高中数学选修44极坐标与参数方程知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程

一、极坐标系

1．极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y )

极坐标(ρ，θ)

互化公式

题型一 极坐标与直角坐标的互化

1、已知点P 的极坐标为)4

,2(π

，则点P 的直角坐标为 （ ）

A.（1，1）

B.（1，-1）

C.（-1，1）

D.（-1，-1）

2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,

)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4

π-

3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )

A ．ρ＝cos θ

B ．ρ＝sin θ

C ．ρcos θ＝1

D ．ρsin θ＝1

5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2

－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．

6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π

4

(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

题型二 极坐标方程的应用

由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．

2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

4，π3，则

|CP|＝________.

3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，π4，圆的半径为1.

(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．

4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．

二、参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求

出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α

y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)

题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧

x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1＋1

2t ，y ＝5＋3

2t .

题型二 直线与圆的参数方程的应用

1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ＋2，

y ＝2sin θ(参

数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．

2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：

（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．

3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．

综合应用

1、曲线25()12x t

t y t =-+⎧⎨

=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）

A 21(0,)(,0)52、

B 11(0,)(,0)52、

C (0,4)(8,0)-、

D 5(0,)(8,0)9

、

3、参数方程2

2

2sin sin x y θ

θ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤

3．判断下列结论的正误．

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )

(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π

3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )

4.参数方程为1()2

x t t t y ⎧

=+

⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线

5

．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨

=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2

x B ．21(01)4

y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2

x D ．21(01,02)4

y x y +=≤≤≤≤2

x 15.参数方程()为参数θθθ⎩

⎨⎧+==cot tan 2

y x 所表示的曲线是 （ ）

A ．直线

B ．两条射线

C ．线段

D ．圆

16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2

=表示同一曲线的方程是： ( )

A ．x t y t ==⎧⎨⎩2

B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2

C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪

D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=

t y t t x tan 2cos 12cos 1