平面向量的正交分解和坐标表示及运算
6平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算
B
4 3 2
j -1 o i A
a
A1
1
-4
-3
-2
1
2
3
4
x
-1 -2
c
-3 -4
-5
d
练习 2：判断下列说法是否正确 （1）对于 a ，有且仅有一对实数 ( x, y ) 与之对应； （
） ）
（2）相等的向量的坐标相等；两个向量坐标相同则这两个向量相等； （
（3）从原点引出的向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标；反过来点 A 的坐标 ( x, y ) 也就
D.(7，-1)
6.已知平行四边形 ABCD 中， AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 AC、BD 交于 O，则 CO 的 坐标是( )
1 A.(- 2 ，5)
1 B.(- 2 ， -5)
1 C.( 2 )，-5)
3
1 D.( 2 ，5)
7. OM =（1，2）则 M 点坐标为
8. a b =（1,3） ， a b =（5，7）,则 a = 9.已知 a＝(3,2),b＝(0,-1)，则 3a-2b＝
.
13.已知 a＝(1,-1),b＝(3,0),c＝(1,7). (1)求：m＝a+b+c; (2)用 a、b 为基底来表示 m.
AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD . 14.已知 A(1， -2)， B(2， 1)， C(3， 2)和 D(-2， 3)， 以 AB 、
4
课题 学习 目标
平面向量的正交分解及坐标表示、 坐标运算 1、理解平面向量的坐标的概念； 2、掌握平面向量的坐标运算； 教学过程与内容
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝_(1_,_0_)_，j＝_(_0_,1_)，0＝_(_0_,0_)_．
3．向量与坐标的关系
设
→ OA
＝xi＋yi，则向量
→ OA
的坐标_(_x_，__y_) _就是终点A的坐
标；反过来，终点A的__坐__标___就是向量
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R)，则有下表：
文字描述
符号表示
两个向量和的坐
加法
标分别等于这两 a＋b＝_(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)__
个向量相应这两个向量相应坐标的
_差____
__(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)___
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
1．平面向量的正交分解 垂直
把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平
面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 __相__同___的两个_单__位__向量i，j作为__基__底__． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，_有__且__只__有__一___对实数 x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_(_x_，__y_) _叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在 x 轴上的坐标，y叫 做向量a在 y轴上的坐标．
→ OA
的坐标(x，y)．因
此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序
实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
__一__一__对__应___的．
[破疑点]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相 同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量 终点的坐标才相同．
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
学习导航：
平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可以用 平面的一组基底表示出来，那么恰当的选择基底（尽
可能特殊化的基底），将带来更加便利的向量 表示及运算。我非常期待,你们呢？……
课题： 平面向量的正交分解及坐标表示
高一数学
刘利
F1 G F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的
效果等价于F1和F2 得合力效果，即 G F1 F2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
如图，向量 e1 , e2是两个互相垂直且长度分
别为2，1的向量，向量 a 与 e1的夹角是30°，
且 a 4，以向量 e1 , e2 为基底，向量 a如何表
示？
B
P
e2
a
O
e1
A
若该题中的基底e1, e2的长度都为1，a表示的结果是什么? 有何优越性？
解法2：由平行四边形法则可得
BD BA BC
y B
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
(3, 1)
O
C D
x
而OD OB BD
(1,3) (3, 1) (2, 2)
？你能比较一下两种
所以顶点D的坐标为（2，2）
解法在思想方法上的异同 点吗
小结1 :平面向量的坐标表示
谢谢大家！
y
D
a
C
如图，i, j 是分别与x轴、y轴正方向相同 A
的单位向量，若以 i, j为基底，则
j
x
o iB
对于该平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数x、y，可使
平面向量正交分解及坐标表示及坐标运算
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算学习目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。
学习任务：(一)平面向量的正交分解：阅读课本94-95页，回答下列问题 1、什么是正交分解？2、观察右图，OA a =,完成下列问题:(1)向量1OA 与向量i 共线，则存在唯一实数x ，使得i OA___1=; (2)向量2OA 与向量j 共线，则存在唯一实数y ，使得j OA__2=;(3)由平行四边形法则，________________+=+==OA a. 3、阅读课本第95-96页，完成下列问题向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的 向量i ，j 作为 ，对于任一向量a ， ____________一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫___________，记作_________ 其中x 叫 ，y 叫 。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）相等的向量的坐标 ；（3）i =（ ， ），j =（ ， ），0(0,0)=；（4）直角坐标系中点A 、向量OA 、有序数（x,y ）有什么关系？从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是 。
(二)平面向量的坐标运算1.阅读课本第96页，完成问题已知),(),,(2211y x b y x a ==，则(1)=+b a ____________________,=-b a____________________(用坐标表示)。
(2)=aλ____________________(R ∈λ)(用坐标表示)。
2.阅读课本第97页例4，完成课本第100页练习1，2；课本第101页习题A 组2。
3.若A 点坐标为),(11y x ，B 点坐标为),(22y x ，O 为坐标原点，则(1)OA =___________,OB =___________,________________________=-=-=AB 。
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向 (2)向量的表示：几何表示法 AB ，a；(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0 向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( )A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c--3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+=4.+++等于( ) A . B . C . D .5.化简++-的结果等于( ) A 、 B 、 C 、 D 、6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )A AB OC = B AB ∥DEC AD BE = D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( ) A .5 B .4 C .3 D .2①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=8.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|,那么△ABC 一定是( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( ) A .a b + B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时,A 、B 、C 三点共线.()1A λμ+= ()1B λμ-= ()1C λμ=- ()1D λμ=BD二.填空题(每题5分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______12.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA = ______MB =____,MC = ___,MD =____.13.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______14.化简:①AB BC CD ++= ______; ②AB AD DC --=______; ③()()AB CD AC BD ---= ______15.化简下列各式:(1)=++++______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.16.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB =______.17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+,则它的形状一定是______18.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.19.化简:=-++-)()(______.20.在△ABC 中,设BC a →=,CA b →=,则AB=______三.解答题(每题10分)21.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与EF 、共线的向量; (2)与相等的向量.面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的．．．．．．坐标也为．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.同步练习一、选择题1、已知=(-2，4)，=(2，6)，则21= ( ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)2、已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量同向的单位向量是 （ ） A ．(53，-54) B ．(-53，54) C ．(-54，53) D ．(54，-53) 3、若向量 = (1，1)， = (1，－1)， =(－1，2)，则等于 （ ）A ．－21a +23b B ．21a － 23b C ．23a － 21b D ．－ 23a + 21b 4、已知向量=（1，2），=（0，1），则下列各点中在直线AB 上的点是 （ ） A ．(0，3) B ．(1，1) C ．(2，4) D ．(2，5)5、已知向量a =(-2，4)，b =(1，-2)，则a 与b 的关系是 （ ） A ．不共线 B ．相等 C ．同向 D ．反向6、设k ∈R ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是 （ ） A ．(k ，k) B ．(-k ，-k) C ．(k 2+1，k 2+1) D ．(k 2-1，k 2-1)二、填空题1、已知：()4,2M 、()3,2-N ，那么= ；= ．2、已知点()5,1--A 和向量()3,2=，若3=，则点B 的坐标是 ．3、已知向量a =(3，-2)，b =(-2，1)，c =(7，-4)，且c =λa +μb ， 则λ= ，μ= ．4、已知=(2，4)， =(－1，－3)，=(－3，2)． 则|3+2|=________． 若一个单位向量与－的方向相同，则的坐标为________________．5、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且=2-3，则点D 的坐标为 ．6、已知AB =(5，-3)，C(-1，3)，CD =2AB ，则点D 坐标是 ．三、解答题1、已知向量a =（1，x ），b =（y ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e =22e ，求x 、y 的值．2、已知平行四边形ABCD 的顶点()2,1--A 、()1,3-B 、()6,5C ，求顶点D 的坐标．3、已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)， =31，=31（1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； （2）求证：EF ∥AB ．参考答案一、选择题 DAB DDC 二、填空题1、()1,4--=MN ，()1,4=NM 。
2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解
垂直 把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做
平面向量的正交分解．
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
第二章
平面向量
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课前自主预习
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
→ → → A.AB＝OB－OA → → → C.AD＝AB＋BD
→ → → B.BD＝AD－AB → → → D.AB＝AC＋CB
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
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3．向量与坐标的关系 → → (x，y) 设 OA ＝xi＋yi，则向量 OA 的坐标_______就是终点A的坐 → 坐标 标；反过来，终点A的_______就是向量 OA 的坐标(x，y)．因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序 实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
向量7 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
长沙市第六中学2013年下学期高一年级数学：平面向量 导学案 编号：sx07平面向量的正交分解和坐标表示及运算班级： 小组： 姓名： 评价：【学习目标】(1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线【预习指要】：阅读p95到p97，体会平面向量坐标运算的准确性预习检测1、已知(2,4)a =- ，(5,2)b = ，求a b + ，a b -2、已知A （4，5），B （6，9），则AB =_______________,3、已知OA =（2，3），OB =（6，3-），P 为线段AB 的中点，则P 点坐标为_______________【学习过程】1、已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标。
2、已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.3、已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.4、已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.【课堂练习】必做题1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.4、若A (2,3)，B (x , 4), C (3,y ), 且AB =2AC , 求x 、y 的值。
选做题已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11,,33AE AC BF BC ==求证：//EF AB挑战题已知A (2,3)、B (5,4)、C (7,10)，若()AP AB AC R λλ=+∈ ，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？【当堂小结】。
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。
第六课时 平面向量的正交分解及坐标运算
授课时间：月日第6课时：（总编第66课时）教学内容：平面向量的正交分解、坐标表示及运算教学目标：1、知识与技能⑴理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示；⑵理解并掌握平面向量的加法、减法与数乘运算的坐标表示；2、过程与方法⑴通过平面向量的正交分解，体会由一般到特殊的思维方法；⑵通过平面向量的坐标运算，体会用代数的方法解决向量问题的优越性；3、情感、态度和价值观通过本节的学习，了解相关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探究能力、分析问题和解决问题的能力；教学重点：平面向量线性运算的坐标表示教学难点：平面向量线性运算的坐标表示及应用教学方法：读、议、讲、练教学法教具：教后反思：教学过程：一、温故知新，引入课题⑴平面向量基本定理及其相关概念？⑵向量夹角的概念？我们知道，在平面直角坐标系内，每一个点都可以用一对有序实数（坐标）来表示，那么，向量能否用坐标表示呢？今天，我们来研究这个问题。
【问题引领，自主探究】⑴平面向量的正交分解？⑵平面向量的坐标表示？⑶平面向量线性运算的坐标表示？（学生自学课本9497p --，教师巡视）二、进行新课1、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为 基底，任作一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使 得a xi y j =+ ，这样，平面内的任一向量 a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序实数对 (),x y 叫向量a 的坐标，记作(),a x y = ，其中 x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标；【说明】 ①(),a x y = 叫向量a 的坐标表示； ②特殊向量：()1,0i = ，()0,1j = ，()00,0= ；③两向量相等的坐标相等；④在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示；⑤以原点为起点的向量的坐标就是该向量的终点坐标；3、平面向量的坐标运算 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则 ()1212,a b x x y y +=++ ； ()1212,a b x x y y -=-- ； ()11,a x y λλλ= ；3、向量的坐标公式4、例题分析例1、（96p 例2）例2、（96p 例3）、 【结论】向量的坐标公式： 设()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =-- ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；例3、（97p 例4）例4、（97p 例5）【变式练习】已知平面上三点坐标分别为()2,1A -，()1,3B -，()3,4C ，求点D 的坐标，使得A 、B 、C 、D 四个点构成平行四边形。
高一数学平面向量的正交分解和坐标表示及运算.doc
第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算
§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算一 学习目标1 .理解平面向量的正交分解及坐标表示2 .理解掌握坐标运算二 学习过程1. 预习新知(1) 正交分解：把一个向量分解成 的向量，叫做把向量正交分解（2） 向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个----------i,j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得a= ,我们把有序数对 叫向量a 的坐标(3) 已知a =(1x ,1y ) b =(2x ,2y ),则a = , a -b = ,m a = . .2 合作探究例1 已知A （1x ,1y ）,B(2x ,2y ),求AB 的坐标变式 你能在图中标出坐标为(2x -1x ,2y -1y )的点吗?例2 已知a =(2,1), b =(-3,4)求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标例3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)为，求顶点D 的坐标.三.总结与疑惑四.达标检测1．已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )．A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(－1，－2)2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( )．A ．(5,3)B ．(4,3)C ．(8,3)D ．(0，－1)3．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )．A ．向量a 的终点坐标为(－2,3)B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称4．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)则BC →＝________.5．已知a ＝(－1,1)且a ＝x i ＋y j ，则x ＝________，y ＝________.6．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，O 为原点，若a ＝OA →，求x ，y 的值．7．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1)9．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．10．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋t ·AB →，求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值？若不能，请说明理由．。
平面向量的正交分解坐标表示及坐标运算
变式练习： 变式练习 a + b = (−4,−3), a − b = (2,1), 求a, b.
探究三： 探究三：点的坐标与向量坐标的关系
2.如图 如图， 例r 如图，已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) uuu 这是一个重要结论！ 这是一个重要结论！ 的坐标。 求 AB 的坐标。 y uuu uuu uuu r r r 解：
r r a = b ⇔ x1 = x2且y1 = y2
r r a + b = ( x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) r r a − b = ( x1 − x 2 , y 1 − y 2 )
2 加、减法法则 减法法则.
3 实数与向量积的运算法则 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x +y )=（λx，λy ） i j（ 4 向量坐标 向量坐标.
BD = BA + BC = (−2 − (−1),1 − 3) + (3 − (−1), 4 − 3) = (3, −1)
D A O x
而 uuur uuu uuu r r OD = OB + BD = (−1,3) + (3, −1) = (2, 2) 所以顶点D的坐标为 ， ） 的坐标为（ 所以顶点 的坐标为（2，2）
思考1: 思考1:
分别与x 轴方向相同的两单位向量i 分别与 轴、y 轴方向相同的两单位向量 、j 能否作为平面向量的基底? 能否作为平面向量的基底
y a j O x
任一向量a ，用这组基底 任一向量 能不能表示? 能不能表示
i
探究一、平面向量的坐标表示 探究一、平面向量的坐标表示: r r r y a = xi +y j
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
平面向量的正交分解和坐标表示及运算学习目标（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 一、复习1．平面向量基本定理： (1)我们把不 向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不 ；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 二、基本概念（预习） 1．平面向量的坐标表示（1） 则称这两个向量互相垂直（2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的。
(3).在坐标平面xOy 内，任作一向量（用有向线段表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（a 1，a 2），使得=a 11e +a 22e ，（a 1,a 2）就是向量在基底｛1e ，2e ｝下的，即=,其中a 1叫做向量在x 轴上的，a 2叫做在y 轴上的。
(4).符号（x,y ）在直角坐标系中具有双重意义，它既可以表示一个固定的，又可以表示一个，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x,y)或向量（x,y ）. (5). 向量的坐标运算①加、减法 若=(a 1,a 2)，=(b 1,b 2)，则+= ,－= .文字叙述：两个向量的和与差的坐标等于。
②一个向量的坐标等于向量 的坐标减去的坐标。
③实数与向量的积若=(a 1,a 2),λ∈R ，则λ= 。
文字叙述：向量数乘积的坐标等于。
三 典例分析例1见教材。
针对性练习：课后练习A1例2见教材，记住结论： 针对练习课后练习A3例3见教材，记住中点坐标公式： 。
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
8.在△ABC 中, AB a , AC b ,如果 | a || b |,那么△ABC 一定是( ).
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
9.在 ABC 中, BC a , CA b ,则 AB 等于( ) A. a b B. ( a b ) C. a b D. b a
15.化简下列各式:
x
,
y
满足
(2x
(1) AB DF CD BC FA ______; (2) ( AB MB) (BO BC) OM ______.
16.在 A ABCD 中, AB a, AD b ,则 AC ______, DB ______.
17.在四边形 ABCD 中有 AC AB AD ,则它的形状一定是______
18.已知四边形
ABCD
中,
AB
1
2
DC
,且
AD
y)a
4b
5a
19.化简: ( AC DP BA) (CP BD) ______.
10.已知 a 、 b 是不共线的向量, AB a b , AC a b ( 、 R ),当且仅当( )时, A 、 B 、 C
三点共线.
A 1
B 1
C 1
D 1
1
二.填空题(每题 5 分)
｜ ｜＝1 0
新疆 王新敞
奎屯
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标表示
如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相 同的单位向量，若以i，j为基底，则
对于该平面内的任一向量a, 有且只有一对实数x,y，可使 a = xi + yj
y
a
A
j
D
C
x
i B
o
这里，我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = (x,y)
其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
三者有何相互关系？
F 1 G
F2
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫做把向量正交分解. 正交分解时向量分解中常见的一种情形.
思考：
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点 都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直 角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？
在平面上选取互相垂直的向量作为基底时， 我们研究向量的坐标表示问题。
（2）若用 i , j 来表示 OC, OD ，则： 3i 4 j OD _________. 5i 7 j OC ________, （3）向量 CD 能否由 i , j 表示出来？可以的话，如何表示？ CD 2i 3 j
思考1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
j | ______, 1 1 （1） i _____,| 5 | OC | ______;
y
7 4
D
B
C
j
x
A
3
5
o i
解： a b (2,1) (3, 4) (1,5);
a b (2,1) (3, 4) (5, 3); 3a 4b 3(2,1) 4(3, 4) (6,3) (12,16) (6,19).
平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算
平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算学习目标1.掌握两向量平行（共线）条件的坐标表示；2.熟练应用向量平行条件的坐标表示解决相关问题。
自主学习 知识梳理1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上． 当堂检测1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线2．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1 4．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13 夯基531一、单选题1.设k R ∈，下列向量中，与向量(1,-1)=a 一定不平行的向量是（ ）A. (,)k kB. (-,-)k kC. 22(+1,+1)k kD. 22(-1,-1)k k2. 若(-1)(1,3)(25)A x B C ，，，，三点共线，则x 的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 33.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2)(,32)m m ==-，a b ，且平面内任一向量c 都可以唯一表示成1212(,)R λλλλ∈c =a +b ，则m 的取值范围是（ ）A. (,2)-∞B. (,)-∞+∞C. (2,)+∞D. (,2)(2,)-∞+∞4.已知平面向量(1,2)(2,),m ==-a ,b 且a b ，则2a +3b =（ ）A. (2,4)--B. (3,6)--C. (4,8)--D. (5,10)--5.已知(3,1)(1,2),=-=-a ,b 若k (-2a +b)(a +b)，则实数k 的值是（ ）A. 17-B. 12-C. 1918D. 53 二、填空题6.已知向量(61),(),=(2,3),AB BC x y CD ==--，，若BC DA ,则2x y +的值为 .7.已知向量(12),(45),(10,OA k OB OC k ===，，若A B C ，，三点共线，则实数_____.k = 8.已知平行四边形ABCD 四个顶点坐标为(5,7),(3,),A B x (2,3),(4,),C D x __.x =则三、解答题9.平面内给定三个向量(3,2)(1,2),(4,1)==-=a ,b c ，回答下列问题：（1）求满足m n a =b +c 的实数,;m n（2）若2k (a +c)(b -a)，求实数.k提能11110.设向量)(3,sin ),θθ==a ,b 且//a b ，则锐角θ为（ ）A. 60︒B. 30︒C. 45︒D. 75︒11.已知向量(2,3)(1,2),==-a ,b 若-m n 与a +b a 2b 共线，则m n等于 . 12.设A B C D ，，，为平面内的四点，且(1,3),(2,-2),A B (4,-1)C ，（1）若//AB CD ,求点D 的坐标；（2）设向量AB =a ，BC =b ，若k a -b 与a +3b 平行，实数k 的值.反思领悟1两个向量共线条件的表示方法习题课。
平面向量的正交分解及坐标表示(运算)
正交分解
（1）当 90 时，把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
F
F1
' 1
F
F1'' F2''
F2'
F2 G
（2）当两向量互相垂直并且长度为1时， 我们可以构造出一组特殊的基底—— i , j
j
i
问题二： 在平面直角坐标系中，每一个点都可 以用有序实数对来表示，即A( x, y) 。
人 教 A 版 数 学
求它们的坐标。 a 2i 3 j , a (2,3)
b 2i 3 j , b (2,3)
c 2i 3 j , c (2, 3)
b2 b3)
如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标。
平面向量基本定理的内容是什么？
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 ，有且只有一对实数 ，使： 面内的任一向量
问题一： 已知一个光滑斜坡上放着一个重为 G的物体，如图：
G F1 F2 叫做把重力分解。
a 1e1 2e2 我们也可看做把 a 分解。 所以，
人 教 A 版 数 学
第二章
平面向量
2．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y轴 方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内任意 一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由 有序数对(x，y) x、y 唯一确定，我们把 叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在 y轴上的坐标．
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(含加减运算)
x1i x2i y1 j y2 j
x1 x2 i y1 y2 j a b x1 x2, y1 y2
x2 x1, y2 y1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点坐标减去起点坐标
例5：如图所示，已知平行四边形ABCD的
三个顶点A, B,C的坐标分别是 - 2，1，-1，3，3，4 y
求顶点D的坐标
B
解：设顶点 D的坐标为x, y
AB 1 2,31 1,2
r
r
（1）| i | ___1__,| j | ___1___,
uuur
| OC | ___5___;
rr
uuur uuur
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：
uuur
uuur
OC _3_i __4__j __,OD _5_i___7_j___ .
y
7
D
4
B
j
o iA
C P
的单位向量，若以
rr i, j
为基底，则
y
D
a
C
A
j
x
o iB
这里，我们把（x,y）叫r 做向量a 的（直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
r a (x, y)
y
D
a
C
A
j
x
o iB
思考：i, j,0这三个向量的坐标分别是什么？
i 1i 0 j i 1，0 j 0i 1 j i 0，1
6.3.2-4平面向量的正交分解、坐标表示、坐标加减运算-高中数学必修第二册课件(共48张ppt)
例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:
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复习回顾
1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ）
A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )
A.3 B .-3 C.0 D.2
4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值.
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、基本概念
1．平面向量的坐标表示
（1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。
(3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝
下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。
(4).
. 向量的坐标运算
①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________; b a -=__________________ ; a λ=___________________.
(5). 向量平行的坐标表示:b a // ⇔______________________ .
（6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ .
二． 典例分析
例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求 的坐标.
(1,2),(2,1),AB A B =-u u u r （2）已知求 的坐标.
(1,2),(2,1),AB B A =-u u u r （3）已知求 的坐标.
(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+r r r r r r r r 练习1 .已知求 的坐标.
2.已知点
()A -1,5和向量()2,3a =r ，若AB=3a u u u r r ，则点B 的坐标为_____________________ .
例2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、
（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标.
变式. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例3. (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD ＝ ( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(－3，－5) D．(－2，－4)
变式．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．
例4. (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．
若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )
A.14
B.12 C ．1
D ．2
变式．(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为 ( ) A．5 B．6
C．7 D．8
例5．已知向量
)3,2(
=
a
，
)6,
(x
b=
，且b
a//，则=
x_____________________ .
练习1．已知向量
(1,1),(1,2)
a b
=-=
r r
，且
(2)//()
a b a b
λ
+-
r r r r
，则=
λ_____________________ ．
2.已知
(1,2),(,1),2
a b x u a b
===+
r r r r r
，2
v a b
=-
r r r
，且//
u v
r r
，求实数x；
本节检测
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( ) A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于(
) A ．－12a ＋32b B.12a －32b
C ．－32a －12b
D ．－32a ＋12b
4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB u u u r ＝λa ＋b ，AC u u u r ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交
于点F.若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r ＝( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b
6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b.
巩固练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP ， 求P 点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.
4．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③
C ．②③
D ．①②③
5．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为 ( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
6．已知两点
A (4,1)，
B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35，45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45
，－35
7．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.。