总体均数的区间估计和假设检验

一种是无效假设（null hypothesis）符号为H0；
一种是备择假设（alternative hypothesis）符号为H1。
H0: 0
H1: 0
表3-2 样本均数所代表的未知总体均数 与已知总体均数的比较
双侧检验 单侧检验
目的
是否 0
是否 0 是否 0
H0
0
0 0
况与全国九城市的同期水平相同，α ＝ 0.05(双侧)
H1： μ≠μ0 ，即该托儿所男婴的体重发育状
况与全国九城市的同期水平不同。
（2）计算u值 本例因总体标准差σ已知，故
可用u检验。
本例n=47, 样本均数=11, 总体均数=11.18,总
体标准差=1.23, 代入公式
11 11.18
u
1.003
成正比，与标准误成反比。
❖ 在t分布中│t│值越大，其两侧或单
侧以外的面积所占曲线下总面积的比重就
越小 ，说明在抽样中获得此│t│值以及 更大│t│值的机会就越小，这种机会的 大小是用概率P来表示的。
❖ │t│值越大，则P值越小；反之， │t│值越小，P值越大。根据上述的意义， 在同一自由度下，│t│≥ tα ，则P≤ α ； 反之，│t│＜tα，则P＞α。
第3章 总体均数的区间估计 和假设检验
目录
第一节 均数的抽样误差与标准误 第二节 t 分布 第三节 总体均数的区间估计 第四节 假设检验的意义和基本步骤
第五节 均数的 u 检验 第六节 均数的 t 检验 第七节 两总体方差的齐性检验和t＇检验 第八节 Ⅰ型错误和Ⅱ型错误 第九节 应用假设检验应注意的问题
第二节 t 分布
一、t 分布的概念
t分布于1908年由英国统计学家 W.S.Gosset以“Student”笔名发表， 故又称“Student t”分布
正态变量X采用u＝(X－μ)/σ变换，则一般的
正态分布N (μ,σ)即变换为标准正态分布N
(0,1)。
又因从正态总体抽取的样本均数服从正态分布
1.23 / 47
（3）确定P值，作出推断结论
查u界值表（t界值表中为∞一行），得 u0.05=1.96，u=1.003< u0.05=1.96, 故P>0.05。 按α=0.05水准，不拒绝H0，差异无统计学意义。
结论：可认为该托儿所男婴的体重发育
状况与全国九城市的同期水平相同。
二、两样本均数比较的u检验
3.可对某一个变量值是否在正常值范围内作出初步 判断。
（ X 1.96S ）。 X 3.可对总体均数的大小作出初步的判断。
4.用于计算标准误。
4.用于进行假设检验。
表3-1 标准差和标准误的区别
第四节 假设检验的意义和基本步骤
假设检验（hypothesis test）亦称显著 性检验（significance test），是统计 推断的重要内容。它是指先对总体的参数 或分布作出某种假设，再用适当的统计方 法根据样本对总体提供的信息，推断此假 设应当拒绝或不拒绝。
❖样本均数与总体均数比较的u检验适用于：
❖ ①总体标准差σ已知的情况；
❖ ②样本含量较大时，比如n>100时。对于后者， 是因为n较大，υ也较大，则t分布很接近u分
布的缘故。
u 值的计算公式为：
总体标准差σ已知
时，不管n的大小。
总体标准差σ未知 时，但n>100时。
X 0wk.baidu.com
u
0 / n X 0
u S/ n
例3.4 某托儿所三年来测得21～24月龄的 47名男婴平均体重11kg。查得近期全国九 城市城区大量调查的同龄男婴平均体重 11.18kg，标准差为1.23kg。问该托儿所男 婴的体重发育状况与全国九城市的同期水 平有无不同？（全国九城市的调查结果可
作为总体指标）
（1）建立检验假设
H0：μ ＝μ0 ，即该托儿所男婴的体重发育状
②当P>α时，表示在H0成立的条件下，出现等于及
大于现有统计量的概率不是小概率，现有样本信息
还不能拒绝H0，结论为按所取检验水准不拒绝H0，
即差异无统计意义，如例3.3 尚不能认为两总体脉 搏均数有差别。
下结论时的注意点：
P ≤α ，拒绝H0，不能认为H0肯定不成立，因 为虽然在H0成立的条件下出现等于及大于现有
双侧尾部合计面积或单侧尾部面积为指
定值α时，则横轴上相应的t界值记为
tα,υ。
如当υ=20， α=0.05时，记为t0.05, 20；当υ
=据2α2，和υα值=，0.查01附时表，，记t为界t值0.0表1, 。22。对于tα, υ值，可根
❖ t分布是t检验的理论基础。由公式可 知，│t│值与样本均数和总体均数之差
统计量的概率虽小，但仍有可能出现；
同理，P >α ，不拒绝H0，更不能认为H0肯定
成立。 由此可见，假设检验的结论是具有概率性的，
无论拒绝H0或不拒绝H0，都有可能发生错误，
即第一类错误或第二类错误
第五节 均数的u检验
一、样本均数与总体均数比较的u检验
❖国外统计书籍及统计软件亦称为单样本u 检验（one sample u-test）。
│t│≥ tα,υ ,则P≤ α ；│t│< tα,υ, 则P > α。
5.作出推断结论 ①当P≤α时，表示在H0成立的条件下，出现等于及
大于现有统计量的概率是小概率，根据小概率事件
原为计学理：意，按义现所。有取如样检例本验3信水.3息准认不拒为支绝两持H0总，H0体，接脉因受搏而 H1均，拒数即绝有差H差0，异别结 有。论 统
第三节 总体均数的区间估计
参数估计:用样本指标（统计量）估 计总体指标（参数）称为参数估计。
估计总体均数的方法有两种，即： 点值估计（point estimation ） 区间估计（interval estimation）。
一、点值估计
点值估计：是直接用样本均数作 为总体均数的估计值。
99%的可信区间为 143.07±2.58×0.52, 即 （141.73，144.41）。
注意点
➢ 标准误愈小，估计总体均数可信区间的范围也愈 窄，说明样本均数与总体均数愈接近，对总体均 数的估计也愈精确；
➢ 反之，标准误愈大，估计总体均数可信区间的范 围也愈宽，说明样本均数距总体均数愈远，对总 体均数的估计也愈差。
例3.1 为了了解某地1岁婴儿的血红蛋白浓度，从 该地随机抽取了1岁婴儿25人，测得其血红蛋白的
平均数为123.7g/L，标准差为11.9g/L。试求该地1
岁婴儿的血红蛋白平均值95％的可信区间。
95%的可信区间为123.7±2.064×2.38，
即（118.79, 128.61）。故该地1岁婴儿血红
3.选定检验方法和计算统计量
根据研究设计的类型和统计推断的目的要 求选用不同的检验方法。如完全随机设计中，
两样本均数的比较可用t检验，样本含量较大 时（n>100）,可用u检验。不同的统计检验方
法，可得到不同的统计量，如t值和u值。
4.确定概率P值
P值是指在H0所规定的总体中作随机抽样，
获得等于及大于（或小于）现有统计量的概率。
sample5
标准误计算公式
σ已知： σ未知：
X
n
S S
X
n
实例：如某年某市120名12岁健康男孩，
已求得均数为143.07cm，标准差为5.70cm，按
公式计算，则标准误为：
S 5.70 0.52 X 120
二、标准误的应用
1.表示抽样误差的大小 ； 2.进行总体均数的区间估计； 3.进行均数的假设检验等。
N(μ, ),同样可作正态变量的u变换,即
X X
u
X
n
❖ 实际工作中由于理论的标准误往往未
知，而用样本的标准误作为的估计值，
此时就不是u变换而是t变换了，即下式：
t X X
S X
Sn
二、t分布曲线的特征
❖ t分布曲线是单峰分布，以0为中心，左右两侧对
称，
❖ 曲线的中间比标准正态曲线（u分布曲线）低，两 侧翘得比标准正态曲线略高。
❖ t分布曲线随自由度υ而变化，当样本含量越小
（严格地说是自由度υ =n-1越小），t分布与u分
布差别越大；当逐渐增大时，t分布逐渐逼近于u
分布，当υ =∞时，t分布就完全成正态分布。
❖ t分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。 ❖ T界值表。
t 分布示意图
t分布曲线下双侧或单侧尾部合计面积
我们常把自由度为υ的t分布曲线下
学习要求
掌握：抽样误差的概念和计算方法 掌握：总体均数区间的概念，意义和计算方法 掌握：假设检验的基本步骤及思路 掌握：u检验和t检验的概念，意义，应用条件和计
算方法 熟悉：第一类错误和第二类错误的概念和意义 熟悉：假设检验的注意问题
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、标准误的意义及其计算
此法计算简便，但由于存在抽样误差，通 过样本均数不可能准确地估计出总体均数大小， 也无法确知总体均数的可靠程度。
二、区间估计
➢ 区间估计是按一定的概率（1-α）估计 包含总体均数可能的范围，该范围亦称 总体均数的可信区间（confidence interval，缩写为CI）。
➢1-α称为可信度，常取1-α为0.95和 0.99，即总体均数的95%可信区间和99% 可信区间。
蛋白平均值95％的可信区间为118.7～128.61
（g/L）。
例3.2 上述某市120名12岁健康男孩身高
均数为143.07cm，标准误为0.52cm，试估
计该市12岁康男孩身高均数95%和99%的可 信区间。
95%的可信区间为 143.07±1.96×0.52，即 （142.05，144.09）。
➢ 1-α（如95％）可信区间的含义是：总体均数 被包含在该区间内的可能性是1-α，即（95 ％），没有被包含的可能性为α，即（5％）。
总体均数的可信区间的计算
1.未知σ且n较小(n<100) 按t分布的原理
2.已知σ或σ 未知但n较 大(n≥100) 按u分布的
原理
X t , S X X u S X
总体均数是相同的，差别仅仅由于抽样误差所致； ②受山区某些因素的影响，两个总体的均数是不相同的。 如何作出判断呢？按照逻辑推理，如果第一种可能性较大时，
可以接受它，统计上称差异无统计学意义； 如果第一种可能性较小时，可以拒绝它而接受后者，统计上
称差异有统计学意义。
假设检验的一般步骤
1.建立检验假设
该检验也称为独立样本u检验 (independent sample u-test),适用于 两样本含量较大（如n1>50且n2>50）时， u值可按下式计算：
u
X1 X 2
S12
S
2 2
n1 n2
例3.5 测得某地20～24岁健康女子100 人收缩压均数为15.27kPa，标准差为 1.16kPa；又测得该地20～24岁健康男子 100人收缩压均数为16.11kPa，标准差为 1.41kPa。问该地20～24岁健康女子和男子
标 准 差（S）
标 准 误( S ) X
1.表示个体变量值的变异度大小，即原始变量值的
1.表示样本均数抽样误差的大小，即样本均数的离散程
离散程度。公式为： S (X X )2 n 1
2.计算变量值的频数分布范围，如：
度。公式为： S X
S n
2.计算总体均数的可信区间，如：
（ X 1.96S ）。
H1
0
0 0
表3-3 两样本均数所代表的未知总体均数 的比较
双侧检验 单侧检验
目的
是否 1 2
是否 1 2 是否 1 2
H0
1 2
1 2 1 2
H1
1 2
1 2 1 2
2.确定检验水准
检验水准(size of a test)亦称显著性水 准(significance level)，符号为α 。它是 判别差异有无统计意义的概率水准，其大小应 根据分析的要求确定。通常取α= 0.05。
例3.3 根据调查，已知健康成年男子脉搏的均数为72次/分 钟，某医生在一山区随机测量了25名健康成年男子脉搏数， 求得其均数为74.2次/分钟，标准差为6.5次/分钟，能否认为 该山区成年男子的脉搏数与一般健康成年男子的脉搏数不同？
本例两个均数不等有两种可能性： ①山区成年男子的脉搏总体均数与一般健康成年男子的脉搏
统计推断(statistical inference) ：根据样本信息 来推论总体特征。
均数的抽样误差 ：由抽样引起的样本均数与总体 均数的差异称为均数的抽样误差。
标准误(standard error)：反映均数抽样误差大 小的指标。
Population
μ
sample1 sample2 sample3 sample4