数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论

-、等差数列

（1）等差数列的基本公式

①通项公式：a^ a i （n - 1）d （从第1项印开始为等差）

a n = a m - （n- m）d （从第m项a m开始为等差）

比代二nd

a n=a m+（ n-m）d=仁a n-a m

d = ----

— m

L.n

②前n项和公式：皿且2訂务

2 2

（2）证明等差数列的法方

①定义法：对任意的n,都有a ni -a. =d（d为常数）二{a.}为等差数列

②等差中项法：2a n^a n■ a n 2（n，N ）= {a n}为等差数列

③通项公式法：a n=pn+q （p , q为常数且p z 0）u {a n}为等差数列

即:通项公式位n的一次函数，公差d = p，首项a^ p q

2

④前n项和公式法：S n = p n +qn （p , q为常数）={a n}为等差数列

即:关于n的不含常数项的二次函数

（3）常用结论

①若数列{a n}, {b n}为等差数列，则数列{a n k} , {kLa n} , {a n - b n}, {ka n b}

（k , b为非零常数）均为等差数列.

②若m+n=p+q （m, n, p, q N*），贝U a. a m=a p a q.

特别的，当n+m=2k时，得a n' a m= 2a k

③在等差数列{a n}中，每隔k（k • N*）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍

为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1, a4, a7, a10

仍为公差为3d的等差数列)

④若数列｛a*｝为等差数列，则记2 =6 • a?山. 宀比,S2k -S k二a k i • a k 2宀.... 宀a2k,

2 S3k _S2^a2k 1 a2k 2 .... ' a3k，则S k , Sk , S k 仍成等差数列，且公差为k d

S

⑤若S n为等差数列｛a n｝的前n项和，则数列｛」｝也为等差数列.

n

f S|,( n = 1)

⑥a n二此性质对任何一种数列都适用

! S n - S二，(n-2)

⑦求S n最值的方法：

a兰0

I：若a i>0，公差d<0，则当彳时，则S n有最大值且S k最大；

(A卑兰0

N _ 0 若a i<0，公差d>0，则当时，贝V S n有最小值，且S k最小；

I a k i 一0

II :求前n项和S n pn • qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k , 当n二k时，S k为最值，是最大或最小，通过S n的开口来判断。

二、等比数列

(1)等比数列的基本公式

①通项公式：n 1

a n =aq (从第1项a i开始为等比)

a二a q (从第m项a开始为等差)

②前n项和公式：

—,(q ~1)，Sfq-1)

(2)证明等比数列的法方

①定义

法：对任意的n,都有a n 1 = qa n(a n = 0)= 色」=q (q = 0)= {a n}为等比数列a n

②等比中项法：

2

a n 二a n^nj ( a.咼4 = 0) := {a n}为等比数列

③通项公式法：

n 1

a n =aq (a,q是不为0的常数)=｛a n｝为等比数列

(3)常用结论

①若数列{a*} , {b n}为等比数列，则数列{—} , {kL a n} , {a n }, {a2n J}，{a n b n} {}

a n

b n

(k为非零常数)均为等比数列.

②若m+n=p+q (m , n, p, q N*),贝V a^a m= a^a q.

特别的，当n+m=2k时，得a^a m = a k2

③在等比数列{a n}中，每隔k(k・N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等

比数列，且公比为q k1侧如：a!，a4，a?，印。 .......... 仍为公比q3的等比数列)

④若数列{a n}为等差数列，则记

=冃*a2 比，S2k —2 =兔十+比也*... + a2k， E k — S2k =a2k卅+a2k~2 + .. *a3k，

则S k，S2k -S k，S3k -S2k仍成等比数列，且公差为q k

三、求任意数列通项公式a n的方法

(1累加法：若a n满足a n+i=a n+f(n)利用累加法求：a n a n - a i (a2 - a i) (a3 - a2) (a4 -a3) ' (a^ - a n J)

例题：若a i =1，且 a n a n 2n，求：a n

练习题：若数列a n满足a ni-aV1=0，且印=0

（2）累乘法：右a n满足a n彳=f （n） a n利用累乘法求：a n

a n "丄（並）」竺）」竺）_…一（电）

a i a2 a3 a n J

例题：在数列｛a n｝中，a^- ,a n n_ a n，求：a n.

2 n

练习题：在数列｛a n｝中，a^i = 1且务=na n 1，求：a n（提示：12 3

(3)递推公式中既有S n，又有a n，用逐差法

fSi n=1

a n二特别注意：该公式对一切数列都成立。

S n - S n」n3 2