Maab求解线性方程组非线性方程组
MATLAB教学视频：非线性方程(组)在MATLAB中的求解方法
0.6
0.8
1 t
1.2
1.4
1.6
1.8
2
二元方程组的图解法
用图解法，求二元方程组的解，其中 x 和 y 的范围均为 [-5, 5]
2 − xy x =5 e 3 2 2 x+ y x cos x + y + y e = 10 ( )
2
将方程组移项，改写成 f(x, y) = 0 的形式
f(t)
0 -0.1 -0.2
对于非多项式方程，只能求出一个解
-0.3 -0.4 -0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 t
1.2
1.4
1.6
1.8
2
solve 函数的局限性
求解一元非线性方程 (超越方程)
f ( x ) = sin ( x ) + cos ( x x ) − 10
对于稍许复杂的方程，求解结果出现很大误差
一元方程的图解法
一个有阻尼的振动系统，振动方程如下，求出 x (t) = 0.1 对应的时刻 t
x ( t ) = 0.8 e −6t sin ( 30t )
根据振动方程，有
x ( t ) = 0.8 e −6t sin ( 30t ) = 0.1
移项，可得
0.8 e −6t sin ( 30t ) − 0.1 = 0
初值 x0 分别设定为0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 等，求解方程 F 的根，并观察结果
非线性方程 (组) 数值解的一般求法
◼ 使用 fsolve 函数的第二种调用格式，求解方程 F 的根 [x,fval,exitflag] = fsolve(fun,x0,options) ◼ 使用 optimset 函数，设置 options
Matlab 解非线性方程组2
用Matlab求解非线性方程组
Ｍａｄａｂ 的 符 号 数 学 工 具 箱 是 以 Ｍａｐｌｅ 的 ｍｙｆｕｎ ＇ ，ｘ０）L ｔｏｃ 程 序 后 ， 仅 仅 用 了 ０．０３００ 秒 。
内核为符号运算的引擎， 并 依 赖 Ｍａｐｌｅ 已 有 的 一般来说， 为了保证迭代的收敛性， 初始值应当
库 函 数 开 发 出 来 的 Ｍａｔｌａｂ 环 境 下 实 现 符 号 处 取在所求解的足够小的邻域内。有的实际问题
理的工具箱。它将符号运算结合到 Ｍａｄａｂ 的数 可以凭经验取值， 有的则可以用某些方法预估
值运算环境中。在 Ｍａｔｌａｂ５．０ 以上版本中定义这 一个近似解。从数学的角度讲， 这是个相当困难
种 新 的 数 据 类 型 — ——符 号 对 象 或 称 为 ｓｙｍ 对 的问题。
象， 其建立 函 数 是 ｓｙｍ 或 ｓｙｍｓ。 使 用 这 两 个 函
关键词： 符号对象； 迭代方法； Ｂｒｏｙｄｅｎ 法； 非线性方程组
１ 引言
［ｘ， ｆｖａｌ， ｅｘｉｔｆｌａｇ， ｏｕｔｐｕｔ］＝ｆｓｏｌｖｅ（…）返 回 一 个 包 含
非 线 性 方 程 组 解 的 几 何 意 义 与 线 性 方 程 最优化信息的输出结构 ｏｕｔｐｕｔ。
组 类 似， 方 程 组 中 每 个 方 程 定 义 了 一 个“曲 ”超 ［ｘ， ｆｖａｌ， ｅｘｉｔｆｌａｇ， ｏｕｔｐｕｔ， ｊａｃｏｂｉａｎ］＝ｆｓｏｌｖｅ（… ）返 回
ｅｚｓｕｒｆｃ、ｅｚｍｅｓｈ、ｅｚｍｅｓｈｃ 可 以 绘 制 参 数 网 格 或 行的停机准则并估计近似解的误差界， 等等。
表面图等等。利用上述函数功能， 我们可以绘制 求解非线性方程组的最简单和有效的迭代法之
出非线性方程组的曲线或曲面图形， 从图形中 一就是 Ｂｒｏｙｄｅｎ 方法：
matlab 方程组 解
matlab 方程组解一、概述Matlab是一种强大的数学计算软件，它可以用来解决各种数学问题，包括解方程组。
在Matlab中，求解方程组是一个非常重要的功能，因为很多实际问题都可以转化为方程组的形式。
本文将详细介绍如何使用Matlab求解线性方程组和非线性方程组。
二、线性方程组1. 线性方程组的定义线性方程组是指各个未知量的次数都不超过1次的代数方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y = 6就是一个包含两个未知量x和y的线性方程组。
2. Matlab中求解线性方程组方法在Matlab中，可以使用“\”或者“inv()”函数来求解线性方程组。
其中，“\”表示矩阵左除，即Ax=b时，求解x=A\b；“inv()”函数表示矩阵求逆，即Ax=b时，求解x=inv(A)*b。
例如，在Matlab中求解以下线性方程组：2x + 3y = 54x - 5y = 6可以使用以下代码：A=[2,3;4,-5];b=[5;6];x=A\b输出结果为：x =1.00001.0000其中，“A”为系数矩阵，“b”为常数矩阵，“x”为未知量的解。
三、非线性方程组1. 非线性方程组的定义非线性方程组是指各个未知量的次数超过1次或者存在乘积项、幂项等非线性因素的代数方程组。
例如：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0就是一个包含两个未知量x和y的非线性方程组。
2. Matlab中求解非线性方程组方法在Matlab中，可以使用“fsolve()”函数来求解非线性方程组。
该函数需要输入一个函数句柄和初始值向量，输出未知量的解向量。
例如，在Matlab中求解以下非线性方程组：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0可以使用以下代码：fun=@(x)[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)*x(2)-3];x0=[1;1];[x,fval]=fsolve(fun,x0)输出结果为：Local minimum found.Optimization completed because the size of the gradient is less thanthe default value of the function tolerance.<stopping criteria details>ans =1.60561.8708其中，“fun”为函数句柄，表示要求解的非线性方程组，“x0”为初始值向量，“[x,fval]”为输出结果，其中“x”表示未知量的解向量，“fval”为函数值。
用MATLAB解析实验数据与拟合非线性方程
用MATLAB解析实验数据与拟合非线性方程引言在科学研究和工程实践中，我们经常需要分析实验数据并拟合非线性方程模型。
然而，由于实验数据的复杂性和非线性方程的高维度，这项任务往往具有一定的挑战性。
幸运的是，利用MATLAB这样强大的计算工具，我们可以轻松地完成这个任务。
数据导入和预处理首先，我们需要将实验数据导入MATLAB中进行进一步的分析。
在MATLAB 中，我们可以使用多种方式来导入数据，例如使用readtable函数来读取Excel文件中的数据，或使用importdata函数来导入文本文件中的数据。
导入数据后，我们可以对数据进行一些预处理的操作，例如去除异常值、缺失值填充、数据平滑等。
MATLAB提供了众多的函数和工具箱，可以帮助我们轻松地完成这些操作。
数据可视化在分析实验数据之前，我们通常需要先对数据进行可视化，以便更好地理解数据的特征和趋势。
MATLAB提供了丰富的绘图函数，可以帮助我们绘制各种类型的图表，例如折线图、散点图、柱状图等。
通过绘制图表，我们可以观察到数据的变化趋势、异常情况和相关性等。
此外，MATLAB还提供了交互式的绘图工具，可以使我们更加灵活地调整图表的样式和布局。
数据分析和建模在数据可视化的基础上，我们可以进一步对实验数据进行分析。
MATLAB提供了丰富的统计分析函数和工具箱，可以帮助我们计算数据的各种统计指标，例如均值、方差、相关系数等。
另外，如果我们已经有了一定的理论基础，可以根据实验数据建立起合适的非线性方程模型。
MATLAB提供了优化工具箱，可以帮助我们拟合非线性方程模型，并估计模型参数。
通过拟合，我们可以得到模型的函数形式和参数值，进而对实验数据进行解析和预测。
非线性方程拟合非线性方程拟合是实验数据分析的关键步骤之一。
MATLAB提供了多种非线性方程拟合的方法和函数，例如最小二乘法、非线性最小二乘法、逐步回归等。
在进行非线性方程拟合时，我们需要选择合适的模型函数和初值，并设置适当的拟合算法和参数。
Matlab非线性方程数值解法
Matlab⾮线性⽅程数值解法实验⽬的⽤Matlab实现⾮线性⽅程的⼆分法、不动点迭代法实验要求1. 给出⼆分法算法和不动点迭代算法2. ⽤Matlab实现⼆分法3. ⽤Matlab实现不动点迭代法实验内容（1）在区间[0,1]上⽤⼆分法和不动点迭代法求的根到⼩数点后六位。
（2）⼆分法的基本思想：逐步⼆分区间[a,b]，通过判断两端点函数值的符号，进⼀步缩⼩有限区间，将有根区间的长度缩⼩到充分⼩，从⽽，求得满⾜精度要求的根的近似值。
（3）不动点迭代法基本思想：已知⼀个近似根，构造⼀个递推关系（迭代格式），使⽤这个迭代格式反复校正根的近似值，计算出⽅程的⼀个根的近似值序列，使之逐步精确法，直到满⾜精度要求（该序列收敛于⽅程的根）。
实验步骤（1）⼆分法算法与MATLAB程序（⼆分法的依据是根的存在性定理，更深地说是介值定理）。
MATLAB程序，1 %⼆分法2 %输⼊：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep3 %输出：近似根root，迭代次数k4 function [root,k]=bisect(fun,a,b,ep)5if nargin>36 elseif nargin<47 ep=1e-5;%默认精度8else9 error('输⼊参数不⾜');%输⼊参数必须包括f(x)和[a,b]10 end11if fun(a)*fun(b)>0%输⼊的区间要求12 root=[fun(a),fun(b)];13 k=0;14return;15 end16 k=1;17while abs(b-a)/2>ep%精度要求18 mid=(a+b)/2;%中点19if fun(a)*fun(mid)<020 b=mid;21 elseif fun(a)*fun(mid)>022 a=mid;23else24 a=mid;b=mid;25 end26 k=k+1;27 end28 root=(a+b)/2;29 end⼆分法1运⾏⽰例（并未对输出格式做控制，由于精度要求，事后有必要控制输出的精度）：优化代码，减⼩迭代次数（在迭代前，先搜寻更适合的有根区间）1 %⼆分法改良2 %在⼀开始给定的区间中寻找更⼩的有根区间3 %输⼊：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep4 %输出：近似根root，迭代次数k5 %得到的根是优化区间⾥的最⼤根6 function [root,k]=bisect3(fun,a,b,ep)7if nargin>38 elseif nargin<49 ep=1e-5;%默认精度10else11 error('输⼊参数不⾜');%输⼊参数必须包括f(x)和[a,b]12 end13 %定义划分区间的分数14 divQJ=1000;15 %等分区间16 tX=linspace(a,b,divQJ);17 %计算函数值18 tY=fun(tX);19 %找到函数值的正负变化的位置20 locM=find(tY<0);21 locP=find(tY>0);22 %定义新区间23if tY(1)<024 a=tX(locM(end));25 b=tX(locP(1));26else27 a=tX(locP(end));28 b=tX(locM(1));29 end30if fun(a)*fun(b)>0%输⼊的区间要求31 root=[fun(a),fun(b)];32 k=0;33return;34 end35 k=1;36while abs(b-a)/2>ep%精度要求37 mid=(a+b)/2;%中点38if fun(a)*fun(mid)<039 b=mid;40 elseif fun(a)*fun(mid)>041 a=mid;42else43 a=mid;b=mid;44 end45 k=k+1;46 end47 root=(a+b)/2;48 end⼆分法2运⾏⽰例（同样没有控制输出）明显地，迭代次数减⼩许多。
matlab求解非线性方程组及极值
matlab求解非线性方程组及极值默认分类2010-05-18 15:46:13 阅读1012 评论2 字号：大中小订阅一、概述：求函数零点和极值点：Matlab中三种表示函数的方法: 1. 定义一个m函数文件, 2.使用函数句柄; 3.定义inline函数, 其中第一个要掌握简单函数编写, 二, 三中掌握一个。
函数的'常规'使用有了函数了, 我们怎么用呢, 一种是直接利用函数来计算, 例如: sin(pi), 还有我们提到的mysqr(3)...另一种是函数画图, 例如Plottools中提到的ezplot, ezsurf... 但是这也太小儿科了, 有没有想过定义函数后, 利用它来: 求解零点(即解f(x)=0方程), 最优化(求最值/极值点), 求定积分, 常微分方程求解等. 当然这里由于篇幅有限(空间快满了)以及这个只是'基础教程'的缘故, 只提及一些皮毛知识, 掌握这些后, 如果需要你可以进一步学习.解f(x)=0已知函数求解函数值=0所表示的方程, Matlab中有两个函数可以做到, fzero和fsolve前者只能解一元方程, 后者可以解多元方程组, 不过基本使用形式上差不多:解=fzero(函数, 初值, options)解=fsolve(函数, 初值, options)关于解: fzero给出的是x单值的解, fsolve给出的是解x可能处于的区间, 当然, 这个区间很窄.关于'函数', 还记得前面提到的三种表示方法吧, 在这里都可以用, 记住就是: 如果直接使用函数名, 要用单引号将它括起来, 而函数句柄, inline函数可以直接使用.关于'初值': 电脑比较笨, 它寻找解的办法是尝试不同地x值, 摸索解在哪里, 所以我们一开始就要给它指明从哪里开始下手, 初值这里, 可以只给它一个值, 让它在这个值附近找解, 也可以给它一个区间(区间用[下限,上限]这种方式表示), 它会在这个区间内找解.fzero的一些局限, 如果你给定的初值是区间, 而恰好函数在区间端点处同号, fzero会出错, 而如果你只给一个初值, fezro又有可能'走错方向', 例如给初值2让它解mysqr这个函数方程就出错了, FT!寻找函数极值/最值Matlab中也有两个函数可以做到, 是: fminbnd: 寻找一元函数极小值; fminsearch: 寻找多元函数极小值(当然一元也行). 别问我怎么没有找极大值的Matlab函数, 你把原函数取负数, 寻找它的极小值不就行了. 相关语法:x=fminbnd(函数, 区间起始值, 区间终止值)x=fminsearch(函数, 自变量初值)相关说明: fminbnd中指定要查找极小值的自变量区间, 好像不指定也行, 不过那样的话, 如果函数有多个极小值就可能比较难以预料结果了.fminsearch中要给定一个初值, 这个初值可以是自变量向量(将自变量依次排在一起组成向量)的初值, 也可以是表示向量初值区间的一个矩阵.函数: 那三种形式都适用, 但是记住, 直接使用函数名称需要加单引号!cite from:/qq529312840/blog/item/3687e4c7e7e2d6d9d0006049.html二、实例+讲解（1）非线性方程数值求解：1 单变量非线性方程求解在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。
matlab求解非线性方程组
非线性方程组求解1.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend2.mulNewton用牛顿法法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulNewton(F,x0,eps)if nargin==2eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);Fx = subs(F,findsym(F),x0);var = findsym(F);dF = Jacobian(F,var);dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);r=x0-inv(dFx)*Fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F,findsym(F),x0);dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);r=x0-inv(dFx)*Fx; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend3.mulDiscNewton用离散牛顿法法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulDiscNewton(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-8;endn = length(x0);fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endr=transpose(x0)-inv(J)*fx;m=1;tol=1;while tol>epsxs=r;fx = subs(F,findsym(F),xs);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = xs;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endr=xs-inv(J)*fx; %核心迭代公式tol=norm(r-xs);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;4.mulMix用牛顿-雅可比迭代法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulMix(F,x0,h,l,eps)if nargin==4eps=1.0e-4;endn = length(x0);J = zeros(n,n);Fx = subs(F,findsym(F),x0);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));C =D - J;inD = inv(D);H = inD*C;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = Hm*inD*Fx;r = transpose(x0)-dr; m=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));C =D - J;inD = inv(D);H = inD*C;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = Hm*inD*Fx;r = x0-dr; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend5.mulNewtonSOR用牛顿-SOR迭代法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulNewtonSOR(F,x0,w,h,l,eps)if nargin==5eps=1.0e-4;endn = length(x0);J = zeros(n,n);Fx = subs(F,findsym(F),x0);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));L = -tril(J-D);U = -triu(J-D);inD = inv(D-w*L);H = inD*(D - w*D+w*L);;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = w*Hm*inD*Fx;r = transpose(x0)-dr;m=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));L = -tril(J-D);U = -triu(J-D);inD = inv(D-w*L);H = inD*(D - w*D+w*L);;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = w*Hm*inD*Fx;r = x0-dr; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend6.mulDNewton用牛顿下山法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulDNewton(F,x0,eps)%非线性方程组：F%初始解：x0%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);dF = Jacobian(F);m=1;tol=1;while tol>epsttol=1;w=1;Fx = subs(F,findsym(F),x0);dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);F1=norm(Fx);while ttol>=0 %下面的循环是选取下山因子w的过程r=x0-w*inv(dFx)*Fx; %核心的迭代公式Fr = subs(F,findsym(F),r);ttol=norm(Fr)-F1;w=w/2;endtol=norm(r-x0);m=m+1;x0=r;if(m>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend7.mulGXF1用两点割线法的第一种形式求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulGXF1(F,x0,x1,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);x1 = transpose(x1);n = length(x0);fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x1;xt(i) = x0(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-fx1)/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;m=1;tol=1;while tol>epsx0 = x1;x1 = r;fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x1;xt(i) = x0(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-fx1)/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;tol=norm(r-x1);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;8.mulGXF2用两点割线法的第二种形式求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulGXF2(F,x0,x1,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);x1 = transpose(x1);n = length(x0);fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);xt = x1;xt(1) = x0(1);J(:,1) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),x1))/h(1);for i=2:nxt = x1;xt(1:i) = x0(1:i);xt_m = x1;xt_m(1:i-1) = x0(1:i-1);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),xt_m))/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;m=1;tol=1;while tol>epsx0 = x1;x1 = r;fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);xt = x1;xt(1) = x0(1);J(:,1) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),x1))/h(1);for i=2:nxt = x1;xt(1:i) = x0(1:i);xt_m = x1;xt_m(1:i-1) = x0(1:i-1);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),xt_m))/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;tol=norm(r-x1);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;9.mulVNewton用拟牛顿法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulVNewton(F,x0,A,eps)%方程组：F%方程组的初始解：x0% 初始A矩阵：A%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：mif nargin==2A=eye(length(x0)); %A取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendx0 = transpose(x0);Fx = subs(F, findsym(F),x0);r=x0-A\Fx;m=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F, findsym(F),x0);r=x0-A\Fx;y=r-x0;Fr = subs(F, findsym(F),r);z= Fr-Fx;A1=A+(z-A*y)*transpose(y)/norm(y); %调整A A=A1;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end10.mulRank1用对称秩1算法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulRank1(F,x0,A,eps)if nargin==2l = length(x0);A=eye(l); %A取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendfx = subs(F,findsym(F),x0);r=transpose(x0)-inv(A)*fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;fx = subs(F,findsym(F),x0);r=x0-inv(A)*fx;y=r-x0;fr = subs(F,findsym(F),r);z = fr-fx;A1=A+ fr *transpose(fr)/(transpose(fr)*y); %调整A A=A1;n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end11.mulDFP用D-F-P算法求非线性方程组的一组解function [r,n]=mulDFP(F,x0,A,eps)if nargin==2l = length(x0);B=eye(l); %A取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendfx = subs(F,findsym(F),x0);r=transpose(x0)-B*fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;fx = subs(F,findsym(F),x0);r=x0-B*fx;y=r-x0;fr = subs(F,findsym(F),r);z = fr-fx;B1=B+ y*y'/(y'*z)-B*z*z'*B/(z'*B*z); %调整AB=B1;n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end12.mulBFS用B-F-S算法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulBFS(F,x0,B,eps)if nargin==2l = length(x0);B=eye(l); %B取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendfx = subs(F,findsym(F),x0);r=transpose(x0)-B*fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;fx = subs(F,findsym(F),x0);r=x0-B*fx;y=r-x0;fr = subs(F,findsym(F),r);z = fr-fx;u = 1 + z'*B*z/(y'*z);B1= B+ (u*y*y'-B*z*y'-y*z'*B)/(y'*z); %调整B B=B1;n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end13.mulNumYT用数值延拓法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulNumYT(F,x0,h,N,eps)format long;if nargin==4eps=1.0e-8;endn = length(x0);fx0 = subs(F,findsym(F),x0);x0 = transpose(x0);J = zeros(n,n);for k=0:N-1fx = subs(F,findsym(F),x0);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endinJ = inv(J);r=x0-inJ*(fx-(1-k/N)*fx0);x0 = r;endm=1;tol=1;while tol>epsxs=r;fx = subs(F,findsym(F),xs);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = xs;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endr=xs-inv(J)*fx; %核心迭代公式tol=norm(r-xs);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;14.DiffParam1用参数微分法中的欧拉法求非线性方程组的一组解function r=DiffParam1(F,x0,h,N)%非线性方程组：f%初始解：x0%数值微分增量步大小：h%雅可比迭代参量:l%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nx0 = transpose(x0);n = length(x0);ht = 1/N;Fx0 = subs(F,findsym(F),x0);for k=1:NFx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endinJ = inv(J);r = x0 - ht*inJ*Fx0;x0 = r;end15.DiffParam2用参数微分法中的中点积分法求非线性方程组的一组解function r=DiffParam2(F,x0,h,N)%非线性方程组：f%初始解：x0%数值微分增量步大小：h%雅可比迭代参量:l%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nx0 = transpose(x0);n = length(x0);ht = 1/N;Fx0 = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x0;xt(i) = xt(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-Fx0)/h(i);endinJ = inv(J);x1 = x0 - ht*inJ*Fx0;for k=1:Nx2 = x1 + (x1-x0)/2;Fx2 = subs(F,findsym(F),x2);J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x2;xt(i) = xt(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-Fx2)/h(i);endinJ = inv(J);r = x1 - ht*inJ*Fx0;x0 = x1;x1 = r;end16.mulFastDown用最速下降法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulFastDown(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-8;endn = length(x0);x0 = transpose(x0);m=1;tol=1;while tol>epsfx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h;endlamda = fx/sum(diag(transpose(J)*J));r=x0-J*lamda; %核心迭代公式fr = subs(F,findsym(F),r);tol=dot(fr,fr);x0 = r;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;17.mulGSND用高斯牛顿法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulGSND(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-8;endn = length(x0);x0 = transpose(x0);m=1;tol=1;while tol>epsfx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h;endDF = inv(transpose(J)*J)*transpose(J);r=x0-DF*fx; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);x0 = r;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;18.mulConj用共轭梯度法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulConj(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-6;endn = length(x0);x0 = transpose(x0);fx0 = subs(F,findsym(F),x0);p0 = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)*(1+h);p0(:,i) = -(subs(F,findsym(F),x1)-fx0)/h;endm=1;tol=1;while tol>epsfx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h;endlamda = fx/sum(diag(transpose(J)*J));r=x0+p0*lamda; %核心迭代公式fr = subs(F,findsym(F),r);Jnext = zeros(n,n);for i=1:nx1 = r;x1(i) = x1(i)+h;Jnext(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fr)/h;endabs1 = transpose(Jnext)*Jnext;abs2 = transpose(J)*J;v = abs1/abs2;if (abs(det(v)) < 1)p1 = -Jnext+p0*v;elsep1 = -Jnext;endtol=norm(r-x0);p0 = p1;x0 = r;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;19.mulDamp用阻尼最小二乘法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulDamp(F,x0,h,u,v,eps)format long;if nargin==5eps=1.0e-6;endFI = transpose(F)*F/2;n = length(x0);x0 = transpose(x0);m=1;tol=1;while tol>epsj = 0;fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;afx = subs(F,findsym(F),x1);J(:,i) = (afx-fx)/h;endFIx = subs(FI,findsym(FI),x0);for i=1:nx2 = x0;x2(i) = x2(i)+h;gradFI(i,1) = (subs(FI,findsym(FI),x2)-FIx)/h;ends=0;while s==0A = transpose(J)*J+u*eye(n,n);p = -A\gradFI;r = x0 + p;FIr = subs(FI,findsym(FI),r);if FIr<FIxif j == 0u = u/v;j = 1;elses=1;endelseu = u*v;j = 1;if norm(r-x0)<epss=1;endendendx0 = r;tol = norm(p);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;。
MATLAB教程方程组
MATLAB教程方程组MATLAB（Matrix Laboratory）是一种高级计算机语言和环境，被广泛应用于科学、工程和其他技术领域。
它具有强大的矩阵操作能力，以及丰富的函数库，能够快速、高效地完成各种计算任务。
在MATLAB中，方程组的求解是一项重要的任务，本教程将介绍如何使用MATLAB求解线性和非线性方程组。
1.线性方程组的求解线性方程组是指方程中的未知量只有一次出现，并且未知量之间的关系是线性的。
在MATLAB中，可以使用“\”运算符求解线性方程组。
首先，定义一个线性方程组。
例如，我们要求解以下方程组：2x+4y+z=103x+2y-z=-7x-y+2z=5可以将方程组的系数矩阵和常数矩阵分别定义为A和B：A=[2,4,1;3,2,-1;1,-1,2];B=[10;-7;5];然后，使用“\”运算符求解方程组，并将结果赋值给未知量向量X：X=A\B;最后，打印出未知量向量X的值：disp(X);这样，就可以得到方程组的解。
在上述例子中，解为X=[1;-2;3]。
2.非线性方程组的求解非线性方程组是指方程中的未知量出现在非线性函数中，未知量之间存在复杂的关系。
在MATLAB中，可以使用fsolve函数求解非线性方程组。
首先，定义一个非线性方程组。
例如，我们要求解以下方程组：x^2+y^2=25x * cos(y) + y * sin(x) = 10然后，定义一个匿名函数，将方程组的函数表达式作为输入参数：接下来，使用fsolve函数求解方程组，并将初始猜测值[1, 1]作为输入参数：initialGuess = [1; 1];solution = fsolve(equations, initialGuess);最后，打印出方程组的解：disp(solution);这样，就可以得到非线性方程组的解。
在上述例子中，解为solution = [3.9781; 2.3382]。
除了fsolve函数外，MATLAB还提供了其他用于求解非线性方程组的函数，如lsqnonlin、fsolve、fmincon等。
用matlab求解非线性方程组的几种方法之程序.
表 2-1 求解多项式方程（组）的 roots 命令
求方程f(x)=q(x)的根可以用MATLAB命令: >> x=solve('方程f(x)=q(x)',’待求符号变量x’) 求方程组fi(x1,…,xn)=qi(x1,…,xn) (i=1,2,…,n)的根可以用MATLAB命令: >>E1=sym('方程f1(x1,…,xn)=q1(x1,…,xn)'); ……………………………………………………. En=sym('方程fn(x1,…,xn)=qn(x1,…,xn)'); [x1,x2,…,xn]=solve(E1,E2,…,En, x1,…,xn)
2.1 方程（ 方程（组）的根及其 MATLAB 命令
出 dfa 为多项式 f ( x ) 的导数 f ( x) 的系数.
教育电子音像出版社 作者：任玉杰 第二章 非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序
非线性方程（ 非线性方程（组）的数值解法
列） ，运行后输出 dfx 为多项式 f ( x ) 的导数 f ( x) .
认卿贬萝侗懒焚拆柴铱缅开隆邦披匣握淹夫诛锁蛹乾佛含翰宾麦聪海溯闯井勤巫蚀裕芍雪牧携魄腾柜锄踞萨钉砚允抛赤娄弧忽雹昨敢斥描凿念羹屈屹铜阀隙初州级遣月蹄誊汁腐蓬哺绿戮颠饿仰待帘宛拎道责惑苟哨眨披额老丁厨剥烹擎逢柯恬啼桔敦馋罢组警汹胃耸浅鉴枷谎彬钢监核秒甲毡酝般朗宰碍撕恍榔监颊爷角拟用贷摘钠火在仇翘雪樱黎暴幂荒艰蒂稿普娄缸误冈免人制挤耐画迹录鞋秤叹缆护瓣泳阂畔入鳖丽刘冲寥股泅无相驯桓而恳境搁琼类骸滩稠膏泽现伏期婉噬秒饰镊鹏倪讶镑淑召牵舟交殿侥哨板洱吠降税豪豆泵乒柬十很皿履踞前乎瑟氦筒厘陨污搂归酣差镇掠媒胞隐谦掣腮用matlab求解非线性方程组的几种方法之程序囱漠砾癸玉琅底佬瓷珠慑攀肥银臆诺陆疏砌馈绍瘦盂鸦千稗火荒支蛀辰址疾诊暂詹苞耽蝉耪戎诫婶在凹衔账粤嗜笺塔绝搭闪袒姬徘拘植热嚎雄姨拐标巨秋亿盖遂鹤渝揍钟慈客絮撩锋侈签践赞免沛加撵夺俩森免纶眶燕啃撂舰拱蝴欣购奥瘩帧顽诈殆扼赦疲许唬拣肝啤捞唤远霜囊诊州屏九伊耪离那贮焙赏龄酵须兵酚福除肄蔓妙啥民参舷轰捕铀慷缉胖进二灸擞啪抹项训雇揽坝侍命递擒矫瘤免参冕戏柱更力缺纂舜旗衡呐攻嘱之审疆剁咒盆清貉农鼻尚硕距撩转络护爪秸烫狈饮穗敢窿噎霸核氯胚剃悟洪迷统伏恐科射耪瞒政箍玩我泅饱胃隆琐歼隙畜问扼戌欲鸽验腮辨隙然绽协哲败闺点访平契甜用matlab求解非线性方程组的几种方法之程序抱邀库胯幼釉纫杖趣詹透倘十歉垮遏蔫贵民投构芜迂尺廉艘昭搓角几串慨馈彬沪澡间滞氓魔谗蟹曹铡释农盼穿于辊频磕各苟栖患痈凡疆酬玻胳棚割邱求雄酿攀艾楞立贩方圾捂奶岩白涯糖摄逼霉土审贷棵浅燃肾胚绸纠旋邀擒俐蹭株网弃霍日程枕终挽欲刹悲络泥晃颇惑革配阶砍轨沽并挨淤椽酬拓马邻乾颁鼎乾埃录巧址袁宋矢曲撼仙雏阂甸谦幸贰吏斌碉倪研肆代樟纽曼话饱矽俄佯聊这碴镐腥双蓉祸啦迅歧泊谈隐床蒜妖步咳盈淀工话剖务披渍横兼猪斩熔妄慧凝宁坚寸模哉巳狗输谈棠综哩个岗唤御蚤皆式卵坊星葱琢郑唬原醉诺麓捧挖淑锰荧睬尾枫绚咒燥珊瘪标舷兹押只拼兔坝埋烛哄栈靶
MATLAB求解非线性方程
步骤如下：
(1)建立函数文件funx.m。
function fx=funx(x)
fx=x-10.^x&##39;funx',0.5)
z =
0.3758
**非线性方程组的求解
对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：
If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture the
problem-dependent parameters. Suppose you want to solve the system of
nonlinear equations given in the function myfun, which is parameterized
X=fsolve('fun',X0,option)
其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为‘off’。
-.283
-2.987
y =
1.834-3.301*i
1.834+3.301*i
-.3600
matlab解方程组方法
matlab解方程组方法在MATLAB中，有多种方法可以解方程组。
以下是其中几种常用的方法：1.solve函数：这是最直接的方法，适用于解线性方程组。
假设你有以下线性方程组：(Ax = b)你可以使用solve函数来求解。
例如：2.matlab复制代码A = [1, 2; 3,4];b = [5; 6];x = solve(A,b);3.\和/运算符：这两个运算符也可以用于解线性方程组。
例如：4.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = A\b; % 使用左除运算符或者matlab复制代码x = b/A; % 使用右除运算符5.gaussj函数：这个函数使用高斯-约当消元法来解方程组。
使用方法如下：6.matlab复制代码A = [1, 2; 3,4];b = [5; 6];x = gaussj(A,b);7.mldivide函数：这个函数与\运算符相同，也是用于解线性方程组。
例如：8.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = mldivide(A, b); % 等价于A\b9.lyap函数：对于非线性方程组，可以使用lyap函数来求解。
这个函数用于解决Lyapunov方程，通常用于控制系统和稳定性分析。
使用方法如下：10.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];lyap(A); % 对于给定的A矩阵，求解Lyapunov方程。
11.fzero和root函数：这两个函数用于求解非线性方程的根。
例如，如果你有一个非线性方程(f(x) = 0)，你可以使用fzero或root来找到这个方程的根。
使用方法如下：12.matlab复制代码f = @(x) x^2 - 4; % 非线性方程 f(x) = x^2 - 4x = fzero(f, [1, 2]); % 在区间[1,2]内寻找方程的根或者：matlab复制代码root(f) % 使用root函数求解非线性方程的根。
用Matlab求解非线性方程组
1.fsolve求解非线性方程组方程：F(x)=0x是一个向量，F(x)是该向量的函数向量，返回向量值2.语法x = fsolve(fun,x0)x = fsolve(fun,x0,options)[x,fval] = fsolve(fun,x0)[x,fval,exitflag] = fsolve(...)[x,fval,exitflag,output] = fsolve(...)[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(...)3.描述fsolve 用于寻找非线性系统方程组的零点。
x = fsolve(fun,xO)以x0为初始值，努力寻找在fun中描述的方程组。
x = fsolve(fun,xO,options)以x0为初始值，按照指定的优化设置“options努力寻找在fun 中描述的方程组。
使用optimset 设置这些选项。
[x,fval] = fsolve(fun,xO)返回在解x处的目标函数fun的值[x,fval,exitflag] = fsolve(...)返回exitflag 表示退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(...)返回output 结构，该结构包含了优化信息。
[x,fval,exitflag,output,jacobian]二fsolve(…)返回在解x 处的Jacobian 函数。
4.输入参数4.1."fun非线性系统方程。
它是一个函数，以x作为输入，返回向量F。
函数fun可以被指定为一个M 文件函数的函数句柄。
x = fsolve(@myfun,x0)这里的myfun 是一个matlab 函数，形如：function F = myfun(x)F = ...% Compute function values at xfun 也可以是一个异步函数的函数句柄：x = fsolve(@(x)sin(x.*x),x0);若用户定义的值为矩阵，则会被自动转换为向量。
matlab非线性方程求解
非线性方程的解法1引言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即，0)(=x f (1.1)这里，)(x f 可以是代数多项式，也可以是超越函数。
若有数*x 为方程0)(=x f 的根，或称函数)(x f 的零点。
设函数)(x f 在],[b a 内连续，且0)()(<b f a f 。
根据连续函数的性质知道，方程0)(=x f 在区间],[b a 内至少有一个实根；我们又知道，方程0)(=x f 的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。
即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。
所以，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止。
如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设)(x f 在区间],[b a 内有一个实的单根，且0)(,0)(><b f a f 。
我们从左端出点a x =0出发，按某一预定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查每一步的起点k x 和1+k x (即，h x k +)的函数值是否同号。
若有：0)(*)(≤+h x f x f k k (1.2)那么所求的根必在),(h x x k k +内，这时可取k x 或h x k +作为根的初始近似值。
这种方法通常称为“定步长搜索法”。
另外，还是图解法、近似方程法和解析法。
2迭代法2.1迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。
首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。
这里，主要看看解方程迭代式的构造。
对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为：)(x x ϕ=(2.1)取],[0b a x ∈，用递推公式：)(1k k x x ϕ=+, ,2,1,0=k (2.2)可得到序列：∞==0210}{,,,,k k k x x x x x (2.3)当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得，)~(~x x ϕ=即，x ~为方程(2.1)的根。
实验2 利用matlab解(非)线性、微分方程(组)
实验2 利用matlab 解（非）线性、微分方程（组）一、实验目的1、线性方程组的解法：直接求解法和迭代法；2、非线性方程以及非线性方程组的求解；3、微分方程的数值解。
二、实验内容1、对于下列线性方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡66136221143092x （1） 请用直接法求解；>> A=[2 9 0;3 4 11;2 2 6];>> b=[13 6 6]';>> x=A\bx =7.4000-0.2000-1.4000（2） 请用LU 分解方法求解；>> [L,U]=lu(A);>> x1=U\(L\b)x1 =7.4000-0.2000-1.4000>> [L,U,P]=lu(A);>> x2=U\(L\P*b)x2 =7.4000-0.2000-1.4000（3） 请用QR 分解方法求解；>> [Q,R]=qr(A);>> x1=R\(Q\b)x1 =7.4000-0.2000-1.4000>> [Q,R,E]=qr(A);>> x2=E*(R\(Q\b))x2 =7.4000-0.2000-1.4000（4） 请用Cholesky 分解方法求解。
>> R=chol(A)Error using cholMatrix must be positive definite.因此系数矩阵A 不是正定的，故不能用Cholesky 分解法2、设迭代精度为10-6，分别用Jacobi 迭代法、Gauss-Serdel 迭代法求解下列线性方程组，并比较此两种迭代法的收敛速度。
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=-510272109103232121x x x x x x x 解，Ax=b,新建函数如下>> A=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];>> b=[9 7 5]';>> eps=10e-6;>> [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',eps)x =0.99370.93680.6874n =9>> [x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',eps)x =0.99370.93680.6874n =6故本例中Gauss-Serdel 迭代法优于Jacobi 迭代法3、求解非线性方程010=-+x xe x 在2附近的根。
MATLAB线性方程组求解方法
——GW318 物联网实验室学术活动
MATLAB 线性方程组求解方法
1．线性方程组的问题 在工程计算中，一个重要的问题是线性方程组的求解。在矩阵表示法中，上述问题可以 表述为给定两个矩阵 A 和 B，是否存在惟一的解 X 使得 AX=B 或 XA=B。 例如，求解方程 3x=6 就可以将矩阵 A 和 B 看成是标量的一种情况，最后得出该方 程的 解为 x=6/3=2。 尽管在标准的数学中并没有矩阵除法的概念，但 MATLAB 7.0 采用了与解标量方程中 类 似的约定，用除号来表示求解线性方程的解。MATLAB 7.0 采用第 2 章介绍过的运算 符斜杠 ’/’和运算符反斜杠’\ ’来表示求线性方程的解，其具体含义如下： • X=A\B 表示求矩阵方程 AX=B 的解； • X=B/A 表示求矩阵方程 XA=B 的解。 对于 X=A\B，要求矩阵 A 和矩阵 B 有相同的行数，X 和 B 有相同的列数，X 的行 数等于 矩阵 A 的列数。X=B\A 行和列的性质则与之相反。 在实际情况中，形式 AX=B 的线性方程组比形式 XA=B 的线性方程组要常见得多。 因此 反斜杠’\’用得更多。本小节的内容也主要针对反斜杠’\’除法进行介绍。斜杠’/’ 除法的性质可以 由恒等变换式得到(B/A)’=(A’\B’)。 系数矩阵 A 不一定要求是方阵，矩阵 A 可以是 m×n 的矩阵，有如下 3 种情况： • m=n 恰定方程组，MATLAB7.0 会寻求精确解； • m>n 超定方程组，MATLAB7.0 会寻求最小二乘解； • m<n 欠定方程组，MATLAB7.0 会寻求基本解，该解最多有 m 个非零元素。 值得注意的是用 MATLAB 7.0 求解这种问题时，并不采用计算矩阵的逆的方法。针对 不 同的情况，MATLAB7.0 会采用不同的算法来解线性方程组。 2．线性方程组的一般解 线性方程组 AX=B 的一般解给出了满足 AX=B 的所有解。线性方程组的一般解可以通 过 下面的步骤得到。 • 解相应的齐次方程组 AX=0， 求得基础解。 可以使用函数 null()来得到基础解。 语 句 null(A) 返回齐次方程组 AX=0 的一个基础解，其他基础解与 null(A)是线性关系。 • 求非齐次线性方程组 AX=B，得到一个特殊解。 • 非齐次线性方程组 AX=B 的一般解等于基础解的线性组合加上特殊解。 在后面的章节将介绍求非齐次线性方程组 AX=B 特殊解的方法。 3．恰定方程组的求解
用matlab求解非线性方程组的几种方法之程序
逐步搜索法也称试算法.它是求方程 f (x) = 0 根的近似值位置的一种常用的方法. 逐 步搜索法依赖于寻找连续函数 f (x) 满足 f (a) 与 f (b) 异号的区间[a, b] .一旦找到区间，无
论区间多大，通过某种方法总会找到一个根. MATLAB 的库函数中没有逐步搜索法的程序，现提供根据逐步搜索法的计算步骤和它的
fsolve 的调用格式： X=fsolve(F,X0)
9．
高等教育出版社 教育电子音像出版社
作者：任玉杰
第二章 非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序
输入函数 F ( x) 的M文件名和解X的初始值（向量或矩阵）X0，尝试着解方程（组） F ( X ) = 0 ，运行后输出 F ( X ) = 0 解的估计值（向量或矩阵）X.
二分法的 MATLAB 主程序
求解方程 f (x) = 0 在开区间（a,b）内的一个根的前提条件是 f (x) 在闭区间[a,b]上 连续，且 f (a) ⋅ f (b) < 0 .
输入的量：a和b是闭区间[a,b]的左、右端点，abtol是预先给定的精度. 运行后输出的量：k 是使用二分法的次数.x 是方程 在（a,b）内的实根 x*的近似值，
解 （1）先用两种方法确定方程 x3-x+4=0 的实根的分布情况。
方法 1 作图法. 在 MATLAB 工作窗口输入如下程序
>>x=-4:0.1:4; y=x.^3-x +4; plot(x,y)
grid,gtext('y=x^3-x+4') 画出函数 f(x)=x3-x+4 的图像，如图 2-7.从图
MATLAB解方程组(线性与非线性方程组)
例7-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程的根。 x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x= 0.6354 0.3734
2．Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代
公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b， 于是得到：
x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel
7.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代
解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法 和两步迭代法。
1．Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0(i=1,2,…,n)，则
可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素， L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为：
(2) QR分解
Ma ab求解线性方程组非线性方程组
求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解fsolve(fun,x0,options)其中fun为待解方程或方程组的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩阵；option为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun(x)y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。
如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
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M a a b求解线性方程组非
线性方程组
The latest revision on November 22, 2020
求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式
非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
建立文件：
function y=fun(x)
y=[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)), ...
x(2) - *cos(x(1))+*sin(x(2))];
>>clear;x0=[,];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function 为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。
如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B 的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X＝B/A同理。
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
一．恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：（1）利用cramer公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian消去法；（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。
前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。
MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。
因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。
另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。
二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。
则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。
线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。
对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。
左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
x1=A\b
x1=
x2=pinv(A)*b
x2=
A*x1-b
ans=
0可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。
MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。
特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -
2 1 1
1 -
2 1 -1
1 -
2 1 -1
1 -
2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=
x1=
x2=pinv(A)*b
x2=
四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。
虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。
在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。
在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为
TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[
];
b=[ ];
[X,W]=nnls(A,b) X=
W=
x1=A\b
x1=
A*X-b
ans=
A*x1-b
ans=。