与”运算其结果不变。
3. 不变律（Null Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x, 1) =f(x)，f(x, 0) = 0，即逻辑函数与真值1进行“与”运算结果不变，与假值0进行“与”运算结果为0。
4. 吸收律（Absorption Law）：对于任意逻辑函数f(x)和g(x)，有f(x, f(x, g(x))) = f(x, g(x))，f(x, g(x, f(x))) = f(x)，即逻辑函数与自身进行“或”运算不变，进行“与”运算在错误情况下也能保持结果。
5. 分配律（Distribution Law）：对于任意逻辑函数f(x)，g(x)，h(x)，有f(x, g(x, h(x))) = f(x, g(x))，f(x, g(x)) ' h(x) = f(x, g(x)) 'f(x, h(x))，即逻辑函数的“与”操作在“或”操作上分配，相同地，“或”操作在“与”操作上分配。
6. 排中律（Excluded Middle Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x) ' f(x') = 1，即一个逻辑函数与其否定进行“或”运算的结果为真值1。
7. 确定律（Definition Law）：对于任意逻辑函数f(x)和g(x)，有f(x) = g(x) 当且仅当f(x) ' g(x) = 0和f(x) ' g’(x) = 0，即两个逻辑函数相等当且仅当它们的真值表相同。
这些运算法则在逻辑函数代数中起到了重要的作用，通过这些法则可以化简和优化逻辑函数的表达式，方便逻辑电路的设计和分析。
逻辑代数的基本规则
逻辑代数的基本规则
逻辑代数是一种数学系统，用于处理逻辑关系。
以下是逻辑代数的基本规则：
1. 0 和1 规则：0 和1 分别代表逻辑中的假和真。
2. 与运算规则（AND）：如果A 和B 都是真，则A AND B 为真；如果A 和B 中至少有一个为假，则A AND B 为假。
3. 或运算规则（OR）：如果A 或B 中至少有一个为真，则A OR B 为真；如果A 和B 都为假，则A OR B 为假。
4. 非运算规则（NOT）：如果A 为真，则NOT A 为假；如果
A 为假，则NOT A 为真。
5. 分配律：A (B OR C) = (A B) OR (A C)，A (B AND C) = (A B) AND (A C)。
6. 结合律：(A OR B) OR C = A OR (B OR C)，(A AND B) AND C =
A AND (
B AND C)。
7. 交换律：A OR B = B OR A，A AND B = B AND A。
8. 吸收律：A OR A = A，A AND A = A。
9. 互补律：A OR NOT A = 1，A AND NOT A = 0。
10. 德摩根定律：NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)，NOT
(A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)。
逻辑代数的基本规则
逻辑代数的基本规则1. 代⼊规则在任何⼀个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量 A，都⽤⼀个函数代替，则等式依然成⽴，这个规则称为代⼊规则。
2. 反演规则根据摩根定理，由原函数 L 的表达式，求它的⾮函数 ! A 时，可以将 L 中的与(&&)换成或(||)，或(||)换成与(&&)；再将原变量换为⾮变量(如A 换成 ! A)，⾮变量换为原变量；并将 1 换成 0，0 换成 1；那么所得的逻辑函数式就是 ! L。
这个规则称为反演规则。
利⽤反演规则，可以⽐较容易地求出⼀个原函数的⾮函数。
运⽤反演规则时必须注意以下两个原则：(1) 保持原来的运算优先级，即先进⾏与运算，后进⾏或运算。
并注意优先考虑括号内的运算。
(2) 对于反变量以外的⾮号应保留不变。
1 In[34]:= L = \[Not] A \[And] \[Not] B \[Or] F \[And] G \[Or] False23 Out[34]= (! A && ! B) || (F && G)45 In[35]:=6 \!\(\*OverscriptBox[\(L\), \(_\)]\) = (A \[Or]7 B) \[And] (\[Not] F \[Or] \[Not] G) \[And] True89 Out[35]= (A || B) && (! F || ! G)1011 In[36]:= L =12 A \[Or] \[Not] (B \[And] \[Not] F \[Or] \[Not] (G \[Or] \[Not] H))1314 Out[36]= A || ! ((B && ! F) || ! (G || ! H))1516 In[37]:=17 \!\(\*OverscriptBox[\(L\), \(_\)]\) = \[Not]18 A \[And] \[Not] ((\[Not] B \[Or]19 F) \[And] \[Not] (\[Not] G \[And] H))2021 Out[37]= ! A && ! ((! B || F) && ! (! G && H))3. 对偶规则设 L 是⼀个逻辑表达式，若把 L 中的与(&&)换成或(||)，或(||)换成与(&&)；True 换成 False，False 换成 True，那么就得到⼀个新的逻辑函数式，这就是 L 的对偶式，记作 L'。
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（2）反演(求反)规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将 表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量 ，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。 这个规则称为反演规则，亦称求反规则。例如：
Y AB CDE
0
00
1 11
0
10
1 10
1
00
1 01
1
11
0 00
A B A+B A+B A B
0
00
1 11
0
11
0 10
1
01
0 01
1
11
0 00
A+B
1 1 1 0
A·B 1 0 0 0
2
2.3.2 逻辑代数的基本定律
（1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 111
AB AB A
(A B) (A B) A
A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
注意：1、在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运 算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最 后非运算，否则容易出错。
2、F的对偶式F’与反函数F不同，在求F’时不要求将 原变量和反变量互换，所以一般情况下，F’ ≠ F，只有在特殊情 况下才相等。
若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。
1
例2.3.1 用真值表证明摩根定律A•B=A+B，A+B=A •B
证明：列出真值表
A
B AB A•B A B
12
一个逻辑函数的表达式可以 有与或表达式、或与表达式、与 非-与非表达式、或非-或非表达 式、与或非表达式5种基本表示形 式。对应的门为与或门、或与门 、与非门、或非门、与或非门。
13
1、化简为最简与或表达式
乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与 或表达式。
Y ABE AB AC ACE BC BCD
Y (A B)(C D E)
注意：
1、变换时要保持原式中的运算顺序。
2、不是在“单个”变量上面的“非”号应保持不
变Y 。A B C D E
Y AB CD E
Y ABC DE
Y=A•B •C •D •E
7
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将 表 达 式 中 的 所 有 “ ·” 换 成 “ ＋ ” ， “ ＋ ” 换 成 “ ·” ， “0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可
得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函
数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y (A B)(C D E)
Y ABC DE
Y ABC DE
8
P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
2.3 逻辑代数的基本定理和基本规则
2.3.1 逻辑函数的相等
逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
Y1 f ( A, B,C,) Y2 g( A, B,C,)
它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和 Y2是相等的，记为Y1=Y2。
AB AC BC AB AC
最简与或表达式
14
2、最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非
-与非表达式。
Y AB AC AB AC AB AC
②用摩根定律去 掉下面的非号
①在最简与或表达式的基础上两次取反
3、最简或与表达式
例如，已知等式 AB A B ，用函数Y=AC代
替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC)B AC B A B C
5
例、证明：A+C+D=A • C • D
证明： A+C+D=A • C+D =A • C • D
求反律A+B=A•B 用Y=C+D代替B
即就是摩根定理，可以推广到多个变量
9
逻辑代数的运算顺序和书写方式有如下规定：
1、运算顺序和普通代数一样，应先算括号里内容，然后算 乘法，最后算加法。 2、“•”一般 可省略，逻辑式求反时可以不再加括号。
如：（A•B+C）+（D•E）•F ==> AB+C+DEF
3、先或后与的运算式，或运算要加括号。
如： （A+B) •(C+D)不能写成A+B •C+D。
逻辑代数的公式和定理是推演、变 换及化简逻辑函数的依据。
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2.3.4 逻辑函数简化的意义和最简的概念
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单 ，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠 。
例:化简Y=ABC+ABC+AB
解： Y=ABC+ABC+A+AB =A
输入A = 输出Y, 不需要门
括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。
Y AB AC
①求出反函数的 最简与或表达式
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
10
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。
或运算：0 0 0 0 11 1 0 1 111
非运算： 1 0 0 1
3
（2）逻辑代数的基本定律 P21 表2.3.4
重点强调
A B A B A
8、吸收律
1：
( A
B)
(A
B)
A
4
2.3.3 逻辑代数运算的基本规则
（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果 将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等 式仍然成立。这个规则称为代入规则。