平面向量的正交分解和坐标表示及运算

复习回顾

1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ）

A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )

A.3 B .-3 C.0 D.2

4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值.

平面向量的正交分解和坐标表示及运算

一、基本概念

1．平面向量的坐标表示

（1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。

(3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝

下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。

(4).

. 向量的坐标运算

①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________; b a -=__________________ ; a λ=___________________.

(5). 向量平行的坐标表示:b a // ⇔______________________ .

（6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ .

二． 典例分析

例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求 的坐标.

(1,2),(2,1),AB A B =-u u u r （2）已知求 的坐标.

(1,2),(2,1),AB B A =-u u u r （3）已知求 的坐标.

(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+r r r r r r r r 练习1 .已知求 的坐标.

2.已知点

()A -1,5和向量()2,3a =r ，若AB=3a u u u r r ，则点B 的坐标为_____________________ .

例2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、

（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标.

变式. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

例3. (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD ＝ ( )

A．(2,4) B．(3,5)

C．(－3，－5) D．(－2，－4)

变式．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数

y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．

例4. (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．

若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )

A.14

B.12 C ．1

D ．2

变式．(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为 ( ) A．5 B．6

C．7 D．8

例5．已知向量

)3,2(

=

a

，

)6,

(x

b=

，且b

a//，则=

x_____________________ .

练习1．已知向量

(1,1),(1,2)

a b

=-=

r r

，且

(2)//()

a b a b

λ

+-

r r r r

，则=

λ_____________________ ．

2.已知

(1,2),(,1),2

a b x u a b

===+

r r r r r

，2

v a b

=-

r r r

，且//

u v

r r

，求实数x；

本节检测

1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( ) A．(6,3) B．(－2，－6)

C．(2,1) D．(7,2)