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数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
数学九年级上第三篇第四节《圆周 角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
圆周角- (课件)
问题2、圆周角定义的两个特征： （1）顶点都在 圆上； （2）两边都与圆 相交 ．
知识点一 练一练
判断下列图形，指出哪个是圆周角，并 说明理由
×
×
√
××
问题导航 自主先学 合作探究
思考：如图，AB 所对的圆周角是 ∠ACB ，所对
的圆心角是∠AOB .
知 做一做：用量角器度量它们的度数，发现它们 识 有什么关系？在⊙O上任取一条弧，做出这条弧 点 所对的圆周角和圆心角，有同样的结论吗？ 二 猜想：弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
几何语言： ∵∠AOB是 AB 所对的圆心角， ∠ACB是 AB 所对的圆周角 ∴ ∠AOB = 2∠ACB
精炼提升：
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A
A
O
B
C
2、如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
精炼提升： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
它们所对的弧一定 相等.
归纳结论:
圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。
归纳小结
1、顶点在圆上，并且两边都与圆 相交 的角 叫做圆周角． 2、圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一.般 3、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是相等；90°的 圆周角所对的弦是 直径 ．.
“初中数学课前先学方法的指导策略 研究” 课堂观察与评析
第二十四章 圆 24.1.4 圆周角（1）
先学导航 展示目标 问题导学
归纳提炼
精炼提升
知识再现：
问题1、什么是圆心角？ 把顶点在圆心的角叫做圆心角 问题2、圆心角、弦、弧之间有什么内在联系？
知识点一 练一练
判断下列图形，指出哪个是圆周角，并 说明理由
×
×
√
××
问题导航 自主先学 合作探究
思考：如图，AB 所对的圆周角是 ∠ACB ，所对
的圆心角是∠AOB .
知 做一做：用量角器度量它们的度数，发现它们 识 有什么关系？在⊙O上任取一条弧，做出这条弧 点 所对的圆周角和圆心角，有同样的结论吗？ 二 猜想：弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
几何语言： ∵∠AOB是 AB 所对的圆心角， ∠ACB是 AB 所对的圆周角 ∴ ∠AOB = 2∠ACB
精炼提升：
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A
A
O
B
C
2、如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
精炼提升： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
它们所对的弧一定 相等.
归纳结论:
圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。
归纳小结
1、顶点在圆上，并且两边都与圆 相交 的角 叫做圆周角． 2、圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一.般 3、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是相等；90°的 圆周角所对的弦是 直径 ．.
“初中数学课前先学方法的指导策略 研究” 课堂观察与评析
第二十四章 圆 24.1.4 圆周角（1）
先学导航 展示目标 问题导学
归纳提炼
精炼提升
知识再现：
问题1、什么是圆心角？ 把顶点在圆心的角叫做圆心角 问题2、圆心角、弦、弧之间有什么内在联系？
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
《圆周角的概念和圆周角定理》课件PPT
2
2
24.1.4 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
思考：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等， 它们所对的弧相等。
2、在一个圆中，一条弦所对有几种圆 周角，它们有什么关系？
有两种 相等或互补
七、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四
边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这
些角中哪些是相等的角？
A1
2
3 4
B
D
87
6
5C
解： ∠1＝∠4 ∠3＝∠6
∠2＝∠7 ∠5＝∠8
练习
1.如果∠A=44°,则∠BOC=____. 如果∠BOC=44°,则∠A=____. 如果∠A=35°,则∠BDC=____.
A
A
A
O
B
C
O
B
C
O C
B
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
O.
X BA
24.1.4圆周角PPT课件
多边形，这个圆叫做这个多边形的
O
外接圆.
B
如图：四边形ABCD是⊙O的内接四
C
边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
利用圆周角定理：我们可得
圆内接四边形的对角互补。
在同圆中，同弦所对的圆周角相等或互补
1、求圆中角x的度数。
35°
120°
120°
O.
70° x
A
B
O.
x
A
O
A
B
C
2、如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= 130° 。
2、 如图，在直径为AB的半圆中，O
为圆心，C、D为半圆上的两点， ∠CAD=260，则∠COD=____5_2_°___
2021
12
3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ D ）
A、50°； B、80°；
BO
C、90°； D、100°
C
4、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
思考：定理中的“同弧或等弧”能否改为 “同弦或等弦”？
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
那么它们所对的弧相等，所对的弦一定相等。
如图，在⊙O中，若
M
∠AMB=∠CMD，则
D
是否AB相与等CD？
O
A
C
2021
B
11
练一练
1、求圆中角x的度数。
35°
O.
70° x
A
B
120° 120°
O.
x
A
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,
最新圆周角(优秀课件)精品ppt课件
1.第一种情况：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
A O
B
C
2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
O
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。PΒιβλιοθήκη PPP 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
• 分别测量圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ 1 ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的 C 圆心角的一半．
D A
O·
B E
圆周角(优秀课件)
这节课的内容有两个
1 掌握圆周角的定义
2 探究并证明圆周角定 理及推论
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
A O
B
C
2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
O
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。PΒιβλιοθήκη PPP 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
• 分别测量圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝
1 2
∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ 1 ∠ COD－ 1 ∠BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的 C 圆心角的一半．
D A
O·
B E
圆周角(优秀课件)
这节课的内容有两个
1 掌握圆周角的定义
2 探究并证明圆周角定 理及推论
《圆周角》_PPT-优秀版
同一条弧所对的圆周角， A
B
称为同弧所对的圆周角。
O
C
E
圆心与圆周角有3种位置关系： D （1）圆心在圆周角的一边上 （2）圆心在圆周角的内部 （3）圆心在圆周角的外部
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（二）有效探究——悟新知
探定义
判断下列图形中的角是不是圆周角，并 说明理由：
××× √×
圆周角的条件：（1）顶点在圆上 （2）两边都与圆相交
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（二）有效探究——悟新知
探定义
探定理——分类
2、小组合作探究
（1）每个人在⊙O上任取一条弧AB，画出弧
AB所对的一个圆周角和圆心角，测量它们的
度数，你得到什么结论？ （2）请大家根据圆心与圆周角的位置关系，把
小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？
O
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（二）有效探究——悟新知
第二种C情况：
31
O
42
A
B
D
作直径CD，利用（１）
的结果，有
∠1= 1 ∠2,∠3= 1∠4
2
12
∴ ∠1 +∠3= (∠2+∠4)
2
即:∠ACB = 1 ∠AOB
《圆周角》精品课件
任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB
所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，
C
∴△AOC,△BOC都是等腰三角形.
·
B
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
A
O
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的
圆周角所对的弦是直径.
例 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC为 6 cm，
∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
解：如图，连接OD，
∵AB 是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB= 90°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.
∵△AOC和△BOC是等腰三角形,
∴∠AOD=2∠ACO,∠BOD=2∠BCO,
D
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,
1
∴ ∠ = ∠.
2
D
②如图，当圆心O在∠ACB外时，连接CO，并
延长交圆于点D.
∵△AOC和△BOC是等腰三角形,
C
∴∠AOD=2∠ACO,∠BOD=2∠BCO,
新知探究 跟踪训练
1.如图所示，∠BAC 是圆周角的是( A
)
圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.
新知探究 知识点2
如图所示，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB所对的弧相等，
那么它们之间是否存在什么关系呢？下面我们就来研究
这个问题.
①如图,当圆心O在∠ACB内时,连接CO,
所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，
C
∴△AOC,△BOC都是等腰三角形.
·
B
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
A
O
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的
圆周角所对的弦是直径.
例 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC为 6 cm，
∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
解：如图，连接OD，
∵AB 是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB= 90°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.
∵△AOC和△BOC是等腰三角形,
∴∠AOD=2∠ACO,∠BOD=2∠BCO,
D
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,
1
∴ ∠ = ∠.
2
D
②如图，当圆心O在∠ACB外时，连接CO，并
延长交圆于点D.
∵△AOC和△BOC是等腰三角形,
C
∴∠AOD=2∠ACO,∠BOD=2∠BCO,
新知探究 跟踪训练
1.如图所示，∠BAC 是圆周角的是( A
)
圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.
新知探究 知识点2
如图所示，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB所对的弧相等，
那么它们之间是否存在什么关系呢？下面我们就来研究
这个问题.
①如图,当圆心O在∠ACB内时,连接CO,
相关主题
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结论：
一条弧所对的圆周角等于这条 弧所对的圆心角的一半.
_____________________________________ _____________
例：已知⊙O中弦AB的长 等于半径， 求弦AB所对的圆心角
和圆周角的度数。
_____________________________________ _____________
_____________________________________ _____________
1、如图，∠AOB是什么角？ 它所对的弧是哪一段弧？
∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
C
B O A
_____________________________________ _____________
5.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上， ∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
O
A B
_____________________________________ _____________
6. 如图，以 ABCD的一边AB为直 径作⊙O， ⊙O过点C，若 ∠AOC=70 °，则∠BAD的度数为
D
A
C
_____________________________________ _____________
.O B
谈谈你的收获吧
_____________________________________ _____________
作业
阅读课本85 至86页内容
_____________________________________ _____________
小试牛刀
试找出下图中所有相等的圆周角。
D
︵
12
A
8
7
.
6 5
B
︵
3
4
C
_____________________________________ _____________
A
A
A
O
O
O
B C
B
B
C D
CD
_____________________________________ _____________
练习
1、在圆中，一条弧所对的圆心角和
圆周角分别为（2x+100）°和 （5x-30）°，求这条弧所对的
圆心角和圆周角的度数。
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如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB
分别是什么角？它们有何共同点？
∠ADB与∠ACB有什么关系？
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结论：
同弧所对的圆周角相等.
∠ACB= ∠ADB
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圆周角的 概念 ：
顶点在圆上， 两边与圆相交的角, 是圆周角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
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辨别是非
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
①
②
③
⑤
④
⑥
⑦
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3、如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
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4、 如图，AB是⊙O的直径，CD是
弦，若∠ACD=40°，则∠BOD 的度数为
C
A
O. B
D
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1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
BO
A.50° B.80° C.90° D.100°
C
C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在
圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，
则∠BPC等于（
）
A.30° B.60° C.90° D.45°A
B
P
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1.圆心角的定义?
O.
顶点在圆心的角叫圆心角.
B
C
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2.圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，两 个圆心角、两条弧、
A＇
两条弦中如果有一组 B＇
量相等，则它们所
O
对应的其余各组量也
分别对应相等.
B A