6、准静态电磁场

若导体满足条件（/）<< 1，意味着导体 中的位移电流远远小于传导电流，则可看为良 导体，位移电流可以忽略不计，属于磁准静态 场问题。 若理想介质中的场点到源点的距离r远远小 于波长，则处于时变电磁场的近区范围（似稳 场），推迟作用可以忽略不计，也属于磁准静态 场问题。
电力传输线的长度和电工设备中线圈的尺 寸远远小于工频波长6000km，都可作为磁准 静态场问题处理。
J J x j x x j x y0 E e e E e e y 0

得 E 1 j k E j H 由 y x j x H E e e z 0 j x

J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
第六章 准静态电磁场
当电磁场随时间变化较缓慢时，在不影 D B 响工程计算精度的前提下，忽略 或 的 t t 电磁场，称为准静态电磁场。 6-1 电准静态场
6-2 磁准静态场 6-3 集肤效应与邻近效应
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
6-5 电路定律和交流阻抗
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例 6-1 平 板 电 容 器 极 板 为 半 径 10cm 的 圆 金 属 片 ， 极 间 距 离 为 R 1cm ，理想介质的介电常数为 20 ， 外接缓变电压 u(t)=220sin314t
求: 1)介质中的时变电场强度E(t) 2)介质中的时变磁场强度H(t)
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0 t / e
2
导电媒质中的电位分布也按指数规律衰减， 其衰减快慢同样决定于弛豫时间。
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第六章准静态电磁场
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6-2 磁准静态场
6-2-1 磁准静态场（MQS）
当位移电流远远小于传导电流时，D/t可以忽略不计， 则称为磁准静态场。 D B 0 H J J 基本方程： t B D E t

b1 a 2 b 1 a 2
第六章准静态电磁场
图 6 -2
6
在电准静态场EQS近似下 E0 可定义电位函数 E=
V
( x , y , z , t ) e d V ( x , y , z ) e 4 r
t / 0 t / 0
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
两层非理想介质的平板电容器， 与直流电压源U接通的过渡过程 中，其分界面上将逐渐积累自由 U 电荷 t/ 1 2 2 1 U ( 1 e ) b a 1 2 弛豫时间
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S a b 1 2 1 2
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l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
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6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
2 2 J j J k J
y Jy x
简化为 通解
+ u(t)
图6-1
3
解：电压u(t)随时间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
U u ( t ) m E ( t ) e sin t e z z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E sin t ) e U cos t e m z m z t t t d D H d l d S 由M1方程 l S t
H
由于导体中 = 0，同理
E E t
2
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上式两边同乘，则得到
2J J t
以上三式就是在MQS近似下，导体中任一点的E、 H和J所满足的微分方程，称为电磁场的扩散方程。
相应的复数形式 ：
2
H j
6-1 电准静态场
6-1-1 电准静态场（EQS）
当感应电场远远小于库仑电场时，B/t忽略不计， 称为电准静态场 B D 基本方程： E 0 t D HJ B 0 t
时变电场： 有源、无旋
( t ) ( t ) 标量电位： E (t) 2 边值问题： (t)
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6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大 块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电 磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为 涡旋电流，简称涡流。 z
6-4-1 涡流及其损耗
以变压器铁心 为例，在磁准静 态MQS近似下， 分析钢片中的电 磁场分布
a
l
y
h x
B
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第 E J 宽度h≫厚度a，可忽略边缘效 应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。 h≫a 由于磁路长度l和宽度h远远大 一片薄板的横截面 于其厚度a，可近似认为E和H 与y和z无关，仅是x的函数 2


0

0

r t / E NI e e 0 0 2
E H 坡印亭矢量 S r t / t / ( NI e ) ( NI e ) ( e e ) 0 0 0 z 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2 t / NI e e 0 0 r 线圈内部沿半径向外传输。 2
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非理想介质的电导率很小，弛豫时间较长； 聚苯乙烯 =2.550 F/m， =10-16S/m， 弛豫时间 =2.25103秒； 良导体电导率很大，弛豫时间=/远远小于1。 铜 = 0 =8.851012F/m， =5.80107S/m， 弛豫时间 =1.5210-19秒
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
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工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
d 1 / 2/
可见，频率越高，导电性能越好的导体，透入深 度越小，集肤效应越显著。
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6-2-2 电磁场的扩散方程
HJ 两边取旋度,并由矢量恒等式，得
2 H ( H ) H J 2 由于H= 0 ，J = E，因而 H E 将E = H/t 代入，得 t H 2
d2J y dx
2
k2 J y
图 6 -4
X方向，C2=0 其中积分常数由边界条件确定 设表面J C =J0 0， 1
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kx kx J C e C e y 1 2
kx x j x J J e J e e y 0 0
d H y
2
0
d x2
k2H y
kx 1 kx
通解 H e C e y C 2
a
d
a
d I ( ) 内侧 H y 2 b 根据边界条件
外侧
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d Hy ( a) 0 2
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第六章准静态电磁场
磁场强度用双曲函数表示为
I d H sh k ( a x) y b sh ( ka ) 2

2 E j 2 J j

第六章准静态电磁场
电磁场扩散方程 2 H k H 是研究准静态情 2 况下集肤效应、 E k E 邻近效应和涡流 2 问题的基础。 J k J
k j j
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Jz
，可得 H J 利用
0 H I d y J ch k ( a x) z x b sh ( ka ) 2
d/2
d/2+a
x
由曲线图可见，靠近两块汇流排相对的内侧面 附近电流密度最大，呈现较强的邻近效应。 原因在于导体内部的电流密度与空间电磁波分 布密切相关，两线相对的内侧电磁能量密度大， 传入导线的功率大，故电流密度也较大。
例如，铜在f=50Hz时，透入深度d=9.4mm； 当频率f=51010Hz时，透入深度d=0.66m。 应当注意，在大于d的区域内，场量并非为零，而是继 续衰减。经过13.8d距离场强衰减到只有表面值的109。
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6-3-2 邻近效应 邻近效应：通电导体处于其它导体电流产生的电 磁场中时，其电流分布受到邻近导体的影响。 假设一对汇流排 a<<b<<l， y 电导率和磁导率分别为 和 I I 0 。磁场扩散方程简化为 x b ⊙
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（同静电场）
因此，电准静态场与静 电场的计算方法相同。 此时，E和D与场源(t) 之间具有瞬时对应关系。
2
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。
低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
( H ) J D t
0 t
0 E E t
t/ τ (x, y, z) e 一阶微分方程的解 0
可见，导体中自由电荷密度按指数规律衰减，称 为电荷的弛豫。