几何概型课件

而 y<x 所满足的区域为梯形 ABCE，
所以
y<x
的概率
P＝SS
梯形 矩形
15－9
＝ ABCE
2＝0.7.故选
ABCD
15
C.
变式 3、设关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0，若 a 是从区间[0,3] 上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有
实根的概率． 解：设事件 A 为“方程 x2＋2ax＋b2＝0”有实根．
[提出问题]每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某 商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费 100 元以上， 就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①， ②或③区域，顾客就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券(转 盘被等分成 20 个扇形)，一位顾客消费了 120 元． 问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与 什么因素有关？ 答：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．
则此点落在正方体内部的概率为
()
A.
6 π
B．2π3
C.
3 π
D．23π3
解：由题意得正方体的体积为 V1＝1.又球的直径是正方体的对角线，
故球的半径 R＝ 23.球的体积 V2＝43πR3＝ 23π.这是一个几何概型，则
此点落在正方体内的概率为 P＝V1＝ V2
13π＝23π3.
2
变式、已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方 体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．
解：设正方形 ABCD 的边长为 4a，硬币的半径 r＝a，则正 方形 O1O2O3O4 的面积为 4a2，曲边多边形 EFGHIJKL 的面 积为 16a2＋4×(4a×r)＋4×1πr2＝32a2＋πa2.
4
记“硬币完全落入正方形内”为事件 A，则硬币完全落入 正方形内的概率应等于正方形 O1O2O3O4 的面积与曲边多 边形 EFGHIJKL 的面积比，即 P(A)＝32a42＋a2πa2＝32＋4 π.
截距b大于0的概率是多少？
1 3
拓展1、在我国古代数学著作《九章算术》勾股章有一《池 葭出水》的趣题(如图所示)：“今有池方一丈，葭生其中央，出 水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意
思是：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇， 露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的顶端正好与水面一样平， 问水有多深？该植物有多长？(“丈”和“尺”都是旧制长度单 位，现已停止使用，1丈＝10尺，1米＝3尺)．若从该芦苇上随 机取一点，则该点取自水下的概率是( )
4 1000
解方程得 π≈3.14.
变式2、图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．则我们可以 估计出阴影部分的面积为________．
解：据题意可知黄豆落在阴影部分的概率等于138，其 300
概率可用阴影部分的面积与矩形面积比来度量．
则138＝S 300 S
它的面积为半径为1的半圆面积 S＝1π×12＝π，
π
2
2
所以所求概率为 P＝2＝ π . 6 12
变式 2、分别在区间[1,6]，[1,4]内各任取一个实数，依次记 为 x，y，则 y<x 的概率是( ).
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
解:画出图形(如图所示)，x，y 所满足的区域为矩形 ABCD，
0 x 24
则0 y 24,做出不等式组表示的区 域，
x
y
4
变式1、一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由 爬行，某时π刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的 概率为___1__2___．
解：由已知三角形 ABC 为直角三 角形，面积为12×3×4＝6，
离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，
解：∠ACB=900，当AC=AM时，有∠MCA=750，MCB=150，
当∠MCA大于750小于900时，才有AM>AC成立，
所以概率为p 15 1. 90 6
BM
150 750
C 750
300 A
区别：在直角三角形ABC中,∠A=300,在斜边AB上取点M, 则使AM>AC的概率为多少？
2 3
频率 组距
所以m 0.770 49.
x
12 34 5 6
例4、甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头， 它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙 船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等 待码头空出的概率．
解：设A=“两船都不需要等待码头空出”， 设甲、乙两船到达的时 间分别为x, y,
3
变式1、一老奶奶沿长是28米，宽是15米的篮球场的边界慢走，某
时刻老奶奶距离篮球场的四个顶点就距离超过5米的概率是多少？
23
变43式2Biblioteka Baidu某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车
站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率．
7
变10式3、一个路口的红灯亮的时间是45秒，黄灯亮的时间是5秒，
问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？ 其发生的概率相等吗？ 答：试验结果有无穷多个，且发生的概率相等．
问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？ 答：用标注①的扇形面积除以圆的面积．
[导入新知]
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
绿灯亮的时间是50秒，求当你到达路口恰好能通行的概率．
1 2
例2、在区间[－1,2]上任意取一个实数x，求x>0的概率。
2
3
变式1、在区间[－1,2]上任意取一个实数x，求log2x>0的概率。
1
3
变式2、在区间[－1,2]上任意取一个实数x，求sinx≥0.5的概率。
2
6
2
3 3 18
变式3、已知直线y=x+b的横截距在区间[－1,2]内，则直线的纵
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称得，
π
S黑＝S白＝
1S 2
圆＝π2，所以所求概率
P＝ S 黑 ＝2＝π. S 正方形 4 8
变式1、在边长为2的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，撒入 圆内的芝麻数有785粒，估算圆周率π大约是___3_.1_4___ 。
解：设正方形边长为2，则S正＝4，S圆＝ π. 因此芝麻落入圆内的概率为 p 785
则Δ＝4a2－4b2≥0，即 a2≥b2.
又∵a≥0，b≥0.∴a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，
而构成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
即如图所示的阴影部分．
所以 P(A)＝3×2－12×22＝2.
3×2
3
变式 4、已知圆 C：x2＋y2＝12，直线 l：4x＋3y＝25. (1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离； (2)求圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率． 解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝ 422＋5 32＝5. (2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离
解：设正方体的棱长为 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球 O 的半径是其棱长的一半，其体积为 V1＝43π×13＝43π.
4π 则点 M 在球 O 内的概率是 3 ＝π.
23 6
题型四、与角度有关的几何概型
例 6、在平面直角坐标系中，射线 OT 为 60°角的终边，在任意角
集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是 ( )
A. 9 B.12 C.13 D.14 10 13 14 15
解：设水深为 x 尺，则(x＋1)2＝x2＋52，解得 x＝12， 即水深 12 尺，芦苇长 13 尺，则所求概率 P＝1123.
拓展 2、如图所示，在地上画一个正方形方框，其边长等于 一枚硬币直径的 2 倍，向方框中投硬币，硬币完全落在正方 形外的情况不计，求硬币完全落在正方形内的概率．
小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15. 则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为 2 3，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3.
π 故所求概率为P＝23π＝16.
题型三、与体积有关的几何概型
例 5、在一球内有一棱长为 1 的内接正方体，一点在球内运动，
B
M
设1
2
C
300 3
A
解：长度法求解得概率
p 2 2
3
[课堂小结]
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 ．
(2)每个基本事件出现的可能性相等 ．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式为：
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.
A.1
B．2
C.1
6
3
3
D． 1 60
解析：如图，∵在任意角集合中任取一个角， 则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为 600， 而整个角集合对应的角度为圆周角 3600， ∴该角终边落在∠xOT 内的概率 P＝36600°°＝16. 答案：A
变式、在直角三角形 ABC 中,∠A=300,过直角定点 C 做射线 CM 交线段 AB 于 M,则使 AM>AC 的概率为多少？
题型二、与面积有关的几何概型
例 3、如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太
极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分
关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随
机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.14
B.π8
C.12
D.π4
解：设正方形ABCD的边长为2，则内切圆的半径为1，S正方形＝4.
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 ．
(2)每个基本事件出现的可能性相等 ．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式为：
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.
题型一、与长度有关的几何概型
例1、在一段绳子中间剪一刀，则剪断点到绳子端点距离是整段 2 绳子的三分之一的概率是多少？
阴矩影形＝5S×阴影2⇒S
阴影＝133080×5×2＝4.6.
变式3、如图，是一个容量为70的样本的频率分布直方图，数据
在[3, 5]内的频数为m，现向该频率分布直方图内(即5个小长方形
内)抛掷一点，则该点落在阴影部分的概率是0.7，求m.
解：由落入阴影部分的 概率是0.7, 得 m 0.7, 70