初中数学《锐角三角函数》单元教学设计以及思维导图
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节课的主要内容是引导学生通过锐角三角函数的定义,了解正弦、余弦、正切函数的概念,并会进行简单的计算。
这一节内容是初中数学的重要内容,也是高中数学的基础。
在教材中,通过大量的实例,让学生感受三角函数在实际问题中的应用,从而培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对函数的概念有一定的了解。
但是,对于三角函数的定义和应用,可能还比较陌生。
因此,在教学过程中,需要引导学生通过实例,理解三角函数的概念,并能够运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义,掌握正弦、余弦、正切函数的概念。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点:锐角三角函数的定义,正弦、余弦、正切函数的概念。
2.难点:运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学:通过实际问题,引导学生理解三角函数的定义和应用。
2.小组讨论:让学生在小组内讨论,共同解决问题,培养学生的合作能力。
3.练习巩固:通过大量的练习,让学生巩固所学知识,提高解题能力。
六. 教学准备1.教材:北师大版数学九年级下册。
2.课件:相关的教学课件。
3.练习题:相关的练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引入三角函数的概念。
例如,一个直角三角形,一个锐角为30度,斜边长为1,求这个三角形的两条直角边的长度。
让学生思考,如何解决这个问题。
2.呈现(10分钟)通过多媒体课件,呈现三角函数的定义和概念。
引导学生理解,三角函数是描述直角三角形中,角度和边长之间关系的一种数学工具。
讲解正弦、余弦、正切函数的定义,并通过动画演示,让学生直观地理解这三个函数的定义。
3.操练(10分钟)让学生进行一些相关的练习题,巩固所学的知识。
教师可以通过多媒体课件,展示解题过程,引导学生正确解题。
九年级数学基础知识思维导图
九上数学第二十三章 数据分析23.1 平均数与加权平均数一般地,我们把n个数的和与n的比,叫做这n个数的算术平均数=x ˉx +…+x n1(1n )已知n个数,,...,,若,,...,为一种正数,则把,叫做n个数,,...,的加权平均数x 1x 2x n w 1w 2w n w +w +...+w 12nx w +x w +...+x w 1122n nx 1x 2x n 23.2 中位数与众数一般地、将n个数据按大小顺序排列,如果n为奇数,那么位于中间位置的数据叫做这组数据的中位数;如果n为偶数,那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
一般地、把一组数据中出现最多的那个数据叫做众数,一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数23.3 方差设n个数据,,...,的平均数为,各个数据与平均数偏差的平方分别是,,...,,偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用表示,即x 1x 2x n x ˉx −(1x ˉ)2x −(2x ˉ)2x −(n x ˉ)2s 2s =2x −+x −+...+x −n1[(1x ˉ)2(2x ˉ)2(n x ˉ)2]当数据分布比较分散时,方差较大;当数据分布比较集中时,方差较小。
因此,方差的大小反映了数据波动的大小23.4 用样品估计总体由于抽样的任意性,即使是相同的样本容量,不同样本的平均数一般也不相同;当样本容量较小时,差异可能还较大。
但是当样本容量增大时,样本的平均数的波动变小,逐渐趋于稳定,且与总体的平均数比较接近,因此,在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理,我们也用样本的方差估计总体的方差第二十四章 一元二次方程24.1 一元二次方程关于未知数x的整式方程,且x的最高次数都为2,像这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式为(a不等于0)ax +2bx +c =0是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项ax 224.2 解一元二次方程配方法通过配方,把一元二次方程变形为一边含有未知数的一次式的平方,另一边为常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法公式法x =2a−b ±b −4ac2当时,方程有两个不相等的解b −24ac >0当时,方程有两个相等的解b −24ac =0当时,方程没有实数根b −24ac <0用求根公式求一元二次方程的方法,叫做公式法因式分解把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积进而转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解十字相乘十字左边两个数相乘是二次项系数十字相乘右边的数相乘是常数项交叉相乘再相加是一次项系数得到结果后上面两个数依次是第一组数的未知数系数和常数项,下面两个数依次是第二组数据的未知数系数和常数项概要24.3 一元二次方程与系数的关系一元二次方程的两根分别是,ax +2bx +c =0x 1x 2x ⋅x =12ac x +1x =2−ab24.4 一元二次方程的应用要根据题目给的现实情况来排除答案第二十五章 图形的相似25.1 比例函数在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
课时19 锐角三角函数的概念及运算
第19课时锐角三角函数的概念及应用一、【思维导图】二、【知识精讲】1. 定义正弦:在Rt ABCD中,∠C=90º,我把把锐角A的对边与斜边的的比叫作∠A的正弦,记作sin A, sin A=________a c =余弦:在Rt ABCD中,∠C=90º,我把把锐角A的邻边与斜边的的比叫作∠A的余弦,记作cosA, cos A=________b c =正切:在Rt ABCD中,∠C=90º,我把把锐角A的对边与邻边的的比叫作∠A的正切,记作tan A, tan A=_________a b =2.特殊角的三角函数值三、【考点直击】★考点1:锐角三角函数的定义--正弦 核心提示:本题考查的是正弦的定义 .例1(2013•温州市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC=3,则sin A 的值是( ).A.34 B .43 C .35 D .45分析:本题利用正弦的定义直接来求即可. 解: SinA=35BC AB =,故选C . 点评:本题较为简单,利用正弦的定义可以直接求出结果. ★考点2:锐角三角函数的定义--正切.核心提示:锐角三角函数的定义;坐标与图形性质.例2(2013•贵阳市)如图,P 是∠α的边OA 上一点,点P 的坐标为(12,5),则tanα等( ).★考点3:特殊角的三角函数值-正弦. 核心提示:零指数幂;特殊角的三角函数值. 例3(2013•郴州市)计算:|﹣|+(2013﹣)0﹣()﹣1﹣2sin60°.分析:先分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则,特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.解:原式=2+1﹣3﹣2×=2+1﹣3﹣=﹣2.点评:本题考查的是实数的运算,熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则,特殊角的三角函数值是解答此题的关键.★考点4:特殊角的三角函数值-余弦,正切 核心提示:有理数的乘法;特殊角的三角函数值 .例4 (2013•重庆市)计算6tan45°-2cos60°的结果是( ). A.B .4 C.D .5分析:将特殊角的三角函数值代入计算即可.点评:本题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,要求同学们熟练掌握特殊角的三角函数值.★考点5:锐角三角函数的应用核心提示:锐角三角函数的定义;旋转的性质.例5.(2013•昭通市)如图,A 、B 、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC 绕着点A逆时针旋转得到△AC'B ',则tan B ′的值为( ).A .12B .13C .14D .4分析:过C 点作CD ⊥AB ,垂足为D ,根据旋转性质可知,∠B ′=∠B ,把求tan B ′的问题,转化为在Rt △BCD 中求tan B . 点评:本题考查了旋转的性质,旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法. ★中考新动态1.多知识点的组合例6 ((2013•钦州市)计算:|﹣5|+(﹣1)2013+2sin30°﹣.分析:本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点.针对每个考点.分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.解:原式=5﹣1+2×﹣5=﹣1+1=0.点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算2.实际操作中的应用例7 (2013•包头市)如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C 落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为.分析:先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD,∠BDE=∠C=90°,再根据AD=BD可知AB=2BC,AE=BE,故∠A=30°,由锐角三角函数的定义可求出BC的长,设BE=x,则CE=6﹣x,在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解:∵△BDE是△BCE反折而成,∴BC=BD,∠BDE=∠C=90°,∵AD=BD,∴AB=2BC,AE=BE,∴∠A=30°,在Rt△ABC中,∵AC=6,∴BC=AC•tan30°=6×=2,设BE=x,则CE=6﹣x,在Rt△BCE中,∵BC=2,BE=x,CE=6﹣x,∴BE2=CE2+BC2,即x2=(6﹣x)2+(2)2,解得x=4.故答案为:4.点评:本题考查的是图形的翻折变换,熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键 四、【阶梯训练】 A 组:基础巩固1. 在正方形网格中,α的位置如图所示,则sin α的值为 ( ).A .12 B.2C.2 D.32.如图P 是α的边OA 上一点,且点P 的坐标为(3,4),则sin α( ). A .35 B .45C .34 D .433.在Rt ABC D 中,∠C =90º,如果AB =2,BC =1,那么sin B 的值是( ).A .12 B.2C.3D4.已知α为锐角,且sin(α-10º)=2则α等于( ) . A .50º B .60º C .70º D .80º 5.在Rt ABC D 中,∠C =90º,BCAC∠A = ( ).A .90ºB .60ºC .45ºD .30º6.如图:正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心,EC 为半径的半圆与 以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,求∠EAB 的正弦值.7.已知AE,CF 是锐角本角形ABC 的两条高,如果AE :CF =3:2,求sin A :sin C 的值.8.若2320)cos A B -+-=试判断ABC D 的形状.9.知己锐角A 满足关系式22730sin sin A A -+=求sin A 的值.10.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5 m 处折断倒下,倒下部分与地面成30º的夹角,求这棵大树在折断前的高度. B 组:拓展提高11.如图,圆O 是∆ABC 的外接圆,圆O 的半径R =2,sin B =34求弦AC 的长.12.如图,在菱形ABC D 中,DE ⊥AB 垂足为E ,DE =6 cm ,sin A =35,求菱形ABCD 的面积.13.把两块含有30º的相同的直角尺按如图所示摆放,知C ,B ,E 在同一条直线上,连接CD ,若AC =6 cm ,求∆BCD 的面积.14.如图,在∆ABC 中,AE ⊥BC 于E ,D 为AB 边上一点,如果BD =2AD ,CD =8,sin ∠BCD =34求AE 的长.15.某梯子与地面所成的角α满足45º≤α≤60º时,人可以安全的瓟上斜靠在墙面上的梯子的顶端,现有一长6 m 的梯子,求这个梯子最高可以安全瓟到的最大高度. 16.若tan A =2,求2sin cos sin cos A AA A+-17.在∆ABC 中,∠C =90º,tan A .tan20º=1,求角A 的度数.18.已知α为锐角,且tan α=2,求cos α. C 组:创新迁移21.如图,已知∠ABC 和射线BD 上一点P (点P 与点B 不重合),且点P 到BA 、BC 的距离为PE 、PF . (1)若∠EBP =40°,∠FBP =20°,PB =m ,试比较PE 、PF 的大小;(2)若∠EBP =α,∠FBP =β,α,β都是锐角,且α>β.试判断PE 、PF 的大小,并给出证明.22. 设a 、b 、c 是直角三角形的三边,c 为斜边,n 为正整数,试判断a n +b n 与c n 的关系,并证明你的结论.五、【学习评价】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※复习感悟______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________第19课时锐角三角函数的概念及应用阶梯训练参考答案A组:基础巩固1.B.2.B.3.B.4.C.5.D.6.3 5 .7.2:3.8.直角三角形.9.1 2 .10.15 m.B组:拓展提高.11.3.12.60.13.27.14.9.16.5.17.70º.18.1-2.C组:创新迁移∴a n+b n<c n.。
知识必备09 锐角三角函数(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备09锐角三角函数(公式、定理、结论图表)考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边,也叫做∠B的邻边,∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边,也是∠A的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边. 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即.同理;;.要点诠释: (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化. (2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、. (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在. (4)由锐角三角函数的定义知:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.典例1:(2022•扬州)在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2=ac,则sin A的值为 . .【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可.【解答】解:在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,等式两边同时除以ac得:=+1,令=x,则有=x+1,∴x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=(舍去),当x=时,x≠0,∴x=是原分式方程的解,∴sin A==.故答案为:.【点评】本题主要考查了锐角三角函数,熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键.考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义,可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下:要点诠释: (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角. (2)仔细研究表中数值的规律会发现: 、、、、的值依次为0、、、、1,而、、、、的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在0°<∠A<90°之间变化时, ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).典例2:(2022•天津)tan45°的值等于( )A.2B.1C.D.【分析】根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.【解答】解:tan45°的值等于1,故选:B.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:,; (2)平方关系:; (3)倒数关系:或; (4)商数关系:. 要点诠释: 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形 在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形. 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有: ①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系: ,,, ,,. ④,h 为斜边上的高.要点诠释: (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ,b)由求∠A ,∠B=90°-∠A ,两边斜边,一直角边(如c,a)由求∠A ,∠B=90°-∠A ,锐角、邻边(如∠A ,b)∠B=90°-∠A ,,一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ,a)∠B=90°-∠A ,,Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ,∠A)∠B=90°-∠A ,,要点诠释: 1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.典例3:(2022•丹东)如图,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,连接AE和BE,BC平分∠ABE交⊙O于点C,过点C作CD⊥BE,交BE的延长线于点D,连接CE.(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若sin∠ECD=,CE=5,求⊙O的半径.【分析】(1)结论:CD是⊙O的切线,证明OC⊥CD即可;(2)设OA=OC=r,设AE交OC于点J.证明四边形CDEJ是矩形,推出CD=EJ=4,CJ=DE=3,再利用勾股定理构建方程求解.【解答】解:(1)结论:CD是⊙O的切线.理由:连接OC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠CBE,∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BD,∵CD⊥BD,∴CD⊥OC,∵OC是半径,∴CD是⊙O的切线;(2)设OA=OC=r,设AE交OC于点J.∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∵OC⊥DC,CD⊥DB,∴∠D=∠DCJ=∠DEJ=90°,∴四边形CDEJ是矩形,∴∠CJE=90°,CD=EJ,CJ=DE,∴OC⊥AE,∴AJ=EJ,∵sin∠ECD==,CE=5,∴DE=3,CD=4,∴AJ=EJ=CD=4,CJ=DE=3,在Rt△AJO中,r2=(r﹣3)2+42,∴r=,∴⊙O的半径为.【点评】本题考查解直角三角形,切线的判定,垂径定理,矩形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是: (1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 拓展: 在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念: (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示. 坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图. (3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°. (4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.要点诠释: 1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图. 2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如: 3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解. 典例4:(2022•黑龙江)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60°,山高为( )米A.600﹣250B.600﹣250C.350+350D.500【分析】设EF=5x米,根据坡度的概念用x表示出BF,根据勾股定理求出x,根据正切的定义列出方程,解方程得到答案.【解答】解:设EF=5x米,∵斜坡BE的坡度为5:12,∴BF=12x米,由勾股定理得:(5x)2+(12x)2=(1300)2,解得:x=100,则EF=500米,BF=1200米,由题意可知,四边形DCFE为矩形,∴DC=EF=500米,DE=CF,在Rt△ADE中,tan∠AED=,则DE==AD,在Rt△ACB中,tan∠ABC=,∴=,解得:AD=600﹣750,∴山高AC=AD+DC=600﹣750+500=(600﹣250)米,故选:B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高典例5:(2022•湖北)如图,有甲乙两座建筑物,从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C 点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m,则甲建筑物的高度AB为 16 m.(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,结果保留整数).【分析】过点D作DE⊥AB于点E,则BE=CD=6m,∠ADE=45°,∠ACB=58°,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则DE=xm,BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=≈1.60,解得x=10,进而可得出答案.【解答】解:过点D作DE⊥AB于点E,如图.则BE=CD=6m,∠ADE=45°,∠ACB=58°,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则DE=xm,∴BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=≈1.60,解得x=10,∴AB=16m.故答案为:16.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6:(2022•资阳)小明学了《解直角三角形》内容后,对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示,他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上,他沿西北方向前进100米后到达点D,此时测得点A在他的东北方向上,端点B在他的北偏西60°方向上,(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离;(2)求隧道AB的长度.(结果保留根号)【分析】(1)根据方位角图,易知∠ACD=60°,∠ADC=90°,解Rt△ADC即可求解;(2)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE,Rt△BDE求出AE和BE,即可求出隧道AB的长.【解答】解;(1)由题意可知:∠ACD=15°+45°=60°,∠ADC=180°﹣45°﹣45°=90°,在Rt△ADC中,∴(米),答:点D与点A的距离为300米.(2)过点D作DE⊥AB于点E,∵AB是东西走向,∴∠ADE=45°,∠BDE=60°,在Rt△ADE中,∴(米),在Rt△BDE中,∴(米),∴(米),答:隧道AB的长为米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,掌握方向角的概念,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)三边之间的关系:;(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角之间的关系:,,,.(4)如图,若直角三角形ABC中,CD⊥AB于点D,设CD=h,AD=q,DB=p,则由△CBD∽△ABC,得a2=pc;由△CAD∽△BAC,得b2=qc;由△ACD∽△CBD,得h2=pq;由△ACD∽△ABC或由△ABC面积,得ab=ch.(5)如图所示,若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线,则①CD=AD=BD=AB;②点D是Rt△ABC的外心,外接圆半径R=AB.(6)如图所示,若r是直角三角形ABC的内切圆半径,则.直角三角形的面积:①如图所示,.(h为斜边上的高)②如图所示,.典例7:(2022•黄石)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,即通过圆内接正多边形割圆,从正六边形开始,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,内接正二十四边形,….边数越多割得越细,正多边形的周长就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R,图1中圆内接正六边形的周长l6=6R,则π≈=3.再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率,则圆周率π约为( )A.12sin15°B.12cos15°C.12sin30°D.12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7=2A6M=2R×sin15°,再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”,即可解决问题.【解答】解:在正十二边形中,∠A6OM=360°÷24=15°,∴A6M=sin15°×OA6=R×sin15°,∵OA6=OA7,OM⊥A6A7,∴A6A7=2A6M=2R×sin15°,∴π≈=12sin15°,故选:A.【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质,解直角三角形等知识,读懂题意,计算出正十二边形的周长是解题的关键.。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本册教材的第一课时,主要介绍锐角三角函数的定义及概念。
本节课内容是学生对初中数学中三角函数知识的初步接触,对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对函数的概念有一定的了解。
但是,对于锐角三角函数的定义和应用,学生可能还存在一定的困惑。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的认知水平,通过实例讲解,让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和概念;2.能够运用锐角三角函数解决实际问题;3.培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点:锐角三角函数的定义和概念;2.教学难点:如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法等教学方法,引导学生主动探究、积极思考,提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片;2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些生活中的实际问题,如测量身高、角度等,引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现(10分钟)讲解锐角三角函数的定义和概念,让学生了解锐角三角函数的基本性质。
通过示例,让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,选取一个生活实例,运用锐角三角函数进行解决。
教师巡回指导,为学生提供帮助。
4.巩固(5分钟)选取一些练习题,让学生独立完成,巩固所学知识。
教师及时批改,给予反馈。
5.拓展(5分钟)引导学生思考:除了生活中的实例,还有哪些领域会用到锐角三角函数?让学生了解锐角三角函数在实际应用中的广泛性。
6.小结(5分钟)对本节课的主要内容进行总结,让学生明确所学知识的重难点。
三角函数-思维导图
三角函数三角函数定义符号三角函数线正弦 余弦 正切余切正割余割角制与弧度制角制弧度制定义:平面内,一射线绕端点旋转分类表示方式旋转方向终边位置正角负角零角(不旋转)象限角轴线角第一/二/三/四象限角在(正/负)X 轴上在(正/负)Y 轴上定义:用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式,用符号rad 表示,读作弧度互相转化弧度制与角制的相关性恒等变换基本关系式诱导公式和差倍角和差与积的转化解三角形平方关系商数关系倒数关系三角函数的恒等关系中的基本关系式含义:角a 与特殊角的三角函数关系口诀:奇变偶不变,符号看象限诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2k π+α)=sin α(k ∈Z)cos(2k π+α)=cos α(k ∈Z)tan(2k π+α)=tan α(k ∈Z)cot(2k π+α)=cot α(k ∈Z)公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin(π+α)=-sin αcos(π+α)=-cos αtan(π+α)=tan αcot(π+α)=cot α公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sin αcos(-α)=cos αtan(-α)=-tan αcot(-α)=-cot α公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sin αcos(π-α)=-cos αtan(π-α)=-tan αcot(π-α)=-cot α公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sin αcos(2π-α)=cos αtan(2π-α)=-tan αcot(2π-α)=-cot α公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cos αsin(π/2-α)=cos αcos(π/2+α)=-sin αcos(π/2-α)=sin αtan(π/2+α)=-cot αtan(π/2-α)=cot αcot(π/2+α)=-tan αcot(π/2-α)=tan α和差公式倍角公式辅助角公式两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α-β)=sin αcos β-cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos(α-β)=cos αcos β+sin αsin βtan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan αtan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β)二倍角公式(升幂缩角公式)sin2α = 2sin αcos αcos2α = cos^2(α)-sin^2(α) = 2cos^2(α)-1 = 1-2sin^2(α)tan2α = 2tan α/[1-tan^2(α)]二倍角公式半角公式万能公式半角公式(降幂扩角公式)sin^2(α/2)=(1-cos α)/2cos^2(α/2)=(1+cos α)/2tan^2(α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)另也有tan(α/2)=(1-cos α)/sin α=sin α/(1+cos α)万能公式sin α=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos α=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan α=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]三倍角公式平方关系(sina)^2+(cosa)^2 = 11+(tana)^2 = (seca)^21+(cota)^2 = (csca)^2商数关系tana = sina/cosa cota = cosa/sina倒数关系:sina*csca = 1cosa*seca = 1tana*cota = 1三倍角公式sin3α=3sin α-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cos αtan3α=[3tan α-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(1)已知三角形的两角与一边,解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形(3)运用a :b :c=sinA :sinB :sinC 解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
初中数学_锐角三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用3胡表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,并能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力,能有条理地,清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性,发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义,并用它来表示两边的比.教学方法引导一探索法.教具准备FLASH演示教学过程I.创设问题情境,引入新课用FLASH课件动画演示木章的章头图,提出问题,问题从左到右分层次出现:[问1]在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入,上海的城市建设正H新月异地发展,幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦,但经过多少年的城市发展,“上海最高大厦”的桂冠早己被其他高楼取代,你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习,相信大家一定能够解决.这节课,我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1. 1. 1从梯子的倾斜程度谈起)・II.讲授新课用多媒体演示如下内容:[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的?“陡” 或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图,并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中,梯子肋和厅哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子M比梯子"更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现Z ABOZEFD,所以梯子肋比梯子矿陡.[生]我觉得是因为AC= ED,所以只要比较方G丹的长度即可知哪个梯子陡.BXFD,所以梯子力万比梯子必'陡.[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中,梯子月万和矿哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第⑴问的图形中梯子的垂直高度即M和勿是相等的,而水平宽度历和肋不一样长,由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大,梯子应该越陡•[师]这位同学的想法很好.的确如此,在第(2)问的图中,哪个梯子更陡,应该从梯子肋和必'的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子肋和厅哪一个更陡呢?[生]ΔΞ=±=⅛,BC 1.5 3ED _ 3.5 _ 35^FD~T3~n••8/35•——,3 13・•・梯子矿比梯子肋更陡.多媒体演示:想一想iA c2 ClO I I 如图,小明想通过测量SG及力G,算出它们的比,来说明梯子I •I I II I i的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量及力©算出它们的比,I I ![师]我们己经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述 梯子的倾斜程度,即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程 度.下而请同学们思考上面的三个问题,再来讨论小明和小亮的做法.[生]在上图中,我们可以知道RtHA&C 、和RtHA 昵是相似的.因 为ZEGM=ZEGM=90° , ZRAC 2=ZRAG f 根据相似的条件,得Rt 、A&C\sRt 、A&L ・[生]由图还可知:ZG 丄Ae If 3G 丄AC 19得ZG 〃3G, RtAABG s RtAA旺.[生]相似三角形的对应边成比例,得如果改变Z 在梯子上的位置,总可以得到RtMLAsRtMCA些=邑£1总成立.AC I AC 2[师]也就是说无论△在梯子的什么位置U 除外),ZA 的对边与 邻边的比值是不会改变的.现在如果改变Z 力的大小,Z/的对边与邻边的比值会改变吗?fi 1C 1 _ AC lB 、C 、~ AC.即"C = B Q C QAjCl AC 2仍能得到g l C 1 _ B 2C 2ΛC 7" AC 2因此,无论E 在梯子的什么位置(除A 外),tan* ZA的对边注意:1.IanA是一个完整的符号,它表示ZS的正切,记号里习惯省去角的符号“Z” •2.IanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中Z/1的对边与邻边的比.3.tarυ4 不表示"tan” 乘以a A ff .4.初中阶段,我们只学习直角三角形中,ZM是锐角的正切.思考:1. Z万的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度,课木图1一3,梯子的倾斜程度与tanS有关系吗?[生]1・Z万的正切记作tanE表示Z方的对边与邻边的比值,即细勺对边.ZB的邻边2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度,因此在图1一3中,梯子越陡,ta胡的值越大;反过来,tan/1 的值越大,梯子越陡.[师]正切在日常生活中的应用很广泛.例如建筑、工程技术等,正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图,有一山坡在水平方向上每前进IOOm,就升高60m,那么山坡的坡度(即坡角G的正切一一tana)就是IOO 5这里要注意区分坡度和坡角.坡而的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大,坡面就越陡.IiL例题讲解解:甲梯中,“卄=Za的对边一_5Za 的邻边√i32 -5212乙梯中,ZpfiWi=6 = 3ZP的邻边8 4因为tan^>tan O f所以乙梯更陡.分析:要求tan∕l, IanB的值,根据勾股定理先求出直角边/C的长度.解:在△遊中,Zr=90° ,所以AC=√Aθ2-BC2= √202 -122 = 16 (Cm),+ Zl_ ZA的对边tan?l—---- —--BC12 .3ZA的邻边AC16 4tan* ’砂对边 AC16 4Z/喲邻边BC12 3所以tan^-—, tanj?=Z 4 "—•4 3IV.随堂练习1.如图,△磁是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗?分析:要求SnG需从图中找到ZC所在的直角三角形.因为甸-LAC f所以ZC在Rt'BDC中.然后求出ZC的对边与邻边的比,即竺DC 的值.解:• :∖ABC是等腰直角三角形,BDLAa・•・G?=丄力C=丄X3 = 1.5.2 2在RtbBDC中,ta∏r=-= —= 1.DC 1.52.如图,某人从山脚下的点力走了20Om后到达山顶的点氏己知点万到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0. 001)分析:由图可知,Z力是坡角,Z/的正切即tan/l为山的坡度.解:根据题意:在RtL∖ABC中,A5=200∏μ 方Q=55m,AC=√2OO2 -552= 5√1479 ≈5 × 38. 46 = 192. 30(m)•tan^= — = 5. 286.AC 192.30所以山的坡度为0. 286.V.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起,经历了探索直角三角形中的边角关系,得出了在直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定,并以此为基础,在“欣△”中定义了tarvl= 洋畧.ZA的邻边接着,我们研究了梯子的倾斜程度,工程中的问题坡度与正切的关系,了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.VL课后作业1.习题1. 1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯,哪个更陡.v∏∙活动与探究(江苏盐城)如图,Rt'ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡力万的长为12m,它的坡角为45° ,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1 : 1.5的斜坡肋,求励的长.(结果保留根号)[过程]要求%的长,需分别在RtHABC和RtbACD中求出虑和DC,根据题意,在RtbABC 中,ZABC= 45° ,力万=12m,则可根据勾 股定理求出BC ;在RtbADC 中,坡比为1 : 1.5,即tanZλ=l : 1.5, 由BC=AC f 可求出CD,[结果]根据题意,在Rt 厶ABC 中,ZMC=45° ,所以△遊为等 腰直角三角形.设BC=AC=X m,则F+F=122,^=6√,2 ,所以 BC =AC = 6 yfl .在 Rt^ADC 中,tan/?=—=—,CD 1.5即竺= _L, cD=g 近.CD 1.5所以 DB= CD-BC=^41 -6√2 = 3√2 (m).板书设计§ 1. 1锐角三角函数1. 当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随 之确定.2. 正切的定义:在Rt 厶ABC 申,锐角力确定,那么ZS 的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做Z 力的正切,记作IanA f 即注:(DtanS 的值越大,梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度,是坡角的正切.坡度越大,IanA=ZA 的对边 ZA 的邻边坡而越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结学情分析九年级学生的思维活跃,接受能力较强,具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
人教版数学九年级下册《锐角三角函数——正切》教学设计
《锐角三角函数——正切》教学设计一、教材与学情分析◆教材分析:本节教材是初中数学九年级上册第一节内容,是初中数学的重要内容之一。
一方面,这是在学习了相似三角形、直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上,对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展;另一方面,又为解直角三角形等知识奠定了基础。
鉴于这种认识,我认为,本节课不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。
◆学情分析:九年级学生的思维活跃,接受能力较强,具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
前面已经掌握直角三角形中各边和各角的关系,通过这节课学习要得出直角三角形中边与角之间的关系,需要观察、思考、交流,进一步体会数学知识之间的联系,感受数形结合的思想,体会锐角三角函数的意义,提高应用数学和合作交流的能力。
学生可能会产生一定的困难,所以教学中应予以简单明了,深入浅出的剖析。
二、教学重难点:◆重点:理解锐角三角函数-正切的意义,会将某些实际问题转化为解直角三角形的问题。
◆难点:理解直角三角形中锐角与两直角边比值之间一一对应的关系,从而引入正切函数,并用符号tan A来表示.三、教学目标◆知识与技能:1.理解并掌握正切的含义,并能够举例说明;2.会在直角三角形中求出某个锐角的正切值;3.了解锐角的正切值随锐角的增大而增大.◆过程与方法:1. 经历正切的意义探索的过程,培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。
2. 逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
◆情感态度与价值观:1. 使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣。
2 . 通过主动探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的合理性和严谨性,使学生养成积极思考,独立思考的好习惯。
四、教学方法:利用多媒体教学平台,采用教师引导,学生自主探索和小组合作相结合的教学方式,渗透函数、数形结合、转化等数学思想方法。
探究教学法:提出问题,让学生通过自主探究,解决问题,掌握新知。
初中数学《锐角三角函数》单元教学设计以及思维导图
分析: 问题转化为,在 Rt△ABC 中,∠C=90o,∠A=30o,BC=35m,求 AB 根据“再直角三角形中,30o 角所对的边等于斜边的一半”,即
可得 AB=2BC=70m.即需要准备 70m 长的水管 结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 30o,那么不管三角形的大小如何,这
个角的对边与斜边的比值都等于 1 2
锐角. (3)运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题. (4)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题. 2.过程与方法 (1)经历在实 践活动中发现 问题、提出 问题、探究 问题的过程, 并从中找出 规律,
再运用这些规律于实际生活中. (2)经历小组合作学习活动,培养学生的合作意识和语言表达能力。 3.情感、态度 与价值观 (1)通过解直角三角形培养学生数形结合的思想。 (2)培养学生勇于探索,自主学习的精神.感受到生活中处处存在数学,体验数学的趣味
专题问题设计
1. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A 的对边
与斜边的比都等于 1 ,是一个固定值;当∠A 取其他一定度 2
数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 2. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当锐角 A 确定时,∠A 的对 边与斜边的 比就随之 确定了. 现在我 们要问: 其他边之 间的 比是否也确定了呢?为什么? 3. 两块三角板中有几个不同的锐角?是多少度?分别求出 这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 4. 当锐角 A 是 30°、45°或 60•°等特殊角时,可以求得这 些特殊角的正弦值、余弦值和正切值;如果锐角 A•不是这些 特殊角,怎样得到值呢?
【活动三】总结消化、整理笔记
在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A 的对边与斜 边的比都是一个固定值.
苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案
_________________. ________________________. ……AC C CB BB斜边c对边呢?20m13m如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA=_____知道一边长及一锐角的三角函数值,其它各边的长和另一锐角的三角函数值。
cosB=1312,AC =10,求△ABC 的周长和斜三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出末知元素的过程,叫做解直角三角形。
像上述的就是由两条直角边这两个元素,利用勾股定BA年湖北仙桃)如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点°,则广告牌的高度B的高度,在平地上C处测得建筑物顶方向前进12 m到达D处,在D处测得°,则建筑物ABA50CB.为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点处观测BC°方向,距离灯塔80海里的的南偏东34°方向上如,我们可以利用测角仪测出∠ECB 度数,用皮尺量出CE 的长度,而后按一定的比例尺(例如1:500)出图形,进而求出物体的高度。
, =a b ,cota =b a(余0<cosA <1,tinA ×cotAa sina cosa tana cota30°45°60°、( )、2.8cm。
CD.参考答案:7.1正切(1) 1. 35 2.4 7.2正弦、余弦(一) 1.21,21,23,23. 2.A 3.D 4. BC=6,cosB=53。
7.2正弦、余弦(二)1.60,13120 2.4 3.6 7.3特殊角的三角函数 1.(1)-1.5 (2) 312.45°,60° 3.23 4.B 5.C 6.156 7.4由三角函数值求锐角1.(1) 60° (2) 30° (3) 60° (4) 23.3° (5)38.3° (6)41.9° 2.14.5° 3.105 m。
沪科版数学九年级上册《一般锐角的三角函数》教学设计1
沪科版数学九年级上册《一般锐角的三角函数》教学设计1一. 教材分析《一般锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
本章主要介绍了锐角的正弦、余弦和正切函数的定义、性质及其应用。
学生通过本章的学习,应能理解三角函数的概念,掌握三角函数的性质,并能运用三角函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学知识,包括代数、几何等。
他们对函数的概念有一定的了解,但可能对三角函数的理解还存在一定的困难。
因此,在教学过程中,教师需要引导学生从已有的知识出发,逐步过渡到三角函数的学习。
三. 教学目标1.理解三角函数的概念,掌握锐角的正弦、余弦和正切函数的定义。
2.掌握三角函数的性质,能够运用三角函数解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角函数的概念和性质。
2.运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过设置实际问题,引导学生主动探究三角函数的定义和性质。
2.小组合作学习:学生分组讨论,共同解决问题,培养学生的合作意识。
3.案例教学法:通过分析具体的案例,让学生理解三角函数的应用。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示三角函数的定义和性质。
2.案例材料:收集一些实际问题,用于教学过程中的拓展环节。
3.练习题:准备一些练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过设置一个实际问题,如测量一个角的度数,引导学生思考如何利用三角函数解决此类问题。
从而引出本节课的主题——三角函数。
2.呈现(15分钟)教师利用课件呈现三角函数的定义和性质,引导学生直观地理解三角函数的概念。
同时,通过讲解一些典型的例子,让学生掌握三角函数的运用方法。
3.操练(15分钟)教师提出一些练习题,让学生独立完成。
题目包括求解三角函数值、判断三角函数的性质等。
教师在过程中给予学生必要的指导,并强调答题技巧。
4.巩固(10分钟)教师学生进行小组讨论,共同解决问题。
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠A的对边与斜边比,叫做∠A的正弦,记为sinA,即sinA=∠A的对边斜边=aa(2)∠A的邻边与斜边比,叫做∠A的余弦,记为cosA,即cosA=∠A的邻边斜边=aa(3)∠A的对边与邻边比,叫做∠A的正切,记为tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示:sin A 不是sin与A的乘积,而是一个整体,cosA和tanA同理;锐角三角函数的三种表示方法:sin A,sin 56°,sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值,它与三角形的大小无关,它没有单位.在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3(1)正弦值、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.(2)sin α=cos(90°-α)cos α=sin(90°-α)tan α·tan(90°-α)=1(3)锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为:0<sin A<1,0<cos A<1, (4)cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2(90°-α)=1(5)tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值,它只与角的度数有关,将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°,则sin α=cos α; 若α<45°,则sin α<cos α; 若α>45°,则sin α>cos α;28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中,三边之间的关系是a 2+b 2=c 2(勾股定理); 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边,cosA=∠A 的邻边斜边,tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素,就可以求出其余三个元素,其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若已知∠A=α,AB=c ,较简便的方法是用正弦求出BC ,用余弦求出AC ,也可用勾股定理求出AC ,根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角,且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图,在∠ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值为( )A.52B.12C.255D.554.如图,在4×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图,在∠ABC中,∠C=90°,AB=15,sinB=35,则AC的长为( )A.3 B.9 C.4 D.127.如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图,在∠ABC 中,CA =CB =4,cosC =14 ,则sinB 的值为( )A.102 B .153 C .64 D .10410.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线 AC 与BC 相互垂直,∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A ,B ,C 都在格点上,以AB 为直径的圆经过点C ,D ,则cos∠ADC 的值为( )A .21313B .31313C .23D .53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,CD∠AB,垂足为D,若AC= 5 ,BC =2,则sin∠ACD的值为_________.16.某物体沿着坡比为4:3的坡面上升了8米,那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.三、解答题19.图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图,经测量,钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长;(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据:aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上,求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数.参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)。
三角函数-精品思维导图
三角函数的思维导图一:概述三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面是通过思维导图的方式,将这些内部规律和联系表现出现,方便学习者掌握三角函数。
图一为学习三角函数的主要分支。
我们从下列分支,一个一个分支开始学习。
图一二:角度与弧度制2.1我们知道,常见的度量方法有角度制与弧度制两种。
什么是角度制?所谓角度制,就是将圆周 360 等分,其中 1 份所对应的圆心角定义为 1 度,记作1°。
并将 1度的 1/60 定义为 1 分,记作 1';将 1 分的 1/60 定义为 1 秒,记作 1"。
换言之,1°=60',1'=60"。
图二是角度制的示意图。
2.2而弧度制则是根据圆心角、弧长、半径之间的数量关系而引入的。
当弧长等于半径时,弧所对应的圆心角为 1 弧度,记作 1rad。
正角度弧度数是一个正数,负角度弧度数是一个负数,零角度弧度数。
半径为r的圆的圆心角α所对的弧度长为l,那么角α的弧度数的绝对值是 | α | = l / r。
图二2.3角度制与弧度制的换算,数字表达式和图示表示如下所示。
2.4图四为角制和弧度制的思维导图。
图四角度制与弧度制数字表达式: 360 o = 2π rad 180 o = π rad1 o =(π / 180)rad ≈ 0.01745 rad 1 rad =(180 /π)o ≈ 57.30 o α 度的角 = α ·(π / 180)rad角度制与弧度制图示表示:三:三角函数基本属性3.1 三角函数的定义。
中考锐角三角函数复习教案
三、【板书设计】
锐角三角函数复习
四、【教后反思】
锐角三角函数首先是放在直角三角形中研究的,显示的是边角之间的关系。锐角三角函数值是边与边之间的比值,锐角三角函数沟通了边与角之间的联系,它是解直角三角形最有力的工具之一。??
3.式子2cos30°-tan45°- 的值是()
A.2 -2B.0C.2 D.2
4.在△ABC中,若|cosA- |+(1-tanB)2=0,则∠C的度数是()
A.45°B.60°C.75°D.105°
【组内交流】
学生根据问题解决的思路和解题中所呈现的问题进行组内交流,归纳出方法、规律、技巧.
【成果展示】
直
击
中
考
1.(威海中考)如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正弦值是( )
第1题图
2.(重庆中考)计算6tan45°-2cos60°的结果是( )
A.B.4C.D.5
3.(白银中考)△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sinA=cosB=则∠C=_____.
4.(齐齐哈尔中考)请运用你喜欢的方法求tan75°=_____.
教师展示问题,学生有针对性独立思考解答,
完成后师生间展评.
完善整合
一、本章知识结构梳理
二.你收获了什么?
师生梳理本课的知识点及及注意问——归结本节课所复习的内容,梳理知识,构建思维导图,凸显数学思想方法.
生反思总结本课中的难点、重点及易错点,并在错题中整理所产生的问题.针对性问题师板书.
对内容的升华理解认识
本节复习课的重、难点在于锐角三角函数的再理解再认识,我是从以下几方面做的:??
鲁教版数学九年级上册2.1《锐角三角函数》(第2课时)教学设计
鲁教版数学九年级上册2.1《锐角三角函数》(第2课时)教学设计一. 教材分析鲁教版数学九年级上册2.1《锐角三角函数》(第2课时)的内容主要包括正弦、余弦和正切函数的定义,以及它们的性质。
这一部分内容是整个初中数学的重要部分,也是学生对高中数学学习的重要基础。
通过本节课的学习,学生应该能够理解锐角三角函数的概念,掌握它们的定义和性质,并能够运用它们解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对锐角三角函数的概念和性质可能已经有所了解。
但是,他们对这些知识的深入理解和灵活运用能力还不够强。
因此,在教学过程中,需要注重引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念,并通过大量的练习来巩固和提高他们的运用能力。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的概念,掌握正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.重点:锐角三角函数的概念和性质。
2.难点:锐角三角函数的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。
2.通过大量的练习,巩固和提高学生对锐角三角函数的理解和运用能力。
3.采用小组合作的学习方式,培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件和教案。
2.练习题和学习资料。
3.计算器和三角板。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引入锐角三角函数的概念。
例如,一个建筑物的的高度是30米,建筑物与观测点的距离是40米,求观测点与地面之间的角度。
2.呈现(15分钟)讲解锐角三角函数的定义和性质,通过示例来说明它们的运用。
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
3.操练(10分钟)让学生进行一些相关的练习题,巩固对锐角三角函数的理解。
例如,计算一个锐角的正弦值、余弦值和正切值,并解释其含义。
4.巩固(10分钟)让学生进行一些综合性的练习题,提高他们对锐角三角函数的运用能力。
2020人教版九下数学思维导图(史上最新最全)
第 28 章 锐角三角函数
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第 29 章 投影与视图
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人教版 9 年级下册思维导图(全)
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第 26 章 反比例函数
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第 27 章 相似
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人教版初中数学九年级下册第二十八章:锐角三角函数(全章教案)
第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括:锐角三角函数的概念;30°,45°,60°角的三角函数值;利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角;利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用.在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上,引入了锐角三角函数的概念,进而学习解直角三角形,是中学几何的重点与难点.本章是中考的必考内容,主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用.教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题.【本章思想方法】1.体会数形结合思想.如:在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时,注意数形结合思想的应用,即需根据实际问题画出几何图形,并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系.2.体会转化思想.如:(1)把实际问题转化成数学问题:把实际问题的情境转化为几何图形;把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.(2)把数学问题转化为解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,需要添加适当的辅助线构造出直角三角形.3.体会方程思想.如:在解决直角三角形的实际问题中,经常设出未知数来表示某一个量,并利用直角三角形的边、角关系建立方程,将几何问题转化为求方程的解.课时计划28.1锐角三角函数4课时28.2解直角三角形及其应用3课时28.1 锐角三角函数第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值,从而引出正弦的概念.2.理解锐角的正弦的概念,并能根据正弦的概念进行计算. 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳、推理能力.【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义,会求锐角的正弦值. 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61~P63的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ,即sin A =a c.3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若a =3,b =4,则sin B =45.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,求sin A 和sin B 的值.【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值,需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比.【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ,底边长为30 cm ,求底角的正弦值. 【互动探索】(引发学生思考)转化法:将已知条件转化为几何示意图,再作出辅助线构造出直角三角形求解.【解答】如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D. ∵AB =AC =25 cm ,BC =30 cm ,AD 为底边上的高, ∴BD =12BC =15 cm ,∴在Rt △ABD 中,由勾股定理,得AD =AB 2-BD 2=20 cm , ∴sin ∠ABC =AD AB =2025=45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结,老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求,当图形中没有直角三角形时,要通过作高构造直角三角形解答.活动2 巩固练习(学生独学) 1.如图,sin A 等于( C )A .2B .55C.12D . 52.在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =4,sin A =23,则AB 的长为( B )A.83 B .6 C .12D .83.如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin B 24.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,若AD =9,DC =5,E 为AC 的中点,求sin ∠EDC 的值.解:∵AD ⊥BC , ∴∠ADC =90°. ∵AD =9,DC =5,∴AC =AD 2+DC 2=92+52=106. ∵E 为AC 的中点, ∴DE =AE =EC =12AC ,∴∠EDC =∠C ,∴sin ∠EDC =sin C =AD AC =9106=9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB ,BC =6,AC =8,求sin ∠ABD 的值.【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD =∠ABC ,然后由直径所对的圆周角是直角,得出∠ACB =90°,从而由勾股定理算出斜边AB 的长,再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值,进而得出sin ∠ABD 的值.【解答】∵AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB , ∴AC ︵ =AD ︵, ∴∠ABD =∠AB C. ∵AB 为直径, ∴∠ACB =90°.在Rt △ABC 中,∵BC =6,AC =8, ∴AB =BC 2+AC 2=10, ∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =AC AB =45.【互动总结】(学生总结,老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中.在圆中,由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 1.如图,sin A =∠A 的对边斜边.2.求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中,若没有直角三角形,可通过作垂线构造直角三角形.练习设计请完成本课时对应练习!第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1.掌握余弦、正切的定义.2.了解锐角∠A的三角函数的定义.3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动,体验数学学习充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念,并会求指定锐角的余弦值、正切值.【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P64~P65的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,即cos A =bc ;(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,即tan A =ab .2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若a =3,b =4,则cos B =35,tan B =43.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,BC =6,求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图,△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足是D ,若BC =14,AD =12,tan ∠BAD =34,求cos C 的值.【互动探索】(引发学生思考)观察图形,cos C =DC AC ,所以需要通过tan ∠BAD =34和已知条件求出DC 、AC 的长度,再代入求值.【解答】∵在Rt △ABD 中,tan ∠BAD =BD AD =34,∴BD =AD ·tan ∠BAD =12×34=9,∴CD =BC -BD =14-9=5, ∴AC =AD 2+CD 2=122+52=13, ∴cos C =DC AC =513.【互动总结】(学生总结,老师点评)在不同的直角三角形中,要根据三角函数的定义分清它们的边角关系,再根据勾股定理解答.活动2 巩固练习(学生独学)1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =13,AC =12,则cos A =( C ) A.513 B .512C.1213D .1252.已知Rt △ABC 中,∠C =90°,tan A =43,BC =8,则AC 等于( A )A .6B .323C .10D .123.如图所示,将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan ∠AOB =12.4.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是BC 边上一点,AC =2,CD =1,设∠CAD =α.(1)求sin α、cos α、tan α的值; (2)若∠B =∠CAD ,求BD 的长.解:在Rt △ACD 中,∵AC =2,DC =1, ∴AD =AC 2+CD 2= 5.(1)sin α=CD AD =15=55,cos α=AC AD =25=255,tan α=CD AC =12.(2)在Rt △ABC 中,∵tan B =AC BC, 而∠B =∠CAD , ∴tan α=2BC =12,∴BC =4,∴BD =BC -CD =4-1=3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据三角函数定义尝试说明: (1)sin 2A +cos 2A =1; (2)sin A =cos B ; (3)tan A =sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论.【证明】(1)由勾股定理,得a 2+b 2=c 2,而sin A =a c ,cos A =bc ,∴sin 2A +cos 2A =a 2c 2+b 2c 2=c 2c 2=1. (2)∵sin A =a c ,cos B =ac ,∴sin A =cos B.(3)∵tan A =a b ,sin A cos A =a c b c =ab,∴tan A =sin Acos A.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.题目中的三个结论应熟记.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习!第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1.掌握30°,45°,60°角的三角函数值,能够用它们进行计算. 2.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说出相应锐角的大小. 【过程与方法】1.通过探索特殊角的三角函数值的过程,培养学生观察、分析、发现的能力. 2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中,学生积极参与数学活动,培养学生独立思考问题的能力. 二、重难点目标 【教学重点】根据30°,45°,60°角的三角函数值进行有关计算. 【教学难点】正确理解与记忆30°,45°,60°角的三角函数值.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65~P67的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.sin 30°=12,cos 30°2tan 30°32.sin 60°2cos 60°=12,tan 60°3.sin 45°2cos 45°2tan 45°=1. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值: (1)cos 260°+sin 260°; (2)cos 45°sin 45°-tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值.【解答】(1)cos 260°+sin 260°=⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫322=1. (2)cos 45°sin 45°-tan 45°=22÷22-1=0. 【互动总结】(学生总结,老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆,既能由角得值,又能由值得角,记忆这个结果,可以结合直角三角形三边的大小关系,也可以结合数值的特征,30°,45°,60°的正弦值分母都是2,分子分别为1,2,3,而它们的余弦值分母都是2,分子正好相反,分别为3,2,1;其正切值分别为1÷3,1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B 、C 、E 在同一直线上,若BC =2,求AF 的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF =AC -F C.【解答】在Rt △ABC 中,∵BC =2,∠A =30°, ∴AC =BC tan A =23,∴EF =AC =2 3. ∵∠E =45°,∴FC =EF ·sin E =6, ∴AF =AC -FC =23- 6.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用,掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.活动2 巩固练习(学生独学)1.若3tan (α+10°)=1,则锐角α的度数是( A ) A .20° B .30° C .40°D .50°2.若∠A 为锐角,且tan 2A +2tan A -3=0,则∠A =45度. 3.计算.(1)2sin 30°-2cos 45°; (2)tan 30°-sin 60°·sin 30°; (3)(1-3tan 30°)2. 解:(1)0. (2)312. (3)3-1. 4.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,∠A =30°,D 是边AB 上一点,∠BDC =45°,AD =4,求BC 的长.解:∵∠B =90°,∠BDC =45°, ∴△BCD 为等腰直角三角形, ∴BD =B C.在Rt △ABC 中,∵tan A =tan 30°=BC AB ,∴BC BC +4=33,解得BC =2(3+1). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1-tan A )2+⎪⎪⎪⎪sin B -32=0,试判断△ABC 的形状.【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状.【解答】∵(1-tan A )2+⎪⎪⎪⎪sin B -32=0, ∴1-tan A =0,sin B -32=0, ∴tan A =1,sin B =32, ∴∠A =45°,∠B =60°, ∴∠C =180°-45°-60°=75°, ∴△ABC 是锐角三角形.【互动总结】(学生总结,老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数,当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 特殊角的三角函数值:练习设计请完成本课时对应练习!第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值,能用计算器求相应的锐角.3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题,通过求值探讨三角函数问题的某些规律,提高学生分析问题的能力.【情感态度与价值观】通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题.【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P67~P68的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.用计算器求sin 24°37′18″的值,以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″=B.24°′″37°′″18°′″sin=C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″=D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF=2.使用计算器求下列三角函数值.(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067;(2)cos 35°≈0.8192;(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题:(1)求sin 63°52′41″的值;(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值;(精确到0.0001)(3)已知tan x=0.7410,求锐角的值.(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程.【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”,再按下列顺序依次按键:sin 63°′′′52°′′′41°′′′=显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”,再按下列顺序依次按键:tan 19°′′′15°′′′=显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”,再按下列顺序依次按键:SHIFT tan 0.7410=显示结果为36.538 445 77.再按°′′′,显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结,老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的,大体分两种情况:先按三角函数键,再按数字键;或先输入数字后,再按三角函数键,因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.【例2】如图,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.求:(1)AB边上的高(精确到0.01);(2)∠B的度数(精确到1′).【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形.【解答】(1)作AB 边上的高CH ,垂足为H . ∵在Rt △ACH 中,sin A =CHAC ,∴CH =AC ·sin A =9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中,cos A =AH AC ,∴AH =AC ·cos A =9cos 48°,∴在Rt △BCH 中,tan B =CH BH =CH AB -AH =9sin 48°8-9cos 48°,∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角,一般情况下要构造直角三角形.活动2 巩固练习(学生独学)1.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,BC =2,AC =3,若用科学计算器求∠A 的度数,并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数,则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3=B.tan 2÷3DMS =C.2ndF tan (2÷3)=D.2ndF tan (2÷3)DMS =2.用计算器求下列锐角的三角函数值.(精确到0.0001) (1)tan 63°27′; (2)cos 18°59′27″; (3)sin 67°38′24″; (4)tan 24°19′48″. 解:(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3.根据下列条件求锐角A 的度数.(精确到1″) (1)cos A =0.6753; (2)tan A =87.54; (3)sin A =0.4553; (4)sin A =0.6725.解:(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习!28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1.了解什么叫解直角三角形. 2.掌握解直角三角形的根据. 3.能由已知条件解直角三角形. 【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想. 【情感态度与价值观】在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法. 【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72~P73的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.任何一个三角形都有六个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余,即∠A +∠B =90°; (2)三边满足勾股定理,即a 2+b 2=c 2;(3)边与角关系sin A =cos B =a c ,cos A =sin B =b c ,tan A =a b ,tan B =b a .3.Rt △ABC 中,若∠C =90°,sin A =45,AB =10,那么BC =8,tan B =34.环节2 合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(A)A.c sin A=a B.b cos B=cC.a tan A=b D.c tan B=b2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为3.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=4,c=8;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,a=12.解:(1)a=43,∠B=30°,∠A=60°.(2)∠B=30°,b=43,c=8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=122,试求CD的长.【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M,求出BM与CM的长度,在△EFD中求出∠EDF=60°,再解直角三角形即可.【解答】如题图,过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=45°,AC=122,∴BC=AC=12 2.∵AB∥CF,∴∠BCM=∠CBA=45°,∴BM=BC sin 45°=122×22=12,CM=BM=12.在△EFD中,∵∠F=90°,∠E=30°,∴∠EDF=60°,∴MD=BMtan 60°=43,∴CD=CM-MD=12-4 3.【互动总结】(学生总结,老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形,然后利用所学的三角函数的关系进行解答.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应练习!28.2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.了解仰角、俯角等有关概念,会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题.【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题.【教学难点】建立合适的三角形模型,解决实际问题.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P74~P75的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.在进行测量时,从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.2.如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端点A的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为a tan α米.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面点P的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与点P的距离是多少?(地球半径约为6400 km,π取3.142,结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图,热气球探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图,为了测量河的宽度AB,测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上),则河的宽度AB 约是多少?(精确到0.1 m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:由题易知,∠DAC=∠EDA=30°. ∵在Rt△ACD中,CD=21 m,∴AC=CDtan 30°=2133=213(m).∵在Rt△BCD中,∠DBC=45°,∴BC=CD=21 m,∴AB=AC-BC=213-21≈15.3(m).即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,某大楼顶部有一旗杆AB,甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°,且C、D、E在一条直线上.如果DE=15米,求旗杆AB的长大约是多少米?(结果保留整数,参考数据:sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ,先求出AE 与BE →解直角三角形:Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∵∠ADE =65°,DE =15米, ∴tan ∠ADE =AE DE,即tan 65°=AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米.在Rt △BCE 中,∵∠BCE =42°,CE =CD +DE =6+15=21(米), ∴tan ∠BCE =BE CE,即tan 42°=BE21≈0.9,解得 BE ≈18.9米.∴AB =AE -BE =31.5-18.9≈13(米). 即旗杆AB 的长大约是13米.【互动总结】(学生总结,老师点评)先分析图形,根据题意构造直角三角形,再解Rt △ADE 、Rt △BCE ,利用AB =AE -BE 即可求出答案.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应练习!第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1.能运用解直角三角形解决航行问题.2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.3.理解坡度i =坡面的铅直高度坡面的水平宽度=坡角的正切值. 【过程与方法】1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值.二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题.【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76~P77的内容,完成下面练习.【3 min 反馈】(一)方向角1.方向角是以观察点为中心(方向角的顶点),以正北或正南为始边,旋转到观察目标的方向线所成的锐角,方向角也称象限角.2.如图,我们说点A 在O 的北偏东30°方向上,点B 在点O 的南偏西45°方向上,或者点B 在点O 的西南方向.(二)坡度、坡角1.坡度通常写成1∶m的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i=hl=tan α.2.一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型);2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形,解决航海问题【例1】如图,海中一小岛A,该岛四周10海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续向东航行,你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗?【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论.【解答】如题图,过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中,∵tan ∠BAD =BD AD, ∴BD =AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中,∵tan ∠CAD =CD AD, ∴CD =AD ·tan 25°.∵BD =BC +CD ,∴AD ·tan 55°=20+AD ·tan 25°,∴AD =20tan 55°-tan 25°≈20.79(海里). 而20.79海里>10海里,∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.【互动总结】(学生总结,老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题,通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决.应先求出点A 距BC 的最近距离,若大于10海里则无危险,若小于或等于10海里则有危险.(二)解直角三角形,解决坡度、坡角问题【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD ,AD ∥BC ,路基顶宽BC =9.8 m ,路基高BE =5.8 m ,斜坡AB 的坡度i =1∶1.6,斜坡CD 的坡度i ′=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°).【互动探索】(引发学生思考)将坡度i=1∶1.6和i′=1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD=AE+EF+DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值.【解答】如题图,过点C作CF⊥AD于点F,则CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8 m, i=1∶1.6, i′=1∶2.5,∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m),∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tan α=i=1∶1.6,tan β=i′=1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m,斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形.活动2巩固练习(学生独学)1.如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为2.“村村通”公路工程拉近了城乡距离,加速了我区农村经济建设步伐.如图所示,C 村村民欲修建一条水泥公路,将C 村与区级公路相连.在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向,沿区级公路前进500 m ,在B 处测得C 村在北偏东30°方向.为节约资源,要求所修公路长度最短,画出符合条件的公路示意图,并求出公路长度.(结果保留整数)解:如图,过点C 作CD ⊥AB ,垂足落在AB 的延长线上,CD 即为所修公路,CD 的长度即为公路长度.在Rt △ACD 中,根据题意,有∠CAD =30°.∵tan ∠CAD =CD AD, ∴AD =CD tan 30°=3C D. 在Rt △CBD 中,根据题意,有∠CBD =60°.∵tan ∠CBD =CD BD,∴BD=CDtan 60°=33C D.又∵AD-BD=500 m,∴3CD-33CD=500,解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶ 3 ,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离.【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形,DE=CE=AC+AE→求得BD长.【解答】如图,延长CA交DB延长线于点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F,则∠。
初中数学_锐角三角函数(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_锐⾓三⾓函数(第⼀课时)教学设计学情分析教材分析课后反思课题:《锐⾓三⾓函数》第⼀课时教学⽬标1、了解直⾓三⾓形中锐⾓的正切的概念;认识tan的符号2、会求直⾓三⾓形中锐⾓的正切3、通过正切的学习,发展提⾼学⽣的观察、⽐较、分析、概括等逻辑思维能⼒.教学重点、难点重点:理解正切的概念,计算锐⾓的正切值。
难点:教学准备课件刻度尺教学过程:(⼀)联系⽣活,导⼊新课(多媒体展⽰⽣活中⼀些运⽤梯⼦的图⽚,学⽣观察后)问:攀爬这些梯⼦,哪个⽐较费⼒,哪个⽐较省⼒,为什么?观察两组图⽚(多媒体展⽰)哪个⽐较陡?观察第三组图⽚,思考:如何辨别哪个梯⼦陡?引⼊课题并展⽰教学⽬标。
(⼆)新课探究:1、学习正切的概念出⽰材料:⼩明和⼩亮经过讨论,同意在梯⼦AB取两点B1和B2,过B1和B2做B1C1⊥AC,B2C2⊥AC,垂⾜分别为C1、C2,但是,⼩明想通过测量B 1C 1和AC1,并算出它们的⽐来说明梯⼦AB 的倾斜度,⽽⼩亮想通过测量B 2C 2和AC 2,并算出它们的⽐来说明梯⼦AB1测量并计算,交流发现⼼得。
2引导学⽣运⽤⼏何推理验证谈发现:(引导学⽣明确)当梯⼦的倾斜⾓⼀定时,它的竖直⾼度与⽔平宽度的⽐就是⼀定的,即:⽐值相等。
2、讲解正切的概念在R t △ABC中,如果锐⾓A 确定,那么∠A 的对边与邻边的⽐随之确定,这个⽐叫做∠A 即tanA=的邻边的对边C⾓的表⽰⽅法正切的表⽰tan ∠BACtanatan ∠1 tanA ∠ BAC∠ a ∠ 1 ∠ A3、问题:梯⼦的倾斜度与正切的⼤⼩有什么关系?(1)哪(2)计算出∠BAC (3⼩结:锐⾓的正切值⼤。
(4)例题探究例题:如图,甲、⼄两个⾃动扶梯,哪⼀个⾃动扶梯⽐较陡?(学⽣⾃主探究,交流评价)(5)练习1、如图1,在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=4,BC=6,那么 tanA=_______,tanB=_________2、如图2,在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=5,BA=13,那么 tanA=_______,tanB=_________3、在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=2BC ,则tanA=____________AC 14m αβ5m13m甲⼄4、在Rt △ABC 中,∠C=900,∠ A=300,BC=5,则tanA=_______(6)认识坡度(课件展⽰情景)讲述:⼭坡的坡度也可以⽤正切来描述,即:⽤坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐表⽰。
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锐角三角函数
习学生应该明确锐角三角函数的定义,会利用相关知识解直角三角形,灵活运用其解决实际问题。
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识与技能:
了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比。
掌握30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值,会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值会求它的对应的锐角。
理解直角三角形中边于边的关系,角与角的关系和边角的关系,会用其解直角三角形。
会用解直角三角形有关知识解决简单的实际问题。